1.问题解决策略：反思-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 八年级下册（北师大版） 问题解决策略：反思 自主导学Q典例精析 例题 如图，在△ACD中，∠D=2∠C,AB⊥CD,垂足为B,且BC>AB。求证：CB= AD+BD 请阅读上述例题，解答和思考下列问题。 (1)由条件∠D=2∠C你想到构造哪些几何图形？ (2)怎样证明CB与AD+BD的数量关系问题？ 例题图 (3)你有几种证明该结论的思路？请在图中作出辅助线，并说明利用图形的什么性质构 造辅助线，请选择其中一种写出证明过程。 【分析】(1)等腰三角形、线段垂直平分线、角平分线都包含二倍角的关系，故想到构 造等腰三角形。(2)证明三条线段和或差问题，需将三条线段关系转化为两条线段的数量 关系。(3)借助∠D=2∠C的数量关系，在三角形内部或外部构造等腰三角形，从而将AD 与BD的和转化为一条线段，证明该线段与CB相等，也可以将CB与BD的差转化为一条线 段，证明该线段与AD相等。 【解答】(1)由条件∠D=2∠C,想到以∠C为底角构造等腰三角形，或构造线段AC的 垂直平分线。（答案不唯一） (2)用截长补短的策略将CB,AD,BD之间的数量关系转化为两条线段之间的数量关系。 (3) 图1 图2 图3 例题答图 思路①：如图1，在BC上取BE=BD,连接AE,证CE=AD。思路②：如图2，作AC的 垂直平分线，分别与AC,CD交于F,E两点，连接AE,证CE=AD。思路③：如图3，延 长BD至点E,使DE=AD,连接AE,证CB=BE。 选择思路①，证明：在BC上取BE=BD,连接AE,BE=BD,AB⊥CD, .AB是线段DE的垂直平分线。.∴AE=AD。∴.∠D=∠AED。 .∠D=2∠C,∴.∠AED=2∠C。又：∠AED=∠C+∠CAE,∴.∠C=∠CAE。 ∴.CE=AE。.'.CE=AD。∴.BC=CE+BE=AD+BD 【点拨】利用二倍角条件构成辅助线的解题策略：第一，以二倍角为内角构造等腰三角 形；第二，以二倍角为外角构造等腰三角形；第三，等分二倍角。解二倍角问题的关键是构 造等腰三角形。 38 三角形的证明及其应用 第一章 能力提升睡综合拓展 1.在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D在AB的左侧且AD∥BC,∠ADB=2∠C。 (1)求证：BC=AD+BD。 (2)该图形还可以进行怎样的图形变式？ (3)该图形怎样转化为例题中的基本图形？ 第1题图 2.我们学习了三角形的证明相关知识后，小明同学感悟到对四边形的学习，一般是通过 辅助线将四边形转化为三角形，再通过三角形的基本性质和全等来探究四边形中相关几何元 素之间的关系。于是小明对下列四边形的相关问题进行探究。 在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°。 (1)如图1，连接AC,小明发现，此时AC平分∠BCD。 ①小明通过观察、实验，提出以下两种探究思路。思路1：延长CB到点E,使得BE= CD,连接AE,从而利用全等和等腰三角形的性质证明AC平分∠BCD。思路2：过点A分 别作BC,CD的垂线，垂足分别为E,F,从而利用全等三角形的性质和角平分线的判定定 理证明AC平分∠BCD。 请你用小明的两种探究思路进行证明，并说明两种方法反映的数学本质。 ②如图2，当∠BAD=90时，判断线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明。 (2)适当改变题目的条件，你还可以提出哪些问题？ (3)如图3，连接AC,BD,小明同学在原题目的基础上，延长CB至点E,使CE=CD, 连接AE,DE,他发现∠DAE与∠DBE之间有确定的关系，请写出该数量关系，并证明。 图1 图2 图3 第2题图 39参考答案与提示 7BC-0D+4AC-0E+2AB-0R,38+76+7 D在AB的右侧且AD∥BC。(3)解：过点A作AD ∥DB交CB的延长线于点D',则将该图形转化为例题 10x=12x。12,x=24。解得x=2。∴.0D=0E=0F=2cm。 中的基本图形。 8.解：如图，：点P到∠ABC两边的距离相等， ∴点P在∠ABC的平分线上。线段BD为等腰三角 形PBD的底边，.PB=PD。点P在线段BD的垂直平 分线上。.点P是∠ABC的平分线与线段BD的垂直 平分线的交点。 第1题答图 2.解：(1)①思路1：如图1，延长CB至点E, 使BE=CD,连接AE。∠ADC+∠ABC=18O°，∠ABE+ ∠ABC=180°，.∠ADC=∠ABE。又AD=AB,BE= CD,.△ADC≌△ABE(SAS)。.∠ACD=∠AEB, D G AC=AE。.∠ACD=∠ACB=∠AEB。AC平分∠BCD。 第8题答图 第9题答图 思路2：如图2，过点A分别作BC,CD的垂线，垂 足分别为E,F。.∠AEB=∠AFD=90°。∠ADC+ 9.解：(1)如图，过点D作DE⊥AB于点E, ∠ABC=180°，∠ADC+∠ADF=180°，.∠ABE=∠ADF。 DF⊥AC于点F,AD是△ABC的角平分线，.DE= 又AD=AB,△ABE≌△ADF(AAS)。.AE=AF。 .器-泥8号 (2)如图，过 :AC平分∠BCD。 思路1是构造等腰三角形，将证∠ACD与∠ACB 点A作AG1BC于点G,:题=ABDE=BDAC S△4 AC.DF DC·AG， 之间的关系，转换为等腰三角形两个底角之间的关系， ·BD-AB4 器是号。3)由2)知，器光号， 思路2构造两条垂线段，将证∠ACD与∠ACB之间的 关系，转化为两条垂线段相等问题。思路1的本质是 且aC2.即0号m9 利用等腰三角形的性质证明，思路2的本质是利用角 7 的平分线的判定定理。 10.解：(1)如图1，AD即为所求。(2)如 ②CD+BC=V2AC。理由：如图3，延长CB至点 图2，过点D作DE⊥AB交AB于点E,过点D作 E,使BE=CD,连接AE。同思路1方法证明△ADC≌ DF⊥AC交AC于点F,∠AED=∠AFD=90°。AD是 △ABE(AS),∴AC=AE,∠EAB=∠CAD。∴.∠CAE= ∠BAC的平分线，∠BAC=90°，DE=DF,∠BAD= ∠CAD=45°。∴.∠ADE=∠ADF-45°。AE=DE,AF= ∠DAB=90°。.CE=V2AC。BC+BE=CD+BC= DF。AE=AF=ED=DF。设AE=AF=ED=DF=x,∴BE= V2AC。(2)答案不唯一：①如图，在四边形 AB-AE=7-x,FC=AC-AF=5-x。在Rt△BED中，BD2= ABCD中，对角线AC平分∠BCD,∠ABC+∠ADC= ED24BE=2+(7-x)2。在Rt△CFD中，CD=DF2+FC=x2+ 180°，求证：AB=AD;②如图，在四边形ABCD中， (5-x)2。DB=DC,.DB2=DC,即x2+(7-x)2=x2+(5-x)2。 对角线AC平分∠BCD,AB=AD,求证：∠ABC+ 解得x=6。.AD=VAF+DF=V6+6=6V2。 ∠ADC=180°；③如图，在四边形ABCD中，对角线 AC平分∠BCD,∠ABC+∠ADC=180°，∠DAB=120°， 猜想线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明。 (3)∠DAE=2∠DBE。理由：由(1)知AC平分 ∠BCD,∴∠ACB=∠ACD。又CD=CE,CA=CA, △ACD≌△ACE(SAS)。·AE=AD=AB。.∠ABD= ∠ADB,∠ABE=∠AEB。·2∠ABD+2∠ABE+∠ADE+ D D ∠AED=180°，.2∠DBE+∠ADE+∠AED=180°。又·. 图1 图2 ∠DAE+∠ADE+∠AED=180°，.∠DAE=2∠DBE 第10题答图 ☆问题解决策略：反思 1.(1)证明：在BC上截取BE=AD,连接AE。 .AD∥BC.∠ABC=90°，∴.∠DAB=180°-∠ABC=90°。 ∠ABC=∠DAB。又AB=AB,.△ABD≌△BAE。 .AE=BD,∠D=∠AEB。.·∠D=2∠C,∴.∠AEB=2∠C。 :∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=∠CAE。.CE=AE=BD。 图1 图2 图3 BC=CE+BE,BE=AD,.BC=BD+AD。(2)解：点 第2题答图