综合与实践2-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

综合与实践 综合与实践二 1.【背景材料】 请根据以下素材，回答问题。 潜望镜里的数学 图1展示了光的反射定律，已知EF是平面镜AB的垂线，一束光线m E 照射到平面镜AB上，被AB反射后的光线为n,入射光线m、反射光线 素材 0i0 n与垂线EF所夹的锐角分别为0,02，且0=02。猜想∠1与∠2的数量 F 关系，并说明理由 图1 问题解决 了解光的反射定律后，数学兴趣小组的同学想利用这个定律 结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作 原理示意图，如图2所示，AB,CD是平行放置的两面平面 任务1 镜，入射光线EF经过两次反射后，得到反射光线GH。已 知∠1=∠2，∠3=∠4。请问进入潜望镜的光线EF和离开潜 D 合作 图2 望镜的光线GH是否平行。请说明理由 探究 把两个平面镜AB,BC按图3所示位置放置，∠ABC=Q,入 射光线FE经过两次反射后，得到反射光线GH,已知∠2= 任务2 ∠1，∠4=∠3，反射光线GH与入射光线FE平行但方向相 反，求a的度数 图3 如图4，OM,ON,NP是三面平面镜，将一束光线AB照射到平面镜 B 拓展OM上，通过平面镜的反射，最后从平面镜NP上的点C处射出，此时 应用入射光线AB与反射光线CD平行。若∠ABM=Q,∠DCP=B,试用含a, C P B的式子表示出∠BON+∠ONC的度数 图4 第1题图 @ 口数学 七年级下册（北师大版） 2.如图1，两条互相垂直的直线m,n相交于点O,点B,D分别在直线m,n上（点B 在点O下方，点D在点O左侧)，A,C是过点D的直线上的两点，连接OA,OC,BD, ∠CBO=∠COB,且OD平分∠AOC. (1)请判断AO与CB的位置关系，并说明理由。 (2)如图2，沿OA,AC,BC放置三面平面镜，从点O发出的一条光线沿射线OD方向 射出，经AC,CB,OA反射后，恰好由点O沿射线OB方向射出，若AC⊥BD,求∠ODB的 度数（反射定律仍然适用）。 (3)在(2)的条件下，沿垂直于DB的方向放置一面平面镜1，从射线OA上任意一点 P发出的光线经B点反射，反射光线与射线OC交于点Q,BP分别交OQ,OD于点M,N。 下面给出两个结论：①∠OMB的度数不变；②∠OPB+∠OQB的度数不变。如果不成立，请 说明理由；如果成立，请你求出相应的度数。 0 图1 图2 图3 第2题图 @之前注意力指数都不低于40，因为40-7=33>30，所以 这课堂学习安排是合理的。8.B9.A 4用图象表示变量之间的关系（第2课时） 1.汽车以80km/h的速度匀速行驶2.(1)3 (2)5(3)33.A4.B5.A6.D7.解：由已 知和图象可得，图③表示小刚离家的距离与时间的关 系，图①表示爷爷离家的距离与时间的关系，图②表 示爸爸离家的距离与时间的关系。其中小刚走完一个 往返用21min,小刚的爷爷用了26min,小刚的爸爸 用了24min。8.解：答案不唯一，如：①①甲、乙两 名同学都骑行了18km;②甲同学中途停留了0.5h; ③乙比甲晚出发了0.5h；④乙同学骑自行车的速度为 12km/h;⑤甲比乙晚0.5h到达目的地。9.解：小 明从家中出发3min骑了1km,接着用5min骑了 1km,发现时间不够，于是加快了速度，用4min骑 了2km到达学校。10.解：(1)反映了速度与时 间之间的关系。 (2)OA段，随着时间增加速度也 增大；AB段，随着时间增加速度不变；BC段，随着 时间增加速度也增大；CD段，随着时间增加速度减 小。 (3)某人开车从家里出发，加速行驶3mim 后，开始以40k/h的速度匀速行驶，看见前面有车 开始加速超车，3min之后速度达到60kmh,开始减 速，行驶6min后停车。 11.解：(1)A点表示汽 车行驶6min时的速度为90km/h,B点表示大约19 min时，汽车停止运动。 (2)0到3min加速行驶。 3min到12min以90km/h的速度匀速行驶，12min 到15min减速行驶，15min到18min以30kmh的 速度匀速行驶，18min到19min减速至停止行驶。 (3)画图略。12.甲13.C14.C15.C16.A 17.D18.C19.A20.C 综合与实践一 1.解：(1)1+2+3+4+5+6+7+8+9=10x9=45。 (2)(1+2+3+45+6+7+8+9)=(109)2=45-=2025。 (3)13+23+33+43+53+63+73+8+9=1+8+27+64+125+216+ 343+512+729=2025。 (4)1到9连续自然数的和的 平方与1到9连续自然数的立方的和都等于2025，也 等于45的平方。2.解：(1)根据题意可知，4×2= 8,7×2=14>9,0×2=0,∴完成第1次操作后的数为 850。.8×2=16>9,5×2=10>9,0x2=0,..完成第2次 操作后的数为710。.7x2=14>9,1x2=2,0x2=0,.完 成第3次操作后的数为520。.5×2=10>9.2x2=4,0× 2=0,·.完成第4次操作后的数为140。.1×2=2,4×2= 8,0×2=0,.完成第5次操作后的数为280.2×2= 4,8×2=16>9,0×2=0,·.完成第6次操作后的数为 470。由上述推导过程发现，第6次操作后得到的三位 数为470，因此从第7次操作开始又重复上述的过程 即每6次操作为一个循环。 (2)根据前6次的操作 规律可知，每6次操作为一个循环，2026-6=337 4,∴.完成第2026次操作后，得到的三位数是140 3.解：(1)任意写两个满足题设条件的三位数 如：567.789.得到新的三位数为765.987.将它们 分别作差，得765-567=198,987-789=198。 (2) 规律：任意满足题设条件的三位数，将数字反序组成 一个较大的三位数，按题设要求作差后都等于198。 设相连的三个数字为n,n+1,n+2(其中1≤n≤7)， 则这三位数为100n+10(n+1)+(n+2),反序排成一个新 的三位数为100(n+2)+10(n+1)+n,则100(n+2)+10(n+ 1)+n-[100n+10(n+1)+(n+2)]=100(n+2)-100n-2=200- 2=198.4.解：(1)1+2=3,123不是“三角形 数”；·.2+9>8,8+9>2,2+8>9，.298是“三角形数”。 1 参考答案与提示 (2)设“三角形数”M的百位上的数字为a,十位 上的数字为b,个位上的数字为c,则M=abc(代数中 任意三位数的表示方式)，且c=b+3。根据题意， F(M)=ab +ac +bc =10a+b+10a+c+10b+c=20a+11b+2c, G(M)=a+b+c,.∴.20F(M)+22G(M)=20(20a+11b+2c)+ 22(a+b+c)=400a+220b+40c+22a+22b+22c=422a+242b+ 62c=47×9a+27x9b+7×9c-(a+b+c)。·.20F(M)+22G(M) 能被9整除，..a+b+c能被9整除。.c=b+3,∴.a+b+c= a+2b+3。.1≤a≤9,1≤b≤6,1≤c≤9，且a,b,c 为整数，故a+b+c≤24。a+b+c能被9整除，.a+b+ c=a+2b+3=9或18。当a+2b+3=9时，a=2,b=2,c=5 或a=4,b=1,c=4;当a+2b+3=18时，a=3,b=6,c=9 或a=5,b=5,c=8或a=7,b=4,c=7或a=9,b=3,c= 6。.M的值为225,414,369,558,747,936。其中 225,369,936不是“三角形数”，∴.满足条件的M的值为 414,558,747。*5.解：(1)12349876 (2)》 ①6②11(3)Fs)=32+2x0+++13+(+1)32 222 300+20+x+200+10x+(+1)+100x+10(+1)+3+100(+1)+30+2 222 666+111x+111y_6+x+y 222 2 F(t)=ml1(n+2)+1(n+2)6+n+2)6m+6ml_ 222 100m+10+(n+2)+100+10(n+2)+6+100(n+2)+60+m+600+10m+1= 222 999+111m+111n_9+m+n k=Fs-6++ 。‘s,t 222 F(t)9+m+n 都是“平衡数”，.3+y+1=2+x,6+m=1+n+2。.x=y+2 n=m+3。又x,y,m,n都是整数，且1≤x≤9,0≤ y≤8,1≤m≤9,0≤n≤7,1≤x≤9,0≤y≤ 7,1≤m≤4,0≤n≤7，k==6+4y=8+2 F(t)9+m+n12+2m 4。:F(s)+F0)=6+y+y+9+m+n=6++y,9+m+n= 6+m 2 2 2 0+y+m,且10++m≥12是一个完全平方数，k= 取最小值，m取最大值，y取最小值，即m=4,y= 2时，Fs)+F(t)=16,k取最小3 0 综合与实践二 1.解：素材：∠1=∠2。：∠EFA=∠EFB=90°，∴ ∠EFA=0+∠1，∠EFB=0+L2,且0=02，∴.∠1=∠2。 任务1：进人潜望镜的光线EF和离开潜望镜的光线 GH平行。理由：AB∥CD,∴.∠2=∠3。∠1=∠2， ∠3=∠4，∴.∠1=∠2=∠3=∠4。∴.180°-∠1-∠2=180°- ∠3-∠4，即∠EFG=∠FGH。∴.EF∥GH。任务2： ·.EF∥GH,.∴.∠FEG+∠EGH=180°。 M ·.∠1+∠2+∠FEG+∠3+∠4+∠EGH= A B 360°，∴.∠1+∠2+∠3+∠4=180°。： ∠1=∠2，∠3=∠4，∴.∠2+∠3=90°。 06 .·∠ABC+∠2+∠3=180°，.∠ABC= 180°-（∠2+∠3）=90°，即=90°。拓 N C P 展应用：如图，过点O作OE∥AB, 过点N作NF∥AB。:入射光线AB 第1题答图 与反射光线CD平行，：AB∥ m OE∥NF∥CD。.∴.∠MOE= D/G ∠MBA=Q,∠FNP=∠DCP=B, ∠EON+∠ONF=180°。. ∠BON+∠ONC=∠MOE+ ∠EON+∠ONF+∠FNP=Q+B+ 180°。2.解：(1)A0∥CB。 第2题答图 数学 七年级下册（北师大版） 理由：.OD平分AOC,..∠AOD=∠COD。.∠COD+ 以∠A+∠ACP+∠PCE+∠E=360°。所以∠A+∠ACE+ ∠BOC=90°，∠BOC=∠OBC,..∠OBC+∠AOD=90° ∠E=360°。18.解：不能。添加的条件不唯一，只要 ∴.∠C0D+∠B0C+∠0BC+∠A0D=90°+90°=180°。 合理即可。可以添加的条件有AD∥EF或∠2=∠DAC。 AO∥CB。(2)如图，作GE⊥CB于点E,FO⊥ 说明AC∥DG的理由：因为AD∥EF,所以∠2= CB于点F。.GE∥OF。∴∠GEO=∠FOE。AO∥CB ∠CAD。因为∠1=∠2，所以∠CAD=∠1。所以AC∥ ∴FOLAO。DE是平面镜CB的人射光线，EO是平面 DG。 19.解：BF∥DE。理由：因为∠3=∠4，所以 镜CB的反射光线，.∠DEG=∠GEO。.EO是平面镜 BD∥CF。所以∠5=∠BAF。又因为∠5=∠6，所以 OA的入射光线，OB是平面镜OA的反射光线， ∠BAF=∠6。所以AB∥CD。所以∠2=∠EHA。又因为 ∠EOF=∠BOF。..∠DEO=∠EOB。.'DE∥OB。.∴.∠EDB= ∠1=∠2，所以∠1=∠EHA。所以FB∥ED。20.解： ∠DBO。.OD是平面镜AC的入射光线，DE是平面镜 (I)如图1，过点P作PQ∥AE,所以∠E+∠EPQ= AC的反射光线，AC⊥BD,.∠EDB=∠BDO。 180°。因为AE∥CF,所以PQ∥CF。所以∠F+∠FPQ= ∠BD0=∠DB0。∴.∠BD0=45°。(3)①点P是射 180°。所以∠F+∠FPQ=∠E+∠EPO。因为∠EPO= 线OA上任意一点，∴随着点P位置的变化，∠OMB ∠FPQ+∠EPF,所以∠F+∠FPQ=∠FPQ+∠EPF+∠E 的度数也随之发生变化。②LOPB+∠OQB的度数不 所以∠F=∠EPF+LE。(2)如图2，过点G作LS∥ 变，∠OPB+∠0QB=90°。理由：设BD与OQ相交于 EB,所以∠E=∠LGE。所以∠LGF=∠EGF-∠LGE。因 点H,∠AOD=∠DOQ=x,∠PBD=∠QBD=y。在△PNO 为∠F=∠EGF-∠E,所以∠LGF=∠F。所以LG∥FC 和△DNB中，∠OPB+x=45°+y,在△QHB和△DH0 所以EB∥FC。(3)由(1)知∠A+∠B=∠ANF 中，∠0QB+y=45°+x,两式相加得∠OPB+∠0QB=90°。 ∠C+∠D=∠EMD。因为EB∥FC,所以∠ANF+ 第一章自我检测 ∠EMD=180°。所以∠A+∠B+∠C+∠D=180°。 1.D2.B3.C4.B5.D6.C7.78.3 9.210.2d11.112.(2n-1)13.505014. (1)144a%10(2)1(3)-9x246x-1(4)12x-40 15.解：原式=y-x=016.717.m=2,n=118.解： 由已知得m2-n2=(n+2)-(m+2)=-(m-n)。由平方差公 式，得(m+n)(m-n)=m2-n2,则(m+n)(m-n)=-(m- n)。因为m-n≠0，所以m+n=-1。所以原式=m(n+2)- 2mn+n(m+2)=2(m+n)=2×(-1)=-2.19.解：3.1× 图2 102:(14×108)≈2214(m3)。答：我国人均拥有 第20题答图 2214m3的淡水。20.解：（2b+c+2m)(a+2m)= (2ab+4bm+ac+2mc+2ma+4m2)cm221.解：答案不唯 第三章自我检测 一，将L形花坛分割为两个长方形，其中一个长方形 的长h,另一个长方形的宽为m。可以测出长度为h 1.C2.A3.D4.A5.C6.D7. 88 的长方形的宽n,此时面积S=hn+(a-n)m=hn+m-mn; 也可测出宽度为m的长方形的长n,则面积S=h(a-n) 48号名9g10.6122 +mn=ah-nh+mn。22.解：(1)设原价为x,则“跳 13.(I)P(盒子里装的是玉米)=3 10o (2)P(盒子里 楼价”为2.5x0.7x0.7×0.7,所以“跳楼价”占原价的 百分比为2.5x0.7÷x=85.75%。 (2)原价出售：销 (3)P(盒子里装的是菠菜或土 售金额=100x,新价出售：销售金额=2.5x0.7·10+2.5x· 装的是豆角)号。 0.7.40+2.5x0.7×50=109.375x。因为109.375x>100x, 豆)=3 14.解：(1)P(小皮球停留在黑色方砖 所以按新方案销售盈利更多。23.(1)m-n。 (2) 0 (m-n)2或(m+n)2-4mn。 (3)(m+n)2=(m-n)2+4mn 上)号，代小皮球停留在自色方砖上))。 (2)小 或(m-n)2=(m+n)P-4mn。 (4)29。 第二章自我检测 皮球停留在白色方砖上的概率大。答案不唯一，将一 1.C2.B3.A4.C5.D6.D7.140°8. 块白色地砖改为黑色即可。15.解：不公平。理由： 20°9.答案不唯一，如∠ADB=∠DBC,∠FAD= 因为P(朝上的数字是偶数)名片，P(朝上的数字 ∠FBC,∠BAD+∠FBC=18O°。10.∠CMG,∠AMG ∠BMW,∠DMN∠AMW,∠CMN11.40°12. 是奇数)=子，}<子，所以不公平。修改的规则：若 3,33 50°13.如图所示。 14. 朝上的数字大于3，则小丽去；若朝上的数字不大 解：5(ax-70°)=90°-65°，解 于3，则小慧去。16.解：不同意小明的想法 得a=75°。所以∠α的补 角=180°-75°=105°。 15. 理由：因为P(转盘甲的指针停在白色区域)=子，P(转 解：平行。因为∠1=∠2 所以DE∥FG。又因为 盘乙的指针停在白色区域)=名。所以两个转盘的指针 AC∥FG.所以AC∥DE 停在白色区域的概率不相等，所以选择甲、乙转盘获 16.解：因为AD平分 第13题答图 胜的概率是不同的。17.解：(1)由题意得，转盘被 ∠BAC,所以∠2=∠BAD。又因为∠1=∠2，所以 等分成6个扇形，每个扇形内分别标有1,2,3,4,5， ∠1=∠BAD。所以AD∥EG。所以∠G=∠2。所以 6,其中1,3,5是奇数，共有3个，所以P(指针指 ∠G=∠1.17.解：∠A+∠ACE+∠E=360°。理由： 过C点作射线CP∥AB.所以∠A+∠ACP=180°。又因 向奇数)=2=1 6-20 (2)答案不唯一，如自由转动 为AB∥EF,所以CP∥EF。所以∠PCE+∠E=180°。所 转盘，当它停止转动时，指针所指区域的数字能被3