6.1现实中的变量-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

变量之间的关系 第六章 第分章 变量之间的关系 知识网络 变量、自变量、因变量及其意义 变量及其关系 表格 变量间关系 的表示方法 关系式 变量之间 图象 的关系 从表格中获取信息 利用变量之间 借助表格预测变化趋势 关系解决问题 利用关系式求变量值 从图象中获取信息 现实中的变量 自主导学Q典例精析 es多B 例题 心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：min)》 之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所用时间x ny 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力y 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？ (2)当提出概念所用时间是5min时，学生的接受能力是多少？ (3)根据表格中的数据，你认为提出概念所用时间为几分钟时，学生的接受能力最强？ (4)从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么 范围内，学生的接受能力逐步降低？ 【分析】(1)根据表格数据分析可知，表中反映了学生对概念的接受能力y与提出概念 所用的时间x（单位：min)之间的关系。(2)(3)(4)都可利用表格中数据得出结论。 【解答】(1)表中反映了提出概念所用的时间x和对概念的接受能力y两个变量之间的 关系。 (2)当提出概念所用时间是5min时，学生的接受能力是53.5。 口数学 七年级下册（北师大版） (3)当提出概念所用时间为13min时，学生的接受能力最强，为59.9。 (4)当2≤x≤13时，y值逐渐增大，学生的接受能力逐步增强； 当13≤x≤20时，y值逐渐减小，学生的接受能力逐步降低。 【点拨】此题考查对变量之间关系的理解，分析表格中数据的变化规律是解题关键。变 量之间的变化关系不仅可以用表格方式呈现，也可能通过图象的方式呈现，也可能通过变量 之间数量关系呈现。 基础巩固达标闯关 1.如图是体检时的心电图结果示意图，其中图上的横向t表示测试时间，纵向y表示心 脏部位的生物电流。请根据图象回答下列问题： (1)哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)当时间t的值确定时，y的值是否还发生变化？请你描述一下y与t之间的变化情况。 第1题图 2.如图是七年级上学期第三章整式及其加减第 1课用小棒摆放正方形的问题，在摆放活动中我们 发现这是一个变化的过程。 第2题图 如果用字母x表示摆放的正方形个数，y表示摆放x个正方形所需要的小棒的根数。 (1)在这个变化的过程中，哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请你用含有字母x的代数式表示y。 (3)如果分别摆放33个、1000个、3333个正方形，各需要多少根小棒？ 3.当正方形的边长分别取1,2,3,4,5，…时，正方形的面积S分别是多少？请你填 写下表： 边长x 2 3 5 6 > 8 面积S 118 变量之间的关系 第六章 (1)哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)写出因变量与自变量之间的数量关系。 (3)边长x为12时，面积S的值是多少？如果面积等于10000，边长x是多少？ 4.下图表示某港口某天受潮汐的影响，24h内港口水深变化的情况。 十hlm 8 6 2 024681012141618202224t/时 第4题图 (1)港口水深和时间分别是用什么字母表示的？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)请你描述水深随着时间的变化是如何发生变化的。 (3)当时间分别为4,10,17,20时，港口水深各是多少米？ (4)港口水深为4m时，大约是什么时间？ 5.如图，已知圆柱的高是4cm,底面半径是r(cm),圆柱的体积是V(cm3)。 (1)在半径r由小变大的过程中，圆柱的体积V如何变化？ (2)请用含有r的代数式表示圆柱的体积V,并指出半径r的取值范围。 (3)当r=5,10时，圆柱的体积V分别是多少？（结果保留π） 第5题图 中考链接©真题演练 -=多多色 6.(2025·贵州)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变， 则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度() A.越来越慢 B.越来越快 C.保持不变 D.快慢交替变化 第6题图 119数学 七年级下册 (北师大版) 点O的直线1将四边形ABCD面积平均分成两份。理 由：因为AD∥BC,所以∠EDM=∠C,∠DEM= ∠CFM。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △DEM和△CFM中，∠EDM=∠C,∠DEM=∠CFM DM=CM,所以△DEM≌△CFM(AAS)。所以S△ew= S△CM。所以S四边形AD=S五边形ABAD+S△CA=S五边形AMD+S△DEr S平行四边形E。当直线1与AF(或BE)重合时，将平行 四边形ABFE分成两个全等的三角形，由特殊化思想， 易得过点O的直线1一定将平行四边形ABFE的面积 平均分成两份，所以图中阴影部分面积就是四边形 ABCD面积的一半。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 1.解：(1)t是自变量，y是因变量。(2)时 间t的值确定时，y的值也随之确定，不会发生变化： 随着时间t的变化，y的值也随之变化。2.解：(1) 正方形个数x是自变量，小棒的根数y是因变量。 (2)y=3x+1。(3)当x=33时，y=3×33+1=100;当 x=1000时，y=3×1000+1=3001;当x=3333时，y= 3×3333+1=10000.3.解：填表略。(1)边长x是 自变量，面积S是因变量。 (2)S=x2。 (3)当 x=12时，S=144;因为100=10000，所以边长x=100 4.解：(1)港口水深和时间分别用字母h和t表 示，时间t是自变量，港口水深h是因变量。 (2) 水深h随着时间t的变化而变化，当时间在0≤t≤10 时，水深h逐渐升高，当10<1≤22时，水深h逐渐下 降；当22<t≤24时，水深h又逐渐升高。 (3)当 t=4,10,17,20时，水深h分别为5m,7m,5m, 3m。 (4)观察图象，当港口水深h=4m时，横向 对应的时间分别约为0时，18.5时，24时。5.解： (1)在半径r由小变大的过程中，圆柱的体积V也由 小变大。 (2)V=4m2,r的取值范围是r>0。(3) 当=5时，V=4mx52=100m(cm3)；当r=10时，V=4m× 102=400m(cm3)。6.B 2用表格表示变量之间的关系 1.(1)婴儿月龄体重(2)86002.(1)行 驶的路程油箱剩余油量(2)5038(3)350 3.解：(1)反映了卖出的苹果质量与销售额之间的关 系，卖出的苹果质量是自变量，销售额是因变量。 (2)当卖出苹果5kg时，销售额为10元。(3)当 卖出苹果50kg时，销售额为100元。4.解：(1) 反映了时间和水位之间的关系，其中时间是自变量， 水位是因变量。 (2)4m。 (3)20时至24时 时段水位上升最快。5.解：(1)销售件数和销售 额是变化的量，销售件数是自变量，销售额是因变量。 (2)y=8.4x。6.解：(1)反映了易拉罐底面半 径和用铝量的关系，易拉罐底面半径x为自变量，用 铝量y为因变量。(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量为5.6cm。 (3)易拉罐的底面半径 为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本 低。 (4)当易拉罐底面半径x在1.6-2.8cm之间变 化时，用铝量y随半径x的增大而减小，当易拉罐底 面半径x在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量y随半径 x的增大而增大。7.(1)B提示：当n=2时，A经 销商的利润为60万元，比n=1时增加60-40=20（万 元)；B经销商的利润为55万元，比n=1时增加55 30=25(万元)；C经销商的利润为40万元，比n=1时 增加40-20=20（万元）；D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。因为25>24>20，所 以应向经销商B分配2台设备。(2)157提示： 1 当给这四家经销商中的一家分配时，由表格知最大利 润为D经销商的134万元。当分配给多家销售时，根 据表格中从A,B,C,D四家经销商销售所获利润变 化趋势分析，当分配给四家时，由(1)知当n从1增 加到2时，从经销商B,D获得利润分别增加25万 元、24万元，所以可各分配2台，最大利润为40+55+ 20+38=153(万元)；当分配给三家时，经销商B分配 2台，经销商D分配3台，最大利润为40+55+62=157 (万元)；当分配给两家时，经销商A分配2台，经销 商B分配4台，最大利润为60+90=150（万元），或经 销商A分配1台，经销商D分配5台，最大利润为 40+110=150(万元)。综上所述，企业可获得的总利润 的最大值为157万元。 3用关系式表示变量之间的关系 1.(1)四棱柱的高度四棱柱的体积(2)V= 100h(3)500cm3(4)10010002.(1)S=a+ 6(2)10cm23.A4.B5.B6.解：(1)填 表：100.4100.8102104106(2)当t的值分 别是25,50时，相应p的值分别是110,120。(3) 随着温度t的升高，压强p(kPa)逐渐增大，且温度 每增加1℃，压强p增加0.4kPa。7.解：(1)油 箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系式 是0=60-5t。 (2) t/h 6 7 8 9 10 O/L 30 25 20 15 ⊙ (3)当t每增加1h,油箱中的余油量Q就减少5L。 (4)当=12时，0=60-5×12=0。此时它表示油箱中 的余油量为0，即油箱中没有油了。8.解：(1)= 2t。 (2)当t=1时，v=2m/s;当t=6时，v=12m/s。 9.解：(1)y=324T-Tx2。 (2)323π243π10. 解：(1)在这个变化过程中，自变量是平行四边形 ABCD的底边长，因变量是平行四边形ABCD的面积。 (2)y=6x。 (3)当底边从12cm增加到20cm 时，面积增加了48cm。11.0.812.B 4 用图象表示变量之间的关系（第1课时） 1.D2.B3.解：(1)7时，40.4℃。 (2) 37.8℃。 (3)14时后体温稳定在正常状态。 4 解：(1)120m,140m。(2)8月水位最高为160 m,1月水位最低为80m。 (3)3月和12月。 (4)答案不唯一，6月水位高度约为130m,7月水位 高度约为145m。5.解：(1)周二的最高气温是18 ℃，最低气温是5℃。 (2)图中点A表示的实际意 义是周五的最高气温是25℃。(3)周一温差是 13-4-9(℃)，周二温差是18-5=13（℃），周三温差是 16-10=6(℃)，周四温差是23-12=11（℃），周五温差 是25-11=14（℃），周六温差是21-8=13（℃），周日 温差是15-7=8（℃）。因为当一天内的温差超过12℃ 时，生猪可能出现生理异常，所以为了预防生猪生理 异常，养殖场需要在周二、周五、周六这三天进行人工 调节温度。6.解：(1)1h,约3.5h。(2)注射 药液后约1.5h血液中药液含量最多，最多是6μg。 (3)7点钟后病人的病情开始得到控制。7.解： (1)学生注意力指数最大值是50，学生保持注意力指 数最大值的时间为20分钟。 (2)观察图象可得， 第5分钟时，学生的注意力指数大约为35，第40分 钟时，学生的注意力指数大约为40，所以第40分钟 时学生的注意力更集中。 (3)观察图象可知，开始 学习大约7分钟以后注意力指数超过40，在40分钟