5.问题解决策略：转化-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 问题解决策略：转化 自主导学Q典例精析 例题在△ABC中，AB=10,AC=8,求第三条边BC边上的中线AD的取值范围。 【分析】要想求出中线AD的取值范围，就要转化为已掌握的三角 形三边关系的问题，也就是要将AD,AB,AC三条线段转化在一个三 角形中。我们发现图形中AD是连接AB,AC的桥梁，为此要构造三 D 角形，将边AB(或AC)移到以A为顶点、以AC(或AB),AD(包 例题图 含AD)所在直线为边的三角形中即可求解。 【解答】如图，延长AD到点E,使DE=AD,则AE=2AD。连接CE, 因为AD是△ABC中BC边上的中线，所以BD=CD。 在△ABD和△ECD中，AD=DE,∠ADB=∠CDE,BD=CD, D 所以△ABD≌△ECD(SAS)。所以AB=CE。 在△ACE中，CE-AC<AE<AC+CE,所以AB-AC<AE<AC+AB。 所以10-8<AE<10+8,即2<AE<18。因为AE=2AD, 例题答图 所以1<AD<9。所以AD的取值范围是1<AD<9。 【点拨】将新的、陌生的问题转化为已研究过的、熟悉的问题，这是解决数学问题最常 用的策略之一，通过转化可以实现化繁为简、化难为易。在数与代数问题的解决过程中，可 以将代数式、等式通过恒等变形，转化为包含常见的数学公式的形式或熟悉的式子，也可以 通过设辅助量的形式，将高次多项式（方程）转化低次多项式（方程），从而实现化未知为 已知：在图形与几何问题的解决过程中，可以借助图中的其他已知线段、已知角或通过作辅 助线，转化为熟悉的几何图形，从而实现将不熟悉的图形转化为熟悉的图形。此外，对于有 些较复杂的代数问题或几何问题，我们也可以运用数形结合的思想方法，将代数问题转化为 几何问题来解决，比如我们曾学习过的多项式乘法法则推导过程；也可以将几何问题转化为 代数问题来解决，比如在求等腰三角形各个内角的度数问题中，可以通过设未知数的方法， 将求角的度数问题转化为一元一次方程的问题。 能力提升睡综合拓展 1.已知x2+x-1=0,求代数式x3+2x2+3的值。 图形的轴对称 第五章 2.小红爸爸打算在院子里种上蔬菜，已知院落是东西长为32m、南北宽为20m的长方 形，为了行走方便，要修筑宽为x的三条小路，东西方向两条，南北方向一条，南北方向 道路垂直于东西方向道路（如图），余下的部分要种上西红柿，请你和小红一起计算一下， 小红爸爸用于种菜的面积是多少？ 第2题图 3.如图，五角星的顶角分别是∠A,∠B,∠C,∠D,∠E。求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数是多少。 第3题图 4.如图，由4个边长为1的小正方形组成一个大正方形，求图中四个扇形的面积和。 第4题图 @ 口数学 七年级下册（北师大版） 5.在△ABC中，AB=AC=5,过点A作AP∥BC,点D在直线AP上运动，连接BD, CD,求BD+CD的最小值。 第5题图 6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB≠CD,请画一条直线，将四边形ABCD的 面积平均分成两份，你有几种不同的画法，请说明其中的道理。 小张同学思考过程如下： 对于不规则的四边形ABCD,将其平分是很难的，但可以从特殊的图形联想，如三角形 可以被中线平分，平行四边形可以被经过对角线交点的直线平分。 取AB或DC的中点，过该中点作恰当的辅助线，从而把这个不规则的四边形ABCD分 为两部分，其中一部分是三角形，另一部分是多边形，并将这个三角形部分补到另外的部分 上，这样就将不规则的四边形ABCD转化为三角形和平行四边形。 请你按照小张同学的思路解答问题，并说明理由。 第6题图 金为MN垂直平分线段PC,所以EP-EC。所以△APE的 周长=AP+AE+EP=AP+AE+EC=AP+AC=3+6=9(cm)。 10.311.C12.C 第8题答图 第9题答图 2简单的轴对称图形（第3课时） 1.5cm2.相等3.44.D5.解：因为BD平 分∠ABC,所以∠EBD=∠CBD。因为DE⊥AB,所以 ∠BED=9O°。在△BDE和△BDC中，因为∠EBD三 ∠CBD,BD=BD,∠BED=∠C=90°，所以△BDE≌ △BDC(AAS)。所以DE=DC,BE=BC=8。所以AE= AB-BE=2。所以△AED的周长=AE+ED+AD=AE+CD+ AD=AE+AC=8.6.解：(1)因为OE是∠AOB的平 分线，EC⊥OA,ED⊥OB,所以EC=ED。所以 ∠ECD=∠EDC。(2)因为EC⊥OA,ED⊥OB,所 以∠EDO=∠ECO=90°，DE=CE。又因为∠AOE= ∠BOE,所以△ODE≌△OCE(AAS)。所以OC=OD 又因为∠AOE=∠BOE,OF=OF,所以△COF≌△DOF (SAS)。所以DF-=CF,∠CFO=∠DFO=90°。所以OE⊥ DC。所以直线OE是CD的垂直平分线。 7.作图略 提示：∠APB的平分线与线段PB的垂直平分线的交 点即为交通岗M。理由：由角平分线性质可知点M到 PA,PB的距离相等，由线段垂 直平分线性质可知MP=MB,所 以点M符合题中交通岗距公路 PB与PA的距离相等，并且距P, B两点的距离相等的条件。8. 解：已知：∠AOB。求作： ∠AOC,使∠A0C=1.5∠A0B。作 第8题答图 图如图所示(OC在OA下 方的情况略)。9.解： A (1)如图，点P到点M和 点N的距离相等，且到 ∠AOB两边的距离也相 等。 (2)理由：因为角 平分线上的点到角的两边 0<---- 的距离相等，垂直平分线 上的点到线段两端点的距 第9题答图 离相等，所以点P是∠AOB 的平分线与线段MN的垂直平分线的交点。10.解： 因为AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 ∠BED=∠CFD=90°，DE=DF。又因为∠ABD+∠ACD= 180°，∠DCF+∠ACD=180°，所以∠ABD=∠DCF。所 以△BED≌△CFD(AAS)。所以BD=DC。11.解： (1)AB=2BC。理由：由折叠可知，BD=BC。因为D 是AB的中点，所以BD=AD=号AB。所以BC=了AB, 即AB=2BC。(2)∠ABC=2∠A。理由：由折叠知」 ∠ABE=∠CBE,∠BDE=9O°。所以DE⊥AB。又因为 D是AB的中点，所以BD=AD。所以DE是AB的垂直 平分线。所以AE=BE。所以∠ABE=∠A。所以 ∠ABE=∠CBE=∠A。因为∠ABC=∠ABE+∠CBE,所 以∠ABC=2∠A。12.55°13.1214.C15.A 1 参考答案与提示 16.B ☆问题解决策略：转化 1.解：方法一：因为x2+x-1=0,所以x2=1-x,原 式=x(1-x)+2(1-x)+3=x-x2+2-2x+3=x-(1-x)+2-2x+3= x-1+x+2-2x+3=4。方法二：因为x2+x-1=0,所以x2+x= 1,原式=x3+x2+x2+3=x(x2+x)+x2+3=x+x2+3=1+3=4.2. 解：将长方形的三条小路分别平移到大长方形两边， 则院子里种上蔬菜的部分就转化为一个长方形。因为 院落是东西长为32m、南北宽为20m的长方形，道 路的宽为xm,所以种上蔬菜的长方形的长为(32- x)m,宽为(20-2x)m,所以S种上装来的长方形=(32-x)(20- 2x)=(2x2-84x+640)m2。答：小红爸爸用于种菜的面 积是（2x2-84x+640)m2.3.解：因为∠EFC+ ∠AFG=180°，∠EFC+∠C+∠E=180°，所以∠AFG= ∠C+∠E。因为∠AGF+∠BGD=180°，∠BGD+∠B+ ∠D=180°，所以∠AGF=∠B+∠D。因为在△AFG中， LA+∠AFG+∠AGF=180°，所以∠A+∠C+∠E+∠B+ ∠D=180.4.解：如图，将小 正方形①中的扇形部分转移到小 正方形③中，将小正方形②中的 扇形部分转移到小正方形④中 转化成两个半径为1、圆心角为 90°的扇形的面积，所以4个扇 形的面积和S=号×1×m=2。 第4题答图 5.解：如图，延长BA到点 E E,使AE=AB,连接DE。因 为AB=AC,所以AE=AC ∠ABC=∠ACB。因为AP∥ BC,所以∠DAC=∠ACB, D ∠EAD=∠ABC。所以∠DAC= ∠EAD。又因为AD=AD,所 以△ACD≌△AED(SAS)。 所以ED=CD。在△BED中， 由三角形三边的关系，得 BD+DE>BE,所以BD+CD> 第5题答图 BE。所以当点D与点A重合时BD+CD=BE=2AB=10, 此时BD+CD取最小值10。 6.解：方法一：如图1，过CD中点M,作AN交 BC的延长线于点N,再取BN的中点E,作直线AE, 则直线AE就将四边形ABCD的面积平均分成两份。 理由：因为AD∥BC,所以∠DAM=∠N,∠D= ∠DCN。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △ADM和△NCM中，∠DAM=∠N,∠D=∠DCN, DMCM,所以△ADM≌ △NCM(AAS)。所 以S△HD=SANCMO所以 S四边形ABD=S四边形AN十 S△4=S回边形，ABC3r十S△yCF SABM因为E是△ABN B 的边BN的中点， 所以S△AE-SABv。所 图 以直线AE就将四边 形ABCD的面积平均 分成两份。方法二： 如图2，取CD的中 点M,过点M作 EF∥AB,交BC于点 B F,与AD的延长线 交于点E,连接AF, 图2 BE交于点O,则过 第6题答图 数学 七年级下册 (北师大版) 点O的直线1将四边形ABCD面积平均分成两份。理 由：因为AD∥BC,所以∠EDM=∠C,∠DEM= ∠CFM。因为M是CD的中点，所以DM=CM。在 △DEM和△CFM中，∠EDM=∠C,∠DEM=∠CFM DM=CM,所以△DEM≌△CFM(AAS)。所以S△ew= S△CM。所以S四边形AD=S五边形ABAD+S△CA=S五边形AMD+S△DEr S平行四边形E。当直线1与AF(或BE)重合时，将平行 四边形ABFE分成两个全等的三角形，由特殊化思想， 易得过点O的直线1一定将平行四边形ABFE的面积 平均分成两份，所以图中阴影部分面积就是四边形 ABCD面积的一半。 第六章变量之间的关系 1现实中的变量 1.解：(1)t是自变量，y是因变量。(2)时 间t的值确定时，y的值也随之确定，不会发生变化： 随着时间t的变化，y的值也随之变化。2.解：(1) 正方形个数x是自变量，小棒的根数y是因变量。 (2)y=3x+1。(3)当x=33时，y=3×33+1=100;当 x=1000时，y=3×1000+1=3001;当x=3333时，y= 3×3333+1=10000.3.解：填表略。(1)边长x是 自变量，面积S是因变量。 (2)S=x2。 (3)当 x=12时，S=144;因为100=10000，所以边长x=100 4.解：(1)港口水深和时间分别用字母h和t表 示，时间t是自变量，港口水深h是因变量。 (2) 水深h随着时间t的变化而变化，当时间在0≤t≤10 时，水深h逐渐升高，当10<1≤22时，水深h逐渐下 降；当22<t≤24时，水深h又逐渐升高。 (3)当 t=4,10,17,20时，水深h分别为5m,7m,5m, 3m。 (4)观察图象，当港口水深h=4m时，横向 对应的时间分别约为0时，18.5时，24时。5.解： (1)在半径r由小变大的过程中，圆柱的体积V也由 小变大。 (2)V=4m2,r的取值范围是r>0。(3) 当=5时，V=4mx52=100m(cm3)；当r=10时，V=4m× 102=400m(cm3)。6.B 2用表格表示变量之间的关系 1.(1)婴儿月龄体重(2)86002.(1)行 驶的路程油箱剩余油量(2)5038(3)350 3.解：(1)反映了卖出的苹果质量与销售额之间的关 系，卖出的苹果质量是自变量，销售额是因变量。 (2)当卖出苹果5kg时，销售额为10元。(3)当 卖出苹果50kg时，销售额为100元。4.解：(1) 反映了时间和水位之间的关系，其中时间是自变量， 水位是因变量。 (2)4m。 (3)20时至24时 时段水位上升最快。5.解：(1)销售件数和销售 额是变化的量，销售件数是自变量，销售额是因变量。 (2)y=8.4x。6.解：(1)反映了易拉罐底面半 径和用铝量的关系，易拉罐底面半径x为自变量，用 铝量y为因变量。(2)当易拉罐的底面半径为2.4 cm时，用铝量为5.6cm。 (3)易拉罐的底面半径 为2.8cm时比较合适，因为此时用铝量较少，成本 低。 (4)当易拉罐底面半径x在1.6-2.8cm之间变 化时，用铝量y随半径x的增大而减小，当易拉罐底 面半径x在2.8~4.0cm之间变化时，用铝量y随半径 x的增大而增大。7.(1)B提示：当n=2时，A经 销商的利润为60万元，比n=1时增加60-40=20（万 元)；B经销商的利润为55万元，比n=1时增加55 30=25(万元)；C经销商的利润为40万元，比n=1时 增加40-20=20（万元）；D经销商的利润为38万元， 比n=1时增加38-14=24（万元）。因为25>24>20，所 以应向经销商B分配2台设备。(2)157提示： 1 当给这四家经销商中的一家分配时，由表格知最大利 润为D经销商的134万元。当分配给多家销售时，根 据表格中从A,B,C,D四家经销商销售所获利润变 化趋势分析，当分配给四家时，由(1)知当n从1增 加到2时，从经销商B,D获得利润分别增加25万 元、24万元，所以可各分配2台，最大利润为40+55+ 20+38=153(万元)；当分配给三家时，经销商B分配 2台，经销商D分配3台，最大利润为40+55+62=157 (万元)；当分配给两家时，经销商A分配2台，经销 商B分配4台，最大利润为60+90=150（万元），或经 销商A分配1台，经销商D分配5台，最大利润为 40+110=150(万元)。综上所述，企业可获得的总利润 的最大值为157万元。 3用关系式表示变量之间的关系 1.(1)四棱柱的高度四棱柱的体积(2)V= 100h(3)500cm3(4)10010002.(1)S=a+ 6(2)10cm23.A4.B5.B6.解：(1)填 表：100.4100.8102104106(2)当t的值分 别是25,50时，相应p的值分别是110,120。(3) 随着温度t的升高，压强p(kPa)逐渐增大，且温度 每增加1℃，压强p增加0.4kPa。7.解：(1)油 箱中的余油量Q(L)与行驶时间t(h)之间的关系式 是0=60-5t。 (2) t/h 6 7 8 9 10 O/L 30 25 20 15 ⊙ (3)当t每增加1h,油箱中的余油量Q就减少5L。 (4)当=12时，0=60-5×12=0。此时它表示油箱中 的余油量为0，即油箱中没有油了。8.解：(1)= 2t。 (2)当t=1时，v=2m/s;当t=6时，v=12m/s。 9.解：(1)y=324T-Tx2。 (2)323π243π10. 解：(1)在这个变化过程中，自变量是平行四边形 ABCD的底边长，因变量是平行四边形ABCD的面积。 (2)y=6x。 (3)当底边从12cm增加到20cm 时，面积增加了48cm。11.0.812.B 4 用图象表示变量之间的关系（第1课时） 1.D2.B3.解：(1)7时，40.4℃。 (2) 37.8℃。 (3)14时后体温稳定在正常状态。 4 解：(1)120m,140m。(2)8月水位最高为160 m,1月水位最低为80m。 (3)3月和12月。 (4)答案不唯一，6月水位高度约为130m,7月水位 高度约为145m。5.解：(1)周二的最高气温是18 ℃，最低气温是5℃。 (2)图中点A表示的实际意 义是周五的最高气温是25℃。(3)周一温差是 13-4-9(℃)，周二温差是18-5=13（℃），周三温差是 16-10=6(℃)，周四温差是23-12=11（℃），周五温差 是25-11=14（℃），周六温差是21-8=13（℃），周日 温差是15-7=8（℃）。因为当一天内的温差超过12℃ 时，生猪可能出现生理异常，所以为了预防生猪生理 异常，养殖场需要在周二、周五、周六这三天进行人工 调节温度。6.解：(1)1h,约3.5h。(2)注射 药液后约1.5h血液中药液含量最多，最多是6μg。 (3)7点钟后病人的病情开始得到控制。7.解： (1)学生注意力指数最大值是50，学生保持注意力指 数最大值的时间为20分钟。 (2)观察图象可得， 第5分钟时，学生的注意力指数大约为35，第40分 钟时，学生的注意力指数大约为40，所以第40分钟 时学生的注意力更集中。 (3)观察图象可知，开始 学习大约7分钟以后注意力指数超过40，在40分钟