1.4 线段的垂直平分线(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

参考答案与提示 EF=FC2+BE2。(2)成立。证明：如图2，延长：过点E作EH∥AB,则△EHC为 FD至点M,使DM=DF,连接BM,EM,易证△DFC≌ 等边三角形。①如图1，当点D △DMB,.BM=CF,∠DBM=∠C。∴BM∥AC。∴. 在点H的左侧时，ED=EF, ∠ABM=∠BAC=90°。，DE⊥DF,DM=DF,ED=ED, ∠DEH=∠FEC,EH=EC, △MED≌△FED,.∴ME=EF。在Rt△BEM中，BE+ △EDH≌△EFC(SAS)。∴.∠ECF= D BMP=EMP,.BE+FC=EF2。 ∠EHD=120°。此时，△CEF不可 图1 能为直角三角形。②如图2，当点 D在点H的右侧且在线段CH上时，同理得△EDH≌ △EFC(SAS)。∴.∠FCE=LEHD=6O°，∠FEC=∠DEH< ∠HEC=60°。此时，只有∠CFE有可能为90°。当 ∠CFE=90°时，∠EDH=90°，即ED LCH。·.CH=CE= 2V万.CD=0H=V5。又A6,BD-6-V万。 图1 图2 第10题答图 ③如图3，当点D在点H的右侧且在HC的延长线上 1.4Y512.C13.B 时，只有∠CEF=90°。，∠DEF=60°，∴.∠CED=30°。 5 ∠ECH-60°，.∠EDC=∠CED=30°。∴.CD=CE=2V3。 3直角三角形（第2课时） :.BD=6+2V3 1.AB∥DC或BP=DP或AB=CD或∠A=∠C或 LB=∠D 2.123.74.B5.D6.C7.B 8.证明：(1)AD平分∠BAC,.∠BAD= ∠CAD。AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°。又AD= H H AD,.△ADB≌△ADC(ASA)。AB=AC。(2) 图2 图3 △ADB≌△ADC,BD=CD。CD=CE,BD=CE。 第11题答图 EC⊥BC,.∠BCE=90°。：AB=BE,BD=EC, Rt△ABD≌Rt△BEC(HL)。 4线段的垂直平分线（第1课时） 9.(I)证明：BD⊥DE,CE⊥DE,∴∠ADB= 1.5cm2.17cm3.22.5°4.2或2V75.A ∠AEC=90°。在Rt△ABD和Rt△CAE中，AB=CA, 6.D AD=CE,.Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)。.∠BAD=∠ECA。 7.证明：FE垂直平分AD,FA=FD。∠ADF= ∠CAE+LECA=90°，.∠BAD+∠CAE=90°。 ∠DAF。AD是∠BAC的平分线，∴.LCAD=∠BAD。 ∠BAC=180°-（∠BAD+∠CAE)=90°..AB⊥AC。 又∠ADF=∠B+∠BAD,∠FAD=∠CAF+∠CAD, (2)AB⊥AC。证明：同(1)一样可证得Rt△ABD≌ ∠B=∠CAF。 Rt△CAE,∴∠BAD=∠ECA。∠CAE+∠ECA=90°， 8.证明：：∠ACB=90°，ED⊥AB,∴.∠EDB= ∠CAE+∠BAD=90°，即∠BAC=90°。：∴AB⊥AC。 ∠ECB=90°。BD=BC,BE=BE,.Rt△BEC≌Rt△BED 10.（1)证明：AP平分∠BAC,.∠DAP= (HL)。∴DE=CE。又BD=BC,∵BE垂直平分CD。 ∠EAP。PD⊥AB,PE⊥AC,∴.∠ADP=∠AEP=90°。 9.(1)证明：如图，连接AP,l是AB边的垂 AP=AP,∴△APD≌△APE(AAS)。AD=AE。(2) 直平分线，PA=PB。2是AC边的垂直平分线， 解：△APD≌△APE,∴PD=PE。又：∠PEN=∠PDM= PA=PC。PB=PC。.点P在线段BC的垂直平分线 90°，PM=PN,.Rt△PEN≌Rt△PDM(HL)。∴NE= 上。(2)解：·∠BAC=100°，.∠ABC+∠ACB= MD.AM =AD+MD =5,AD =AE =AN+NE =AN +MD, 180°-∠BAC=180°-100°=80°。l1是AB边的垂直平分 ∴AN+MD+MD=5。AN=3,∴.MD=1。AD=AM-MD=4。 线，∴DA=DB。是AC边的垂直平分线，·EA=EC。 1L.解：(1)①CE+CD=CA。理由：△ABC和 ∴.∠BAD=∠ABC,∠EAC=∠ACB。∴.∠BAD+∠EAC= △ADE是等边三角形，，AB=AC=BC,AD=AE=DE, 80°。∴.∠DAE=∠BAC-(∠BAD+∠EAC)=100°-80°=20°。 ∠BAC=∠DAE=6O°。∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE- ∠DAC。∴.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌△ACE(SAS)。 .CE=BD。BD+CD=BC,.CE+CD=CA。②CA+CD= CE。理由：，△ABC和△ADE是等边三角形，AB= AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC=∠DAE=60°。∴.∠BAC+ ∠DAC=∠DAE+∠DAC。·.∠BAD=∠CAE。.△ABD≌ 第9题答图 第10题答图 △ACE(SAS)。∴.CE=BD。·CB+CD=BD,.CA+CD= CE。(2)BD的长为6-V3或6+2V3。解析： 10.解：(1)猜想：DE⊥DP。证明：PD=PA, 数学 八年级下册（北师大版） ∠A=∠PDA。EF是BD的垂直平分线，.EB=ED。∠BCN的平分线，EP⊥AM于点P,ED⊥BC于点D, .∠B=∠EDB。.∠C=90°，..∠A+∠B=90°。.∠PDA+ EQ⊥AN于点Q,∴EP=ED,EQ=ED。EP=EQ。又 ∠EDB=90°。∴.∠PDE=180°-∠PDA-∠EDB=180°-90°= EP⊥AM,EQ⊥AN,.点E在∠NAM的平分线上。 90°。DE⊥DP。(2)如图，连接PE,设DE=x, 7.(1)证明：在△ADF和△AEF中，AD=AE(或 则EB=ED=x,CE=8-x。PA=2,AC=6,∴PC=4。在 OD=OE),FD=FE,AF=AF,∴.△ADF≌△MEF(SSS)。 Rt△PCE和Rt△PDE中，PE=PC+CE,PE=PD+ ∠DAFLEAF。AP平分∠BAC。(2)解：如图，过 DE2,∴42+(8-x)2=22+x2。解得x=4.75,则DE=4.75。 点P作PG⊥AC于点G,:AP平分∠BAC,PQ⊥AB, 11.解：（1)AB=AC,∠A=50°，.∠B= ∠ACB=65°。DM是AB的垂直平分线，∴.∠BDM= .PG-PQ-3.S0w-ScwtSor..AB+P0+]AC+PG= 90°。∴∠DMB=25°。(2)图形略。此时点M在BC 18。(AB+AC)PQ=36。AB=7,PQ=3,AC=5。 边上。同(1)方法可得∠DMB=40°。(3)∠DMB A (0) 的度数等于顶角度数的一半，即∠DWB=a。证明： 4B=AC,L1=0,∠B3180r-LA)-90-2a。又 ∠DMB+∠B=90r,∠DMB=e (4)成立。等 P 腰三角形一腰的垂直平分线与底边所在直线相交所夹 第7题答图 的角（锐角）等于顶角度数的一半。 8.(1)证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB, 12.313.C ∠C=90°，即CD⊥AC,DC=DE。在Rt△FCD和 4线段的垂直平分线（第2课时）】 Rt△BED中，DC=DE,DF=DB,Rt△FCD≌Rt△BED 1.A2.D3.B4.C (HL)。.CF=EB。(2)解：AB=AF+2BE。理由：由 5.提示：分别过点A,B,C作BC,AC,AB的垂(I)得，DC=DE,又AD=AD,Rt△ACD≌Rt△AED 线，垂足分别为D,E,F,则AD,BE,CF即为所求，；(HL)。AC=AE。AB=AE+BE=AF+FC+BE=AF42BE。 作图略。 *9.（1)证明：AC平分∠MAN,∠MAN=120°， 6.解：(1)如图，△ABC即为所求。(2)这 ∴.∠CAB=∠CAD=60°。：∠ABC=∠ADC=90°，∴.∠ACB= 样的直线不唯一。①作线段OB的垂直平分线AC。②作 ∠ACD=30。AB=4DAC。AB+AD=4C。 (2) 长方形OA'BC、直线A'C,则直线AC和直线A'C即 为所求的直线。设A(m,0),C(0,n),由勾股定理， 成立。证明：如图，过点C分别 M 得AB=AA'2+A'B,BC=BC2+CC2,即m2=(6-m)P+42, 作AM,AN的垂线，垂足分别 a46,解得m号是4号0，c0,是》 为E,F。AC平分∠MAN, n .CE=CF。.·∠ABC+∠ADC=180°， A FB N 易得直线AC的函数表达式为y=-号+号，则点 ∠ADC+∠CDE=180°，.∠CDE= 第9题答图 ∠ABC。.'∠CED=∠CFB=90°. A'(6,0),C'(0,4),易得直线A'C的函数表达式为 .∴.△CED≌△CFB(AAS)。.ED=FB。.AB+AD=AF+ BF+AE-ED=AF+AE。由(1)AF+AE=AC,AB+AD= AC。(3)V3 10.C11.B12.A 5角平分线（第2课时）】 1.25°2.83.C4.C5.B 6.证明：CD⊥AB,.∠DAE+∠DFA=90°。 ∠CEF-∠CFE,∠DFA=∠CFE,∴∠DAE+∠CEF=90°。 又.·∠ACB=90°，.∠CAE+∠CEF=90°。∴.∠CAE= 第6题答图 第8题答图 ∠DAE。AE是∠CAD的平分线。又GE⊥AB, 7.B8.如图，△ABC即为所求。 ∠ACB=90°，·.CE=EG。 5角平分线（第1课时） 7.解：O为△ABC的三条角平分线的交点， 1.32.123.B4.D OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,∴.OD=OE=OF。 5.证明：AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB,DF⊥ ∠ACB=90°，BG-=8cm,AC-6cm,Sa=2BCAC= AC,DE=DF。又AD=AD,.Rt△ADE≌Rt△ADF。 AE=AF。AD垂直平分EF。 ×8x6=24(cm)。由勾股定理，得AB=VBC+HC 6.证明：BE,CE分别为△ABC的外角∠CBM, 10cm设0D=OE-OF=xCm,":S△i-S△Bx+S△0A+S△A=三角形的证明及其应用 第一章 线段的垂直平分线（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC=6cm,AB 的垂直平分线交BC于点M,交AB于点E,AC的垂直平分线交BC于 点N,交AC于点F,求MN的长。 夕 【分析】首先连接AM,AN,由ME是AB的垂直平分线，NF是 例题图 AC的垂直平分线，可得AM=BM,AN=CN。在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，易证得 △AMN是等边三角形，进而可得BM=MN=CN。 【解答】如图，连接AM,AN。 .EM是AB的垂直平分线，NF是AC的垂直平分线， AM=BM,AN=CN。∴.∠BAM=∠B,∠CAN=∠C。 .AB=AC,∠BAC=120°，∴.∠B=∠C=30°。 例题答图 ∴.∠AMN=∠ANM=60°。∴.△AMN是等边三角形。.∴AM=MW=AN。.BM=MN=CN。 .BC=6cm,.MW=2cm。 【点拨】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰三角形 的性质。解这类垂直平分线问题时，基本解题策略是利用垂直平分线的性质构造等腰三角 形，转化为等腰三角形来解决问题。连接AM和AN构造等腰三角形ABM和等腰三角形 CAN是解决本题的关键。 基础巩固（达标闯关 1.如图，在△ABC中，AB=10cm,BC的垂直平分线DE交AB于点D,若AD=DB,则 CD= 2.如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E,△ABD的周长为 12cm,AC=5cm,则△ABC的周长为 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交BC于点D,垂足为点E,∠CAD= 2∠B,则∠B= 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 4.如图，已知边长为2的等边三角形ABC中，分别以点A,C为圆心，m为半径作弧， 两弧交于点D,连接BD。若BD的长为2V3,则m的值为 口数学 八年级下册（北师大版） 5.如图，已知点O是△ABC的两边AB和AC的垂直平分线OD,OE的 交点，且∠A=50°，则∠B0C的度数为（) A.100° B.110° C.120° D.125° 第5题图 6.在△ABC中，AB=AC,边AB的垂直平分线交AC于点D,△ABC和△DBC的周长分 别为60cm和38cm,则△ABC的腰和底边长分别为() A.24cm和12cm B.16cm和22cm C.20cm和16cm D.22cm和16cm 7.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，FE垂直平分AD,交AD于点E,交BC 的延长线于点F,连接AF。求证：∠B=∠CAF。 第7题图 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，BD=BC,过点D作AB的垂 线，交AC于点E,CD交BE于点F。求证：BE垂直平分CD。 第8题图 能力提升睡综合拓展 9.如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D,AC边的垂直平分线2交 BC于点E,I1与2相交于点P,连接AD,AE,PB,PC。 (1)求证：点P在线段BC的垂直平分线上。 (2)若∠BAC=100°，求∠DAE的度数。 第9题图 28 三角形的证明及其应用 第一章 10.如图，在△ABC中，∠C=90°，点P在AC上运动，点D在AB上，PD始终保持与 PA相等，BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DE。 (1)猜想并证明DE与DP的位置关系。 (2)若AC=6,BC=8,PA=2,求线段DE的长。 第10题图 11.在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交BC所在直线于点M。 (1)如图，当∠A=50°时，求∠DMB的度数。 (2)当∠A=80°，其他条件不变时，画出图形，再求∠DMB的度数。 (3)如果设∠A=a(0°<a<90°)，说说你发现的规律并证明你的结论。 (4)当∠A=a(90°<<180°)时，你发现的规律是否还成立？如果成立，请你用文字概 括这一规律；如果不成立，请说明理由。 B 第11题图 中考链接©真题演练 -多 12.(2024·镇江)如图，△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD。若AC= 8,CD=5,则BD= 第12题图 第13题图 13.(2025·连云港)如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点 D,E,AC的垂直平分线分别交AC,BC于点F,G,则△AEG的周长为() A.5 B.6 C.7 D.8 29