1.3 乘法公式(第3课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

数学 七年级下册（北师大版） B15.()-子+子-6c+32)}b+号a 2b)。理由：图1中阴影部分的面积等于2-4b2,图2 中长方形的长为(a+2b),宽为(a-2b),因此阴影部 号b(3)36yn-24y+12y2(4)12ab- 分的面积为(a+2b)(a-2b),所以2-4b2=(a+2b)(a- 2b)。18.b2-219.420.D21.解：原式=x2-4+ 8ab5-16d2b7(5)2x2+24y2-14y(6)12(7)-x2+ x-x2=x-4。当=6时，原式=6-4=2。 4x(8)4x2+17xy-10y216.解：(1)原式=2x-6x2+ 3乘法公式（第2课时） 6249x-8-12-3x-12,当x=-时，原式=写×3-12= 3 1.30号30子89982产产3. 「4 -1-12=-13。(2)原式=2x2+x-2x-1-(x2-5x+2x-10)= 4.-5y-7x5.D6.B7.A8.(1)3599(2) 2x2-x-1-x2+3x+10=x2+2x+9。因为x2+2x+2=0,所以x2+ 2x=-2。所以原式=-2+9=7。 (3)原式=4x2+2xy+ 99(3)-8999(4)999是9解：原 3xy+x2-3y2-y+3y2-5x2+4xy。将x=-2,y=2代人，原式= 式=x2-1+92-4=10x2-5,因为322-1，所以2x-2=0。所 5×(-2)2+4×(-2)×2=4.17.解：(1)绿化带的总面 以x=1。所以原式=10×12-5=5.10.解：去年租给乙 积=(2a+b)(3a+2b)-(2a)2=62+4ab+3ab+2b2-4a2=2a2+ 的土地面积为2，今年租给乙的土地面积为(a+5)(a- 7ab+2b2。答：广场上绿化带的总面积是(2a2+7ab+2b) 5)=-25,因为2>a2-25,所以乙吃亏了。 *11.解： m2。 (2)把a=10,b=5代入，得2㎡+7ab+2b2=2× (1)图1中阴影部分的面积为2-b?,图2中阴影部分 102+7×10×5+2×52=600(m2)。答：广场上绿化带的总 的面积为(a+b)(a-b),故恒等式为a2-b2=(a+b)(a-b) 面积是600m。18.解：原式=-4b3+62b2-8ab= (2)①原式=(x24)(x2+4)=x4-16。②由(1)知， -4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4×53+6×52-8×5=-500+150-40= 4m2-n2-(2m-n)(2m+n)。又因为2m-n=5,2m+n=11,所 -390.19.解：(1)(2a+b)(a+2b)=2d+5ab+2b2。 以原式=(2m-n)(2m+n)=5×11=55。 (3)原式=(2- (2)画图如图1所示（答 1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(22-1)(22+1)(24+ 案不唯一)。 (3)恒等 b b2 1)(2+1)(26+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(28 式是(a+2b)(a+b)=d+ 1)(2+1)(216+1)+1=(26-1)(216+1)+1=22-1+1=22。 3ab+2b2,如图2所示（答 0 ab ab 12.A13.解：原式-2m-m+2m+m2-9=4m-9。当m= 案不唯一)。20.解： (1).·(x+3)(x+7)-(x+4)· b b 多时，原式=4×号-910-9=1。 (x+6)=x2+10x+21-x2-10x- 图1 3乘法公式（第3课时） 24=-3,-3引=3。∴.该组平衡多项 1.(1)x2+4x+4（2)9+6ab+b22.(1)x2- 式的平衡因子是3。(2)多项 2xy+y(2)x2-4xy+423.-2xy2y4.(1)24xy 式-1，x-2,x-4,-5是一组平 (2)y5.±126.B7.D8.C9.(1)-22ab-2b 衡多项式。·(x-1)(x-5)-(-2) ab (2)m-18m2+8110.解：方案二：d2+ab+(a+b)b=a2+ (x-4)=x2-6x+5-xX2+6x-8=-3, 6 b ab tab +b2 =a2 +2ab +b2=(a +b)2o a 方案三：a2+ 该组平衡多项式的平衡因子 图2 [at(a+b)]bat(a+b)b=d+ab+ C 是1-3引=3。(3)若多项式x+2, 2 2 aa ab ac x-4,x+1,x+m(m是常数)是一 第19题答图 b2+b+1b2=a2+2ab+b2=(a+b)尸。 组平衡多项式，有三种情况：①(x+2)(x-4)-(x+1)(x+ 2 2 m)=x2-2x-8-x2-(1+m)x-m。是一组平衡多项式 11.解：(1)9个方格中填上相应的 .-2-(1+m)=0。.∴m=-3。②(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m) 代数式如图1。因为大正方形的面积 ac bc c2 =x2+3x+2-x2-(m-4)x+4m。.·是一组平衡多项式，..3 为(a+b+c)2,9个长方形的面积和为 (m-4)=0。.m=7。③(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)=x2+ 2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以 图1 (2+m)x+2m-x2+3x+4。:是一组平衡多项式，2+m+3= (a+b+c)2=2+b2+c2+2ab+2bc+ aa ab ac ad 0。∴m=-5。综上所述，m的值为-3或7或-5.21. 2ac。 (2)如图2，因为 -3a22.D23.C24.解：原式=5x-x2+x2+3=5x+3。 大正方形的面积为(a+b+c+ b ab bd 当x=2时，原式=5×2+3=13。 d)2,16个长方形的面积和为 3乘法公式（第1课时） a +b2+c2+d+2ab +2ac +2ad cd 2bc+2bd+2cd,所以(a+b+c+ 1.(1)4m-b2(2)1-16d(3)x2-y22.a d)2 =d +b2+c2 +d +2ab +2ac dad bd cd b-13.4-4.-2y+5x5.276.27.84 2ad+2bc+2bd+2cd。 (3) 16 因为大正方体的体积为(a+ 图2 8.A9.D10.C11.D12.B13.(1)1-9x2 b)3,分割为8个长方体，这 第11题答图 (2)42-9y2(3)9y-25B(4)2-4d(5) 8个长方体的体积和为a+32b+3ab2+b3,所以(a+b)3=d+ 3a2+3ab2+b3.12.解：(1)由题意，得F(x,y)+ 号-云公(6)-5m+3n14解：原式=3++ H(kx,y)=x2+y2-ky。因为F(x,y)+H(kx,y)是一个 完全平方式，所以-k=±2，即k=±2。(2)因为F(2x+ 2。当x=-1,y=2时，原式=3x(-1×2+(-1+2× 3y,2x-3y)+H(7,x2+2y2)=13,所以(2x+3y)2+(2x-3y)2 7(x2+2y2)=13。所以x2+4y2=13。因为x+2y=5,所以x2+ -0.15.解：(1)原式=(-4)2+4)-( 4xy+4y2=25。所以4y+13=25。所以xy=3。所以(x- y4)=x4-16y-x4+y=-15y。(2)原式=(2-9y2)(x2+ 2y)2=2-4xy+4y=13-12=1。(3）因为S格形w 9y2)+(9x2-2)(9x2+2)=x4-81y4+81x4-y=82x4-82y4.16. SaE=2,所以号·nx·(+y)-号AD-EF=2。所以x(x+y) 解：(2n+1)2-(2n-1)2-8n。左边=(2n+1+2n-1)[(2n+ 1)-(2n-1)]=8n=右边。17.解：a2-4b2=(a+2b)(a- -y4y=4,即nx2+n.y-4y2=4。由(2)知xy=3,x- 2y=±1，x+2y5,所以当x-2=1时，3n+n(+2y)(x-2y)=4, 参考答案与提示 即3n+5x×1×m=4。所以n=号。当x-2=-1时，3n+ 换一组19×13-20×12=247-240=7。证明：设方框框出 的四个数分别为a,a+1,a+7,a+8,则(a+1)(a+7) n(x+2y)(x-2y)=4,即3n+5×(-1)×n=4。.n=-2。综上， -a(a+8)=2+8a+7-2-8a=7。(2)①12×14-6x20= n的值是号或-2.13.2+4x+414.解：原式=+ 168-120=48。②再换一组9x11-3×17=99-51=48。证明： 设选择的四个数的中间数字为x,则四个数为x-1,x+ 2xy+y2+x2-2xy=2x2+y2,当x=1,y=-2时，原式=2×12+ 1,x-7,x+7,则(x-1)(x+1)-(x-7)(x+7)=x2-1-(x2 (-2)2=6.15.解：(1)由图可知S=(a+2)(a+1)= 49)=x2-1-x2+49=48.17.解：原式=(x2+4x+4)-(x2+3) 2+3a+2,S2=(5a+1)×1=5a+1,当a=2时，S+S2=4+6+2+ =x2+4x+4-x2-3=4x+1。当=-2时，原式=4×(-2)+1=-8+ 10+1=23。(2)S>S2。理由：S-S2=a2+3a+2-5a-1= 1=-7.18.解：原式=(4a2+4ab+b2-4a+b2)÷2b=(4ab+ -2a+1=(a-1)2。因为a>1,所以(a-1)>0,所以S>S2o 2b2)÷2b=2a+b。当a=2,b=-1时，原式=2×2-1=3。 3乘法公式（第4课时） 第二章相交线与平行线 1.10293.-8y4-2415-号4 1 1两条直线的位置关系（第1课时） 1.140°2.45°3.∠2-∠1=90°4.75°5.B 6.347.D8.C9.B10.D11.解：(1)872= 6.D7.解：设这个角为的度数x,则它的余角为90° (90-3)2=902-2×3×90+32=8100-540+9=7569。 (2)5042=(500+4)2=5002+2×4×500+42=250000+4000+ -x,补角为180°-x。依题意有180°-x=4(90°-x),解得 =60°。所以这个角的度数为60°。8.解：(1)因为 16=254016.12.解：(1)原式=42+5x+25- ∠BOC与∠BOD互为余角，所以∠BOC+∠BOD=90°。 4r-5+25）=4r+5x+25-4r45x-25-10。 (2) 因为LB0C=4LB0D,所以LB0C=号×90°=72。 原式=(m2-n2)(m+n2)(m4-n4)=(m4-n)2=m8-2mn+n8。 (2)因为∠AOC与∠B0C互为补角，所以∠AOC+ ∠B0C=180°。所以∠A0C=180°-∠B0C=180°-72°= (3)原式=3a+b了-4-9r+3h+16-16。 4 108°。因为0E平分∠A0C,所以∠C0E=1∠A0C= 2 (4)原式=3(m2+2m+1)-5(m2-1)+2(m2-2m+1)=3m2+ 6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10.13.解：【验证】 号×108-54。所以∠B0E=∠00E+∠B0C=54+72 10的一半等于5,5=1+4=12+2。【探究】理由： 126°。9.(1)2(2)6(3)12(4)n(n-1) (m+n)2+(m-n)2=m2+2mn+n2+m2-2n+n2-2m2+2n2=2(m2+ 10.144°11.B12.B13.C n),所以两个已知正整数之和与这两个正整数之差的 1 平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示为两 两条直线的位置关系（第2课时） 个正整数的平方和。14.4x(答案不唯一)15.-1012 1.垂直2.5.133.C4.C5.C6.解： 如图，AD⊥BC。 提示：根据a2+b2=(a+b)2-2ab可得(m-2023)2+ (2024-m)2=[(m-2023)+(2024-m)]2-2(m-2023)(2024- D m)=2025。整理，得2(m-2023)(2024-m)=-2024。 4整式的除法 1.(1)2ab(2)ab(3)4x3y2 (4)-2×109 2.2+2ab+b2-13.34.a-2b5.10a+12b6.-3 7.B8A9.D10.A11解：()原式=号 2 6xy÷4xy2=-4xy2÷4xy2=-x2。（2)原式=9y2÷ (-9xy)-8.xy÷xy=-y-8y=-9y。(3)原式=y3-xy2+ 2x3z。 (④)原式-子g0片6122 12.解：原式=(92+462+12ab-9r+462-602+6ab)片1b= (26+18ab)片b=46+36a。将a=号，6=子代入，原 第6题答图 式=4x子+36x了)=-9.13.解：(1)由已知得 7.解：如图，沿着0E的方向 A=-2xy-3y2-x2+4y2+2x2+2xy=x2+y2。（2)x+y=4, 跑，最短的距离为OE的长。 8 y=3,∴A=x2+y2=(x+y)2-20y=42-2x3=10.14.解：(1) 解：(1)因为由平角定义∠AOB= 由图形，得SAa312rS4T30广-孕e。 180°，∠AOD:∠BOD=3:1,所以 ∠B0D=45°，∠A0D=135°。又因为 OD平分∠BOC,所以∠COD=∠BOD= 10 整个健身场地的面积=(a+4a+5a)(1.5a+3a+1.5a)=10a· 45°。所以∠A0C=∠AOD-∠C0D=90°。 6a-60d,S=60-12r-2c-1d。(2)由题 (2)因为∠AOC=90°，所以AB⊥ 第7题答图 意，得607：12-5。答：整座健身馆的面积是成年人 OC。9.B 活动场所面积的5倍。15.解：（2b)(-b)÷ 2探索直线平行的条件（第1课时） 号(ab-号或3wj[(2b(] 1.LBGC DE CG AB 2.AB DE BE CD 3.A4.D5.解：AB∥CD。理由：因为∠1+ 6.16.解：(1)①3x9-2x10=27-20=7。②再 ∠CGE=180°，∠1=72°，所以∠CGE=108°。因为∠2= 108°，所以∠2=∠CGE。所以AB∥CD。6.解：整式的乘除 第一章 乘法公式（第3课时） 自主导学Q典例精析 例题 用完全平方公式计算： 0+子到月 (2)(-a-b)2; (3)(3a+46-5c)2。 【分析】第()小题可直接运用完全平方公式，子看成公式中的，3y看成公式中的6， 利用(a-b)2公式进行计算；第(2)小题应把(-a-b)2化为(a+b)2,再利用和的完全平方公式 计算；第(3)小题，可把任意两项看作公式中的a,如把(3a+4b)作为公式中的a,5c作为 公式中的b,直接利用公式进行计算后，其中含有(3+4b)2一项的，再次运用完全平方公式。 【解答】①+号到号-3到-号-4+9 (2)(-a-b)2=(a+b)2=a242ab+b2; (3)(3a+46-5c)2=(3a+4b)2-10c(3a+4b)+25c2=9a2+24ab+16b2-30ac-40bc+25c2。 【点拨】把题目变形为符合公式的形式有多种方法，做题时要灵活运用。运用完全平方 公式计算要防止出现以下错误：(a+b)2=+b2,(a-b)2=2-b2。 基础巩固达标闯关 1.计算：(1)(x+2)2= (2)(-3a-b)2= 2.计算：(1)[-(x-y)]2= (2)(-x+2y)2= 3.填空：x2+y2=(x+y)24 =(x-y)2+ 4.填空：(1)（2x-3y)2+ =(2x+3y)2; 5.若4x2-mxy+9y2是一个完全平方式，则m= 6.下列计算不正确的是() A.(a-b)(a+b)=2-b2 B.(a+b)(a+b)=2+b2 C.(-a-b)(a+b)=-a2-2ab-b2 D.(--b)(-a-b)=d+2ab+b2 7.下列等式成立的是() Ax分- B+3°=+ c-2--3 Dx-2} 8.(x+y+z)2=( )+2y()+y2,两个括号内都应填（） A.xty B.y+z C.x+z D.x+y+z 25 口数学 七年级下册（北师大版） 能力提升锄综合拓展 9.计算： (1)(11a+b)(11a-b)-(11a+b)2; (2)(m+3)2(m-3)2。 I0.有一张边长为acm的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加bcm,木 工师傅设计了如图所示的三种方案。 小明发现这三种方案都能验证公式： a2+2ab+b2=(a+b)2。 对于方案一，小明是这样验证的： a+ab+ab+b2=d+2ab+b2=(a+b)2 方案 方案二 方案三 第10题图 请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程。 方案二： 方案三： 11.我们知道运用拼图法可得到公式(a+b)2=2+2ab+b2。基本思路是：如图，正方形的 面积等于边长乘边长，S=(a+b)(a+b)。又因为该正方形是由面积为S,S2,S3,S4的图形拼 摆得到的，即S=S+S2+S3+S4=2+ab+ab+b2,所以(a+b)2=2+2ab+b2。 请类比上述方法解答下列问题： (1)在图1的9个方格中填上相应的代数式，用拼图法求(a+b+c)2。 (2)将图2中边长为a+b+c+d的正方形分割，画出分割的图形，并根据分割的图形面积 求(a+b+c+d)2。 (3)将图3中棱长为a+b的正方体分割，请用拼图法求(a+b)3。 S2 b 图1 图2 图3 第11题图 26 整式的乘除 第一章 12.对于任意四个有理数m,n,p,q,我们规定：F(m,n)=m2+n2,H(p,q)=-pq。例 如：F(1,2)=12+22=5,H(3,4)=-3×4=-12。 (1)若F(x,y)+H(kx,y)是一个完全平方式，求常数k的值。 (2)若x+2y=5,且F(2x+3y,2x-3y)+H(7,x2+2y2)=13,求y与(x-2y)2的值。 (3)在(2)问的条件下，将梯形ABCD及梯形ABFE按照如图方式放置，其中点E在 边BD的延长线上，点F在BC上，且BF<FC,∠BAD=90°，连接AE。若BC=x,AB=x, AD=y,EF=4y,当S梯形An-SAM=2时，求n的值。 第12题图 中考链接©真题演练 13.(2024·无锡)计算：(x+2)2= 14.(2024陕西)先化简，再求值：(x+y)2+x(x-2y）,其中x=1,y=-2。 15.(2023·河北)现有甲、乙、丙三种长方形卡片各若干张，卡片的边长如图1所示 (心1)。某同学分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠、无缝隙），如图2和图3，其面 积分别为S1,S2 甲 乙 乙丙丙 乙乙乙乙乙丙 图1 图2 图3 第15题图 (1)请用含a的式子分别表示S,S,当a=2时，求S+S2的值。 (2)比较S与S2的大小，并说明理由。