1.1 三角形内角和定理(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

三角形的证明及其应用 第一章 三角形内角和定理（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一 个内角和为2340°的新多边形，求原多边形的边数。 【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形 例题图 比原多边形多1条边可得答案。 【解答】设新多边形是n边形，由多边形内角和定理得(n-2)·180°=2340°。解得n=15。 原多边形是15-1=14。 【点拨】本题考查了多边形内角和定理，应用多边形的内角和定理列出方程是解题关键。 基础巩固达标闯关 1.若一个正多边形的一个内角是135°，则这个正多边形的边数为 2.一个正方多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发的对角线共 有 条。 3.若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为 4.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM,展开后，再 将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为B',折痕为AF,则∠AFB'的大小 为 B: C 第4题图 第5题图 第6题图 5.石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前 景。它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则∠ABC的度数为() A.60° B.108° C.120° D.135 6.有公共顶点A,B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC并延长交正 六边形于点D,则∠ADE的度数为() A.144° B.84° C.749 D.54° 7.在五边形ABCDE中，AB∥DE,∠E=124°，∠C=80°，F为边AB 上一点，FG⊥AE,且∠D=∠BFG,求∠B的度数。 第7题图 数学 八年级下册（北师大版） 能力提升螂综合拓展 8.(1)如图，在四边形ABCD中，∠A=150°，∠D=80°。 ①如图1，若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数。 ②如图2，若∠ABC和∠DCB的平分线交于点P,试求出∠BPC的度数。 (2)如图3，P为五边形ABCDE内一点，DP,CP分别平分∠EDC,∠BCD,猜想∠P 与∠A+∠B+∠E的数量关系，并说明理由。 图1 图2 第8题图 9.一个凸多边形，除了一个内角外其余的内角和为1350°，则这个内角的度数是多少？ 请说明理由。 中考链接©真题演练 10.(2025·扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数为 11.(2025·长春)图1是一个正十二面体，它的每个面都是正五边形，图2是其表面展 开图，则∠a为 度。 图 图2 图1 图2 第11题图 第12题图 第13题图 12.(2025·湖南)如图，图1为传统建筑中的一种窗格，图2为其窗框的示意图，多边 形A BCDEFGH为正八边形，连接AC,BD,AC与BD交于点M,∠AMB= d 13.(2025·眉山)如图，直线1与正五边形ABCDE的边AB,DE分别交于点M,N,则 ∠1+∠2的度数为() A.2160 B.180° C.144° D.120° 8参考答案与提示 参考答案与提示 第一章三角形的证明及其应用 7.(1)解：在△BCE中，∠B=32°，∠E=36°， 1三角形内角和定理（第1课时）】 ∠ECD=∠B+∠E=32°+36°=68°。.CE平分∠ACD, 1.90°2.100°3.80°或40°4.B5.C6.D ∠ACE=∠ECD=68°。在△ACE中，∠BAC=∠ACE+ 7.证明：在△ABD和△CBE中，∠ADB+∠B+ ∠E=68°+36°=104°。(2)∠BAC=∠B+2∠E。证明： ∠A=180°，∠BEC+∠B+∠C=180°，∴.∠ADB=180°- 由(I)知，∠ACE=∠ECD。在△BCE中，：∠ECD= ∠B-∠A,∠BEC=180°-∠B-∠C。又∠A=∠C, ∠B+∠E,∴.∠BAC=∠ACE+∠E=∠ECD+∠E=∠B+ ∠ADB=∠BEC。 ∠E+∠E。∴.∠BAC=∠B+2∠E。 8.证明：AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD。在△ABD 8.解：(I):BE平分LABC,LABP=∠PBC 和△CDB中，∠A=∠C,DB=BD,∠ADB=∠CBD, ∠PBC=∠PCA,∴.LABP∠PCA。:∠BOC是△ABO和 △ABD≌△CDB(AAS)。∴.AD=BC。 △PCO的外角，∴.∠A+∠ABP∠PCA+∠BPC。∴.∠BPC= 9.解：在△ABC中，∠B+∠ACB+∠BAC=180°。 ∠A。:∠A=100°，.∠BPC=100°。 (2):∠ABC= :∠B=35°，∠ACB=115°，.∠BAC=180°-35°-115°= 50,∠PBC=7∠ABC-25。分三种情况：①如图1， 30°。AE是∠BAC的平分线，.∠BAE=∠EAC= 当CP⊥BC时，则∠BCP=90°。 P E 3∠BMC=15。∴ZAEB=180P-∠B-∠BME=180P-350 在△BCP中，∠BPC=180°- 15=130°。AD1BD,.∠ADB=90°。.∠BAD=180°- ∠BCP-∠PBC=65°。②如图 ∠ADB-∠B=180°-90°-35°-55°。.∠EAD=∠BAD+ 2,当CP⊥AC时，则∠ACP= CD ∠BAE=55°-15°=40°。 90°。..∠PCB=∠ACP+∠ACB= 图1 10.(1)证明：AB∥DF,.∠A=∠EDF。在 90°+30=120°。在△BCP中，∠BPC=180°-∠PBC △ABC和△DEF中，∠A=∠EDF,BC=EF,∠B=∠E, ∠PCB=180°-25°-120°=35°。③如图3，当CP1AB时， .△ABC≌△DEF(AAS)。(2)解：AB∥DF, 延长CP交直线AB于点G,则∠BGC=90°。在△BCG ∠BGF=38°，.∠B=∠BGF=38°。在△ABC中，∠A= 中，∠ABC+∠BGC+∠BCG=180°，∠ABC=50°， 82°，∠A+∠B+∠ACB=180°，∴.∠ACB=180°-∠B- ∠BCG=4O°。在△BPC中，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC= ∠A=60°。由(1)知，△ABC≌△DEF,∴.∠F= 180°-40°-25°=115°。综上所述，∠BPC的度数为65° ∠ACB=60°。 或35°或115°。 1L.(1)证明：AB∥DE,.∠B=∠E。在△ABC 和△DEF中，∠B=∠E,∠A=∠D,AC=DF, △ABC≌△DEF(AAS)。(2)解：由(1)可知， △ABC≌△DEF,.BC=EF。BC=BF+CF,EF=EC+CF, BF=EC。BF=4,FC=3,.EC=4。∴BE=BF+FC+EC= C D D 4+3+4=11。 图2 图3 1三角形内角和定理（第2课时） 第8题答图 9.C10.C11.C 1.(1)100°(2)35°(3)110°(4)70°65 2.65°3.80°4.B 1三角形内角和定理（第3课时） 5.解：在△BEF和△ACE中，：∠DFE=∠B+ 1.82.93.800°4.45°5.C6.B ∠BEF,∠BEF=∠C+∠A,.∠DFE=∠B+∠A+∠C= 7.解：六边形BCDEGF的内角和=(6-2)x180°=4× 30°+45°+40°=115°。 180°=720°，即∠E+∠D+∠C+∠B+∠BFG+∠FGE= 6.证明：如图，连接BC, 720°。AB∥DE,∴∠E+∠A=180°。：∠E=124°， 在△ABC中，∠A+∠ABC+ ∠A=180°-∠E=180°-124°=56°。.FG⊥AE,∴.∠EGF= ∠ACB=180°。又.：∠ABC= ∠FGA=90°。.∠BFG=∠A+∠GA=146°。又.∠D= LABF4+∠CBF,∠ACB=LACF4 ∠BFG,.∠D=146°。.∴.∠B=720°-∠EGF-∠E-∠D ∠BCF,∴.∠A+∠ABF+∠CBF+ ∠C-∠BFG=134°。 ∠ACF+∠BCF=180°。又 8.(1)①BE∥AD,.∠ABE+∠A=180°。 ∠BFD是△BCF和△DEF的外 第6题答图 ∠ABE=180°-∠A=180°-150°=30°。：∠ABC的平分线 角，∴.∠CBF+∠BCF=∠D+∠E。∠A+∠ABF+∠ACF+ BE交DC于点E,.∠ABC=60°。∴.∠C=360°-∠A- ∠D+∠E=180°。 ∠ABC-∠D=360°-(150°+80°+60°)=70°。②在四边形 数学 八年级下册（北师大版） ABCD中，∠A=150°，∠D=80°，∴.∠ABC+∠BCD= 2等腰三角形（第1课时）】 360°-∠A-∠D=360°-(150°+80°)=130°。.·∠ABC和 1.240°2.105°3.124.80°5.36°或90° ∠BCD的平分线交于点P∠PBC=∠ABC, 6.C7.B8.C9.D 2 ∠PCB=7∠DCB。LPBC+LPCB=65°。∠BC 10.证明：如图，过点A 作AF⊥BC,垂足为F。 180°-∠PBC-∠PCB=180°-65°=115°。(2)：五边形 AB=AC,AF⊥BC,BF= ABCDE的内角和为180°×(5-2)=540°，.∠EDC+ CF。AD=AE,AF⊥BC, E ∠BCD=540°-(LA+∠B+∠E)。:∠EDC和∠BCD的平 DF=EF。BF-DF=CF-EF, 第10题答图 即BD=CE。 分线交于点P,∴LPDC=号∠EDC,LPCD=号LDCB。 11.解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°。 ∠0G+LPGD=号[540-(LA+LB+∠E]。六∠P ∠ACD=180°-∠ACB=120°。CG=CD,.∠CDG= ∠CGD=1(180°-∠ACD)=30°。DF=DE,.∠DFE= I80r-[540-(∠A+∠B+∠E)]=3(ZA+∠B+∠E)- ∠E=1∠CDG-15°。 90°。 2 9.解：90°。理由：多边形的内角和一定是180 12.解：(1)△ABC是等边三角形，.BC=AC, 的整数倍，且每一个内角都小于180°，又7×180°= ∠ACB=∠BAC=60°。又.AD=CE,.·.△BCE≌△CAD 1260°<1350°<1440°=-8×180°，.这个多边形的内角和 (SAS)。∴.∠CBE=∠ACD。:∠BCD+∠ACD=60°， 的度数为1440°。.这个内角的度数为1440°-1350° ∠BCD+∠CBE=6O°。又LCPE=∠BCD+∠CBE, =90°。 ∠CPE=60°。(2)△ABC是等边三角形，∴.BC= 10.911.3612.45°13.C AC,∠ACB=∠BAC=60°。：∠BCE=180°-∠ACB, 1三角形内角和定理（第4课时）】 ∠CAD=180°-∠BAC,∴.∠BCE=∠CAD=120°。又 1.902.73.100°4.48°5.C6.B AD=CE,∴.△BCE≌△CAD(SAS)。.∠BEC= 7.解：正五边形的内角和=(5-2)×180°=540°， ∠ADC。:∠ECP=∠ACD,∴.∠BEC+∠CPE=∠ADC+ ∠C0F-号×540°=108°。“正六边形的内角和=(6-2)× ∠CAD。∴.∠CPE=∠CAD=120°。 13.解：(1)35°(2)当∠A为顶角时，∠C= 180°=720°，∠B0P=1x720°=120°。：多边形的外角 6 ∠B=2(10-80)=50。当∠A为底角时，若∠B为 和都是360°，“正五边形的一个外角为∠0GB=宁× 顶角，则∠B=180°-2a=180°-2×80°=20°；若∠B为底 角，则∠B=∠A=80°。综上所述，∠B=50°或20°或 360°=72°，正六边形的一个外角为L0BC=1x360°= 80°。(3)分两种情况：①当90°≤a<180°时，∠A 6 60°。在△B0C中，∠B0C+∠OCB+∠OBC=180°，. 只能为顶角，LB的度数为(180°-a)。②当0°<a< ∠B0C=180°-∠0BC-∠0CB=180°-60°-72°=120°-72°= 48°。∠POF+∠BOP+∠B0C+∠COF=360°，∴.∠POF= 90时，若∠A为顶角，则∠C=∠B=号(180°-a)；若 360°-∠B0P-∠C0F-∠B0C=360°-120°-108°-48°=84°。 ∠A为底角，则∠B=a或∠B=180°-2a。:∠B有三个 8.解：·.·∠DAE=∠E+∠F,∠EBG=∠H+∠G, ∠GCM=∠M+∠N,∠CDP-∠P+∠Q,∠DAE+∠EBG+ 不同的度数，(180-a)≠a≠180°-2a,即a≠60。 ∠GCM+∠CDP=360°，∴.∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+ 综上所述，当∠B有三个不同的度数时，α：的取值范 ∠N+∠P+∠Q=360°。 围是0°<a<90°且a≠60°。 9.解：(1)设这个凸多边形的边数为n,根据题 14.(1)证明：如图，延 意，得(m-2x180P=-2022。解得n=l3易。m应为整 长AC到点M,使CM=BE。: △ABC是等边三角形，AB= 数，∴.多边形的内角和不可能为2022°。(2)设小 AC=BC=5,∠ABC=∠ACB= 李求的是n边形的内角和，这个外角为x°，则0<x< 60°。.BD=CD.∠BDC=120° 180.根据题意，得(n-2)×180=2022-x。.∵x=2022- .'.∠DBC=∠BCD=30°。.∴.∠DBE (n-2)×180=2382-180n。.0<x<180,.0<2382-180m< ∠DCA=60°+30°=90°。∴.∠DBE= D 180.120n<13易。m为正整数，n=13。小李 ∠DCM-90°。又.BE-CM,BD 第14题答图 CD,..△DCM≌△DBE(SAS)。 求的是十三边形。 DE=DM,∠CDM=∠BDE。.'∠BDC=120°，∠EDF= 10.A11.B 60°，.∠BDE+∠CDF=60°。..∠CDM+∠CDF=∠MDF= 6O°。∴.∠MDF=-∠EDF。又：DF=DF,∴.△MDF≌△EDF