精品解析：湖南岳阳市平江县颐华高级中学2025-2026学年高三下学期入学考试数学试题（高复部）

平江颐华学校（高复部） 2026年春季开学测试试卷·数学 一、单项选择题（每小题5分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（ ） A. 5 B. C. D. 4. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（ ） A. B. C. D. 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}最大项是(　　) A. a1 B. a9 C. a10 D. 不存在 7. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 8. 已知函数与的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（每小题6分） 9. 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数，则可能是纯虚数 D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限 10. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，，那么 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 的极小值点为 三、填空题（每小题5分） 12. 已知|，点在内，且，设，则等于 ． 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最小值为______. 14. 已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则 的面积等于__________． 四、解答题 15. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； （2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 16. 在递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 18. 如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设. （1）试用向量表示； （2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由； （3）设的面积为的面积为，求的取值范围. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若在时取得极值，设，当时，试比较与大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平江颐华学校（高复部） 2026年春季开学测试试卷·数学 一、单项选择题（每小题5分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集并集的定义即可求出. 【详解】， ，. 故选：C. 2. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质可知不正确，正确. 【详解】因为，所以，故不正确； 因为，所以，故不正确； 因为，所以，所以，故不正确； 因为，所以，故正确. 故选：D. 【点睛】本题考查了不等式的性质，属于基础题. 3. 如图，在长方体中，为棱的中点，为四边形内（含边界）的一个动点.且，则动点的轨迹长度为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正方体性质以及线面垂直判定定理可证明平面，由线面垂直的性质可得当时，动点的轨迹为. 【详解】如下图所示： 作交于点，易知四边形是边长为4的正方形， 利用三角形相似可知，即可得，所以， 由勾股定理可知， 利用正方体性质可知平面，平面，所以； 又，，平面， 可知平面； 由可知平面，又为四边形内（含边界）的一个动点， 所以动点的轨迹为平面与四边形的交线，即为， 因此可得动点的轨迹长度为. 故选：B 4. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件确定对应最大值，，进而可求解. 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 可知：对应最大值，也即，， 由，且都在区间内， 所以由对称性可知：， 所以， 所以，即， 所以，，又， 取可得：， 所以， 故选：C 5. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据D的位置得出：，根据余弦定理，确定与的等式关系，结合基本不等式，建立关于的不等式，解不等式即可得出范围，结合三角形两边之和大于第三边，从而得解. 【详解】因为D是上靠近A的三等分点，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，则， 即，当且仅当时等号成立， 又在中，, 因此，即， 所以的取值范围为. 故选：C. 6. 已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝an，则数列{an}最大项是(　　) A. a1 B. a9 C. a10 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【详解】∵，且 ∴ 又∵ ∴ ∴此数列为递减数列，最大项为. 故选A. 点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法： （1）研究数列的单调性，利用单调性求最值； （2）可以用或； （3）转化为函数最值问题或利用数形结合求解. 7. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值 【详解】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A 8. 已知函数与的图象如图所示，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据图象区分与的图象，再利用图象解不等式组. 【详解】若图中实线部分曲线为函数的图象，则虚线部分曲线为导函数的图象，由导函数的图象可知，函数在区间上的单调递减区间为， 但函数在区间上不单调，不合乎题意； 若图中实线部分曲线为导函数的图象， 则函数在区间上的减区间为，增区间为，合乎题意. 由图象可知，不等式的解集为， 故选：A. 二、多项选择题（每小题6分） 9. 是虚数单位，下列说法中正确的有（ ） A. 若复数满足，则 B. 若复数，满足，则 C. 若复数，则可能是纯虚数 D. 若复数满足，则对应的点在第一象限或第三象限 【答案】AD 【解析】 【分析】 A选项，设出复数，根据共轭复数的相关计算，即可求出结果； B选项，举出反例，根据复数模的计算公式，即可判断出结果； C选项，根据纯虚数的定义，可判断出结果； D选项，设出复数，根据题中条件，求出复数，由几何意义，即可判断出结果. 【详解】A选项，设，则其共轭复数为， 则，所以，即；A正确； B选项，若，，满足，但不为；B错； C选项，若复数表示纯虚数，需要实部为，即，但此时复数表示实数，故C错； D选项，设，则， 所以，解得或，则或， 所以其对应的点分别为或，所以对应点的在第一象限或第三象限；D正确. 故选：AD. 10. 下列命题中，不正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 如果，，那么 C. 如果，，那么 D. 如果，，，那么 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式性质判断A、B、C；应用作差法判断D. 【详解】A：由，则，故，错； B：由，则，又，故，对； C：由题设，又，则，错； D：， 由，，则，又， 所以，即，对. 故选：AC. 11. 已知，下列说法正确的是（ ） A. 在处的切线方程为 B. 单调递增区间为 C. 的极大值为 D. 的极小值点为 【答案】AC 【解析】 【分析】对求导，结合导数的几何意义可得切线的斜率，写出切线方程，可判断选项A；利用导数分析函数的单调性，极值可判断选项B,C,D． 【详解】，所以（1），（1）， 的图象在点处的切线方程为（1）， 即，故选项A正确； 在上，，单调递增，在上，，单调递减，故选项B错误； 的极大值也是最大值为（），故选项C正确； 因为在上，单调递增，在上，单调递减，所以函数没有极小值点，故选项D错误. 故选：AC． 三、填空题（每小题5分） 12. 已知|，点在内，且，设，则等于 ． 【答案】3. 【解析】 【详解】方法一： , ① 又, ② , ③ 将②③代入①得：，所以， 点在内， 所以. 方法二： 以直线OA,OB分别为轴建立直角坐标系， 则 , 设， 又， 得，即 ， 解得. 故答案为：3. 13. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，再利用三角函数的诱导公式与单调性即可得解. 【详解】由题意，得，所以， 因为，所以，则， 所以当，即时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 14. 已知和的图像的连续的三个交点、、构成三角形，则 的面积等于__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意正余弦函数的图象可得：y=sinx和y=cosx的图象的连续的三个交点A、B、C构成三角形△ABC是等腰三角形， ∵底边长为一个周期T=2π，高为， ∴△ABC的面积 故答案为． 四、解答题 15. 已知向量，，设函数. （1）求函数的最大值，及取得最大值时x取值的集合； （2）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角，若，，求的值. 【答案】（1）最大值为，取得最大值时取值的集合为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标运算以及三角恒等变换整理可得，结合余弦函数求最值即可； （2）根据题意结合可得，在利用两角和差公式求. 【小问1详解】 由题意可得： ， 可知当，即时，函数取到最大值， 所以函数的最大值为，此时取值的集合为. 【小问2详解】 因为，即， 且，则，可知，即， 又因为，，则， 所以. 16. 在递增的等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式性质转化为，进而求得，，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，因为数列是等差数列， 所以，由解得， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 则①， ②， ①-②得 则. 17. 如图所示，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N，K分别为AB，PC，PA的中点，平面平面． （1）判断直线l与BC的位置关系并证明； （2）求证：平面PAD； （3）直线PB上是否存在点H，使得平面平面ABCD?若存在，求出点H的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），证明见解析； （2）证明见解析； （3）存在，为中点，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面，再由线面平行的性质定理证明即可. （2）利用线面平行的判定定理证明即可. （3）利用面面平行的判定定理证明即可. 【小问1详解】 . 依题意，，平面，平面，则平面， 又平面平面，平面，所以. 【小问2详解】 取中点，连接，在中， 在中，，则，即四边形为平行四边形， 因此，平面，平面， 所以平面. 【小问3详解】 当为中点时，平面平面 证明如下： 取的中点为，连接， 在中，，平面，平面， 则平面，同理可证，平面， 又平面，， 所以平面平面. 18. 如图，为的中线的中点，过点的直线分别交两边于点，记，设. （1）试用向量表示； （2）判断是否是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由； （3）设的面积为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）是， （3）. 【解析】 【分析】（1）利用中点的向量关系.得到.把的表达式代入，就得到 即可. （2）利用三点共线的向量性质，得到.而前面已求得，由于，不共线，那么对应系数相等，得到方程组，通过变形求解得到，，进而得出. （3）先根据三角形面积公式得出，再由前面的结论得到，结合，的取值范围求出的取值范围.然后令，将xy转化为关于的函数，最后根据函数单调性求最值. 【小问1详解】 ∵为的中点，为的中点， ∴. 【小问2详解】 ∵三点共线，∴，又， ∴由（1）知， 而不共线，所以，解得， 所以为定值. 【小问3详解】 ， 由（2）知，即 则 令且，所以 因为当时，函数单调递减，当时，函数单调递增， 且，∴有最小值，最大值， 故. 19. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求函数的极值； （3）若在时取得极值，设，当时，试比较与大小，并说明理由. 【答案】（1）；（2）当时，有极小值，无极大值；当时，无极值；（3）；答案见解析. 【解析】 【分析】 （1）先求出，再对函数求导可求出切线的斜率，然后利用点斜式可求出切线方程； （2）先对函数求导，然后结合导数与极值关系即可求解； （3）结合题意作差，变形得，构造函数，转化为求解函数的最小值，利用导数求解即可 【详解】解：（1）当时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由，得. ①若，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 所以，当时，有极小值，无极大值； ②若，当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以无极值. ③若，当时，恒成立， 所以在上单调递减，所以无极值. 综上，当时，有极小值，无极大值； 当时，无极值. （3）由，，所以. 由， 所以. 又，所以. 构造函数， 则. 当时，恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以成立， 所以，即. 【点睛】此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $