1.5 第1课时 角平分线的性质与判定（讲解课件）-【优翼·学练优】2025-2026学年八年级数学下册同步备课（北师大版）

该初中数学课件聚焦角平分线的性质与判定定理，通过“仓库位置”现实问题导入，复习尺规作图，引导学生经折叠探究性质、逻辑证明判定，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以问题驱动探究，通过动手操作培养几何直观，逻辑推理发展推理意识，对比表格明晰性质与判定联系。例题与反馈结合，提升应用意识，助力学生建立推理能力，教师可直接用于课堂，提高教学效率。

1.5 角平分线 第1课时 角平分线的性质与判定 第一章 三角形的证明 北师版八年级(下) 1. 复习角平分线的相关知识，探究归纳角平分线的性质和判定定理。(重点) 2. 能够运用角平分线的性质和判定定理解决问题。 (难点) 3. 通过探索角平分线的判定定理的过程，提高综合运用数学知识和方法解决问题的能力。 素养目标 如图，某地有两所大学和两条交叉的公路．图中点 M，N 表示大学，OA，OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能确定出仓库 P 应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) O N M A B 复习导入 思考：在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗? 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗? 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 探究点1：角平分线的性质 对此你能得出什么结论？动手证一证. C A O B C D E 新知探究 【证一证】已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E。 求证：PD = PE。 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°。 ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等). B A D O P E C 1 2 ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， 新知探究 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE。 PD⊥OA，PE⊥OB， 【知识要点】 新知探究 例1 如图，AD 为∠BAC 的平分线，DF⊥AC 于点 F， ∠B＝90°，DE＝DC，试说明：BE＝FC。 解：∵∠B＝90°， ∴ BD⊥AB. ∵ AD 为∠BAC 的平分线，且 DF⊥AC， ∴ DB＝DF. 在 Rt△BDE 和 Rt△FDC 中， ∴ Rt△BDE≌Rt△FDC ( HL )。∴ BE＝FC。 DE＝DC， DB＝DF， 新知探究 【练一练】 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 新知探究 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 它是真命题吗？你能证明吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 逆命题 P A O B C D E 探究点2：角平分线的判定 新知探究 【证一证】已知：如图，点 P 为∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). B A D O P E C 1 2 新知探究 定理：在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 【知识要点】 新知探究 例2 如图，在△ABC中，∠BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 新知探究 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD = 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . 新知探究 例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC， ∴ FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC， ∴ FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　 G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ 新知探究 O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示. P. 【回顾导入】 新知探究 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 新知探究 角平分线 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 判定定理 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 课堂小结 1. 如图，OC平分∠AOB，P是OC上一点， PD⊥OA于点D. 若PD＝6，则点P到OB的距离 为 . 6　 当堂反馈 2. 如图，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N， PM＝PN. 若∠BOC＝30°，则∠AOB的度数 是 . 第2题图　　　 60°　 当堂反馈 3. 如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的 平分线BD交AC于点D，DC＝2AD，点D到BC 的距离为5，则AC＝ ⁠. 第3题图 15　 当堂反馈 4. 如图，P为∠MON平分线上一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，求证：OP垂直平分AB. 证明：∵P为∠MON平分线上一点， PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝90°. 在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL). ∴OA＝OB. ∵OP平分∠AOB， ∴OP垂直平分AB. 当堂反馈 本文件著作权为创作公司所有, 仅限于教师教学及其他非商业性和非盈利性用途。如发现盗用、转卖、网络传播等侵权行为, 本公司将依法追究其相应法律责任。 部分素材选自网络, 如有争议, 请联系删改。 声 明 $