精品解析：四川泸州市龙马潭区五校 2025-2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试题

2026年春期九年级开学自测数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下列标志图为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念“把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”进行判断即可得． 【详解】解：A、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； B、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； C、是中心对称图形，选项说法正确，符合题意； D、不是中心对称图形，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称图形． 2. 下列事件中，属于不可能事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正在播放广告 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为，是不可能事件，故该选项符合题意； B、购买一张福利彩票，中奖，是随机事件，故该选项不符合题意； C、抛掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意； D、打开电视，正在播放广告，是随机事件，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 据泸州市文化广播电视和旅游局统计，2025年泸州市全年接待国内游客人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 根据科学记数法的表示形式作答即可． 【详解】解：． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标特点，掌握相关知识是解决问题的关键．关于原点对称的点，横纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵两点关于原点对称时，横坐标和纵坐标都变为相反数， ∴点关于原点的对称点为 故选：D． 5. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．通过移项和配方，将方程转化为完全平方形式，再对比选项得出答案． 【详解】解：∵ ， 移项，得 ， 配方，得 ， 即 ． 故选：B． 6. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一组数据中位数和众数，熟练掌握求一组数据中位数和众数是关键．因为数据是偶数个，所以计算中位数时需将数据排序后取中间两数的平均值，众数为出现次数最多的数，据此求解即可． 【详解】解：10名学生立定跳远测试成绩排序后为：210，216，235，235，235，237，238，239，239，240， 其中第5和第6个数据为235，237， 所以这组数据的中位数是； 因为出现次数最多的数据是235， 所以这组数据的众数是235． 故选：A． 7. 如图，为的直径，为的弦，，则度数为（ ）度． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理的推论和三角形的内角和定理，掌握根据题意作辅助线是解题关键． 连接，由同弧所对的圆周角相等可得，再由直径所对的圆周角为直角可得，利用三角形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ， ， 为的直径， ， ， ． 故选：C． 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（  ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．由题意可得：，根据垂径定理得，再由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接， 由题意可得：， ， ， ， ， 故选：C． 9. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的函数值计算方法是解题的关键． 先确定二次函数的开口方向和对称轴，再通过计算各点的函数值来比较大小． 【详解】解：∵ 二次函数， ∴ 当时，， 当时，， 当时，， ∴ ， 故选：A． 10. 如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式：进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 【点睛】本题考查圆锥的侧面积．熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键． 11. 若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质．求得二次函数的对称轴直线即为直线，由抛物线与轴交点为，其关于对称轴直线的对称点为，由，知，；①当，都在对称轴左侧时，随的增大而减小，有，可得满足的条件为；②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时，到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离，故，得：，满足的条件是． 【详解】解：，都在这个二次函数的图象上， 二次函数的对称轴直线即为直线， ， ， ， 解得， ， 在对称轴左侧，在对称轴右侧， 在中，令得， 抛物线与轴交点为， 关于对称轴直线的对称点为， ， ， 解得； ①当，都在对称轴左侧时， 随的增大而减小，且， ， 解得， 此时满足的条件为； ②当在对称轴左侧，在对称轴右侧时， ， 到对称轴直线距离大于到对称轴直线的距离， ， 解得：， 此时满足的条件是， 综上所述，或． 故选：D． 12. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A. 4或 B. 4或 C. 6或 D. 6或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图形上点的坐标特征、切线的性质、垂径定理、勾股定理，设与轴相切于，连接，过点作于，连接，设，由切线的性质得，由勾股定理得，求出，即可求解；掌握垂径定理，切线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形由勾股定理进行求解是解题关键． 【详解】解：如图，设与轴相切于，连接，过点作于，连接， ， 与x轴相切， 轴， ， 的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上， 设， ， ， 在中， ， ， 解得：，， 当时， ， 当时， ， 半径是6或； 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 因式分解：=______． 【答案】3（x+3）（x﹣3） 【解析】 【详解】解：原式==3（x+3）（x﹣3）， 故答案为3（x+3）（x﹣3）． 14. 一元二次方程的根是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得或， 故答案为：或． 15. 一元二次方程的两根为，，则的值为____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再通过代数变形求解表达式，即可作答． 【详解】解：∵， ∴，，， 根据根与系数的关系，有 则， 故答案为：3 16. 如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，旋转的性质，根据旋转的性质，得，，再根据图形面积之间的关系可得，据此求解即可． 【详解】解：如图，根据旋转的性质，得，， ∴． 故答案为：． 17. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、两点之间的距离公式、三角形的三边关系、点的坐标与图形等知识，正确找出点的运动轨迹是解题关键．先求出，再根据圆周角定理可得在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上，设的中点为点，的中点为点，连接，从而可得当点共线时，取得最小值，然后利用点的坐标的中点公式求解即可得． 【详解】解：∵点，点， ∴， ∵， ∴在点的运动过程中，始终有， ∴如图，在点的运动过程中，点的运动轨迹是在以的中点为圆心、长为直径的半圆上， 设的中点为点，的中点为点，连接， ∴，，即， ∴， 由三角形的三边关系得：，当且仅当点共线时，等号成立， 即当点共线时，取得最小值， ∴此时， ∵点为的中点， ∴， ∴点为的中点， 设点的坐标为，则， 又∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算﹣14﹣ 【答案】10 【解析】 【分析】 先算乘方和开方，再算除法，最后算加减． 【详解】解：原式=﹣1﹣4÷+27 =﹣1﹣16+27 =10． 【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握乘方法则和算术平方根定义是关键． 19. 化简，再任取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】，当x=5时，原式=． 【解析】 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式===， ∵x﹣1≠0，x（x+1）≠0，∴x≠±1，x≠0，当x=5时，原式==． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动的参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 【答案】（1），补全条形统计图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用列表法或树状图法求概率，熟练掌握统计图表的数据分析方法和概率计算公式是解题的关键． （1）先根据选项的人数和所占百分比求出总调查人数，再依次计算、选项的人数，补全条形统计图． （2）用选项的人数占比乘以，得到所在扇形的圆心角度数． （3）用列表法列出四人中任选两人的所有等可能结果，再找出甲、乙同时被选中的结果数，最后根据概率公式计算概率． 【小问1详解】 解：总人数（名）， ∴本次调查共抽取了名学生， ∵选项人数（名） ∴选项人数（名） 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：的圆心角度数 A所在扇形的圆心角度数为 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种． ． 21. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）销售单价应为元或元； （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是根据利润单件利润销售量列出函数解析式． （1）设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式； （2）依据利润单件利润销售量列出方程，解答即可； （3）根据利润单件利润销售量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 设与之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：， 故与的函数关系式为； 小问2详解】 根据题意得： ， 解得：，， 答：销售单价应为元或元； 【小问3详解】 由题意可知： ， ， 抛物线开口向下， 对称轴为直线， 当时，有最大值，． 答：当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 22. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程根与系数的关系． （1）根据，解不等式即可； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入求解即可． 小问1详解】 解：关于的方程有实数根， ， 解得：． 故的取值范围是． 【小问2详解】 解： ，， ， ， 解得，， 又， ． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为． （1）求两点之间的距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：） 【答案】（1） （2）小型汽车从点行驶到点没有超速． 【解析】 【分析】（1）证明四边形为矩形，可得，结合，，，可得，，再利用线段的和差关系可得答案； （2）先计算小型汽车的速度，再统一单位后进行比较即可． 【小问1详解】 解：∵点、点到的距离分别为， ∴，，而， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由题意可得：，，， ∴，， ∴ 【小问2详解】 ∵小型汽车从点行驶到点所用时间为． ∴汽车速度， ∵该隧道限速80千米/小时， ∴， ∵， ∴小型汽车从点行驶到点没有超速． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，理解俯角的含义，熟练的运用锐角三角函数解题是关键． 24. 如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、切线的性质、切线的判定、勾股定理等知识点，灵活运用切线的性质成为解题的关键． （1）如图：连接，再证明可得即可证明结论； （2）设，则；在中运用勾股定理列方程求得，即；设，在中，，即，解得，则；最后在中运用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图：连接． ∵点D在圆上， ， ， ∴， ， ， ∴直线与相切． 【小问2详解】 解：设， ， 在中，，即，解得， ． 是圆的切线， ∴设，在中，， 即，解得， ， ∴在中，． 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）面积的最大值为，； （3）点的坐标为或或或． 【解析】 【分析】（1）把和代入求解即可； （2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最大，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）分情况讨论，当为矩形一边时，且点在轴的下方；当为矩形一边时，且点在轴的上方；当为矩形对角线时，分别求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 点为直线下方抛物线上的点，如图， 设， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴面积的最大值为， ∴； 【小问3详解】 解：由题意可得：， 的对称轴为． ∵，， ∴，， 当为矩形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点， ∵在对称轴上， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即点， ∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点； 当为矩形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图， ∵在的对称轴上， ∴， ∴， ∵，即， ，即点， ∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点； 当为矩形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为， 依题意得：， 解得：， 又∵， ∴， 解得：， 联立得：， 解得：， ∴点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数图象与性质，一次函数的图象与性质，矩形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期九年级开学自测数学试题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下列标志图为中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于不可能事件是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 购买一张福利彩票，中奖 C. 抛掷一枚硬币，正面朝上 D. 打开电视，正在播放广告 3. 据泸州市文化广播电视和旅游局统计，2025年泸州市全年接待国内游客人次，将数据用科学记数法表示为（ ） A B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程，可变形为（    ） A. B. C. D. 6. 为了解学生体质健康状况，体育老师随机抽取班上10名学生进行立定跳远测试，其成绩（单位：）如下：235，210，238，235，240，239，216，239，235，237．这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 236，235 B. 236，239 C. 235，236 D. 235，235 7. 如图，为的直径，为的弦，，则度数为（ ）度． A. B. C. D. 8. 如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体已经过半，截面圆中弦的长为，则最大深度的长为（  ） A. B. C. D. 9. 已知点， ， 在二次函数的图象上， 则，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如果圆锥的母线长为5cm ，底面半径为3cm，那么圆锥的侧面积为（　　） A. B. C. D. 11. 若点、、都在二次函数的图象上，且，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 或 12. 如图，的圆心M在一次函数位于第一象限中的图象上，与y轴交于C、D两点，若与x轴相切，且，则半径是（　　） A. 4或 B. 4或 C. 6或 D. 6或 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分） 13. 因式分解：=______． 14. 一元二次方程的根是______． 15. 一元二次方程的两根为，，则的值为____________________． 16. 如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过路径为，则图中阴影部分的面积为______． 17. 如图，的顶点O是坐标原点，点，点，点M是边上一动点，从O向A运动，连接，过点A作于点C，连接．当取得最小值时，的坐标是_______． 三、解答题：本大题共2个小题，每小题8分，共16分 18. 计算﹣14﹣ 19. 化简，再任取一个你喜欢的数代入求值． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题10分，共30分 20. 为丰富学生课余生活，促进学生全面发展和健康发展，宜宾市年秋假时间安排在月日日，某学校为了解七、八年级学生对活动参与意向，设置了（市内研学）、（家庭亲子游）、（学校托管）、（居家实践）四个选项，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将结果绘制成不完整的统计图（如下）． （1）本次调查共抽取了__________名学生，并补全条形统计图； （2）所在扇形的圆心角度数为__________． （3）学校将在选项（市内研学）的甲、乙、丙、丁四人里随机选两人参加研学小组，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率． 21. 某超市以每件元的价格购进一种文具，经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价元 每天销售数量件 （1）求与之间的函数关系式； （2）若该超市每天销售这种文具获利元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 22. 已知关于的方程． （1）当该方程有实数根时，求的范围； （2）若该方程的两个根满足，求的值． 四、解答题：本大题共3个小题，每小题12分，共36分 23. 超速容易造成交通事故．高速公路管理部门在某隧道内的两处安装了测速仪，该段隧道的截面示意图如图所示，图中所有点都在同一平面内，且在同一直线上．点、点到的距离分别为，且，在处测得点的俯角为，在处测得点的俯角为，小型汽车从点行驶到点所用时间为． （1）求两点之间距离（结果精确到）； （2）若该隧道限速80千米/小时，判断小型汽车从点行驶到点是否超速？并通过计算说明理由．（参考数据：） 24. 如图，在中，，以为直径作为上一点，且，连接并延长交的延长线于点E． （1）求证：直线与相切； （2）若，求的长． 25. 如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $