精品解析：天津市北辰区太行高级中学2025-2026学年度高三年级第二学期开学考试数学试题

2025—2026学年度高三年级第二学期开学考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合的并集运算即可求解 【详解】因为， 所以， 故选：B 2. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理边角互化及“大角对大边”及“大边对大角”性质可得. 【详解】设外接圆半径为，由正弦定理得：，即，. 充分性验证： 若，由大角对大边得，即，所以充分性成立. 必要性验证：若，则，即，由大边对大角得，所以必要性成立. 因此“”是“” 的充要条件. 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均减少个单位 C. 若随机变量，满足，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，根据第60百分位数为判断；对于B，根据系数为正判断B；根据线性关系判断C；根据正态分布的对称性判断D. 【详解】对于A，由于，所以第60百分位数为，故错误； 对于B，线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均增加个单位，故错误； 对于C，，，故错误； 对于D，随机变量服从正态分布，且，故，所以，故正确. 故选：D 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除B. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除C. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除D. 故选：A. 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 6. 已知函数，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的单调性，利用零点存在定理求出函数零点的取值范围，再由函数的单调性得出的正负即可得解. 【详解】因为，所以恒成立，为增函数， 因为，，且， 所以由零点存在定理可知， 因为，所以，恒成立，为增函数， 因为，，且， 所以由零点存在定理可知， 所以，，因此， 故选：D 7. 如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（ ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积为0得，从而可判断①；根据长方体的外接球半径为体对角线的一半可求得三棱锥的外接球的半径，进而求得表面积，可判断②；求出平面的法向量，判断是否为平面的法向量即可判断③；等体积法可判断④. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. 对于①，，所以，， 所以，所以点到直线的距离为，即，故①正确； 对于②，因为，所以，即， 所以是直角三角形，其外接圆的圆心为斜边的中点， 三棱锥的外接球的球心在过的中点，且垂直于平面的直线上， 又也为直角三角形，所以三棱锥的外接球的球心为的中点， 球的半径为，所以球的表面积为，故②错误； 对于③，, 设平面的法向量为， 则，即，取，得， 假设平面平面，则也是平面的法向量， 所以而，矛盾， 所以假设不成立，即平面与平面不平行，故③错误； 对于④，由等体积法可得三棱锥的体积， 由长方体的性质可知平面，即三棱锥的高为， 又， 所以，故④正确． 故选：B. 8. 函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦函数对称轴求出，再结合正弦函数性质逐项分析判断. 【详解】由函数的图象关于直线对称，得， 而，则，， 对于A，将的图象向右平移个单位长度后得， 函数不是奇函数，其图象关于原点不对称，A错误； 对于B，，点是图象的对称中心，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增， 则函数在区间上单调递增，D错误. 故选：B 9. 已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，点也是抛物线的焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算可得，，由平面向量数量积的运算性质可得出，可得出关于、的齐次等式，即可求解． 【详解】如下图所示： 因为，由双曲线的定义可得，则， 因为为的中点，则，则， 所以，，又因为， 所以，， 即，整理可得， 由点也是抛物线的焦点，得，即， 得，所以， 因此，该双曲线C的方程为：. 故选：B. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个的给3分， 10. 已知是虚数单位，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】因为 所以 故答案为： 11. 的展开式中常数项为_____. 【答案】14 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式，进而求出常数项. 【详解】的展开式的通项公式为， 由，得，所以所求常数项为. 故答案为：14 12. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】先计算圆心到直线的距离，再由圆的弦长公式可得所求值. 【详解】由圆，得圆心，半径. 所以圆心到直线的距离. 又因为，所以， 即，化简得，解得或. 故答案为：或. 13. 某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率____________；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率____________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】第一空给出具体事件，根据条件概率公式求解即可；第二空根据全概率公式求解. 【详解】从五年级科技课外兴趣小组的12人中随机挑选2个学生，记“其中一个是男生”为事件，“另一个也是男生”为事件， 由题意知12人中有7男5女， 则. 先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两名同学参赛，记“从甲班中选两个同学”为事件，“从乙班中选两个同学”为事件，“两个都是男生”为事件， 因为等可能地从两个班中随机选择一个班，所以， 又， 所以 . 故答案为：；. 14. 已知平行四边形，，点满足，记．用表示____________；若，则____________． 【答案】 ①. ； ②. 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理以及定比分点，结合向量运算法则可得，用表示出，再由平面向量数量积运算律计算可得结果. 【详解】如下图所示： 根据题意可知 ； 易知 ； 又； 因为可知； 所以 ； 故答案为：；； 15. 若函数存在零点，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为半圆与函数有交点，注意到函数的拐点在直线上，结合图形分析可得. 【详解】令，得， 则函数有零点，等价于和有交点， 即半圆与函数有交点. 函数过点，点在直线上，如下图所示： 当函数过点时，，由图可知，当时，满足题意. 综上所述， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若， （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】（1）；（2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可； （2）（i）由（1）可得，再利用正弦定理求的值； （ii）由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式可得结果． 【详解】在中，由正弦定理 可得：，整理得， 由余弦定理，可得； （2）（i）由（1）可得，又由正弦定理， 及已知，可得， 由已知，可得，故有， 为锐角，可得，； （ii）由（i）可得，, . 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 【答案】（1） 如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，，，，， ，， ，， 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． 设是平面的法向量， 则，解得， 取，则，，得是平面的一个法向量． ， 平面平面． （2） （3）16 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面和平面的一个法向量，证明这两个法向量平行或相等即可； （2）利用二面角的向量公式计算即可； （3）利用点到面的距离公式，以及棱锥的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 是平面的一个法向量． 设平面与平面夹角为， 则, 即平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ，，， 又是平面的一个法向量， 点A到平面的距离． ， 梯形为等腰梯形，易得梯形的高为， ，． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件列方程求出 的值，即可得到椭圆的方程； （2）设方程为，联立方程利用韦达定理得到 ，由，得到，所以直线方程 ，得.所以. 【小问1详解】 因为左、右焦点分别为 ，所以 ， 的周长为， 所以 ，所以 ， 所以椭圆方程. 【小问2详解】 设过点 的直线 m 方程为（斜率不存在时无交点，舍去）， 联立椭圆方程：，得. 设，中点， 则；由得到； ；所以， 由，化简得到，所以， 所以直线方程，令， 得. 所以，因为， 令，所以 ，函数， 因为，所以在上单调递增， ，； 所以. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 【答案】（1）， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的求和公式与通项公式列式求出首项和公差，可得数列的通项公式；根据可求出数列的通项公式； （2）根据进行裂项求和可求出； （3）根据基本不等式进行放缩得，再根据错位相减法求和可证不等式成立. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，设公差为， 由，得，即，解得， 所以， 由得，得， 当时，， 所以， 所以，即， 又，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以. 综上所述：数列、的通项公式分别是：，. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 . 【小问3详解】 由（1）知，， 所以， 所以， 所以， 设， 则， 所以， 所以， 所以， 所以. 20. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 【答案】（1） 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求得，根据其正负，即可判断函数单调性，从而求得单调区间； （2）分离参数，并构造函数，再利用导数判断的单调性，并求得其在上的最大值，即可求得参数的范围； （3）依题可得函数有两个不同的零点，结合判别式和韦达定理，由题干条件等价转化，推得，从而得到关于的不等关系，求解即可. 【小问1详解】 当时，，则， 由可得或，由可得. 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 即， 设， 由题意知，对任意的恒成立. 则 ， 因为时，恒成立， 故当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故，则有，故的取值范围为. 【小问3详解】 由，可得， 因是的两个不同的极值点，则方程有两异根， 则有（*），故. 而， 即， 也即，即， 将（*）代入上式，可得，解得. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度高三年级第二学期开学考试数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分150分） 一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 在中，“”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第60百分位数为14 B. 在线性回归方程中，变量每增加1个单位，平均减少个单位 C. 若随机变量，满足，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 4. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知函数，若，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，若长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，是的中点，则下列说法正确的个数是（ ） ①点到直线的距离为； ②三棱锥的外接球的表面积为； ③平面平面； ④三棱锥的体积为． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 函数的图象关于直线对称，则下列命题正确的是（ ） A. 将的图象向右平移个单位长度后得到的函数图象关于原点对称 B. 点为图象的一个对称中心 C. D. 在区间上单调递减 9. 已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点依次为、，点也是抛物线的焦点，过点的直线与双曲线C在第一象限交于点P，若，，则双曲线C的方程为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对一个的给3分， 10. 已知是虚数单位，则____________． 11. 的展开式中常数项为_____. 12. 直线与圆交于A、B两点，若，则______． 13. 某小学五年级有两个班，其中甲班科技课外兴趣小组有6人（4男2女），乙班科技课外兴趣小组有6人（3男3女），学校准备从五年级科技课外兴趣小组中随机挑选2个学生参加全市科技竞赛．已知其中一个是男生的条件下，则另一个也是男生的概率____________；若通过平时训练发现，如果两个参赛选手来自同一个班，默契程度会高一些，学校决定，先等可能地从两个班中随机选择一个班，再从该班中随机挑选两个同学参赛，则两个都是男生的概率____________． 14. 已知平行四边形，，点满足，记．用表示____________；若，则____________． 15. 若函数存在零点，则a的取值范围为______． 三、解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 在中，角的对边分别为，已知 （1）求的值； （2）若， （i）求的值： （ii）求的值. 17. 已知正方体的棱长为4，M，N，E，F分别为，，，的中点． （1）求证：面面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 18. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 过 的直线交椭圆C于点M，N， 的周长为8，过点Q(4，0)的直线m交椭圆C于不同的两点A，B. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若D为线段AB 的中点，在x轴上存在一点E，使 成立，求 的取值范围. 19. 已知等差数列的前项和为，且，.数列的前项和为，满足. （1）求数列、的通项公式； （2）若，求数列的前项和； （3）设，求证：. 20. 已知函数 . （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数 不等式 恒成立，求实数b的取值范围； （3）若是的两个不同的极值点， 且 求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $