4.4 利用三角形全等测距离-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 利用三角形全等测距离 自主导学Q、典例精析 例题如图，AD是一段斜坡，AB是水平线，现为了测斜坡上一 点D的铅直高度（即垂线段DB的长度），小亮在D处立一竹竿CD,并 保证CD=AB,CDLAD,然后在竿顶C处垂下一根细绳（细绳末端挂一 重锤，以使细绳与水平线垂直)。细绳与斜坡AD交于点E,此时他测得 DE=2m,求DB的长度。 例题图 B 【分析】若想求DB的长度，只需推出DB=DE即可。若想得出DB=DE只需推出 △ABD≌△CDE。而由题中条件容易推出∠ABD=∠CDE=90°，只需再推出∠A=∠C即可，而 由CE⊥AB的条件，可构造Rt△AEF与Rt△CDE形成一对“八字形”直角三角形，由此可 得到∠A=∠C。 【解答】如图，延长CE交AB于点F,由题意知CF⊥AB,CD⊥AD, 所以∠CDE=∠AFE=90°。所以∠A+∠1=90°，∠C+∠2=90°。 因为∠1=∠2（对顶角相等），所以∠A=∠C。因为DB⊥AB,所以 2 ∠ABD=90°。在△ABD和△CDE中，因为∠A=∠C,∠ABD=∠CDE=90°， E B CD=AB,所以△ABD≌△CDE(ASA)。所以DB=DE。因为DE=2m,所 例题答图 以DB的长度是2ma 【点拨】本题考查了全等三角形的应用，构造Rt△AEF,进而形成一对“八字形”直角 三角形是解题的关键。 基础巩固达标闯关 1.如图，A,B两个建筑分别位于河流两岸，要测得它们之间的距 离，可以从点B出发沿河岸画一条射线BF,在BF上截取BC=CD,过 点D作DE∥AB,使点E,C,A在同一条直线上，则DE的长就是AB 之间的距离，判定△EDC≌△ABC的理由是（) A.SSS B.SAS 第1题图 C.ASA D.以上均正确 2.如图，小王想测量小口瓶下半部的内径，他把两根长度相等的钢条 AA',BB'的中点O连在一起，A,B两点可活动，使M,N卡在瓶口的内壁 上，A',B'卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB=15cm,就可得出小 口瓶下半部的内径是() 第2题图 A.30 cm B.15 cm C.10 cm D.20 cm 92 三角形第四章 3.要测量一座小山AB的宽度，技术人员进行如下操作。如图，先过点A作线段AC⊥ AB(从点C能看到点B),然后再由点C观测，在BA的延长线上找一点D,使∠ACD= ∠ACB,这时技术人员测量出AD的长，于是就知道小山AB的宽度了。这是为什么？ C 第3题图 4.如图，小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元，他们想测算所住楼对面商业大厦 MN的高度。他俩在小明家的窗台B处，测得商业大厦顶部N与水平线BF所成∠1的度数， 由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数。于是，他俩上楼来 到小华家，在窗台C处测得大厦底部M与水平线CE所成∠2的度数，竟然发现∠1与∠2 恰好相等。已知A,B,C三点共线，CE⊥MN,BF⊥MN,CA⊥AM,NM⊥AM,CE=BF= AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦MN的高度。 t M 第4题图 能力提升睡综合拓展 -卡多 5.为在池塘两侧的A,B两处架桥，要想测量A，B两点的距离，有以下两种方法： (1)如图1，找一处看得见A,B的点P,连接AP并延长到点D,使PA=PD,连接BP 并延长到点C,使PC=PB。测得CD=35m,就确定了AB也是35m,说明其中的理由。 (2)如图2，先过点B作AB的垂线BF,再在BF上取C,D两点，使BC=CD。最后过 点D作BD的垂线DE交AC的延长线于点E,则测出DE的长即为A,B的距离。你认为这 种方案是否切实可行，请说出你的理由。作BD⊥AB,ED⊥BF的目的是什么？若满足 93 口数学 七年级下册（北师大版） ∠ABD=∠BDE≠90°，此方案是否仍然可行？请说明其中的理由。 图1 图2 第5题图 6.如图，公园里有一条“Z”字形的小路ABCD,其中AB∥CD,在AB,BC,CD三段路 旁各有一个小石凳E,M,F供游人休息，测得BE=CF,且M是BC的中点。请你用所学的知 识验证E,F,M三点在同一条直线上。(E,F,M三点在一条直线上，即∠EMF=180°) A M 一D 第6题图 中考链接©真题演练 卡多修 7.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC,BD的中点连在一起，记中点 为O,即AO=C0,BO=D0。测得C,D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花 瓶内壁上A,B两点之间的距离。图中△AOB与△COD全等的依据是() A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 第7题图 第8题图 8.(2025·威海)我们把两组邻边分别相等的四边形称为“筝形”。在四边形ABCD中， 对角线AC,BD交于点O。下列条件中，不能判断四边形ABCD是筝形的是() A.BO=DO,AC⊥BD B.∠DAC=∠BAC,AD=AB C.∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA D.∠ADC=∠ABC,BO=DO 947.解：(1)全等。理由：因为点C是线段AB的 中点，所以AC=BC。又因为CD平分∠ACE,CE平分 ∠BCD,所以∠1=∠2，∠2=∠3。所以∠1=∠3。在 △ACD和△BCE中，因为CD=CE,∠1=∠3，AC=BC 所以△ACD≌△BCE(SAS)。(2)因为∠1+∠2+ ∠3=180°，所以∠1=∠2=∠3=60°。由(1)知 △ACD≌△BCE,所以∠D=∠E=50°。所以∠B=180° ∠E-∠3=70°。8.解：在△DAB和△CBA中，因为 AD=BC,∠DAB=∠CBA,，AB=BA,所以△DAB≌ △CBA(SAS)。所以AC=BD。9.解：因为点D是 BC的延长线上一点，DE∥AB，,所以∠D=∠ABC。在 △BDE和△ABC中，BD=AB,∠D=∠ABC,DE=BC 所以△BDE≌△ABC(SAS)。所以BE=AC。 3探索三角形全等的条件（第4课时） 1.答案不唯一，如AD=AE或∠B=∠C或∠AEB= ∠ADC。2.C3.解：(1)在△CDA和△DCB中 因为AD=BC,AC=BD,DC=CD,所以△CDA≌△DCB (SSS)。所以∠ADC=∠BCD。(2)因为△CDA≌ △DCB,所以∠DAC=∠CBD。因为∠AED=∠BEC AD=BC,所以△AED≌△BEC(AAS)。所以DE=CE 4.解：(1)因为CF∥AB,所以∠A=∠ACF, ∠ADF=∠F。因为E为AC的中点，所以AE=CE。在 △AED和△CEF中，∠A=∠ACF,∠ADE=∠F,AE= CE,所以△AED≌△CEF(SAS)。所以EF=ED。(2) 因为CF∥AB,所以∠ABC+∠BCF=180°。因为BE平分 ∠ABC,AC平分∠BCF,所以∠ACB=∠ACF,∠ABE= ∠CBE。所以LCBE+LACB=号（LABC+LBCF) =90°。由(1)知∠A=∠ACF,又因为∠A=65° 所以∠ACF=∠ACB=65°。所以∠CBE=90°-∠ACB= 25°。所以∠ABC=2∠CBE=50°。 5.解：AB+AC>2AD。如图， 延长AD到点E,使DE=AD,连 接BE,则∠ADC=∠EDB。又因 为AD是中线，所以BD=CD 所以△ADC≌△EDB(SAS)。 所以AC=BE。因为AB+BE>AE， 所以AB+AC>2AD。6.解： (1)因为AC,BD相交于点E, E ∠ACB=∠ADB,点F在ED上， 所以∠ACB=∠ADF。因为 第5题答图 ∠BAF=∠EAD,所以∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF。 所以∠BAC=∠FAD。在△ABC和△AFD中，∠BAC= ∠FAD,AC=AD,∠ACB=∠ADF,所以△ABC≌ △AFD(ASA)。(2)由(1)得△ABC≌△AFD,所 以AB=AF。又因为BE=FE,AE=AE,所以△ABE≌ △AFE(SSS)。所以∠AEB=∠AEF=号×180=-90°。所 以AC⊥BD。7.解：(1)因为CD∥BE,所以 ∠DCA=∠B。因为点C是线段AB的中点，所以AC= CB=号AB。在△DAC和△ECB中，∠A=LECB,AC CB,∠DCA=∠B,所以△DAC≌△ECB(ASA)。 （2)因为AB=16,所以AC=CB=7AB=8。因为 CD∥BE,所以∠DCE=∠BEC。由(I)可知， △DAC≌△ECB,所以CD=BE。在△DCE和△BEC 中，CD=BE,∠DCE=∠BEC,CE=EC,所以△DCE≌ △BEC(SAS)。.∴DE=BC=8。 4利用三角形全等测距离 1.C2.B3.解：因为∠ACD=∠ACB,AC= 1 参考答案与提示 AC,∠BAC=∠CAD=90°，所以△ABC≌△ADC (ASA)。所以AB=AD。4.解：如图，因为CE⊥ MN,BF⊥MN,CA⊥AM,NM⊥AM,所以∠CEF= ∠BFE=∠CAM=∠AME=90°。所以CE∥AM。所以 ∠2=∠CMA。因为∠1=∠2，所以∠1=∠CMA。因为 BF=AM,∠BFE=∠CAM,所以△BFN≌△MAC (ASA)。所以NF=AC=AB+BC=49(m)。所以MN= NF+MF=NF+AB=49+31=80(m)。答：商业大厦MW 的高度为80m。5.解：(1)因为PA=PD,PB= PC,∠APB=∠DPC,所以△APB≌△DPC(SAS)。 所以CD=BA。又因为CD=35m,所以AB=35m。 (2)可行。理由：因为BD⊥AB,ED⊥BF,所以 ∠ABD=∠BDE=90°。又因为BC=CD,∠ACB=∠ECD, 所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。目的是 使∠ABD=∠BDE。若满足∠ABD=∠BDE≠90°，此方 案仍然成立。因为∠ABD=∠BDE,BC=CD,∠ACB= ∠ECD,所以△ACB≌△ECD(ASA)。所以DE=AB。 6.解：如图，连接ME,MF,因为AB∥CD,所 以∠B=∠C。又因为BE=CF,BM=CM,所以 △BEM≌△CFM(SAS)。所以∠BME=∠CMF。又因 为点M在BC上，所以∠BME+∠CME=180°。所以 ∠CMF+∠CME=180°，即∠EMF=180°。所以E,F, M三点在同一条直线上。7.B8.D C 第4题答图 第6题答图 ☆问题解决策略：特殊化 1.解：(1)①609②1216③2021④5625 ⑤7224(2)如果两个因数的十位上的数字相同， 个位上数字的和为10，那么这两数的积的前两位是十 位上的数与该数加1的积，后两位是这两数个位上的 数的积，若积的数位不足两位，则用零补齐。(3) ①9024②答案不唯一，如31×39(4)10a+b, 10a+(10-b)理由：(10a+b)(10a+10-b)=100a2+100a- 10ab+10ab+10b-b2=100a(a+1)+b(10-b)。2.解： (1)因为a=60°，所以∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED= 90°-号&=60°。因为LABC+LACB+LBMC=180°， ∠ADE+∠AED+∠DAE=180°，所以∠BAC=180°-60°- 60°=60°，∠DAE=180°-60°-60°=60°。所以∠BAC= ∠DAE。所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD。所以 ∠BAD=∠CAE。又因为AB=AC,AD=AE,所以 △BAD≌△CAE(SAS)。所以∠ABD=∠ACE。由三角 形内角和定理，得∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠BPC,所 以∠BPC=∠BAC=60°=&。(2)因为a=90°，所以 ∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=90°-a=45°。因为 ∠ABC+∠ACB+∠BAC=18O°，∠ADE+∠AED+∠DAE= 180°，所以∠BAC=180°-45°-45°=90°，∠DAE=180°-