2.1 两条直线的位置关系(第1课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

相交线与平行线 第二章 第二章 相交线与平行线 知识网络 对顶角→对顶角相等 补角→同角或等角的补角相等 相交线 余角→同角或等角的余角相等 垂线→过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 垂线段→垂线段最短→点到直线的距离 相交线与平行线 过直线外一点有且只有一条 直线与这条直线平行 同位角相等，两直线平行 平行于同一条直线的两条直 线平行 直线平行 内错角相等，两直线平行 的条件 用尺规作已知直线的平行线 同旁内角互补，两直线平行 平行线 两直线平行，同位角相等 平行线的 两直线平行，内错角相等 性质 两直线平行，同旁内角互补 两条直线的位置关系（第1课时） 自主导学Q典例精析 例题 如果一个角的余角比它的补角的}还少49，那么这个角的度数是多少？ 【分析】题中给出了这个角的余角和补角之间的数量关系，因为这个角的余角与补角都 和这个角有关，所以可建立这个角与它的余角、补角之间的等量关系，利用方程求解。 【解答】设这个角的度数为x°，则它的余角为(90-x)°，补角为(180-x)°。由题意，得 90-=是(180-)-4。解得x=40.25。所以，这个角的度数为4025°。 【点拨】此类问题均可利用方程模型求解，同一个角的补角与余角的差为90°。 33 口数学 七年级下册（北师大版） 例题2 如图，∠1和∠2是对顶角的图形的个数为() 2 义2 例题2图 A.1 B.2 C.3 D.0 【分析】根据对顶角的定义依次分析各个图形中∠1和∠2边的位置关系即可判断。 【解答】A 【点拨】解答本题的关键是熟练掌握对顶角的特征：两条直线相交形成的没有公共边的 一对角是对顶角。 基础巩固达标闯关 1.如图，直线a,b相交于点0，若∠1=40°，则∠2= 2.若∠等于它的余角，则∠的度数为 1 b 3.若∠1的余角与∠2的补角相等，则∠1和∠2的数量关系为 第1题图 4.如图，直线AB与CD相交于点O,∠AOC与∠BOD的和为210°，则 A ∠BOC的度数为 D 0八 5.下列各图形中，∠1与∠2是对顶角的是() 第4题图 D 6.下列说法正确的是() A.一个钝角与一个锐角的差一定是锐角 B.任何一个角的补角都比这个角大 C.若∠1+∠2+∠3=180°，则∠1，∠2，∠3互补 D.互余的两个角一定都是锐角 能力提升螂综合拓展 e=多 7.已知一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数。 34 相交线与平行线 第二章 8.如图，∠AOC与∠BOC互为补角，∠BOC与∠BOD互为余角，且∠BOC=4∠BOD。 (1)求∠BOC的度数。 (2)若OE平分∠AOC,求∠BOE的度数。 第8题图 9.观察下列图形，寻找对顶角（不含平角）。 图1 图2 图3 第9题图 (1)如图1，图中共有 对对顶角； (2)如图2，图中共有 对对顶角； (3)如图3，图中共有 对对顶角； (4)若有n条直线相交于一点，则可形成 (用含n的式子表示)对对顶角。 中考链接©真题演练 :es多s 10.(2025·广州)如图，直线AB,CD相交于点0，若∠1=36°，则∠2的度数为 11.(2025·广安)若∠A=25°，则∠A的余角为() A.25° B.65 C.75 D.155° 12.(2024.日照)如图，直线AB,CD相交于点0。若∠1=40°，∠2=120°，则∠C0M的 度数为() A.70° B.80° C.90° D.100° D 2 —B 第10题图 第12题图 第13题图 13.(2023北京)如图，∠A0C=∠B0D=90°，∠A0D=126°，则∠B0C的大小为() A.36° B.44° C.54° D.63° 35参考答案与提示 即3n+5x×1×m=4。所以n=号。当x-2=-1时，3n+ 换一组19×13-20×12=247-240=7。证明：设方框框出 的四个数分别为a,a+1,a+7,a+8,则(a+1)(a+7) n(x+2y)(x-2y)=4,即3n+5×(-1)×n=4。.n=-2。综上， -a(a+8)=2+8a+7-2-8a=7。(2)①12×14-6x20= n的值是号或-2.13.2+4x+414.解：原式=+ 168-120=48。②再换一组9x11-3×17=99-51=48。证明： 设选择的四个数的中间数字为x,则四个数为x-1,x+ 2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当x=1,y=-2时，原式=2×12+ 1,x-7,x+7,则(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=x2-1-(x2 (-2)2=6.15.解：(1)由图可知S=(a+2)(a+1)= 49)=x2-1-x2+49=48.17.解：原式=(x2+4x+4)-(x2+3) 2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,当a=2时，S+S2=4+6+2+ =x2+4x+4-x2-3=4x+1。当=-2时，原式=4×(-2)+1=-8+ 10+1=23。(2)S>S2。理由：S-S2=a2+3a+2-5a-1= 1=-7.18.解：原式=(4a2+4ab+b2-4a+b2)÷2b=(4ab+ -2a+1=(a-1)2。因为a>1,所以(a-1)>0,所以S>S2o 2b2)÷2b=2a+b。当a=2,b=-1时，原式=2×2-1=3。 3乘法公式（第4课时） 第二章相交线与平行线 1.10293.-8y4-2415-号4 1 1两条直线的位置关系（第1课时） 1.140°2.45°3.∠2-∠1=90°4.75°5.B 6.347.D8.C9.B10.D11.解：(1)872= 6.D7.解：设这个角为的度数x,则它的余角为90° (90-3)2=902-2×3×90+32=8100-540+9=7569。 (2)5042=(500+4)2=5002+2×4×500+42=250000+4000+ -x,补角为180°-x。依题意有180°-x=4(90°-x),解得 =60°。所以这个角的度数为60°。8.解：(1)因为 16=254016.12.解：(1)原式=42+5x+25- ∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC+∠BOD=90°。 4r-5+25）=4r+5x+25-4r45x-25-10。 (2) 因为LB0C=4LB0D,所以LB0C=号×90°=72。 原式=(m2-n2)(m+n2)(m4-n4)=(m4-n)2=m8-2mn+n8。 (2)因为∠AOC与∠B0C互为补角，所以∠AOC+ ∠B0C=180°。所以∠A0C=180°-∠B0C=180°-72°= (3)原式=3a+b了-4-9r+3h+16-16。 4 108°。因为0E平分∠A0C,所以∠C0E=1∠A0C= 2 (4)原式=3(m2+2m+1)-5(m2-1)+2(m2-2m+1)=3m2+ 6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10.13.解：【验证】 号×108-54。所以∠B0E=∠00E+∠B0C=54+72 10的一半等于5,5=1+4=12+2。【探究】理由： 126°。9.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2n+n2-2m2+2n2=2(m2+ 10.144°11.B12.B13.C n),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的 1 平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 两条直线的位置关系（第2课时） 个正整数的平方和。14.4x(答案不唯一)15.-1012 1.垂直2.5.133.C4.C5.C6.解： 如图，AD⊥BC。 提示：根据a2+b2=(a+b)2-2ab可得(m-2023)2+ (2024-m)2=[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023)(2024- D m)=2025。整理，得2(m-2023)(2024-m)=-2024。 4整式的除法 1.(1)2ab(2)ab(3)4x3y2 (4)-2×109 2.2+2ab+b2-13.34.a-2b5.10a+12b6.-3 7.B8A9.D10.A11解：()原式=号 2 6xy÷4xy2=-4xy2÷4xy2=-x2。（2)原式=9y2÷ (-9xy)-8.xy÷xy=-y-8y=-9y。(3)原式=y3-xy2+ 2x3z。 (④)原式-子g0片6122 12.解：原式=(92+462+12ab-9r+462-602+6ab)片1b= (26+18ab)片b=46+36a。将a=号，6=子代入，原 第6题答图 式=4x子+36x了)=-9.13.解：(1)由已知得 7.解：如图，沿着0E的方向 A=-2xy-3y2-x2+4y2+2x2+2xy=x2+y2。（2)x+y=4, 跑，最短的距离为OE的长。 8 y=3,∴A=x2+y2=(x+y)2-20y=42-2x3=10.14.解：(1) 解：(1)因为由平角定义∠AOB= 由图形，得SAa312rS4T30广-孕e。 180°，∠AOD:∠BOD=3:1,所以 ∠B0D=45°，∠A0D=135°。又因为 OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD= 10 整个健身场地的面积=(a+4a+5a)(1.5a+3a+1.5a)=10a· 45°。所以∠A0C=∠AOD-∠C0D=90°。 6a-60d,S=60-12r-2c-1d。(2)由题 (2)因为∠AOC=90°，所以AB⊥ 第7题答图 意，得607：12-5。答：整座健身馆的面积是成年人 OC。9.B 活动场所面积的5倍。15.解：（2b)(-b)÷ 2探索直线平行的条件（第1课时） 号(ab-号或3wj[(2b(] 1.LBGC DE CG AB 2.AB DE BE CD 3.A4.D5.解：AB∥CD。理由：因为∠1+ 6.16.解：(1)①3x9-2x10=27-20=7。②再 ∠CGE=180°，∠1=72°，所以∠CGE=108°。因为∠2= 108°，所以∠2=∠CGE。所以AB∥CD。6.解：