2.3 平行线的性质(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

相交线与平行线 第二章 平乎行线的性质（第2课时) 自主导学Q典例精析 例题1如图，BA∥DE,∠B=150°，∠D=130°，求∠C的度数。 【分析】要求∠C的度数，需把∠C与平行线建立起联系，为此过点C 作CF∥AB,把∠C分成两个角，根据平行线的性质即可求出两个角的度 数，两角之和即为所求。 例题1图 【解答】如图，过点C作CF∥BA, 因为BA∥DE,所以BA∥DE∥CF。 -------f 所以∠1=180°-∠B=180°-150°=30°，∠2=180°-∠D=180°-130°=50°。 所以∠BCD=∠1+∠2=30°+50°=80°。 例题1答图 【点拨】通过作辅助线，找出∠B,∠D与∠C的关系是解答本类题的关键。这类“火箭 形”基本图形的等量关系为∠B+∠D+∠C=360°。 例题2如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B,猜想∠AED与∠C 的数量关系并说明理由。 【分析】先根据同角的补角相等得∠2=∠4，即可得EF∥AB,从而得到 ∠3=∠5，再结合∠3=∠B可得DE∥BC,从而得到结论。 【解答】∠C=∠AED。理由：因为∠1+∠2=180°，∠1+∠4=180°， 例题2图 所以∠2=∠4。所以EF∥AB。所以∠3=∠5。 因为∠3=∠B,所以∠5=∠B。所以DE∥BC。所以∠C=∠AED。 【点拨】解答本题的关键是掌握平行线的判定和性质并进行综合运用。 基础巩固达标闯关 一P多eE 1.如图，已知AB∥CD,若∠ABE=120°，∠DCE=35°，则∠BEC= 第1题图 第2题图 2.如图，∠ABC=40°，∠ACB=60°，B0,C0分别平分∠ABC和∠ACB,DE过点O,且 DE∥BC,则∠BOD+∠COE等于 3.已知两个角的两边分别平行，且这两个角的差为40°，则这两个角的度数分别为 口数学 七年级下册（北师大版） 4.如图，已知AB∥CD∥EF,AD∥GE,则与∠1相等的角（∠1除外）共有() A.6个 B.5个 C.4个 D.2个 A G 第4题图 第5题图 5.如图，已知AB∥CD,∠E=27°，∠B=52°，则∠ECD的度数是() A.25° B.63° C.79 D.101° 6.如图，已知∠1=∠2，请问：∠3+∠4=180°成立吗？为什么？ 4 第6题图 能力提升螂综合拓展 7.如图，已知AB∥CD,∠1=∠2，请说明：BM∥CN。 第7题图 8.如图。 (I)若∠BED=∠B+∠D,请说明：AB∥CD。 (2)若AB∥CD,请说明：∠BED=∠B+∠D。 第8题图 9.如图，已知AD∥BC,DA⊥AB,DB平分∠ADC,∠ABD=30°，求∠ADC的度数。 第9题图 48 相交线与平行线 第二章 10.补全下面推理过程： 生活中常见一种折叠拦道闸，若想求解某些特殊状态下的角度，需将其抽象为几何图 形，如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE,求∠ABC+∠BCD的度数。 C D 第10题图 解：如图，过点B作BF∥AE,因为CD∥AE(已知)， 所以()∥CD( )。 所以∠BCD+( ）=180°( 因为AB⊥AE,所以∠EAB=()°( 因为BF∥AE, 所以(）+∠EAB=180°， 所以∠ABF=180°-90°=90°。 所以∠ABC+∠BCD=LABF+∠CBF+∠BCD=()°。 *11.如图，已知直线AC∥BD,连接AB,直线AC,BD和线段AB把平面分成I，Ⅱ， Ⅲ，V四个部分，规定：线上的各点不属于任何部分，当动点P落在某个部分时，连接PA, PB,构成∠PAC,∠PBD,∠APB三个角（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角 是0°角)。 (1)当动点P落在I时（如图1），请说明：∠APB=∠PAC+∠PBD。 (2)当动点P落在Ⅱ时，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答“成立”或“不 成立”) (3)当动点P落在Ⅲ时，全面探究∠APB,∠PAC,∠PBD之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种结论加以说明。（在其余图形中画出相应图形） A C A D B D 图1 图2 图3 图4 第11题图 9 数学 七年级下册（北师大版） 12.根据以下素材，探索完成任务。 探究平行线在一副三角尺中的运用 亲爱的同学们，学习数学要求我们“用数学的眼光观察现实世界”。一副三角尺为我们观察世 素材背景 界提供一个小小的窗口，学完平行线的性质，可探究三角尺摆放位置不同时所涉及的数学问题 如图1是一副三角尺， ∠C=F=90°， 素材 ∠A=∠B=45°， ∠D=30°，∠E=60° 图 问题解决 任务图 C(F) 图2 图3 图4 第12题图 如图2，将两个三角尺如图摆放，使点A与点F重合，点E在AC上，AB与DE相交于点 任务1 G,求∠BGD的度数（提示：过点G作GH∥DF) 如图3，将三角尺ABC的直角顶点放在直线MW上，使AB∥MN,三角尺DEF的顶点E在直 任务2 线MW上，DF与AB相交于点P,则∠DEM与∠DPB有怎样的数量关系？请说明理由 将三角尺DEF固定不动，改变三角尺ABC的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点C,F 任务3 重合，当点A在直线EC的下方时，探究这两块三角尺一组边互相平行的情况，请直接写出 ∠ACE角度所有可能的值（如图4提供了其中一种情况） 0 相交线与平行线 第二章 中考链接©真题演练 13.(2025·连云港)如图，AB∥CD,直线AB与射线DE相交于点O。若∠D=50°，则 ∠BOE= 14.(2025·湖南)如图，一条排水管连续两次转弯后又回到与原来相同的方向，若第一 次转弯时∠CAB=145°，则∠ABD= 2y1 第13题图 第14题图 第15题图 15.(2025·威海)如图，直线CF∥DE,∠ACB=90°，∠A=30°。若∠1=18°，则∠2等于 () A.42° B.38° C.36 D.30° 16.(2025·苏州)如图，在A,B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为 北偏东70°。若A,B两地同时开工，要使公路准确接通，则∠α的度数应为（) A.100° B.105° C.110° D.115° 北 4北 第16题图 第17题图 第18题图 17.(2025·扬州)如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光 线BE,DF交于主光轴上一点G。若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是（) A.60° B.70° C.80° D.90° 18.(2024·潍坊)一种路灯的示意图如图所示，其底部支架AB与吊线FG平行，灯杆 CD与底支架AB所成锐角a=15°。顶部支架EF与灯杆CD所成锐角B=45°，则EF与FG 所成锐角的度数为() A.60° B.55 C.50° D.45 19.(2025·江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD,∠1=∠2。 请说明：AE∥DF。 第19题图数学 七年级下册（北师大版） AB∥CE。理由：因为CD平分∠ECF,所以∠ECD= ∠FCD。因为∠ACB=∠FCD,所以∠ECD=∠ACB 因为∠B=∠ACB,所以∠B=∠ECD。所以AB∥CE 7.解：因为∠1+∠2=180°，∠4+∠2=180°，所以 ∠1=∠4。又因为∠1=∠3，所以∠3=∠4。所以CD∥ EF。8.A9.B 2探索直线平行的条件（第2课时）】 1.(1)DE BC AB同位(2)AB AC DE 同位(3)DE BC AC内错(4)ABAC BC同旁内2.答案不唯一，如∠A=∠DCE ∠ECB=∠B,∠A+∠ECA=180P。3.24.120°5.B 6.D7.D8.解：答案不唯一，如因为∠1+∠2= 180°，∠2+∠CNE=180°，所以∠1=∠CNE。所以 AB∥CD。9.解：因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°， 所以∠1=∠3。所以a∥b。10.解：因为AE,CE分 别平分∠BAC和∠ACD,所以∠BAC=2∠1，∠ACD= 2∠2。又因为∠1与∠2互余，所以∠1+∠2=90°。所 以∠BAC+∠ACD=2(∠1+∠2)=180°。所以AB∥CD。 11.解：4∥2∥，4∥15。理由：因为∠1=∠4，所 以11∥L2。因为∠2=∠3，∠1+∠2=180°，所以∠3+ ∠1=180°，所以21。又因为1∥12，所以1∥1，即 1∥12∥13。因为∠2=∠3，所以l4∥15.12.解：答案 不唯一，如∠CGM=42°。理由：因为EF⊥MN,所以 ∠EFN=90°。所以∠BFN=∠EFN-∠BFE=42°。所以 ∠CGM=∠BFN。所以AB∥CD。如∠DGM=138°。理由： 因为EF⊥MN,所以∠EFN=9O°。所以∠BFN=∠EFN- ∠BFE=42°。所以∠BFN+∠DGM=42°+138°=180°。所 以AB∥CD。13.解：(1)因为OA,OB分别平 分∠C0E和LD0E,所以LA0C=7∠C0E,∠2= ∠DOE。因为∠C0E+LD0E=180°，所以∠A0C+ 2 ∠2=号（∠C0E+∠D0E)=90。因为∠1+∠2=90，所以 ∠A0C=∠1。所以AB∥CD。(2)因为∠2：∠3=2：5， ∠2=号∠D0E,所以∠D0E:∠3=4：5。因为∠D0E+ ∠3=180，所以号∠3+∠3=号∠3=180。所以∠3= 100°。*14.解：(1)作∠EPF等于已知的∠CAD (2)方法1：由作图可知，∠EPF=∠CAD,所以PF∥ 1。(内错角相等，两直线平行)方法2：由作图的 条件可知，在△ABP中，∠BAP+∠ABP+∠APB=18O°。 又由作图可知，∠EPF=∠BAP,所以∠EPF+∠ABP+ ∠APB=180°。因为∠EPF+∠APB=∠BPF,所以 ∠BPF+∠ABP=180°。所以PF∥1。（同旁内角互补， 两直线平行)15.D16.B 3平行线的性质（第1课时）】 1.50°2.60°3.(1)∠4两直线平行，内错 角相等(2)DC两直线平行，同位角相等4.D 5.D6.C7.D8.B9.解：因为AD∥BC,所以 ∠A=∠ABF。又因为∠A=∠C,所以∠ABF=∠C。所 以AB∥CD。10.解：因为AD∥BC,所以∠B= ∠EAD。因为∠B=∠D,所以∠EAD=∠D。所以BE∥ DF。所以∠E=∠F。11.解：因为∠1=32°，DE平分 ∠BDC,所以∠BDC=2∠1=64°。AB∥CD,所以 ∠ABD+∠BDC=180°，∠ABF=∠2。所以∠ABD=180°- ∠BDC=116°。因为BF平分∠ABD,所以∠ABF= 3∠ABD-58。所以∠2-58.12解：∠ABD+ ∠DEF-∠BDE=18O°。理由：因为CD∥EF,所以 1 ∠DEF=∠CDE。因为∠CDE=∠CDB+∠BDE,所以 ∠CDB=∠CDE-∠BDE。所以∠CDB=∠DEF-∠BDE 因为AB∥CD,所以∠ABD+∠CDB=180°。所以 ∠ABD+∠DEF-∠BDE=180°。 *13.解：(1)相等 (或∠1=∠2)理由：因为AB∥EF,所以∠CGF= ∠2。因为BC∥DE,所以∠CGF=∠1。所以∠1=L2。 (2)相等（或∠1=∠2）理由：因为AB∥DE, 所以∠1=∠CGE。因为BC∥EF,所以∠2=∠CGE。 所以∠1=∠2。 (3)∠1+∠2=180°，如图所示。选 图1的理由：因为AB∥DE,所以∠1+∠BGE=180° 因为BC∥DF,所以∠2=∠BGE。所以∠1+∠2=180° 选图2的理由：因为AB∥DF,所以∠DGC=∠1。因为 ED∥BC,所以∠2+∠DGC=180°。所以∠1+∠2=180°。 (4)这两个角相等或互补14.70°15.C D G 图1 图2 第13题答图 3平行线的性质（第2课时） 1.95°2.50°3.70°，110°4.B5.C6.解： 成立。因为∠1=∠2，所以l∥12。所以∠3=∠5。又因 为∠4+∠5=180°，所以∠3+∠4=180°。7.解：因为 AB∥CD,所以∠ABC=∠BCD。又因为∠1=∠2，所以 ∠ABC-∠1=∠BCD-∠2，即∠MBC=∠NCB。所以 BM∥CN。8.解：(1)如图，过点E作EF∥AB, 所以∠B=∠BEF。因为∠BED=∠BEF+∠FED, ∠BED=∠B+∠D,所以∠FED= ∠D。所以EF∥CD。所以AB∥A B CD。（2)如图，过点E作 E-------F EF∥AB,所以∠B=∠BEF。又因 为AB∥CD,所以EF∥CD。所以C SD ∠FED=∠D。因为∠BED=∠BEF+ 第8题答图 ∠FED,所以∠BED=∠B+∠D。 9.解：因为AD/∥BC,所以∠A+∠ABC=180°。又因 为DA⊥AB,所以∠ABC=∠A=90°。因为∠ABD=30°， 所以∠CBD=6O°。因为AD∥BC,所以∠ADB=∠CBD= 60。因为LADB=LBDC=)LADC,所以LADC= 120°。10.解：BF平行于同一条直线的两条直线平 行∠CBF两直线平行，同旁内角互补90垂直 的定义∠ABF27011.解：(1)理由：如图1， 过点P作PE∥AC,则∠PAC=∠1。又因为AC∥BD, 所以PE∥BD。所以∠PBD=∠2。所以∠1+∠2= ∠PAC+∠PBD。又因为∠APB=∠1+∠2，所以∠APB= ∠PAC+∠PBD。(2)不成立。(3)如图2，当 动点P在射线BA的右侧时，结论是∠PBD=∠PAC+ ∠APB;如图3，当动点P在射线BA上时，∠PBD= ∠PAC+∠APB,∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=O° ∠PBD=∠PAC(任写一个即可)；如图4，当动点P在 射线BA的左侧时，∠PAC=∠PBD+∠APB。选择如图 2,理由：过点P作EP∥AC,所以∠EPA=∠PAC。因 为AC∥BD,所以EP∥BD。所以∠PBD=∠EPB。因为 ∠EPB=∠EPA+∠APB,所以∠PBD=∠PAC+∠APB。 选择如图3，理由：因为动点P在射线BA上，所以 ∠APB=O°。又因为∠PAC=∠PBD,所以∠PBD= ∠PAC+∠APB,∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=O° ∠PBD=∠PAC。选择如图4，理由：过点P作PE∥ AC,所以∠APE+∠PAC=180°。因为AC∥BD,所以 PE∥BD。所以∠EPB+∠PBD=180°。所以∠PAC+ ∠APE=∠EPB+∠PBD。所以∠PAC=∠EPB-∠APE+ ∠PBD=∠APB+∠PBD Ⅲ A C ⅢE --G Π-- P.E B O B 图1 图2 E ⅢA,'P 图3 图4 第11题答图 12.解：任务1：如图1，过点G作GH∥DF,因 为∠C=90°，∠DFE=90°，∠B=45°，∠D=30°，所以 ∠C+∠DFE=180°。所以BC/∥DF。 又因为GH∥DF,所以∠HGD= ∠D=30°，∠BGH=∠B=45°。所以 ∠BGD=∠HGD+∠BGH=30°+45°= 75°。任务2：∠DEM-∠DPB= 30°。理由：如图2，过点D作 A(F) DH∥MN,因为AB∥MN,所以 DH∥AB∥MN,所以∠HDE= 图1 ∠DEM,∠HDP=∠DPB。因 为∠HDE-∠HDP=∠EDF ∠EDF=30°，所以∠DEM- ∠DPB=30°。任务3：∠ACE 角度的所有可能值是150°或 B 135°或60°或45°或15°。13. 130°14.145°15.A16.C M 17.C18.A19.解：因为 E AB∥CD,所以∠ACD=∠1： 图2 因为∠1=∠2，所以∠ACD= 第12题答图 ∠2。所以AEDF。 第三章概率初步 1感受可能性 1.①⑤④②③2.不确定或随机不可能 或确定3.白球4.大5.买到座位号是偶数6.不 及格7.③②①④⑤8.C9.D10.C11.B12. 解：(1)可能。理由：由于100个产品中，既含有正 品，也含有次品，因此取出的产品可能是次品。 (2)正品的可能性大。理由：由于100个产品中，有 10个是次品，则有90个是正品，因此取出的产品为 正品的可能性大。(3)“正品数量多”这一事件的 可能性大。理由：由(2)可知，100个产品中，正品 的数量大于次品的数量，因此从中取出10个产品，在 这10个产品中，“正品数量多”这一事件的可能性 大。13.解：(1)指向阴影区域的可能性小，指向 参考答案与提示 白色区域的可能性大。理由：因为白色区域的面积比 阴影区域的面积大，所以指针指向阴影区域的可能性 比指针指向白色区域的可能性小。 (2)两人获胜的 可能性一样。理由：将一枚硬币掷两次，有（正， 正)，（正，反），（反，反），（反，正）4种情况， 两次朝上的面相同的有2种，两次朝上的面不同的有 2种，所以两人获胜的可能性一样。14.B15.B 2频率的稳定性（第1课时） 1.解：(1)0.6500.6200.5930.6040.601 0.5990.601(2)折线统计图略。 (3)当试验次 数很大时，摸到白球的频率会在0.6附近摆动，即摸 到白球的频率具有稳定性。2.解：(1)x=1000 412-388=200(条)。(2)①选择A酒店获得良好 的用餐体验的可能性为412+388=0.8，选择B酒店获 1000 得良好的用餐体验的可能性为420+390=-0.81，选择C 1000 酒店获得良好的用餐体验的可能性为405+375=0.78。 1000 因为0.81>0.8>0.78，所以选择B酒店获得良好的用餐 体验的可能性最大。②不一定。因为可能性大只能 说明获得良好的用餐体验的可能性大，可能性大的事 件不一定发生，即不是一定能够获得良好的用餐体验， 所以小明不一定能获得良好的用餐体验。3.①③ 2频率的稳定性（第2课时） 1.D2.解：(1)逐项计算表中频率，得 0.90,0.80,0.73,0.72,0.72,0.72。 (2)观察表 格中的数据，发现当投篮次数≥150时，命中的频率 稳定在0.72附近，所以我们可取0.72作为该运动员3 分球投篮命中率的估计，即该运动员3分球投篮命中 的概率约为0.72。 (3)20×72%≈14次，14×3=42 (分)。答：估计他能得42分。3.解：(1)逐项计 算表中频率，得0.950,0.960,0.957,0.963,0.962， 0.962,0.963,0.961,0.962。（2)观察表格中的数 据，发现当抽取的瓷砖数≥400时，合格品频率稳定 在0.962附近，所以我们可取0.96作为该型号瓷砖的 合格品率的估计值，即这种瓷砖的合格品率约为0.96。 (3)500000×96%=480000(块)。答：估计该型号瓷 砖合格品数为480000块。4.解：(1)0.1111 0.16670.09260.14810.29630.1852(2) 都不合理。理由：因为抛一次骰子出现点数1,2,3， 4,5,6向上的情况具有等可能性，即概率相等，所以 王强的说法不合理；虽然抛掷54次出现点数6向上的 频率是0.1852，但频率不等于概率，因为任意掷一次 骰子，点数6向上的概率是】 6,所以李刚的说法也不 合理。两人都忽略了试验次数很大时，事件发生的频 率才逐渐稳定于概率附近，此时我们才能用试验频率 来估计事件发生的概率。5.解：(1)由表格数据可 知，一年中恰好有5个干燥月份的年数是8，所以 年中恰好有5个干燥月份的频率为8≈0.17，所以一 46 年中恰好有5个干燥月份的概率约为0.17。 (2) 年中干燥月份小于7个月的年数为1+5+8+9=23，所以 一年干燥月份小于7个月的频率为器05，所以一年 干燥月份小于7个月的概率为0.5。(3)一年中干 燥月份大于9个月的年数为4，所以一年中干燥月份 大于9个月的颜率为名=009，所以一年中干燥月份