5.1轴对称及其性质-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册（北师大版） 45°-45°=90°。所以∠BAC=∠DAE。所以∠BAC+ ∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD=∠CAE。又因为 AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE(SAS)。所以 ∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理，得∠ABD+ ∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC=∠BAC=90°=a。 (3)由(1)(2)猜想∠BPC=a。因为∠ABC= ∠ACB=∠ADE=∠AED-90P-号a,∠ABC+∠ACB+ ∠BAC=180°，∠ADE+∠AED+∠DAE=18P,所以∠BAC= 180-290-3aa,∠D1B=180-290r-2a-e。 所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以∠BAD= ∠CAE。因为AB=AC,AD=AE,所以△BAD≌△CAE (SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角形内角和定理， 得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所以∠BPC= ∠BAC=a。 第五章图形的轴对称 1轴对称及其性质 1.两一2.DDE∠E3.204.①②④5. ③④6.C7.C8.D9.C10.①③⑥是轴对称图 形，画对称轴略。11.解：因为△ABC与△AEC关 于直线AC对称，所以AB=AE,∠E=∠B=∠D=90°。 又因为AB=CD,所以AE=CD。又因为∠AFE=∠CFD, 所以△AFE≌△CFD(AAS)。所以DF=EF。12.解： 因为AD∥BC,所以∠DEF=∠EFG=55°。又由折叠知 ∠D'EF=∠FED=55°。在△EFG中，∠GEF+∠EFG+ ∠EGF=180°，所以∠EGF=180°-∠GEF-∠EFG=70°。 13.根据轴对称的性质作图，图形略。14.解：因 为点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点 P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，所以 MQ=PM,NR=PN。因为PM=2.5cm,PW=3cm, MN=4cm,所以NR=PW=3cm,MQ=PM=2.5cm。所以 NQ=MW-MQ=4-2.5=1.5(cm)。所以QR=RNW+NQ=3+ 1.5=4.5(cm)。15.解：因为∠A=70°，∠ADE+ ∠AED+∠A=180°，所以∠ADE+∠AED=180°-70°= 110°。因为△ABC沿着DE折叠，点A与点A'重合 所以△ADE与△A'DE关于直线DE成轴对称。由轴对 称性质，得∠A'DE=∠ADE,∠A'ED=∠AED。因为 ∠1+∠A'ED+∠AED=180°，∠2+∠A'DE+∠ADE= 180°，所以∠1+∠2=180°-（∠A'ED+∠AED)+180° (∠A'DE+∠ADE)=360°-2（∠AED+∠ADE)=140°。 16.解：如图，连接AA'交DE于D A 点0，由轴对称性质知A'0=A0。 G 因为AE∥A'D,所以∠DA'O= ∠EAO,∠A'DO=∠AE0。所以 △A'OD≌△AOE(AAS)。所以 A--- DO=E0。又因为∠A'OE=∠AOD, B A'0=A0,所以△A'0E兰△AOD第16题答图 (SAS)。所以A'E=AD。由轴对称性质知A'E=AE, EG=AE,BC=CH,所以AD=EG。因为AD=BC,所以 EG=CH。17.82.5°或52.5°或37.5°18.D19.D 2简单的轴对称图形（第1课时） 1.3或52.110°或140°3.204.B5.D6. 解：在△ADB和△ADC中，因为AB=AC,AD=AD, DB=DC,所以△ADB≌△ADC(SSS)。所以∠BAE= ∠CAE。所以AE是△ABC底边BC上的中线。所以 BE=CE。7.解：因为AB=AC,所以∠C=∠B=30°。因 为∠C+∠BAC+∠B=180°，所以∠BAC=180°-30°-30°= 120°。因为∠DAB=45°，所以∠DAC=∠BAC-∠DAB= 120°-45°=75°。8.解：因为AB=AC,所以∠B=∠C。 1 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=80°，所以∠B=∠C= 5O°。因为BE=BP,CP=CF,所以∠BPE=∠BEP, ∠CPF∠CP,所以∠BPE=90-7LB,∠CPF-90P- ↓∠C。所以∠BPE=∠CPF=65°。所以LEPF=180°-2x 65°=50°。9.解：是。理由：因为D0=BD,所以 ∠DBO=∠DOB。又因为DE∥BC,所以∠CBO= ∠DOB。所以∠DBO=∠CBO。所以BO为∠ABC的平 分线。同理，CO是∠ACB的平分线。 10.解： (1)在△ABC和△ADE中，因为BC=DE,∠B=∠D. AB=AD,所以△ABC≌△ADE(SAS)。(2)由(1) 得△ABC≌△ADE,所以AC=AE,∠DAE=∠BAC= 6O°。所以∠AEC=∠ACE。因为∠DAE+∠AEC+ ∠ACE=180°，所以∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180°- ∠DAE=120°，所以∠ACE=60°。11.解：(1)因为 AB=BC,∠A=15°，所以∠BCA=∠A=15°。所以 ∠ABC=180°-2∠A=150°。所以∠CBD=30°。因为BC= CD,所以∠CDB=∠CBD=30°，所以∠BCD=180°- 2∠CBD=120°。所以∠DCE=180°-∠BCD-∠BCA=180° -120°-15°=45°。因为CD=DE,所以∠CED=∠DCE= 45°，所以∠CDE=180°-2∠DCE=90°。所以∠EDF= 180°-∠CDB-∠CDE=180°-30°-90°=60°。因为DE=EF 所以∠DFE=∠EDF=60°。所以∠DEF=60°。所以 ∠FEN=180°-60°-45°=75°。 (2)除△ABC外共有4 个，还能以F为顶点、EF为腰作出一个顶角为30°、 底角为75°的等腰三角形。12.解：(1)20120 小(2)当DC=3时，△ABD≌△DCE。理由：因为 DC=3,AB=AC=3,所以AB=DC=AC。因为∠C=40°， 所以∠ADC=∠D1C=号10P-∠C=70.所以∠ADB= 180°-∠ADC=110°。因为∠B=40°，∠ADE=40°，所 以∠BAD=180°-∠ADB-∠B=180°-110°-40°=30° ∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°。所以∠BAD= ∠CDE。在△ABD和△DCE中，∠B=∠C,AB=DC ∠BAD=∠CDE,所以△ABD≌△DCE(ASA)。综上所 述，当DC=3时，△ABD≌△DCE。(3)当DA= DE时，∠DAE=∠DEA。因为∠ADE=40°，所以 ∠DAE=LDEA=号(I80-LADE)=70P。所以LADC 180°-∠DAE-∠C=180°-70°-40°=70°。所以∠BDA= 180°-∠ADC=180°-70°=110°。13.100°14.615. 516.66°17.100°18.B19.B20.解：(1)因 为∠BAD=∠EAC,所以∠BAD-∠CAD=∠EAC- ∠CAD。所以∠BAC=∠EAD。在△ABC和△AED中， AB=AE,∠BAC=∠EAD,AC=AD,所以△ABC≌ △AED(SAS)。(2)因为AC=AD,所以∠ACD= ∠ADC。由(1)可知，△ABC≌△AED,所以 ∠ACB=∠ADE。所以∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC。 所以∠BCD=∠EDC。 2简单的轴对称图形（第2课时） 1.52.533.86°4.A5.D 6.解：因为AD平分∠CAB,所以 ∠CAD=∠DAE。又因为DE垂直平分 AB,所以DA=DB。所以∠B=∠DAE。 因为∠C=90°，所以∠CAB+∠B=90°， 则∠CAD+∠DAE+∠B=90°，故∠B= 30°。7.如图即为所求。8.如图所 示。9.解：①如图，连接PC,作线 B 段PC的垂直平分线MN,交AC于点 E,点E即为所求。②连接PE,因第7题答图数学 七年级下册（北师大版） 第五章 图形的轴对称 知识网络 抽象 轴对称图形 定义 两个图形成轴对称 图形的轴对称 两个底角相等 等腰三角形 顶角的平分线、底边上的中线、底边上 的高重合 性质 对应点连线被 应用 垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴 线段 归纳 对称轴垂直平分从轴对称 对应线段相等 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的 角度探索 对应角相等 距离相等 应用 应用 作线段的垂直平分线 画图 角平分线所在的直线是它的对称轴 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 应用 作角的平分线 轴对称及其性质 自主导学Q、典例精析 例题如图，在△ABC中，E为AB的中点，点F在边BC上， 连接EF,将△BEF沿EF折叠，使点B的对应点D落在AC上。 (1)指出图中的轴对称图形或成轴对称的两个图形是什么，并说 明对称轴是什么。 B (2)分别指出图中的对应线段、对应角都有哪些。 例题图 (3)若AB=6,∠C=60°，∠BFD=2∠DFC,求DE的长和∠ADF的度数 【分析】根据轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，就可判断△BEF与△DEF成轴对 称，或者将△BEF与△DEF看成是组成四边形BFDE的两部分，则四边形BFDE就是轴对称 图形，对称轴就是折痕EF所在的直线：再根据点D是点B的对应点，就可以确定对应线段 98 图形的轴对称 第五章 和对应角：最后由轴对称的性质及三角形内角和定理求得DE的长和∠ADF的度数。 【解答】(I)因为将△BEF沿EF折叠得到△DEF,所以△BEF与△DEF能够完全重合， 所以根据两个图形成轴对称定义，可以判断△BEF与△DEF是成轴对称的。 根据题意，知△BEF沿EF折叠得到△DEF,所以四边形BFDE沿对角线EF所在直线折 叠后，直线EF两旁的△BEF与△DEF这两部分能够互相重合，所以四边形BFDE是轴对 称图形。 (2)根据(1)结果得，对应线段分别是DE与BE,DF与BF,EF与EF,对应角分别 是∠EDF与∠B,∠DEF与∠BEF,∠DFE与∠BFE。 (3)由轴对称的性质，可知DE=BE,∠DFE=∠BFE。 因为E为线段AB的中点，所以AE-BE。 因为AB=6,∠BFD=2∠DFC,∠BFD=∠DFE+∠BFE, 所以AE=BE=DE-3,∠DFE=∠BE-∠DC=写XI80P=60。 又因为∠CDF+∠DFC+∠C=180°，∠C=60°， 所以∠CDF=180°-∠C-∠DFC=60°。 所以∠ADF=180°-∠CDF=120°。 【点拨】如果一个轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么轴对称图形转化为两个图形成 轴对称；反过来，把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么成轴对称的两个图形就转化为 一个轴对称图形。 基础巩固飞达标闯关 下E多s 1.成轴对称是指 个图形的位置关系，轴对称图形是指 个图形所具有 的特殊形状。 2.如图，△ABC与△DEF关于直线I成轴对称，则点A的对应点是点 线段 AB的对应线段是 ， ∠B的对应角是 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，点D是BC上的点，∠BAD=∠ABC=40°，将△ABD沿着AD翻 折得到△AED,则∠CDE= 。 4.如图，直线1是四边形ABCD的对称轴，如果AD=BC,有下列四个结论：①AB∥ CD;②AB=BC;③AB⊥BC;④AO=OC。其中正确的结论是 。 (填序号) 99 数学 七年级下册（北师大版） 5.如图，下列图案由7个涂黑的小正方形和9个空白的小正方形组成（所有小正方形都 全等)，其中不是轴对称图形的是 (填序号) ① ② ③ (④ 第5题图 6.下列图形中，是轴对称图形的是() Y B C D 7.下列四组图案都可以看成由两个图形组成，其中这四组图案中的两个图形不是成轴对 称图形的是（) A B C D 8.下列说法正确的是() A.如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对应点一定在这条直线的两旁 B.平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 C.三角形是轴对称图形，且对称轴是三角形的角平分线所在的直线 D.圆是轴对称图形，且对称轴是直径所在的直线 9.下列说法错误的是() A.轴对称图形的对应线段相等、对应角相等 B.成轴对称的两个图形对应点的连线被对称轴垂直平分 C.成轴对称的两条线段分别在对称轴两侧 D.任意一个等边三角形都是轴对称图形 10.如图，判断下列图形是不是轴对称图形，如果是轴对称图形，请你画出它的对称轴。 ① ① ② ③ ④ 6 第10题图 100 图形的轴对称 第五章 1L.如图，在长方形纸片ABCD中，AB=CD,AD=BC。现将长方形纸片ABCD沿对角线 AC对折，使点B落在点E处，试说明：DF=EF。 第11题图 12.如图，把一张长方形ABCD(AD∥BC,AB∥DC)的纸片沿EF折叠后，ED与BC 的交点为G,点D,C分别落在D',C'的位置上，若∠EFG=55°，求∠EGF的度数。 E --------D 第12题图 13.在下图中分别以直线1为对称轴，画出所给图形的另一半。 图1 图2 图3 第13题图 能力提升坤综合拓展 14.如图，点P是∠AOB外的一点，点M,N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA 的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上。若PM= 2.5cm,PN=3cm,MW=4cm,求线段QR的长。 R 第14题图 0 数学 七年级下册（北师大版） 15.如图，在折纸活动中，小张同学制作了一张△ABC纸片，点D,E分别是边AB, AC上的点，将△ABC沿着DE折叠压平，点A与点A'重合，若∠A=70°，求∠1与∠2的和。 D 第15题图 16.如图1，将长方形纸片ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A'处，然后将 长方形纸片展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处，再将长方形纸片ABCD 沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处，如图2。试说明：EG=CH。 图1 图2 第16题图 中考链接©真题演练 -卡多多每 17.(2025·江西)如图，在长方形纸片ABCD中，沿着点A折叠纸片并展开，AB的对 应边为AB',折痕与边BC交于点P。当AB'与AB,AD中任意一边的夹角为15时，∠APB 的度数可以是 D BL P 第17题图 第18题图 第19题图 18.(2025·长沙)如图，将△ABC沿折痕AD折叠，使点B落在AC边上的点E处，若 AB=4,BC=5,AC=6,则△CDE的周长为() A.5 B.6 C.6.5 D.7 19.(2025·河北)如图，将长方形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A'处，A'D交BC 于点E。将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C'处，下列结论一定正确的是() A.∠1=45°-ax B.∠1=a C.∠2=90°-a D.∠2=2a 102