6.3 用关系式表示变量之间的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

变量之间的关系 第六章 用关系式表示变量之间的关系 自主导学Q典例精析 例题如图，自行车每节链条的长度为2.5cm,交叉重叠部分的圆的直径为0.8cm。 (1)观察图形填写下表： 链条节数/n 2 3 链条总长度ycm (2)写出链条的总长度y(cm)与节数n之间的关系式。 (3)如果一辆自行车的链条由50节链条环形链接而成，那么这辆自行车的链条链接后 的总长度为多少？ ⊙⊙⊙@⊙回⊙⊙⊙ 1节链条 2节链条 3节链条 n节链条 例题图 【分析】(1)链条长度的变化规律：链条的总长度等于链条节数乘以1节链条长度 (2.5)减去交叉重叠部分，根据这一规律分别计算2,3,4节链条的长度即可。 (2)根据(1)中链条节数与链条总长度的对应关系和变化规律，可以写出y与x之间 的数量关系。 (3)根据(2)关系式计算时，特别注意自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要 缩短0.8。 【解答】(1)根据图形可得出：2节链条的长度为2.5×2-0.8=4.2(cm);3节链条的长度 为2.5×3-0.8×2=5.9(cm);4节链条的长度为2.5×4-0.8×3=7.6(cm)。 (2)由(1)可得n节链条总长度y=2.5n-0.8(n-1)=1.7n+0.8。 (3)因为自行车上的链条为环形，在展直的基础上还要缩短0.8，故这辆自行车链条的 总长度为1.7×50+0.8-0.8=85(cm)。 【点拨】此题主要考查用关系式表示变量之间的关系，根据题意得出链条的总长度y与 链条节数n之间的关系是解决问题的关键。 基础巩固U达标闯关 1.如图，一个四棱柱的底面是一个边长为10cm的正方形，它的高变化时，棱柱的体积 也随着变化。 (1)在这个变化中，自变量、因变量分别是 数学 七年级下册（北师大版） (2)当高为h(cm)时，体积为V(cm),则V与h的关系为 (3)当高为5cm时，棱柱的体积是 (4)棱柱的高由1cm变化到10cm时，它的体积由 cm3变化到 cm3。 6 第1题图 第2题图 2.如图，一个梯形的下底长为6cm,高为2cm。 (1)这个梯形面积S(cm)与上底a(cm)之间的关系式为 (2)当a=4cm时，S等于 3.将一根长为10cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y(cm)与宽 x(cm)之间的数量关系为() A.y=-x+5 B.y=x+5 C.y=-x+10 D.y=x+10 4.我们要节约用水，平时要养成关好水龙头的好习惯。若水龙头滴出的每滴水约 0.05mL,每分钟滴60滴。如果设水龙头滴水xmin,浪费的水为ymL,则y与x之间的数 量关系为（) A.y=60x B.y=3x C.y=0.05x D.y=0.05x+60 5.如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北 回文 宋进士黄伯思设计。全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌 两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等。七张桌面分开可组合成 不同的图形。如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合 方式，若设每张桌面的宽为x尺，长桌的长为y尺，则y与x的关系 图1 图2 第5题图 可以表示为() A.y=3x B.y=4x C.y=3x+1 D.y=4x+1 6.科学家通过实验探究出一定质量的某种气体在体积不变的情况下， 压强p(kPa)随温度t(℃)变化的情况如图所示。 (1)请根据图中所给p与t的关系式填写下列表格： t/℃ 2 5 10 15 p/kPa 第6题图 (2)t的值分别为25和50时，计算相应p的值。 变量之间的关系 第六章 (3)随着温度t的升高，压强p(kPa)怎样变化？ 能力提升睡综合拓展 7.某种汽车的油箱的容积为60L,在油箱中的汽油加满的情况下，行驶4h后，发现已 耗油20L。 (1)求油箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系式。 (2)用表格表示t从6h到10h(每次增加1h)的过程中，油箱中的余油量Q的相应值。 (3)当t每增加1h,油箱中的余油量Q的变化规律是怎样的？ (4)当t=12h,Q等于多少？此时它表示的是什么？ 8.一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动，它的速度每秒增加2ms。 (1)列出小球速度v(ms)与时间t(s)之间的关系式。 (2)求1s和6s时，小球相应的速度。 9.如图，在一个半径为18cm的圆面上，从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的半径由 小变大时，剩下的一个圆环面积也随之发生变化。 (1)如果设挖去的小圆半径为x(cm),求圆环的面积y(cm)与x之间的关系式。 125 数学 七年级下册（北师大版） (2)当挖去小圆的半径由1cm变化到9cm时，y由 cm?变化到 cm2。 18 第9题图 10.如图，平行四边形ABCD底边BC上的高为6cm,当边DC向右平移时，平行四边 形ABCD的面积发生了变化。 (1)这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ (2)设底边长为x(cm),请写出平行四边形ABCD的面积y(cm)与x(cm)之间的关 系式。 (3)当底边从12cm增加到20cm时，面积增加了多少？ 第10题图 中考链接©真题演练 11.(2025·福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的。胡克定 律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即F=kx, 其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg,其中g为常数。一把弹簧 秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6c。在其弹性限度内，当所挂物体的质量为0.5kg时， 弹簧长度为6.5cm,那么，当弹簧长度为6.8cm时，所挂物体的质量为 kg。 12.（2025·苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度 下声音传播的速度v(ms)与温度t(℃)部分对应数值如表： 温度/℃ -10 0 10 30 声音传播的速度vl(ms) 324 330 336 348 研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数，且a≠0)，当温度t为15℃时，声音传 播的速度v为() A.333m/s B.339m/s C.341m/s D.342m/s 26数学 七年级下册 (北师大版) 点O的直线1将四边形ABCD面积平均分成两份。理 由：因为AD∥BC,所以∠EDM=∠C,∠DEM= ∠CFM。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △DEM和△CFM中，∠EDM=∠C,∠DEM=∠CFM DM=CM,所以△DEM≌△CFM(AAS)。所以S△ew= S△CM。所以S四边形AD=S五边形ABAD+S△CA=S五边形AMD+S△DEr S平行四边形E。当直线1与AF(或BE)重合时，将平行 四边形ABFE分成两个全等的三角形，由特殊化思想， 易得过点O的直线1一定将平行四边形ABFE的面积 平均分成两份，所以图中阴影部分面积就是四边形 ABCD面积的一半。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 1.解：(1)t是自变量，y是因变量。(2)时 间t的值确定时，y的值也随之确定，不会发生变化： 随着时间t的变化，y的值也随之变化。2.解：(1) 正方形个数x是自变量，小棒的根数y是因变量。 (2)y=3x+1。(3)当x=33时，y=3×33+1=100;当 x=1000时，y=3×1000+1=3001;当x=3333时，y= 3×3333+1=10000.3.解：填表略。(1)边长x是 自变量，面积S是因变量。 (2)S=x2。 (3)当 x=12时，S=144;因为100=10000，所以边长x=100 4.解：(1)港口水深和时间分别用字母h和t表 示，时间t是自变量，港口水深h是因变量。 (2) 水深h随着时间t的变化而变化，当时间在0≤t≤10 时，水深h逐渐升高，当10<1≤22时，水深h逐渐下 降；当22<t≤24时，水深h又逐渐升高。 (3)当 t=4,10,17,20时，水深h分别为5m,7m,5m, 3m。 (4)观察图象，当港口水深h=4m时，横向 对应的时间分别约为0时，18.5时，24时。5.解： (1)在半径r由小变大的过程中，圆柱的体积V也由 小变大。 (2)V=4m2,r的取值范围是r>0。(3) 当=5时，V=4mx52=100m(cm3)；当r=10时，V=4m× 102=400m(cm3)。6.B 2用表格表示变量之间的关系 1.(1)婴儿月龄体重(2)86002.(1)行 驶的路程油箱剩余油量(2)5038(3)350 3.解：(1)反映了卖出的苹果质量与销售额之间的关 系，卖出的苹果质量是自变量，销售额是因变量。 (2)当卖出苹果5kg时，销售额为10元。(3)当 卖出苹果50kg时，销售额为100元。4.解：(1) 反映了时间和水位之间的关系，其中时间是自变量， 水位是因变量。 (2)4m。 (3)20时至24时 时段水位上升最快。5.解：(1)销售件数和销售 额是变化的量，销售件数是自变量，销售额是因变量。 (2)y=8.4x。6.解：(1)反映了易拉罐底面半 径和用铝量的关系，易拉罐底面半径x为自变量，用 铝量y为因变量。(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量为5.6cm。 (3)易拉罐的底面半径 为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本 低。 (4)当易拉罐底面半径x在1.6-2.8cm之间变 化时，用铝量y随半径x的增大而减小，当易拉罐底 面半径x在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量y随半径 x的增大而增大。7.(1)B提示：当n=2时，A经 销商的利润为60万元，比n=1时增加60-40=20（万 元)；B经销商的利润为55万元，比n=1时增加55 30=25(万元)；C经销商的利润为40万元，比n=1时 增加40-20=20（万元）；D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。因为25>24>20，所 以应向经销商B分配2台设备。(2)157提示： 1 当给这四家经销商中的一家分配时，由表格知最大利 润为D经销商的134万元。当分配给多家销售时，根 据表格中从A,B,C,D四家经销商销售所获利润变 化趋势分析，当分配给四家时，由(1)知当n从1增 加到2时，从经销商B,D获得利润分别增加25万 元、24万元，所以可各分配2台，最大利润为40+55+ 20+38=153(万元)；当分配给三家时，经销商B分配 2台，经销商D分配3台，最大利润为40+55+62=157 (万元)；当分配给两家时，经销商A分配2台，经销 商B分配4台，最大利润为60+90=150（万元），或经 销商A分配1台，经销商D分配5台，最大利润为 40+110=150(万元)。综上所述，企业可获得的总利润 的最大值为157万元。 3用关系式表示变量之间的关系 1.(1)四棱柱的高度四棱柱的体积(2)V= 100h(3)500cm3(4)10010002.(1)S=a+ 6(2)10cm23.A4.B5.B6.解：(1)填 表：100.4100.8102104106(2)当t的值分 别是25,50时，相应p的值分别是110,120。(3) 随着温度t的升高，压强p(kPa)逐渐增大，且温度 每增加1℃，压强p增加0.4kPa。7.解：(1)油 箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系式 是0=60-5t。 (2) t/h 6 7 8 9 10 O/L 30 25 20 15 ⊙ (3)当t每增加1h,油箱中的余油量Q就减少5L。 (4)当=12时，0=60-5×12=0。此时它表示油箱中 的余油量为0，即油箱中没有油了。8.解：(1)= 2t。 (2)当t=1时，v=2m/s;当t=6时，v=12m/s。 9.解：(1)y=324T-Tx2。 (2)323π243π10. 解：(1)在这个变化过程中，自变量是平行四边形 ABCD的底边长，因变量是平行四边形ABCD的面积。 (2)y=6x。 (3)当底边从12cm增加到20cm 时，面积增加了48cm。11.0.812.B 4 用图象表示变量之间的关系（第1课时） 1.D2.B3.解：(1)7时，40.4℃。 (2) 37.8℃。 (3)14时后体温稳定在正常状态。 4 解：(1)120m,140m。(2)8月水位最高为160 m,1月水位最低为80m。 (3)3月和12月。 (4)答案不唯一，6月水位高度约为130m,7月水位 高度约为145m。5.解：(1)周二的最高气温是18 ℃，最低气温是5℃。 (2)图中点A表示的实际意 义是周五的最高气温是25℃。(3)周一温差是 13-4-9(℃)，周二温差是18-5=13（℃），周三温差是 16-10=6(℃)，周四温差是23-12=11（℃），周五温差 是25-11=14（℃），周六温差是21-8=13（℃），周日 温差是15-7=8（℃）。因为当一天内的温差超过12℃ 时，生猪可能出现生理异常，所以为了预防生猪生理 异常，养殖场需要在周二、周五、周六这三天进行人工 调节温度。6.解：(1)1h,约3.5h。(2)注射 药液后约1.5h血液中药液含量最多，最多是6μg。 (3)7点钟后病人的病情开始得到控制。7.解： (1)学生注意力指数最大值是50，学生保持注意力指 数最大值的时间为20分钟。 (2)观察图象可得， 第5分钟时，学生的注意力指数大约为35，第40分 钟时，学生的注意力指数大约为40，所以第40分钟 时学生的注意力更集中。 (3)观察图象可知，开始 学习大约7分钟以后注意力指数超过40，在40分钟