4.2 提公因式法(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

因式分解 第四章 提公因式法（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 因式分解：-5x+10x3-15x2y。 【分析】先确定公因式-5x,然后用(-5x+10x3-15x2y)除以公因式-5x,进而得出另一个 因式。 【解答】-5x+10x3-15x2y=-5x(1-2x2+3xy）。 【点拨】此题考查提公因式法因式分解，需要注意的是：所提的公因式一定是“最大公 因式”，即提出公因式后，另一个因式中各项不能再有公因式。确定一个多项式的公因式， 应从系数、字母及相同字母的指数三个方面进行考虑：系数，取各项系数（包括常数项）的 最大公因数；字母，取各项中含有的相同的字母；相同字母的指数，取次数最低的。然后用 多项式的每一项除以公因式得到剩余的因式。当首项系数为负时，要先提出“-”，在提出 “-”时，多项式的各项都要变号。 基础巩固L达标闯关 1.多项式8d%2-122bc中的公因式是 2.如果多项式mx+A可分解为m(x-y),则A代表的单项式为 3.单项式8x”yl与4xly的公因式是 d 4.若y-=3,y=6,则22-2= 5.多项式-64d+16a2+12a中各项的公因式为() A.a B.-a C.-4a D.8a 6.下列各多项式中，各项没有公因式的是(） A.3x-4y B.3x+4xy C.4x2-3xy D.4x2-3x2y 7.下列各式的公因式为a的是( A.ax+ay+5 B.4ma+6ma C.5a2+10ab D.a2-4a+ma 8.多项式24my-6mn+18mnx的一个因式是6mn,则另一个因式是(） A.4y-1-3x B.4y-1+3x C.4y+1-3x D.4y+1+3x 9.把下列多项式因式分解。 (1）12x2y3-8xy。 (2)5x2y-10xy3。 85 口数学 八年级下册（北师大版） (3）6m3-9m2-3m。 (4)-4ab3+6a2b-2ab。 (5）-5x2ya-10xy2z+5xy3。 (6)-3m-2a+a+5a8。 能力提升蹄综合拓展 -多 10.利用因式分解的提公因式法计算下列各题。 (1）65x19.8-23×19.8+58×19.8。 (2)2024-2x20242-2022 20243+20242-20259 11.一个两位数ab,它的十位数字是a,个位数字是b。若把十位数字与个位数字对调， 得到一个新的两位数ba。 (1)请计算新数与原数的和，并证明这两数的和能被11整除。 (2)请证明形如ababab的六位数都能被7整除。 中考链接©真题演练 12.(2025·长沙)因式分解：mx-2my= 13.(2025·江西)因式分解：a2-a= 14.(2025·上海)因式分解：a2b+ab2= 15.(2025·湖南)因式分解：a2+13a= 86数学 八年级下册（北师大版） Vx2+4,AC=VBC2+AB=V(12-x+49。.∵AC+CE= ②。由①②得方程组 4a*b=30,解得a=13,b=-2。 V(12-x)449+V+4。连接AE。AC+CE≥AE, a+b=-9。 代数式V(12-x)+49+Vx+4的最小值为AE的长。过 2提公因式法（第1课时） 点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,.EF=BD= 1.42b22.-my3.4y4.1 5.C6.A7.D8.B 12,BF=DE=2。AF=AB+BF=9。.AE=VAF2+EF2= 9.(1)4xy2(3x-2y)(2)5xye-2yz)(3)3m(2m2- V99+12=15。.代数式的最小值为15。 3m-1)(4)-2ab(2a2b2-3a+b）(5)-5xyz(x+2y-1) (6)a(5ad+a2-2a-3）或-d(3+2a--5a3) 10.解：(1)1980 (2)原式=2024x(2024-2)-2022 20242×(2024+1)-2025 2022×(20242-1)2022674 2025×(20242-1)2025675° 11.(1)解：ab+ba=(10b+a)+(10a+b)=10b+a+10a+ 图 图2 第3题答图 b=11b+11a=11(b+a)。11(b+a)是11的倍数，.ab+ba能 4.解：如图1，将△AMD绕点A逆时针旋转60° 被11整除。 (2)证明：ababab=100000a+10000b+ 得到△AMD',MD=MD。AM'=AM,AD'=AD。 1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b)= △ADD'和△AMM'均为等边三角形。.AM=MM'。MA+ 1443x7(10a+b)。a,b为整数，且a>0,b≥0,1443× MD+ME=D'M'+MM'+ME。·.当D'M,MM',ME共线 7(10a+b)能被7整除，.形如ababab的六位数都能被 时最短。由于点E也为动点，.当DE⊥BC时，D'E= 7整除。 D'G+GE最短。此时ME在长方形AD,BC两边中点 12.m(x-2y）13.a(a-1)14.ab(amb)15.a(a+13)》 的连线上（如图2）。最小值为D'E=GE+D'G=500+ 2提公因式法（第2课时） 400V3≈1193(m)。最少费用为1193x500=596500 1.5(a+b)(x-y）2.p(p-1)P(p+1)3(1-2p）3.-35 (元)。答：当ME在长方形AD,BC两边中点的连 4.±1475.C6.D7.D8.B 线上时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 9.(1)(x+y)(a+b-c）(2)(m-n)4(3)(x-2y): 596500元。 (x+2y-1)(4)5b(a-b2(2a㎡2-2ab-1) (5)-2(x D' y)(xy-1)(6)(a-b-c)2 10.解：(1)提公因式法2(2)2026次， (1+x)27。(3)原式=(1+x)[1++x(+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)-]=(x+1)(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-2]=…=(x+1)(x+1)=(x+1)。(4)令x=4,则 1-4+1-5。原式-}x45+5454+)子×45t E 4灯4x5+45)=号×（1+44x5+4x544x5++ 图1 图2 第4题答图 4k5)-5]=子×(1+44x5+54x5++4x灯)子 4 第四章因式分解 1+4)2_5=5(5m-1)。 4 -4=4 1因式分解 11.a(a-b)12.813.B 1.整式乘法2.因式分解3.-154.B5.A 3公式法（第1课时） 6.D7.C 1.ab(a+3b)(a-3b)2.答案不唯一，如-b 8.解：(1)-(c),(2)-(b),(3)-(a)。 3.(x-3)4.x"(x+1)(x-1)5.1106.4050 9.解：图2对应：+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),图3 7.C8.B9.A 对应：ad2+b2+2c2+2ab+3ac+3bc=(a+b+c)(a+b+2c)。 10.(1)x(y+7)0-7)(2)2(2a-3b+2x)(2a-3b 10.证明：原式=326×(9-3-1)=5×32×324-45×324，所 以能被45整除。 2x) (3)+301-34)(1+1-=y) 11.解：(1)令x-2=0,即当x=2时，4+2k-8-0, 11.(1)2340(2)128000 解得k=2。·.该多项式为x2+2x-8。设另一个因式为x+ 12.(1)解：992-962=(99+96)×(99-96)=195x3=585。 a,则x2+2x-8=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则-2a=-8。 (2)证明：设这两个连续的3的倍数为3n和3n+3 .a=4。.该多项式的另一个因式为x+4。(2)令 (其中n为整数)，则它们的平方差可以表示为(3+3)2- x=-2,则-16+4a-14+b=0①。令=1，则2++7+b-0 (3n)2。(3n+3)2-(3n)2=(3n+3+3n)(3n+3-3n)=3(6n+3)=9