1.3 乘法公式(第2课时)-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材七年级下册数学同步练习（北师大版2024）

口数学 七年级下册（北师大版） 乘法公式（第2课时） 自主导学Q典例精析 例题利用平方差公式计算： (1)1999x2001: (②)40号×393 【分析】运用平方差公式计算两个有理数的积时，关键是要将其转化为平方差公式的形 式。通常采用的方法：(1)观察法，如第(1)题适合此法；(2)平均数法，如第(2)题 402+391 中，=0393040。 2 2 【解答】(1)1999x2001=(2000-1)×(2000+1)=20002-1=3999999; 2)40号×30g40+号x40-号=40-号-160-号1599；。 【点拨】在进行有理数运算时适当运用平方差公式会使运算简便。 例题2计算：(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a)。 【分析】前两个相乘的多项式不符合平方差公式特征，只能用“多项式乘多项式”；后两 个多项式相乘可以用平方差公式。 【解答】(a-2b)(2a-b)-(2a-b)(b+2a) =2a2-ab-4ab+2b2-[(2a)2-b2] =2a2-5ab+2b2-(4a2-b2) =2a2-5ab+2b2-4a2+b2 =-2a2-5ab+3b2。 【点拨】在进行整式乘法运算时，要观察算式的特点，是否符合平方差公式特征。当能 用平方差公式计算的式子不在首位时，其运算的结果前一定要加上括号，然后再与其他项进 行加、减、乘、除等运算。 基础巩固达标闯关 多 1.填空：30兮×29号( 2.计算：(x+y)(x-y+)= 3.若Ax2+x-分+=6则A 4.填空：(7x-5y)( )=25y2-49x2。 22 整式的乘除 第一章 5.下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是() A.(3+b3)(a2-b3) B.(a2+b2)(b2-a2)C.(2x2y+1)(2x3y-1) D.(x2-2y)(2x+y2) 6.已知d2-b2=4,则(a-b)2(a+b)2的结果是（) A.4 B.16 C.7 D.1 7.如图1，在边长为a的正方形正中间的位置剪掉一个边长为b的小正方形(a>b),把 剩余的部分按照图1中虚线剪成四个相同的梯形，并用这四个梯形拼成如图2所示的平行四 边形，则根据图1中剩余的图形面积与图2的面积相等关系，可以验证（) A.a2-b2=(a+b)(a-b) B.(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 C.(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2 图1 图2 D.(a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2 第7题图 8.请你运用平方差公式快速解答下列各题。 (1)59x61: (2)9.9×10.1: (3)(-2999)×3001; (4)99上x1004 能力提升睡综合拓展 9.化简求值：(x+1)(x-1)-(3x-2)(-3x-2),其中x满足32-2-1。 因 数学 七年级下册（北师大版） 10.去年，甲把一边长为am的正方形土地租给乙，以下内容是今年甲与乙的一番谈话。 甲：“我把这块地的一边增加5m,另一边减少5m,继续租给你。” 乙：“不好吧，这样我就吃亏了！” 请问乙说吃亏的原因是什么。 11.【探究】 (1)如图1，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分按如 图方式剪开，拼成图2的长方形。请你分别表示出这两个图形中阴影部分的面积，根据这两 图的阴影部分的面积关系，我们可以得到一个关于多项式乘法的恒等式，请写出这个恒等式。 【应用】 (2)请应用这个等式解决下列各题： ①计算：(x-2)(x+2)(x2+4); ②已知2m-n=5,2m+n=11,求4m2-n2的值： 【拓展】 图1 图2 第11题图 (3)计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)+1的结果。 中考链接©真题演练 -e多多色色 12.(2025·台湾)利用乘法公式判断，下列算式的值与其他算式不相同的一项是() A.(1062-42)×(1082-22) B.(107-32)×(1072-12) C.(1082-22)×(1062-22) D.(1092-12)×(1052-12) 13.(2024长沙)先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中m= 29 ④数学 七年级下册（北师大版） B15.()-子+子-6c+32)}b+号a 2b)。理由：图1中阴影部分的面积等于2-4b2,图2 中长方形的长为(a+2b),宽为(a-2b),因此阴影部 号b(3)36yn-24y+12y2(4)12ab- 分的面积为(a+2b)(a-2b),所以2-4b2=(a+2b)(a- 2b)。18.b2-219.420.D21.解：原式=x2-4+ 8ab5-16d2b7(5)2x2+24y2-14y(6)12(7)-x2+ x-x2=x-4。当=6时，原式=6-4=2。 4x(8)4x2+17xy-10y216.解：(1)原式=2x-6x2+ 3乘法公式（第2课时） 6249x-8-12-3x-12,当x=-时，原式=写×3-12= 3 1.30号30子89982产产3. 「4 -1-12=-13。(2)原式=2x2+x-2x-1-(x2-5x+2x-10)= 4.-5y-7x5.D6.B7.A8.(1)3599(2) 2x2-x-1-x2+3x+10=x2+2x+9。因为x2+2x+2=0,所以x2+ 2x=-2。所以原式=-2+9=7。 (3)原式=4x2+2xy+ 99(3)-8999(4)999是9解：原 3xy+x2-3y2-y+3y2-5x2+4xy。将x=-2,y=2代人，原式= 式=x2-1+92-4=10x2-5,因为322-1，所以2x-2=0。所 5×(-2)2+4×(-2)×2=4.17.解：(1)绿化带的总面 以x=1。所以原式=10×12-5=5.10.解：去年租给乙 积=(2a+b)(3a+2b)-(2a)2=62+4ab+3ab+2b2-4a2=2a2+ 的土地面积为2，今年租给乙的土地面积为(a+5)(a- 7ab+2b2。答：广场上绿化带的总面积是(2a2+7ab+2b) 5)=-25,因为2>a2-25,所以乙吃亏了。 *11.解： m2。 (2)把a=10,b=5代入，得2㎡+7ab+2b2=2× (1)图1中阴影部分的面积为2-b?,图2中阴影部分 102+7×10×5+2×52=600(m2)。答：广场上绿化带的总 的面积为(a+b)(a-b),故恒等式为a2-b2=(a+b)(a-b) 面积是600m。18.解：原式=-4b3+62b2-8ab= (2)①原式=(x24)(x2+4)=x4-16。②由(1)知， -4(ab)3+6(ab)2-8ab=-4×53+6×52-8×5=-500+150-40= 4m2-n2-(2m-n)(2m+n)。又因为2m-n=5,2m+n=11,所 -390.19.解：(1)(2a+b)(a+2b)=2d+5ab+2b2。 以原式=(2m-n)(2m+n)=5×11=55。 (3)原式=(2- (2)画图如图1所示（答 1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(22-1)(22+1)(24+ 案不唯一)。 (3)恒等 b b2 1)(2+1)(26+1)+1=(24-1)(24+1)(28+1)(26+1)+1=(28 式是(a+2b)(a+b)=d+ 1)(2+1)(216+1)+1=(26-1)(216+1)+1=22-1+1=22。 3ab+2b2,如图2所示（答 0 ab ab 12.A13.解：原式-2m-m+2m+m2-9=4m-9。当m= 案不唯一)。20.解： (1).·(x+3)(x+7)-(x+4)· b b 多时，原式=4×号-910-9=1。 (x+6)=x2+10x+21-x2-10x- 图1 3乘法公式（第3课时） 24=-3,-3引=3。∴.该组平衡多项 1.(1)x2+4x+4（2)9+6ab+b22.(1)x2- 式的平衡因子是3。(2)多项 2xy+y(2)x2-4xy+423.-2xy2y4.(1)24xy 式-1，x-2,x-4,-5是一组平 (2)y5.±126.B7.D8.C9.(1)-22ab-2b 衡多项式。·(x-1)(x-5)-(-2) ab (2)m-18m2+8110.解：方案二：d2+ab+(a+b)b=a2+ (x-4)=x2-6x+5-xX2+6x-8=-3, 6 b ab tab +b2 =a2 +2ab +b2=(a +b)2o a 方案三：a2+ 该组平衡多项式的平衡因子 图2 [at(a+b)]bat(a+b)b=d+ab+ C 是1-3引=3。(3)若多项式x+2, 2 2 aa ab ac x-4,x+1,x+m(m是常数)是一 第19题答图 b2+b+1b2=a2+2ab+b2=(a+b)尸。 组平衡多项式，有三种情况：①(x+2)(x-4)-(x+1)(x+ 2 2 m)=x2-2x-8-x2-(1+m)x-m。是一组平衡多项式 11.解：(1)9个方格中填上相应的 .-2-(1+m)=0。.∴m=-3。②(x+2)(x+1)-(x-4)(x+m) 代数式如图1。因为大正方形的面积 ac bc c2 =x2+3x+2-x2-(m-4)x+4m。.·是一组平衡多项式，..3 为(a+b+c)2,9个长方形的面积和为 (m-4)=0。.m=7。③(x+2)(x+m)-(x+1)(x-4)=x2+ 2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,所以 图1 (2+m)x+2m-x2+3x+4。:是一组平衡多项式，2+m+3= (a+b+c)2=2+b2+c2+2ab+2bc+ aa ab ac ad 0。∴m=-5。综上所述，m的值为-3或7或-5.21. 2ac。 (2)如图2，因为 -3a22.D23.C24.解：原式=5x-x2+x2+3=5x+3。 大正方形的面积为(a+b+c+ b ab bd 当x=2时，原式=5×2+3=13。 d)2,16个长方形的面积和为 3乘法公式（第1课时） a +b2+c2+d+2ab +2ac +2ad cd 2bc+2bd+2cd,所以(a+b+c+ 1.(1)4m-b2(2)1-16d(3)x2-y22.a d)2 =d +b2+c2 +d +2ab +2ac dad bd cd b-13.4-4.-2y+5x5.276.27.84 2ad+2bc+2bd+2cd。 (3) 16 因为大正方体的体积为(a+ 图2 8.A9.D10.C11.D12.B13.(1)1-9x2 b)3,分割为8个长方体，这 第11题答图 (2)42-9y2(3)9y-25B(4)2-4d(5) 8个长方体的体积和为a+32b+3ab2+b3,所以(a+b)3=d+ 3a2+3ab2+b3.12.解：(1)由题意，得F(x,y)+ 号-云公(6)-5m+3n14解：原式=3++ H(kx,y)=x2+y2-ky。因为F(x,y)+H(kx,y)是一个 完全平方式，所以-k=±2，即k=±2。(2)因为F(2x+ 2。当x=-1,y=2时，原式=3x(-1×2+(-1+2× 3y,2x-3y)+H(7,x2+2y2)=13,所以(2x+3y)2+(2x-3y)2 7(x2+2y2)=13。所以x2+4y2=13。因为x+2y=5,所以x2+ -0.15.解：(1)原式=(-4)2+4)-( 4xy+4y2=25。所以4y+13=25。所以xy=3。所以(x- y4)=x4-16y-x4+y=-15y。(2)原式=(2-9y2)(x2+ 2y)2=2-4xy+4y=13-12=1。(3）因为S格形w 9y2)+(9x2-2)(9x2+2)=x4-81y4+81x4-y=82x4-82y4.16. SaE=2,所以号·nx·(+y)-号AD-EF=2。所以x(x+y) 解：(2n+1)2-(2n-1)2-8n。左边=(2n+1+2n-1)[(2n+ 1)-(2n-1)]=8n=右边。17.解：a2-4b2=(a+2b)(a- -y4y=4,即nx2+n.y-4y2=4。由(2)知xy=3,x- 2y=±1，x+2y5,所以当x-2=1时，3n+n(+2y)(x-2y)=4,