3.2 频率的稳定性(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

概率初步 第三章 频率的稳定性（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个，小李做摸 球试验，他将盒子里面的球搅匀，从中随机摸出一个球记下它的颜色，再把它放回盒子中， 不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 63 124 178 302 481 599 1803 摸到白球的频率m 0.63 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601 (1)请估计：当试验次数为5000次时，摸到白球的频率。 (结果精确到0.1) (2)假如你摸一次，摸到白球的概率是多少？ (3)试着估计这个不透明的盒子里白球有多少个。 【分析】(1)根据表格中频率的变化趋势即可估计。(2)依据频率与概率的关系即可 估计概率的值。(3)依据(2)中估计的概率值，再结合盒中球的总数即可估计盒中白球 的个数。 【解答】(1)根据表格中的频率的变化趋势，当试验次数为5000次时，估计摸到白球 的频率为0.6。(2)因为摸到白球的频率为0.6，依据事件发生的频率与概率之间的关系， 估计摸到白球的概率P(白球)=0.6。(3)由(2)知摸到白球的概率为0.6，且盒中球的总数 为40个，所以估计这个不透明的盒子里白球约有40×0.6=24（个）。 【点拨】本题考查了利用频率估计概率。理解频率与概率的关系是解题的关键。频率与 概率既有密切的联系又有本质的差别。概率是随机事件的本质属性，而频率是随机事件在试 验中的统计结果，当大量重复试验时，随机事件发生的频率在某个数值附近摆动，并且摆动 的幅度越来越小，因此，频率具有稳定性。根据频率的稳定性，可以用频率的集中趋势来估 计概率，这个固定的近似值就是这个事件发生的概率。用频率估计概率得到的是近似值。 基础巩固达标闯关 1.某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果 4频率 出现的频率折线图如图，则符合这一结果的试验可能是( 0.4 0.3 A.抛一枚硬币，出现正面朝上 0.2 B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上 0.1 0 ·次数/次 C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张是红桃 100200300 第1题图 D.从一个装有2个红球、1个黑球的袋子中任取一个球是黑球 口数学 七年级下册（北师大版） 2.某校进行篮球“3分球”比赛，下表是对某篮球队员进行测试的结果： 投篮次数 10 50 100 150 200 250 命中次数 9 40 73 108 144 180 命中的频率 (1)计算上表中3分球投篮命中的频率。 (2)根据上表估计该运动员3分球投篮命中的概率是多少？ (3)假设该运动员在一场比赛中有20次投3分球的机会，估计他能得多少分？ 3.瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格 品，也可能成为次品或废品，在烧制前无法预知究竞发生哪些结果，所以这是一种随机现 象。而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合格品率”。 某瓷砖厂对最近出炉的一大批某型号的瓷砖进行质量检测，结果如下： 抽取瓷砖数 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924 合格品频率m (1)计算上表中合格品的各频率。（精确到0.001） (2)估计这种瓷砖的合格品率。（精确到0.01） (3)若该工厂本月生产该型号瓷砖500000块，试估计合格品数。 4.王强与李刚两名同学做抛骰子(6个面分别写有1,2,3,4,5,6的均匀正方体) 的试验，他们共抛了54次，骰子向上一面数字出现的次数如下表： 骰子向上一面数字 1 2 4 5 6 出现的次数 6 5 8 16 10 频率 58 概率初步 第三章 (1)计算上表中各数字向上的频率。（计算结果精确到0.0001） (2)王强说：“根据试验，一次试验中出现向上数字为5的概率最大。”李刚说：“如果 抛540次，那么出现向上数字为6的次数正好是100次。”请判断王强和李刚的说法是否合 理，并说明理由。 5.某地区连续46年中，每年干燥月份（即降水量低于这46年的平均月降水量）的统计 情况如下表： 每年干燥月份 0 10 ≥11 的月数 相应的年数 0 0 从上述统计表中估计： (1)一年中恰好有5个干燥月份的概率是多少？（精确到0.01，以下同此规定） (2)一年中干燥月份小于7个月的概率是多少？ (3)一年中干燥月份大于9个月的概率是多少？ 中考链接©真题演练 6.(2025·贵州)某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概 率，将同学们获得的试验数据整理如下表： 抛掷次数n 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000 “正面朝上”的次数m 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750 “正面朝上”的频率m 0.60 0.63 0.58 0.52 0.54 0.55 0.55 0.55 0.55 0.55 则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为( A.0.52 B.0.55 C.0.58 D.0.63 59∠PAC+∠APB,∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=O° ∠PBD=∠PAC。选择如图4，理由：过点P作PE∥ AC,所以∠APE+∠PAC=180°。因为AC∥BD,所以 PE∥BD。所以∠EPB+∠PBD=180°。所以∠PAC+ ∠APE=∠EPB+∠PBD。所以∠PAC=∠EPB-∠APE+ ∠PBD=∠APB+∠PBD Ⅲ A C ⅢE --G Π-- P.E B O B 图1 图2 E ⅢA,'P 图3 图4 第11题答图 12.解：任务1：如图1，过点G作GH∥DF,因 为∠C=90°，∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°，所以 ∠C+∠DFE=180°。所以BC/∥DF。 又因为GH∥DF,所以∠HGD= ∠D=30°，∠BGH=∠B=45°。所以 ∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°= 75°。任务2：∠DEM-∠DPB= 30°。理由：如图2，过点D作 A(F) DH∥MN,因为AB∥MN,所以 DH∥AB∥MN,所以∠HDE= 图1 ∠DEM,∠HDP=∠DPB。因 为∠HDE-∠HDP=∠EDF ∠EDF=30°，所以∠DEM- ∠DPB=30°。任务3：∠ACE 角度的所有可能值是150°或 B 135°或60°或45°或15°。13. 130°14.145°15.A16.C M 17.C18.A19.解：因为 E AB∥CD,所以∠ACD=∠1： 图2 因为∠1=∠2，所以∠ACD= 第12题答图 ∠2。所以AEDF。 第三章概率初步 1感受可能性 1.①⑤④②③2.不确定或随机不可能 或确定3.白球4.大5.买到座位号是偶数6.不 及格7.③②①④⑤8.C9.D10.C11.B12. 解：(1)可能。理由：由于100个产品中，既含有正 品，也含有次品，因此取出的产品可能是次品。 (2)正品的可能性大。理由：由于100个产品中，有 10个是次品，则有90个是正品，因此取出的产品为 正品的可能性大。(3)“正品数量多”这一事件的 可能性大。理由：由(2)可知，100个产品中，正品 的数量大于次品的数量，因此从中取出10个产品，在 这10个产品中，“正品数量多”这一事件的可能性 大。13.解：(1)指向阴影区域的可能性小，指向 参考答案与提示 白色区域的可能性大。理由：因为白色区域的面积比 阴影区域的面积大，所以指针指向阴影区域的可能性 比指针指向白色区域的可能性小。 (2)两人获胜的 可能性一样。理由：将一枚硬币掷两次，有（正， 正)，（正，反），（反，反），（反，正）4种情况， 两次朝上的面相同的有2种，两次朝上的面不同的有 2种，所以两人获胜的可能性一样。14.B15.B 2频率的稳定性（第1课时） 1.解：(1)0.6500.6200.5930.6040.601 0.5990.601(2)折线统计图略。 (3)当试验次 数很大时，摸到白球的频率会在0.6附近摆动，即摸 到白球的频率具有稳定性。2.解：(1)x=1000 412-388=200(条)。(2)①选择A酒店获得良好 的用餐体验的可能性为412+388=0.8，选择B酒店获 1000 得良好的用餐体验的可能性为420+390=-0.81，选择C 1000 酒店获得良好的用餐体验的可能性为405+375=0.78。 1000 因为0.81>0.8>0.78，所以选择B酒店获得良好的用餐 体验的可能性最大。②不一定。因为可能性大只能 说明获得良好的用餐体验的可能性大，可能性大的事 件不一定发生，即不是一定能够获得良好的用餐体验， 所以小明不一定能获得良好的用餐体验。3.①③ 2频率的稳定性（第2课时） 1.D2.解：(1)逐项计算表中频率，得 0.90,0.80,0.73,0.72,0.72,0.72。 (2)观察表 格中的数据，发现当投篮次数≥150时，命中的频率 稳定在0.72附近，所以我们可取0.72作为该运动员3 分球投篮命中率的估计，即该运动员3分球投篮命中 的概率约为0.72。 (3)20×72%≈14次，14×3=42 (分)。答：估计他能得42分。3.解：(1)逐项计 算表中频率，得0.950,0.960,0.957,0.963,0.962， 0.962,0.963,0.961,0.962。（2)观察表格中的数 据，发现当抽取的瓷砖数≥400时，合格品频率稳定 在0.962附近，所以我们可取0.96作为该型号瓷砖的 合格品率的估计值，即这种瓷砖的合格品率约为0.96。 (3)500000×96%=480000(块)。答：估计该型号瓷 砖合格品数为480000块。4.解：(1)0.1111 0.16670.09260.14810.29630.1852(2) 都不合理。理由：因为抛一次骰子出现点数1,2,3， 4,5,6向上的情况具有等可能性，即概率相等，所以 王强的说法不合理；虽然抛掷54次出现点数6向上的 频率是0.1852，但频率不等于概率，因为任意掷一次 骰子，点数6向上的概率是】 6,所以李刚的说法也不 合理。两人都忽略了试验次数很大时，事件发生的频 率才逐渐稳定于概率附近，此时我们才能用试验频率 来估计事件发生的概率。5.解：(1)由表格数据可 知，一年中恰好有5个干燥月份的年数是8，所以 年中恰好有5个干燥月份的频率为8≈0.17，所以一 46 年中恰好有5个干燥月份的概率约为0.17。 (2) 年中干燥月份小于7个月的年数为1+5+8+9=23，所以 一年干燥月份小于7个月的频率为器05，所以一年 干燥月份小于7个月的概率为0.5。(3)一年中干 燥月份大于9个月的年数为4，所以一年中干燥月份 大于9个月的颜率为名=009，所以一年中干燥月份 数学 七年级下册（北师大版） 大于9个月的概率约为0.09.6.B 3等可能事件的概率（第1课时） 1.1 2号34器56C7 56 D8.解：从袋中任意摸出一球，所有可能的结果有6 种，即摸出的小球上标注的数字分别是4,5,6,7,8， 9,因为小球完全相同，所以每种结果出现的可能性相 等。 (1)摸出的小球上标注的数字为奇数的结果有 3种，即标注的数字是5,7,9，所以P(摸出的小球 上的数字为奇数)=3=1 6-20 (2)摸出的小球上标注 的数字是3的倍数的结果有2种，即标注的数字是 6,9,所以P(摸出的小球上的数字为3的倍数)=2 6 3。(3)摸出的小球上标注的数字大于4且小于9 的结果有4种，即标注的数字是5,6,7,8，所以P (摸出的小球上的数字大于4且小于9)=4=2 63.9. 解：从长度分别为3cm,4cm,5cm,6cm,7cm 的五条线段中，任意取一条线段，有五种可能结果， 即a,b与c三条线段的组合有5种，每种结果出现的 可能性是相同的。(1)a,b与c三条线段的组合 能构成三角形的有4种，分别为3cm,4cm,3cm; 3 cm,4 cm,4 cm;3 cm,4 cm,5 cm;3 cm,4 cm, 6cm。所以P(a,b与c三条线段能构成三角形)=4 0 (2)a,b与c三条线段的组合能构成等腰三角形 的有2种，分别为3cm,4cm,3cm;3cm,4cm, 4cm。所以P(a,b与c三条线段能构成等腰三角形) 号。10.①。2) 5。(3) 9.11. 解：因为七年(2)班共购买了40张门票，所以小尹 同学抽取门票所有可能的结果有40种，这些票除票面 内容不同外其他都相同，所以小尹同学抽到每种门票 的可能性相同。(1)小尹同学抽到甲票的结果有4 种，所以P(小尹同学抽到甲票)希0。(2)小尹 同学抽到甲票或乙票的结果共有20种，所以P(小尹 同学抽到甲票或乙票)8子。2.解：()由表 格可得，作品数量共有14+10+18+8=50（件），所以抽 取的可能结果共有50种，且每种结果出现的可能性 相同，其中选中“小发明”的结果有10种，所以 P正好选中小发明“)一-品号。(2)由表格可知， 这个班“小发明”的数量为10，“小制作”的数量为 14,这两种作品一共有24件，即“小发明”和“小制 作”的作者共有24人，所以抽取的可能结果共有24 种，且每种结果出现的可能性相同，所以P(正好选中 “小发明”的作者)”多。13.解：从袋中任意摸出 一个球，所有可能的结果有10种，因为这10个小球 除颜色外都相同，所以每种结果出现的可能性相同， (1)其中摸出的球是红球的结果有6种，所以P(任 意摸出一个球为红球)6=号。(2)设取走了七个 红球，又将x个白球放入袋中后，袋中的总球数还是 10个。因为从袋中随机摸出一个球是白球的概率是 子，所以（任意摸出一个球为白球）搭-号。解 得x=3。答：取走了3个红球。14.解：猜(2)中 “不是3的倍数”。理由：任意转动转盘，当转盘停止 17 后，指针指向的数字共有10种可能的结果，因为每份 大小相同，所以每种结果出现的可能性相同。(1)指 针指向的数字“是奇数”的结果有5种，“是偶数” 结果的也有5种，因此“是奇数”或“是偶数”的概 02。(2)指针指向的数字“是3的倍数” 率都是5-1 的结果有3种，“不是3的倍数”的结果有7种，因 此“是3的倍数”的概率是3， Γ10 “不是3的倍数”的 概率是品。(3)指针指向的数字“是大于6的数~ 的结果有4种，“不是大于6的数”的结果有6种， 因此“是大于6的数”的概率是总号，“不是大于 6的数”的既*是合号。风此。箱数省选择不是3 的倍数”，这样获胜的概率为，获胜的可能性最大。 15. 16名37.A18.D 2 3等可能事件的概率（第2课时） 1吾25334C5B6D7解： (1)红球、白球、黑球各3个。(2)红球与黑球数 量相等即可。(3)红球的个数是6，其余3个球的 黑白颜色不限。8.解：正面标记的数字有3种可能 结果，即为6,7,8，且抽出每张卡片的可能性相同。 (1)抽出的卡片正面数字是偶数的有2种，所以 P(正面标记的数字是偶数)=号。 (2)随机抽取一 张作为个位上的数字（不放回），再抽取一张作为十位 上的数字，所有的结果共有6种，即67,68,76,78， 86,87,所以P(恰好为“68”)=1 6.9解：该游戏 不公平。小颖抽到的卡片的号码数能被3整除的可能 情况有3,6,9，获胜的概率为：小刚抽到的号码 数除以3余1的可能情况有1,4,7,10，因此获胜 的概率为子。若使游戏公平，应添加两张卡片，其号 码数分别为1山，12，此时获胜的概率都是}。10. 11.712.D13.B14A 3 3等可能事件的概率（第3课时） l2233495C6B7c8 D9.解：转盘共有16个扇形，所以转盘停止后，指 针指向的区域可能的结果共有16种，且它们出现的可 能性相同。其中指针指向红色区域的结果有1种：红， 指向黄色区域的结果有2种：分别是黄1、黄2，指向 蓝色区域的结果有4种：分别是蓝1、蓝2、蓝、蓝40 (1)指针指向红色、黄色或蓝色区域的结果共有7种， 所以P(获得购物券)=7。 6。(2)P(获100元购物券)= 6,P获50元购物券名=号，P(获20元购物券) 告子。因为宁日>6所以他获得20元鹅物券的 概率最大。10.解：(1)设标有8元的小球有x个， 则标有2元的小球有(2x-1)个。由题意，得x+2x