期末复习：综合题公因式法和公式法因式分解、十字相乘法、因式分解的应用专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦因式分解全流程方法训练，从基础公因式法、公式法到十字相乘法，再到分组分解、整体思想等综合应用，形成递进式知识逻辑，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |综合题公因式法和公式法|4例+4变式（多地区期中题）|提公因式与公式法联用|从单一方法到综合运用，夯实基础运算| |十字相乘法|4例+4变式（期末/阶段检测题）|系数拆分与符号规律|衔接公式法，拓展因式分解范围| |因式分解的应用|3例+3变式（含几何、证明题）|分组分解法、整体思想、配方法|从代数运算到实际应用，培养模型意识与推理能力|

期末复习：综合题公因式法和公式法因式分解、十字相乘法、因式分解的应用专项训练 期末复习：综合题公因式法和公式法因式分解、十字相乘法、因式分解的应用专项训练 考点目录 综合题公因式法和公式法因式分解 十字相乘法 因式分解的应用 考点一 综合题公因式法和公式法因式分解 例1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解： ． 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后利用完全平方公式分解因式； （2）先提公因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 例4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，然后用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 变式1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 变式3．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将原式整理为平方差的形式，再利用平方差公式因式分解，最后提取公因式得到结果． 【详解】（1） 解： ． （2）解： ． 变式4．（25-26八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提取公因式即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：． （2）解： ． 考点二 十字相乘法 例1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，通过十字相乘法将结果展开，对比对应项系数即可求出的值． 【详解】解： ， 又∵， ∴多项式对应项系数相等， 得， 解得， 代入得． 例2．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 【答案】B 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，通过十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积． 【详解】解：， 故答案为：． 例4．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 【答案】 【分析】此题主要考查因式分解．本题为二次三项式的因式分解，通过寻找两个数满足和为、积为，进而分解. 【详解】解：， 故答案为：． 变式1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，即，熟练掌握十字相乘法方法是解答本题的关键． 利用十字相乘法分解即可． 【详解】解：． 故选A． 变式2．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）的一个因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．利用十字相乘法分解因式即可解答． 【详解】解：∵ ， ∴和是的因式． 故选：A． 变式3．（25-26八年级下·广东深圳·阶段检测）因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 变式4．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查了因式分解，多项式的乘法． 根据一个因式为得到另一个因式应为，计算，即可求出的值． 【详解】解：∵关于的二次三项式有一个因式为， ∴另一个因式应为， ∵， ∴． 故答案为：5． 考点三 因式分解的应用 例1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 【答案】(1)因式分解 (2)见解析 【分析】（1）根据因式分解的定义解答； （2）设（为自然数）再展开，然后提出公因式判断即可． 【详解】（1）解：因式分解； （2）证明：设（为自然数） ∵ 且能被整除 ∴能被整除. 例3．（25-26八年级下·江苏连云港·阶段检测）因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3) 略 【详解】（1）解： 令， 则原式变为， ∴； （2）解：令， 则， 故. （3）证明：， 令， 则原式， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方. 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 【答案】(1) (2)①；②42 【分析】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【详解】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 变式2．（25-26八年级下·河北保定·期中）［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 【答案】(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【详解】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． (1)不等式解集为______； (2)不等式解集为______； (3)解不等式． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）利用平方差公式进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解，然后根据给定方法进行求解即可； （3）根据有理数的除法法则，异号得负，且除数不为0，对分子和分母的符号进行讨论，列出对应不等式组，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①，②， 解不等式组①得，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为或； （2）解：∵， ∴原不等式可化为 ， 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②得， ∴原不等式的解集为； （3）解：由有理数除法法则：两数相除，异号得负，且除数不为0，得 ①，②， 解不等式组①无解，解不等式组②，得， ∴原不等式的解集为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：综合题公因式法和公式法因式分解、十字相乘法、因式分解的应用专项训练 期末复习：综合题公因式法和公式法因式分解、十字相乘法、因式分解的应用专项训练 考点目录 综合题公因式法和公式法因式分解 十字相乘法 因式分解的应用 考点一 综合题公因式法和公式法因式分解 例1．（25-26八年级下·广东茂名·期中）因式分解： (1) (2) 例2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）将下列各式分解因式． (1) (2) 例3．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）分解因式： (1)； (2)． 例4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）分解因式： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）因式分解： (1)； (2)； 变式2．（25-26八年级下·山东青岛·期中）分解因式： (1) (2) (3) 变式3．（25-26八年级下·辽宁丹东·期中）因式分解： (1)； (2)． 变式4．（25-26八年级下·山东济南·期中）分解因式： (1) (2) 考点二 十字相乘法 例1．（25-26八年级上·陕西延安·期末）若将多项式因式分解得，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 例2．（25-26八年级下·广东佛山·阶段检测）若，则（    ） A． B．8 C． D．6 例3．（25-26八年级上·山东淄博·期末）因式分解：___________． 例4．（25-26七年级上·上海杨浦·期末）因式分解：_____． 变式1．（25-26八年级上·湖北孝感·期末）将分解因式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·福建厦门·阶段检测）的一个因式是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·广东深圳·阶段检测）因式分解：______． 变式4．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于的二次三项式有一个因式为，则的值为_______． 考点三 因式分解的应用 例1．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 例2．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．例如，在课本中第109页出现了这样一道题： 证明：三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 小明给出了如下解答过程： 证明：设、、(为自然数) ① ② 且能被2整除， 能被2整除． 三个连续自然数中，前两个数乘积与后两个数乘积的和一定为偶数． 观察小明的证明过程，然后解答下列问题： (1)在上面的过程中，从第①处到第②处的变形是属于 （填写“整式的乘法”或“因式分解”）； (2)已知，且是奇数．求证：能被2整除． 例3．（25-26八年级下·江苏连云港·阶段检测）因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 变式1．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 变式2．（25-26八年级下·河北保定·期中）［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 变式3．（25-26八年级下·广东佛山·期中）先阅读理解下面例题，再按要求解答下列问题： 例：解不等式． 解：， ∴原不等式可化为． 由有理数乘法法则：两数相乘，异号得负，得： ①，②． 解不等式组①得，解不等式组②无解， ∴原不等式的解集为． (1)不等式解集为______； (2)不等式解集为______； (3)解不等式． 2 学科网（北京）股份有限公司 $