精品解析：吉林长春市长春南湖实验中学2026年九年级数学春季开学收心自测

南湖校区2025-2026学年度下学期 九年级数学第一周 大综合（第1周） 日期：2026、3、4 预计完成时间：120分钟 1. 把写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，将原式中的加减运算统一转化为省略加号的和的形式，需根据符号法则处理括号前的符号． 【详解】解：原式为：．第一个数保持不变；第二个数 的加号省略后，符号保留，即，因此前两项合并为；第三个数 表示减去负数，等价于加上正数，即，因此第三项为； 将上述结果合并，得到省略加号的和的形式为：，对应选项 B． 故选：B． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解不等式组的解集，在数轴上表示不等式的解集，在解答此类题目时一定要注意实心圆点与空心圆点的区别，这是解答此类题目的易错点； 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来，选出符合条件的选项即可； 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：D． 3. 如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置 组成，且，将阀门绕其中心 旋转，当正六边形的顶点恰好与 重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ ）度． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用正六边形中心角公式求出，再根据、得出 平分，从而得到最小旋转角． 【详解】解：如图，连接 ， 该图形为正六边形， ， ，， 垂直平分 ， 平分， ， 阀门至少旋转了度． 4. 如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用，分别用代数式分别表示“大正方形”，中间“小正方形”以及个长方形的面积，再根据各个部分面积之间的和差关系即可得出答案． 【详解】解：整体上“大正方形”的边长为，因此面积为，中间“小正方形”的边长为，因此面积为，四个长方形的面积和为， 所以有， 即 ， 故选：B． 5. 如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体的展开图，从实物出发，结合具体的问题，根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：此收纳盒的展开图是： 故选：B． 6. 利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线 ，下列各图中，三角尺摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用三角尺作垂直，解题关键是正确摆放三角尺作直角． 根据题意利用三角尺作出垂线即可． 【详解】解：过直线l外一点P作直线，直线l与直角三角形的一边重合，点P在直角三角形的另一直角边上，只有D符合， 故选：D． 7. 为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”(如图1)，其截面示意图是轴对称图形(如图2)，对称轴是垂直于地面的支杆 所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为 ， ，且，的度数为，则此时“天幕”的宽度 是单位：米) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，三线合一的性质，根据正弦的定义，即可求解． 【详解】解：∵，对称轴是垂直于地面的支杆 所在的直线，的度数为， ∴， ∵ ∴ ∴， 故选：A． 8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，由题意可得，设，把，代入解析式，进而结合函数图象，逐项分析判断，求解即可． 【详解】解：设h关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得． ∴h关于的函数解析式为． A. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； B. 当液体密度时，浸在液体中的高度，故该选项不正确，不符合题意； C. 当浸在液体中的高度时，该液体的密度，故该选项正确，符合题意； D. 当液体的密度时，浸在液体中的高度，错误，因为浸在液体中的高度不能无限大，故不符合题意； 故选：C． 9. 如果单项式与是同类项，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了同类项的定义和求代数式的值． 根据同类项的定义，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项是同类项．因此，两个单项式中 和 的指数分别相等，列出方程求解 和 ，再代入计算． 【详解】解：∵ 单项式 与 是同类项， ∴ ，， 解得 ，， ∴ ； 故答案为： 10. 二次函数的图象与 轴有两个交点，则 的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，分析题意，根据二次函数的图象与x轴有两个交点，可得一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据根的判别式求解． 【详解】解：二次函数的图象与 轴有两个交点， 有两个不相等的实数根，且， ， 解得， 的取值范围是且． 故答案为：且． 11. 古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线所截线段对应成比例，根据平行线所截线段对应成比例得，进而求解即可． 【详解】解：∵，且相邻两弦之间的距离相等， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 12. 如图， 的直径，弦垂直平分半径 ，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先构造直角三角形，利用特殊角三角函数值求得 的度数，再利用角的正切值求出结果． 【详解】解：如图，连接， 直径， ， 弦垂直平分半径 ， ， ， ， ， ， ． 13. 若直线和直线的交点在第三象限，则 的值可以是______．（写出一个即可） 【答案】 （即可） 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点问题，解一元一次不等式组，联立函数式求出交点坐标，再根据交点在第三象限列出关于 的不等式组，求出 的取值范围即可求解，求出交点坐标是解题的关键． 【详解】解：联立函数解析式，得， 解得， ∴两直线的交点坐标为， ∵两直线的交点在第三象限， ∴， 解得， ∴ 的值可以是 ， 故答案为： ． 14. 如图，是 的角平分线，，垂足为交 的延长线于点 ，若 恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④若的面积为 ，则四边形的面积为；⑤．上述结论中，正确结论的序号有______． 【答案】①②⑤ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定，解直角三角形的相关计算，相似三角形的判定与性质等知识点，解题关键是熟悉上述知识点，并能熟练运用求解．根据角平分线的意义，可得，再根据平行线的性质，可得，从而可得，利用证明，从而可判断①；利用勾股定理即可判断②；利用全等三角形的性质得，可判断③；先利用全等三角形的性质，可得出，再利用等底同高的两个三角形面积相等，可得出，利用，可证得，从而可得出，再根据的面积为 ，可求出，从而可判断④；先证明，列出比例式，求出，即可求得，从而可判断⑤． 【详解】解：∵ 恰好平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 是等腰三角形， ∵是 的角平分线， ∴， 在和中， ∴（）， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵ 与不一定相等， ∴不一定等于，故③错误； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为 ， ∴，故④错误； ∵， ∴ ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①②⑤． 15. 以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． （1）请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） （2）请写出你认为正确的解题过程． 【答案】（1）② （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简，熟练掌握分式的加减计算法则是解题的关键． （1）计算过程是从第②步开始出现错误的； （2）根据异分母分式的加减运算法则写出正确的化简过程即可． 【小问1详解】 解：计算过程是从第②步开始出现错误的． 故答案为：②． 【小问2详解】 解： ． 16. 小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三或电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况． （1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为 （2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种， 【小问1详解】 解：能打开客厅灯的概率； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中客厅灯和走廊灯同时亮的等可能结果有2种： 、 ， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率． 【点睛】此题主要考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率 所求情况数与总情况数之比． 17. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 【答案】升级后每小时组装45辆汽车． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用．设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】解：设升级后每小时组装x辆汽车，则升级前每小时组装辆汽车， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：升级后每小时组装45辆汽车． 18. 如图，在四边形 中，， 和 互相平分并交于点 ， ，求证：四边形 是矩形. 【答案】 证明：如图，连接， ∵ 和 互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴平行四边形 是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，连接，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等可得，，然后求出，再求出四边形 是平行四边形，然后根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明． 【详解】略 19. 某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 【答案】（1）26； （2）25.8；20； （3）D． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，平均数，众数，方差等相关知识． （1）根据中位数的定义求解即可． （2）根据平均数的定义求解即可，分别加上4月上旬气温为及以上的天数以及中下旬20天的日平均气温频数分布直方图中及以上的天数即可． （3）根据中位数，众数，平均数的，方差的定义做决策即可． 【小问1详解】 解：根据排序后的数据可得： 【小问2详解】 解：4月份30天的日平均气温的平均数是， 气温为及以上的天数为(天) 【小问3详解】 解：A、平均数为25，中位数为22， 这组数据为，中位数， 平均数， ∴， 即， ∴， ∴有可能或，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故A选项不符合题意． B．平均数为23，众数为25 设这组数据为，众数是25，则至少有2个25 平均数， ∴， 假设， 即， ∴有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故B选项不符合题意． C．中位数为23，众数为25 设这组数据为，中位数，众数是25，则至少有2个25， 有可能，，不满足连续五天日平均气温不低于，不能判定入夏，故C选项不符合题意． D．平均数为25，方差 设这组数据为， 平均数， ∴ 即， 假设， 则， ∴与 矛盾， ∴这组数据中每个数据都不低于，可以判定入夏，故D选项符合题意． 故选：D 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中 的边 上确定一点 ，使； （2）在图②中 的边 上确定一点 ，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点 ，再在的边上确定一点 ，点 不与点 重合，连接 ，使． 【答案】（1）解：点M即为所求； （2）解：点N即为所求； （3） 解：与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求； 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，线段垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质； （1）取格点J，连接交 于点M，即为所求； （2）在网格上找P，Q两点，连接， 与 交于点N，即为所求； （3）与网格线的交点P即为所求，取点K，连接交于点Q，即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 21. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 【答案】（1）一次 （2） （3）当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为 【解析】 【分析】（1）根据表格中两个变量变化的对应值进行解答即可． （2）运用待定系数法求解即可； （3）把代入函数关系式，求出函数值即可． 【小问1详解】 由表格中两个变量对应值的变化规律可知，时间每增加，油的温度就升高， 故可知可能是一次函数关系， 故答案为：一次； 【小问2详解】 设这个一次函数的解析式为， 当时，；当时，， ， 解得， ∴y关于t的函数解析式为； 【小问3详解】 当时， 答：当加热时，油沸腾了，推算沸点的温度为． 【点睛】本题考查函数的表示方法以及求函数值；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键． 22. 【问题探索】 如图①，点 、点 分别在矩形 的边 、边上，，连结、、．证明：是等腰直角三角形，． 请你写出完整的证明过程． 【结论应用】 只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形 中作出等腰直角，满足点 、点 分别在线段 、线段上．（简要写出作图过程） 【拓展提升】 如图③，等腰的顶点 、 分别在平行四边形 的边 、边上，且，．若，，则的面积为______． 【答案】[问题探索] 证明：∵四边形 是矩形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴, ∴， ∴是等腰直角三角形， [结论应用]如图，等腰直角即为所求 [拓展提升] 【解析】 【分析】[问题探索]根据题意证明，进而根据全等三角形的性质，得出是等腰直角三角形； [结论应用]根据题意在 上截取，在 上截取，连接，即可求解． [拓展提升] 过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交 的延长线于点 ，则四边形是矩形，证明，得出，根据，得出，设，则，进而证明得出，解得：，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】[问题探索]略 [结论应用]略 [拓展提升]解：如图，过点分别作的垂线，垂足分别为，延长交 的延长线于点 ，则四边形是矩形， ∵是等腰直角三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵．， ∴， 设，则 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，已知菱形 边长为13，，于点 ；点 是边上的一点（点 不与点和 重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使，以 ，为邻边作. （1）______. （2）当点 为的中点时，求点 到直线 的距离； （3）当点 落在内部时，求 的取值范围； （4）当、 、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时 的长为______. 【答案】（1）12 （2）12 （3） （4）1，， 【解析】 【分析】（1）根据，结合勾股定理即可求解； （2）作于点H，作于点G，由 为中点，， ，得，进而可求，即点 到直线 的距离是12； （3）点 落在上时，此时三点重合；点 落在 上时，根据勾股定理及平行线分线段成比例得，即可结合图形求出 的取值范围； （4）分三种情况：①当点、 在直线上时，②当点 在直线 上时，③当点在直线上时，根据题意画出图形，正确作出辅助线，运用相关知识分别求解即可． 【小问1详解】 解∶∵， ∴， ， 中，， 即， ， 故答案为：12； 【小问2详解】 解：作于点H，作于点G， ∵ 为中点，， ， ， ∴， ∴， ∴，即点 到直线 的距离是12； 【小问3详解】 解：点 落在上时，如图所示： 此时三点重合； 点 落在 上时，如图所示： ， 中，，， ， ∴， ， ， 中，， ， ， ∴， ∴； 【小问4详解】 当点、 在直线上时，如图所示， ， ， ∴， ， ， ； ②当点 在直线 上时，如图所示， 作，交 于 ， ， ， ， ， ； 如图所③当点在直线上时，示， 延长， ，交于点， 中，，， 又， ， ， ， 设， 则， ，， 菱形 中， ，， ， ， 解得． 综上所述，当、 、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时 的长为1或或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形，平行线分线段成比例的性质等，熟知相关性质，准确作出辅助线并能结合图形分类讨论是正确解答此题的关键． 24. 如图，抛物线过点，抛物线上有一点 ，其横坐标为轴上有一点，点 关于点 的对称点为点 ．过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两条平行线交于点 ，直线交抛物线于 ． （1） _______． （2）当时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时_______． （3）若，求的值． （4）若有且只有一个顶点落在抛物线与 -轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出的范围． 【答案】（1） （2） ， （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线，即可求解； （2）由（1）知抛物线解析式为，求出，进而求出，根据题意可得，令，求出，如图，连接，即可求出的值； （3）同理（2）画出示意图，求解即可； （4）分两种情况：当点N在抛物线与 轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则，由图象可得，且，求解即可；当点P在抛物线与 轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则，由图象可得，且，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线， 则， 解得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线解析式为， ∵， ∴， ∴， ∵点，点 关于点 的对称点为点 ， ∴， ∵过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两条平行线交于点 ，直线交抛物线于 ， ∴ 令， 解得：， ∴， 如图，连接， 则， 故答案为： ； 【小问3详解】 解：由（1）知抛物线解析式为， ∵点 的横坐标为， ∴， 设， ∵点，点 关于点 的对称点为点 ， ∴， ∴， ∴， ∵过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两条平行线交于点 ，直线交抛物线于 ， ∴ ∵， ∴抛物线的图象关于 对称， ∴， ∴， ∴， 如图，当点 在点 左侧，且点在x轴上方时，连接， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 如图，当点 在点 左侧，且点在x轴下方时，当两点重合时，最大，最大值为（舍去）， 如图，当点 在点 右侧，且点在x轴上方时， 同理得：∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， 综上，的值为或； 【小问4详解】 解：分两种情况：当点N在抛物线与 轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则，如图，连接 ， 同理（3）得， 则，且， 即，且， 解， ∴或， ∴或（舍去）， ∴； 令，解得：或， ∴时，， ∴． 当点P在抛物线与 轴所围成的封闭区域内（不包含边界）时，则，如图，连接 ， 同理可得， ∴， ∴ 解不等式 得， 解不等式得， ∴， 综上可知，的范围为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求函数解析式、对称变换等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南湖校区2025-2026学年度下学期 九年级数学第一周 大综合（第1周） 日期：2026、3、4 预计完成时间：120分钟 1. 把写成省略加号的和的形式，正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是个报警装置，由一个正六边形的可旋转阀门和触碰装置 组成，且，将阀门绕其中心 旋转，当正六边形的顶点恰好与 重合时，报警器会发出警报，此时阀门至少旋转了（ ）度． A. B. C. D. 4. 如图，大正方形中恰好形成一个小正方形，包围小正方形的是四个全等的小长方形，下列（　　）中的等式能准确的描述其中所蕴含的几何关系． A. B. C. D. 5. 如图，小东制作了一个无盖正方体收纳盒，盒子的前面有一圆形标签，则此收纳盒的展开图是（ ） A. B. C. D. 6. 利用三角尺，过直线l外一点P作直线l的垂线 ，下列各图中，三角尺摆放正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 为争创全国文明城市，我市开展市容市貌整治行动，增加了许多市民露营地．某露营爱好者在营地搭建一种“天幕”(如图1)，其截面示意图是轴对称图形(如图2)，对称轴是垂直于地面的支杆 所在的直线，撑开的遮阳部分用绳子拉直，分别记为 ， ，且，的度数为，则此时“天幕”的宽度 是单位：米) A. B. C. D. 8. 综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度与液体密度（，单位：）成反比例函数关系，其图象如图所示．下列说法正确的是（ ） A. 当液体密度时，浸在液体中的高度 B. 当液体密度时，浸在液体中的高度 C. 当浸在液体中的高度时，该液体密度 D. 当液体密度时，浸在液体中的高度 9. 如果单项式与是同类项，那么______． 10. 二次函数的图象与 轴有两个交点，则 的取值范围是______． 11. 古筝是中国独有的民族乐器之一，被誉为“东方钢琴”，如图所示为其部分琴弦的示意图，已知弦，且相邻两弦之间的距离相等，P是弦上一点，过点P作射线，交弦于点A，交弦于点E．若，则______． 12. 如图， 的直径，弦 垂直平分半径 ，则 的长是________． 13. 若直线和直线的交点在第三象限，则的值可以是______．（写出一个即可） 14. 如图，是 的角平分线，，垂足为交 的延长线于点 ，若 恰好平分，，给出下列五个结论：①；②；③；④若的面积为 ，则四边形的面积为；⑤．上述结论中，正确结论的序号有______． 15. 以下是某同学计算的过程： 计算： 解：原式① ② ③ 老师在批改这道题时，发现了其中的解题错误． （1）请你指出：上述解题过程，从第_______步开始出现错误（填入表示解题步骤的序号①②③即可） （2）请写出你认为正确的解题过程． 16. 小明家客厅里装有一种三位开关，分别控制着A（餐厅）、B（客厅）、C（走廊）三或电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏灯，由于刚搬进新房不久，小明不熟悉情况． （1）若小明任意按下一个开关，能打开客厅灯的概率为 （2）若任意按下一个开关后，再按下剩下两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法说明． 17. 某新能源汽车公司进行技术升级，升级后每小时组装的汽车数量比原来多15辆，组装360辆汽车所用的时间与原来组装240辆汽车所用时间相等．求升级后每小时组装多少辆汽车？ 18. 如图，在四边形 中，， 和 互相平分并交于点 ， ，求证：四边形 是矩形. 19. 某气象站对四月份30天的气温（单位：）进行了监测，数据分为上旬（4月1日—10日）、中旬（4月11日—20日）和下旬（4月21日—30日）三部分． a．上旬10天的日平均气温如下： 21 23 24 25 26 26 26 27 27 28 b．中下旬20天的日平均气温频数分布直方图如下（数据分为5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组）； c．上旬、中旬、下旬日平均气温的平均数、众数、中位数如下表： 平均数 众数 中位数 上旬 25.3 26 中旬 24.6 26 24.5 下旬 27.5 26 27 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为_____； （2）4月份30天的日平均气温的平均数是_____，气温为及以上的天数为_____天； （3）根据《气候季节划分》的规定，立夏之后，若连续五天日平均气温不低于，则视为入夏．立夏之后，某地连续五天的日平均气温的数据满足如下条件，则一定能断定这个地区入夏的是_____． A．平均数为25，中位数为22　B．平均数为23，众数为25 C．中位数为23，众数为25　D．平均数为25，方差 20. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为 ，其顶点称为格点，的顶点均在格点上只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中 的边 上确定一点 ，使； （2）在图②中 的边 上确定一点 ，连接，使； （3）在图③中先确定线段的中点 ，再在的边上确定一点 ，点 不与点 重合，连接 ，使． 21. 某食用油的沸点温度远高于水的沸点温度．小聪想用刻度不超过的温度计测算出这种食用油沸点的温度．在老师的指导下，他在锅中倒入一些这种食用油均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，得到的数据记录如下： 时间t/s 0 10 20 30 40 油温y/ 10 30 50 70 90 （1）小聪在直角坐标系中描出了表中数据对应的点．经老师介绍，在这种食用油达到沸点前，锅中油温y（单位：）与加热的时间t（单位：s）符合初中学习过的某种函数关系，填空：可能是_________函数关系（请选填“正比例”“一次”“二次”“反比例”）； （2）根据以上判断，求y关于t的函数解析式； （3）当加热时，油沸腾了，请推算沸点的温度． 22. 【问题探索】 如图①，点 、点 分别在矩形 的边 、边上，，连结、、．证明：是等腰直角三角形，． 请你写出完整的证明过程． 【结论应用】 只使用圆规和无刻度的直尺，在图②的矩形 中作出等腰直角，满足点 、点 分别在线段 、线段上．（简要写出作图过程） 【拓展提升】 如图③，等腰的顶点 、 分别在平行四边形 的边 、边上，且，．若，，则的面积为______． 23. 如图，已知菱形 边长为13，，于点 ；点 是边上的一点（点 不与点和 重合），作射线 ，在射线 上取点 ，使，以 ，为邻边作. （1）______. （2）当点 为的中点时，求点 到直线 的距离； （3）当点 落在内部时，求 的取值范围； （4）当、 、三个点中，存在至少一个点落在的一条对角线所在直线上，此时 的长为______. 24. 如图，抛物线过点，抛物线上有一点 ，其横坐标为轴上有一点，点 关于点 的对称点为点 ．过 作 轴的平行线，过 作 轴的平行线，两条平行线交于点 ，直线交抛物线于 ． （1）_______． （2）当时，在给定的平面直角坐标系里画出满足题意的图形，此时_______． （3）若，求的值． （4）若有且只有一个顶点落在抛物线与 -轴所围成的封闭区域内（不包含边界），直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $