4.2 提公因式法(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

因式分解 第四章 提公因式法（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题因式分解：3a(a-b)2-6a2(b-a)。 【分析】a-b与b-a互为相反数，故多项式中的(a-b)2可变形为(b-a)2,则原式变形为 3a(b-a)2-6d(b-a),再提公因式3a(b-a),也可以将第二项中的b-a变形为-(a-b),再提公 因式3a(a-b)。 【解答】方法一：3a(a-b)2-6a2(b-a)=3a(b-a)2-6a2(b-a)=3a(b-a)(b-a-2a)=3a(b-a)(b-3a)。 方法二：3a(a-b)2-6a2(b-a)=3a(a-b)2+6a2(a-b)=3a(a-b)(a-b+2a)=3a(a-b)(3a-b)。 【点拔】公因式是各项中都含有的因式，既可以是单项式，也可以是多项式，当各项中 存在符号相反的因式时，找公因式要进行适当的变形，可遵循下面的规律：(x-y)”= (y-x)”,n为偶数； 此外，分解后的各因式如果有同类项，那么要合并同类项，使各因式 -(y-x)”,n为奇数。 为最简的整式。 基础巩固达标闯关 es色多 1.因式分解：(2x-3y)(a+b)+(3x-2y)(a+b)= 2.因式分解：p(1-p)3(1+p)-p2(p-1)2(1+p)= 3.若m+n=5,mn=-7,则m2n+mn2= 4.已知长方形的两边长分别为a,b,且长方形的长比宽大3，长方形的面积为7，则 ab2-a2b3的值为 5.将3x(a-b)-9y(b-a)因式分解，应提取的公因式是（) A.3x-9y B.3x+9y C.3(a-b)》 D.a-b 6.把多项式(m+1)(m-1)+(m-1)提取公因式(m-1)后，余下的部分是() A.2 B.2m C.m+l D.m+2 7.将多项式-6(x-y)3-3y(y-x)3因式分解的正确结果是() A.-(x-y)3(6-3y) B.-3(x-y)3(2+y）C.3(x-y)3(y+2) D.3(x-y)3(y-2) 8.观察下列各组式子，有公因式的是（) ①a+b和2a+b②5m(a-b)和-a+b③3(a+b)和-a-b④(a+b)2和a2+b2 A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 9.将下列多项式因式分解。 (1)a(x+y)+b(x+y)-c(x+y)。 (2)m(m-n)3+n(n-m)3。 87 口数学 八年级下册（北师大版） (3)(x+2y)(x-2y)-x+2y。 (4)10ab(a-b)3-5b(b-a)2。 (5)x(x-y)2+x(x+y)(y-x)+2(x-y)。 (6)a(a-b-c)+b(b+c-a)+c(c-a+b)。 能力提升肿综合拓展 。 10.先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题。 1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(x+1)[1+x+x(x+1)]=(x+1)2(1+x)=(x+1)3。 (1)上述因式分解的方法是，共应用了次。 (2)若因式分解多项式1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)226,那么需应用上述方法多少 次？请直接写出该多项式因式分解的结果。 (3)仿照上述方法因式分解：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)”(n为正整数)。 (4)利用(3)中的结论计算：5+52+5+…+52m。 中考链接©真题演练 11.(2025·吉林)因式分解：a2-ab= 12.(2023.济宁)已知实数m满足m2-m-1=0,则2m3-3m2-m+9= 13.(2025·台湾)已知a,b,c皆为正整数，且a,b两数的最大公因数与最小公倍数分 别为11与88。关于α，b,c三数的最大公因数与最小公倍数，甲、乙两人分别提出看法如 下：甲：a,b,c三数的最大公因式可能比11大；乙：a,b,c三数的最小公倍数可能比88 小。对于甲、乙两人的看法，下列说法正确的是() A.甲、乙皆正确 B.甲、乙皆错误 C.甲正确，乙错误 D.甲错误，乙正确 88数学 八年级下册（北师大版） Vx2+4,AC=VBC2+AB=V(12-x+49。.∵AC+CE= ②。由①②得方程组 4a*b=30,解得a=13,b=-2。 V(12-x)449+V+4。连接AE。AC+CE≥AE, a+b=-9。 代数式V(12-x)+49+Vx+4的最小值为AE的长。过 2提公因式法（第1课时） 点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,.EF=BD= 1.42b22.-my3.4y4.1 5.C6.A7.D8.B 12,BF=DE=2。AF=AB+BF=9。.AE=VAF2+EF2= 9.(1)4xy2(3x-2y)(2)5xye-2yz)(3)3m(2m2- V99+12=15。.代数式的最小值为15。 3m-1)(4)-2ab(2a2b2-3a+b）(5)-5xyz(x+2y-1) (6)a(5ad+a2-2a-3）或-d(3+2a--5a3) 10.解：(1)1980 (2)原式=2024x(2024-2)-2022 20242×(2024+1)-2025 2022×(20242-1)2022674 2025×(20242-1)2025675° 11.(1)解：ab+ba=(10b+a)+(10a+b)=10b+a+10a+ 图 图2 第3题答图 b=11b+11a=11(b+a)。11(b+a)是11的倍数，.ab+ba能 4.解：如图1，将△AMD绕点A逆时针旋转60° 被11整除。 (2)证明：ababab=100000a+10000b+ 得到△AMD',MD=MD。AM'=AM,AD'=AD。 1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b)= △ADD'和△AMM'均为等边三角形。.AM=MM'。MA+ 1443x7(10a+b)。a,b为整数，且a>0,b≥0,1443× MD+ME=D'M'+MM'+ME。·.当D'M,MM',ME共线 7(10a+b)能被7整除，.形如ababab的六位数都能被 时最短。由于点E也为动点，.当DE⊥BC时，D'E= 7整除。 D'G+GE最短。此时ME在长方形AD,BC两边中点 12.m(x-2y）13.a(a-1)14.ab(amb)15.a(a+13)》 的连线上（如图2）。最小值为D'E=GE+D'G=500+ 2提公因式法（第2课时） 400V3≈1193(m)。最少费用为1193x500=596500 1.5(a+b)(x-y）2.p(p-1)P(p+1)3(1-2p）3.-35 (元)。答：当ME在长方形AD,BC两边中点的连 4.±1475.C6.D7.D8.B 线上时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 9.(1)(x+y)(a+b-c）(2)(m-n)4(3)(x-2y): 596500元。 (x+2y-1)(4)5b(a-b2(2a㎡2-2ab-1) (5)-2(x D' y)(xy-1)(6)(a-b-c)2 10.解：(1)提公因式法2(2)2026次， (1+x)27。(3)原式=(1+x)[1++x(+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)-]=(x+1)(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-2]=…=(x+1)(x+1)=(x+1)。(4)令x=4,则 1-4+1-5。原式-}x45+5454+)子×45t E 4灯4x5+45)=号×（1+44x5+4x544x5++ 图1 图2 第4题答图 4k5)-5]=子×(1+44x5+54x5++4x灯)子 4 第四章因式分解 1+4)2_5=5(5m-1)。 4 -4=4 1因式分解 11.a(a-b)12.813.B 1.整式乘法2.因式分解3.-154.B5.A 3公式法（第1课时） 6.D7.C 1.ab(a+3b)(a-3b)2.答案不唯一，如-b 8.解：(1)-(c),(2)-(b),(3)-(a)。 3.(x-3)4.x"(x+1)(x-1)5.1106.4050 9.解：图2对应：+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),图3 7.C8.B9.A 对应：ad2+b2+2c2+2ab+3ac+3bc=(a+b+c)(a+b+2c)。 10.(1)x(y+7)0-7)(2)2(2a-3b+2x)(2a-3b 10.证明：原式=326×(9-3-1)=5×32×324-45×324，所 以能被45整除。 2x) (3)+301-34)(1+1-=y) 11.解：(1)令x-2=0,即当x=2时，4+2k-8-0, 11.(1)2340(2)128000 解得k=2。·.该多项式为x2+2x-8。设另一个因式为x+ 12.(1)解：992-962=(99+96)×(99-96)=195x3=585。 a,则x2+2x-8=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则-2a=-8。 (2)证明：设这两个连续的3的倍数为3n和3n+3 .a=4。.该多项式的另一个因式为x+4。(2)令 (其中n为整数)，则它们的平方差可以表示为(3+3)2- x=-2,则-16+4a-14+b=0①。令=1，则2++7+b-0 (3n)2。(3n+3)2-(3n)2=(3n+3+3n)(3n+3-3n)=3(6n+3)=9