精品解析：江西省九江市武宁县武宁尚美中学2025-2026学年高三下学期开学数学试题

江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期开学考 高三数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解不等式求出集合，再求补集可得答案. 【详解】因为， 所以． 故选：C. 2. 是虚数单位， A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，，故选D． 考点：复数的运算． 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于第一象限，直线PO与椭圆C的另一个交点为A，直线PF2与椭圆C的另一个交点为B．若直线AB平行于x轴，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由椭圆的对称性和直线PO与椭圆C的另一个交点为A，得点A与点P关于原点对称．再由直线AB平行于x轴，得点B与点A关于y轴对称，进而得出P与点B关于x轴对称，即PF2垂直于x轴，从而得出，由得到，再利用椭圆的定义列出关于的方程，从而得到的倍数关系，从而得解. 【详解】由椭圆的对称性，知点A与点P关于原点对称． 因为直线AB平行于x轴，所以点B与点A关于y轴对称， 所以点P与点B关于x轴对称，即PF2垂直于x轴，所以可设 将代入椭圆方程得，即． 又，所以． 又，所以，即， 所以椭圆C的离心率． 故选：B． 4. 锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题意，结合余弦定理得到，利用正弦定理转化求得，根据角的范围，得到，根据三角形是锐角三角形，求得，结合条件，将式子化为，从而求得结果. 【详解】因为，所以， 由余弦定理得：， 所以，所以， 由正弦定理得，因为， 所以， 即， 因为△是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以，解得， 则， 因为，所以， 故选：A. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、余弦定理解三角形，三角形中的三角恒等变换，正弦型函数在给定区间上的值域，属于中档题目. 5. 已知，若，则（ ） A. 在区间内递减 B. 在区间内递减 C. 在区间内递增 D. 在区间内递增 【答案】A 【解析】 【分析】通过令，则，根据条件，利用判断复合函数单调性的方法“同增异减”，求出的单调区间，再结合各个选项，即可得出结果. 【详解】令，则，因为，故， 易知，在上单调递减， 在上单调递增， 又易知，在上单调递增，在上单调递减， 由，得到或，由，得到， 因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递减， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 又因为在区间上单调递增，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递增， 因为在区间上单调递减，此时，且在区间上单调递增， 故由复合函数的单调性知，在区间上单调递减， 故选：A. 6. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数定义得tan再利用同角三角函数基本关系求解即可 【详解】由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去） 故选A 【点睛】本题考查三角函数定义及同角三角函数基本关系式，熟记公式，准确计算是关键，是基础题 7. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据是奇函数及，得，根据，从而可得为偶函数，且也为偶函数，从而判断，项；由，得，再求和即可判断项；根据已知关系可得函数的周期为，且，从而，结合代入求和即可判断项. 【详解】由是奇函数，知的图象关于点对称， 所以，，所以. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以. 则，所以，所以为偶函数，则也为偶函数，故，项错误. 由，得，所以，故项错误. 因为，所以，所以函数的周期为. 由，得，所以. 因为，所以， 所以， 因为，所以，故正确. 故选：. 8. 在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得 C. 存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D. 存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 【答案】C 【解析】 【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为， 则，，，，， 设，其中， 对于A，若存在某个位置使得，，， 所以，解得，不满足题意，故A错误； 对于B，若存在某个位置使得，，， 则，该方程无解，故B错误； 对于C，设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则， 若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 又，， 由，取，得， 设平面的一个法向量为， ，， 由，取，则， 若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为， 则， 整理得，易得，所以该方程无解，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分分，分以上为优秀），则下列结论正确的是（ ） 班级 考试人数 中位数 平均数 方差 甲 乙 A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B. 甲班成绩波动比乙班成绩波动大 C. 甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数 D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 【答案】ABC 【解析】 【分析】由表格中的数据可判断A选项；利用方差与样本稳定性的关系可判断B选项；根据两个班的人数与中位数可判断C选项；根据众数的定义可判断D选项. 【详解】对于A选项，甲、乙两班学生成绩的平均数均为分，A对； 对于B选项，甲班成绩的方差大于乙班成绩的方差，故甲班成绩波动比乙班成绩波动大，B对； 对于C选项，甲班人数为人，且甲班成绩的中位数为分，故甲班优秀的人数小于或等于， 乙班人数为人，且乙班成绩的中位数为分，这说明乙班优秀的人数至少为， 所以，甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数，C对； 对于D选项，由题表看不出两班学生成绩的众数，D错. 故选：ABC. 10. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数的值域是 B. 当且仅当时， C. 当且仅当时，函数取得最大值1 D. 函数是以为最小正周期的周期函数 【答案】ACD 【解析】 【分析】先理解题意可得，再作出函数的图象，再观察图象的性质即可得解. 【详解】解：由函数， 则， 作出函数的图象（实线部分）， 观察图象的性质有：函数的值域为，即选项A错误， 当且仅当时，＞0，即选项B正确， 当且仅当时，函数取得最大值，即选项C错误， 函数是以为最小正周期的周期函数，即选项D错误， 故选：ACD. 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过导数求切线方程，进而可得，所以A正确；对于B，需要构造，再用导数证明可得结果；对于C，根据两点间的距离公式，再结合不等式即可判断；对于D，先计算，再结合等差数列的性质即可得结果. 【详解】由函数，得. 对于A：过点作曲线的切线为：. 又因为切线交x轴于，代入上述切线，得， 即， 故数列是等差数列，所以A正确； 对于B：由上可知，即.又， 所以，. 要证，只需证明：， 令，. 当时，单调递减；当时，单调递增； 所以函数，所以恒成立， 故成立，所以B正确； 对于C：， 同理，. 由数列是等差数列，设公差为，. 所以，，. 所以 . 即，故C错误； 对于D：因为中，， 所以三角形底边长为，高为， 所以三角形的面积， 同理，且数列是等差数列，. 所以 ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知中，，，，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理，结合平面向量数量积的定义及运算性质进行求解即可. 【详解】由题意可知：，， 所以 ． 故答案为： 13. 已知，为圆：的两条互相垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：如图，连接，作垂足分别为，因为,所以四边形为矩形，由已知可得,设圆心到的距离分别为，则,因此四边形的面积为，当且仅当时，等号成立. 考点：直线与圆方程的应用. 【方法点睛】本题主要考查了直线与圆方程的应用、利用均值不等式求最值，考查考生分析问题和解决问题的能力，属于中档题.解答本题的关键是根据垂径定理和勾股定理找到原点到两条弦的距离的，把四边形的对角线表示成原点到两条弦的距离的表达式，从而表示出面积，最后根据均值不等式求出最大值. 14. 数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】由题抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字，讨论的情况、、、依次求出对应满足要求的抽取情况数，结合排列数及古典概型的概率求法求概率. 【详解】由题设，抽牌顺序依次为甲乙甲乙甲，把它看成一排对应共5个数字， 由甲取三次纸牌即获胜，则不可能为10，不可能为10，且，， 由题意，的情况有、、、， 对于其中任意情况甲抽取数字的方式均有种，乙在余下的7个数字中选2个数字， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 当由组成，若时有6种，若时，即从、中选有种，此时满足题设的情况有种， 综上，满足要求的的情况有种， 又的所有情况有种， 所以甲取三次纸牌即获胜的概率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直，面面垂直的判定与性质得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出线面角解出参数，再由棱锥体积公式得解； （3）利用向量法根据点到面的距离公式求解. 【小问1详解】 在图①中，由题知：四边形为正方形，且； 则在②中，，，且平面， 则平面； 又，平面，又平面，； 又，且为的中点，则； 又平面， 则平面，又平面，． 【小问2详解】 由（1）知：平面，平面， 则平面平面； 由题知：二面角的平面角为，则， 则是等边三角形，则； 取的中点为，连接，则, 又平面平面，平面， 所以平面，且， 则可以建立如图所示的空间直角坐标系； 则，、、、， 则、、、， 设，， 则， 设平面的一个法向量为， 则，则， 令，则， 记直线与平面所成角为， 则， 即，解得， 因此，则． 【小问3详解】 由（2）知：， 则平面的一个法向量可以为，且， 则点到平面的距离为． 16. 已知等差数列满足，；等比数列的前3项和为7，前6项和为63. （1）求和的通项公式； （2）若，求的前n项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求得等差数列的首项和公差，即可求得的通项公式；根据等比数列的前项和公式求得其首项和公比，即可求得的通项公式； （2）根据等比数列及等差数列的前项和公式，利用分组求和法求得的前n项和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则，解得. 所以； 设等比数列的公比为， 若，则，显然无解，所以. 所以，所以，解得，所以. 所以. 综上的通项公式为，的通项公式为. 【小问2详解】 设数列的前n项和为，则. 因为， ， 所以. 即的前n项和为. 17. 某工厂在两个车间，内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品. （1）从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率； （2）若从车间，选取的产品中随机抽取2个产品，用表示车间内产品的个数，求的分布列与数学期望. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用茎叶图，求出两个车间的产品数，然后求解概率．（2）写出X的所有可能取值并求出取每个值时对应的概率，得到分布列，然后求解期望即可． 【详解】（1）由茎叶图知，车间内合格的产品数为4，车间内合格的产品数为2， 则所求概率. （2）由题意知，的所有可能取值为0，1，2. 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以. 【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． 18. 已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的方程. （2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】（1）根据离心率为，结合性质 ，列出关于 、的方程组，求出 的值，即可得结果；（2）由，消去得：，由，可得，由判别式大于零可得，综合两式即可得结果. 【详解】（1）依题意解得：. 所以双曲线的方程为：. （2）由，消去得：， 由已知：，且① 设、，的中点， 则，，因为， 所以， 整理得：② 联立①②得：，所以或，又， 所以，因此或. 【点睛】本题主要考查双曲线的标准方程以及直线与双曲线的位置关系，属于难题. 求双曲线标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出双曲线的标准方程．解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与双曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题． 19. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）已知，为曲线上任意两点，且A，B关于点对称． （ⅰ）求b的取值范围； （ⅱ）若，求a的取值范围． 【答案】（1）在区间单调递减，在单调递增． （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，利用导函数的符号以及零点存在定理即可判断出的单调性； （2）（ⅰ）由对称性可求得，构造函数可得，再证明时有解即可； （ⅱ）由题意可得，记，求导得出函数单调性可得（），对参数a的取值范围进行分类讨论即可求得结果. 【小问1详解】 由可得，其定义域为； 易知， 记， 则，所以在单调递增． 又，因此时，；时，； 所以在区间单调递减，在单调递增． 【小问2详解】 （ⅰ）由题意可得． 由对称性，不妨设，则． 又，即． 记，则， 又，，所以， 所以在区间上单调递增，所以，即． 下面证明，即证，有解， 记，则， 取，则， 所以，使得，所以． （ⅱ）由题意可得，即． 记，， 则，． 记（），， 所以在区间上单调递增，所以， 即，即，即（）． 若，则， 所以在区间上单调递减，所以，符合题意． 若，时，， 所以在单调递增，所以，不符合题意． 综上所述，． 【点睛】关键点点睛：本题关键在利用题目条件得出，再构造函数并利用导数求得函数单调性对参数取值范围进行分类讨论即可求得结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省武宁县尚美中学2025-2026学年度下学期开学考 高三数学试卷 （考试时间120分钟，试卷满分150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则（ ） A. B. C. D. 2. 是虚数单位， A. B. C. D. 3. 已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，点P在椭圆C上且位于第一象限，直线PO与椭圆C的另一个交点为A，直线PF2与椭圆C的另一个交点为B．若直线AB平行于x轴，且，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 4. 锐角△中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，若，则（ ） A. 在区间内递减 B. 在区间内递减 C. 在区间内递增 D. 在区间内递增 6. 已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则 A. B. C. D. 7. 已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 为奇函数 B. 为奇函数 C. D. 8. 在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（ ） A. 存在某个位置，使得 B. 存在某个位置，使得 C. 存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D. 存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得零分． 9. 甲、乙两班参加某次数学调研测试，相关统计数据如下表所示（满分分，分以上为优秀），则下列结论正确的是（ ） 班级 考试人数 中位数 平均数 方差 甲 乙 A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B. 甲班成绩波动比乙班成绩波动大 C. 甲班优秀的人数少于乙班优秀的人数 D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 10. 对于函数，下列说法错误的是（ ） A. 函数的值域是 B. 当且仅当时， C. 当且仅当时，函数取得最大值1 D. 函数是以为最小正周期的周期函数 11. 已知函数，过点作曲线的切线交轴于点，过点作曲线的切线交轴于点，依此类推，得到，，则（ ） A. 数列是等差数列 B. 当且时， C. D. 记的面积为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12. 已知中，，，，，，则______． 13. 已知，为圆：的两条互相垂直的弦，垂足为，则四边形的面积的最大值为________． 14. 数字10在中华传统文化中有着“十全十美”的美好寓意，现有甲乙两人拟使用扑克牌来拼凑数字10，事先准备好红桃纸牌10张，分别含有数字2至数字10，以及一张字母．为了计数的方便，两人约定字母代表数字1，现两人轮流从纸牌中不放回地随机抽取一张纸牌，当有一人所抽数字总和为10时，则结束游戏，此人获胜．若甲先抽，则甲取三次纸牌即获胜的概率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点．现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． （1）求证：； （2）若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 16. 已知等差数列满足，；等比数列的前3项和为7，前6项和为63. （1）求和的通项公式； （2）若，求的前n项和. 17. 某工厂在两个车间，内选取了12个产品，它们的某项指标分布数据的茎叶图如图所示，该项指标不超过19的为合格产品. （1）从选取的产品中在两个车间分别随机抽取2个产品，求两车间都至少抽到一个合格产品的概率； （2）若从车间，选取的产品中随机抽取2个产品，用表示车间内产品的个数，求的分布列与数学期望. 18. 已知双曲线的离心率为. （1）求双曲线的方程. （2）直线与该双曲线交于不同的两点、，且、两点都在以点为圆心的同一圆上，求的取值范围. 19. 已知函数（）． （1）当时，讨论的单调性； （2）已知，为曲线上任意两点，且A，B关于点对称． （ⅰ）求b的取值范围； （ⅱ）若，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $