精品解析：四川省泸州市龙马潭区尹吉甫学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试题

泸州市龙马潭区尹吉甫学校2025年春入学素养训练 九年级数学 第I卷（选择题 共36分） 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形,这个旋转点就叫做中心对称点，据此解答即可． 【详解】解：选项A、B、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 选项C能不找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 故选：C． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军 C. 掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上 D. 打开电视，正在播放《新闻联播》 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件分类，熟练掌握一定会发生的事件是必然事件、一定不发生的事件叫不可能事件、可能发生也可能不发生的事件叫随机事件是解题的关键． 根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义逐项判定即可． 【详解】解：A、三角形的内角和是是必然事件，故此选项符合题意； B、端午节赛龙舟，红队获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意； C、掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上是随机事件，故此选项不符合题意； D、打开电视，正在播放《新闻联播》是随机事件，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 方程的根是（ ） A. B. C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：由得， ∴或， 解得，， 故选：D． 4. 把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”解答即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 5. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相割 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程以及直线和圆的关系，熟练掌握直线和圆的关系是解题的关键．先解一元二次方程，得到圆的半径，比较半径与圆心到直线的距离的大小，即可得到答案． 【详解】解：， ， 解得， 的半径是， ， 直线与的位置关系是相交． 故选B． 6. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程－配方法．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可． 【详解】解：， 配方得，即． 故选：B． 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的对称轴直线，增减性是解题的关键． 根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴直线为，当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大，由此即可求解． 【详解】解：在二次函数中，， ∴图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，随的增大而减小，离对称轴直线越远，值越大，当时，随的增大而增大，离对称轴直线越远，值越大， ∵， ∴，即， 故选：D ． 8. 如图，，是切线，A，为切点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，以及圆周角定理．熟练掌握，切线垂直于过切点的半径，以及同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键． 连接，根据切线的性质得到：，根据圆周角定理，得到，利用四边形内角和，进行求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是切线． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，将三角形绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点．先根据平行线的性质得到，再根据旋转的性质得到，等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，从而得到旋转角的度数． 【详解】解：， ， 绕点逆时针旋转至， ，等于旋转角， ， ， 即旋转角的度数是． 故选：C． 10. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式．根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答． 【详解】解：∵为一元二次方程， ∴， ∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得， ∴， 故选：A． 11. 如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线交轴的负半轴于点，从而令，又对称轴是直线，故可判断①；抛物线过，从而，又，即，进而，最后可以判断②；依据，代入方程，可化为，根据一元二次方程根与系数关系即可判断③；由是等腰直角三角形，为顶点，从而，结合顶点为，对称轴是直线，故，再由抛物线为，又抛物线过点，计算可以判断④；根据，判断出点在直线左侧，点在直线右侧，根据二次函数增减性即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线交轴的负半轴于点，开口向上， ∴令． ∵ ∴对称轴是直线， ∴．， ∴，故①错误． ∵抛物线过， ∴． 又，即， ∴． ∴，故②错误． ∵， 则可化为，即， 若方程的两根分别为m，n，即方程的两根分别为m，n， 则；故③正确； 是等腰直角三角形， 又为顶点， ∵抛物线交x轴于，， 故设顶点为，对称轴是直线， ， ∴可设抛物线为， 又抛物线过点， ∴． ∴，故④正确． 因为， 所以点在直线左侧，点在直线右侧， 又因为， 则． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上， 所以，故⑤正确． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质及二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． 12. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，三倍点所在直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得， 则，解得 把代入得，代入得 ∴ 解得； 把代入得，代入得 ∴，解得， 综上，c的取值范围为：． 故选：D． 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称的点的特征，解题的关键是掌握关于原点对称的两个点，横纵坐标分别互为相反数．直接利用关于原点对称的点的特征得出，的值，进而得出答案． 【详解】解：点，关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 14. 如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程求出r，再根据全面积等于底面圆面积加侧面积求解． 【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为 根据题意得 解得 即该圆锥底面圆的半径为， ∴， 故答案为：． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值．对于一元二次方程，若该方程的两个实数根为，，则，．先根据根与系数的关系得到，，再根据完全平方公式的变形，求出，由此即可得到答案． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， ， ， ． 故答案为：． 16. 如图，点A在半径为2，圆心为的圆上运动，点B坐标为，以为边长作正方形，求的最小值_______． 【答案】## 【解析】 分析】连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，，先证明，再证明过点作轴于点，证明，确定，则，由，得到． 【详解】解：连接，将绕点逆时针旋转至，连接，，， ∵正方形， ∴， 由旋转得：， ∴， ∴， ∴， 过点作轴于点，则， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当点在线段上时，取得最小值，且为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的综合问题，两点间距离公式，三角形的三边关系求最值，正确构造全等三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）． 17. 计算． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式的运用，先将括号里的式子通分化简，再将除法变为乘法化简，最后将代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别是点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：ACBD． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】欲证明ACBD，只要证明∠A=∠B，只要证明△DEB≌△CFA即可． 【详解】证明：∵DE⊥AB，CF⊥AB， ∴∠DEB=∠AFC=90°， ∵AE=BF， ∴AF=BE， 在△DEB和△CFA中， ∵DE=CF，∠DEB=∠AFC，AF=BE， ∴△DEB≌△CFA， ∴∠A=∠B， ∴ACDB． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14 分）. 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 【答案】（1）50，见详解 （2）2.5 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，中位数的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）运用D档人数除以D的百分比，得出调查的学生总数，再运用总数乘上档的百分比，即可作答． （2）根据中位数的定义，排序后位于中间位置的数为中位数，据此即可作答． （3）依题意，得出档有名男学生，有名女学生，运用列表法得共有12种等可能的结果，再运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（名） ∴本次调查中，共调查了50名学生； 则（名） ∴（名） 则档有名男学生，有名女学生, 补全条形统计图如图所示： 【小问2详解】 解：依题意， （名） 本次调查的男学生的总人数是23名 ∴则调查的全部男生劳动时间的中位数位于第名， ∵ ∴第名位于C档 ∵调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9． 则调查的全部男生劳动时间的中位数为2.5小时， 故答案为2.5； 【小问3详解】 解：用，表示2名男生，用，表示两名女生，列表如下： 共有12种等可能的结果，其中所选两名学生恰好都是女生的结果有2种， ． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根得到，即可求出答案； （2）根据根与系数关系得到，，代入，解关于m的一元二次方程，并根据（1）确定m的值m的值即可． 【小问1详解】 解：∵． ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【小问2详解】 由根与系数的关系，得，， ∴可化为， 即， 解得，． 又∵， ∴． 【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系、解一元二次方程、解一元一次不等式等知识，熟练掌握一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16 分） 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题： （1）求y与x的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？ 【答案】（1） （2）70元 （3）销售单价为85元时销售利润最大，最大为2450元 【解析】 【分析】（1）设y与x的函数关系式为，代入，，即可求解； （2）先得出，当时，，解方程即可求解； （3）根据，即可作答． 【小问1详解】 解：设y与x的函数关系式为：， 把，代入解析式得：， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 根据题意，得； 当时，， 解得：，， ∵这种商品的销售价不得高于90元/千克， ∴， ∴应将销售价定70元/千克； 【小问3详解】 ， ∵， ∴当销售单价时，销售利润w的值最大，最大值为2450元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，属于常考题型，正确理解题意、得出二次函数的关系式是解题的关键． 23. 如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． （1）求港口和港口之间的距离．（结果保留根号） （2）考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 【答案】（1）海里 （2）路线① 【解析】 【分析】（）由题意可得，，即得，再解直角三角形即可求解； （）分别过点作垂直，垂足分别为点，解直角三角形求出，求出路线①和②路程，比较即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，，，海里， ∴， ∴海里， ∴港口和港口之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图，分别过点作垂直，垂足分别为点，则， 由题意得，，，， 海里， ∴四边形是矩形， ∴海里，， ∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∴，， ∴海里， ∴海里， 又∵海里， ∴路线①的路程为海里， 路线②的路程为海里， ∵， ∴应选择路线①． 六、解答题（本大题共2个小题，每小题 12分，共24分） 24. 如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得到，根据切线的判定定理证明结论； （2）根据勾股定理得出，根据切线的性质得到，再根据勾股定理得出，根据勾股定理求出，然后利用三角形的面积即可得解． 【小问1详解】 证明：连接， ，， ， 是的切线， ， 在与中， ， ， ， ， 是的切线； 【小问2详解】 ，， 在中，， 、为的切线， ， 在中，，即， ， 在中，， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定与性质、勾股定理，三角形的面积，熟记切线的判定与性质是解题的关键． 25. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且； （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出的解析式，设，则：，将转化为二次函数求最值即可； （3）易得垂直平分，设，勾股定理求出点坐标，三线合一结合同角的余角相等，推出，分别作点关于轴和直线的对称点，直线，与抛物线的交点即为所求，进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且， ∴， 解得： ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴设直线的解析式为：，把，代入得： ∴， ∴， 设，则：， ∴，，， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； 【小问3详解】 解：存在： ∵，，点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ①取点关于轴的对称点，连接，交抛物线与点，则：，， 设的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立， 解得：（舍去）或， ∴； ②取关于的对称点，连接交于点，连接交抛物线于点， 则：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作轴，则：，， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 则：，解得：， ∴， 联立，解得：（舍去）或， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数解析式，中垂线的判定和性质，等积法求线段的长，坐标与轴对称，勾股定理，解直角三角形，等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于中考压轴题，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 泸州市龙马潭区尹吉甫学校2025年春入学素养训练 九年级数学 第I卷（选择题 共36分） 一、单项选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分） 1. 下列图案中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 三角形的内角和是 B. 端午节赛龙舟，红队获得冠军 C. 掷一枚质地均匀的骰子，点数是4的一面朝上 D. 打开电视，正在播放《新闻联播》 3. 方程的根是（ ） A. B. C ， D. ， 4. 把抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，所得抛物线为（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（　　） A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相割 6. 用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（ ） A. B. C. D. 7. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，是切线，A，为切点，点在上，且，则（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将三角形绕点逆时针旋转至，使，若，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 11. 如图，抛物线交x轴于，，交y轴负半轴于点C，顶点为D，下列结论：①；②；③若方程的两根分别为m，n，则；④当是等腰直角三角形时，；⑤抛物线上有两点、，且，若，则．正确的有（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12. 若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是“三倍点”．在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）． 13. 在平面直角坐标系中，已知点，关于原点对称，则的值为________． 14. 如图，现有一个圆心角为，半径为的扇形纸片（接缝忽略不计），则该圆锥的全面积为_______． 15. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 16. 如图，点A在半径为2，圆心为的圆上运动，点B坐标为，以为边长作正方形，求的最小值_______． 三、解答题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）． 17. 计算． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别点E、F，DE=CF，AE=BF，求证：ACBD． 四、解答题（本大题共2个小题，每小题7分，共14 分）. 20. 为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》文件精神，东营市某学校举办“我参与，我劳动，我快乐，我光荣”活动．为了解学生周末在家劳动情况，学校随机调查了八年级部分学生在家劳动时间（单位：小时），并进行整理和分析（劳动时间分成五档：A档：；B档：；C档：；D档：；E档：）．调查的八年级男生、女生劳动时间的不完整统计图如下： 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查中，共调查了_______名学生，补全条形统计图； （2）调查的男生劳动时间在C档的数据是：2，2.2，2.4，2.5，2.7，2.8，2.9．则调查的全部男生劳动时间的中位数为_______小时． （3）学校为了提高学生的劳动意识，现从E档中选两名学生作劳动经验交流，请用列表法或画树状图的方法求所选两名学生恰好都是女生的概率． 21. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围． （2）设，是方程的两个根且，求m的值． 五、解答题（本大题共2个小题，每小题8分，共16 分） 22. 某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现，在一段时间内，销售量y（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系如图所示，设这种绿茶在这段时间内的销售利润为w（元）．解答下列问题： （1）求y与x函数关系式； （2）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时内获得2000元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）求销售单价为多少时销售利润最大？最大为多少元？ 23. 如图，一艘货船从港口出发，需要运至其正北方向海里处的港口，由于航道条件限制，货船有两种可能的航行路线：①由港口出发，经港口，休整，最后驶向港口；②由港口出发，经港口休整，最后驶向港口（休整时间忽略不计）．经勘测，港口在港口东北方向，港口在港口正北方向海里处，港口在港口东南方向，港口在港口南偏西方向，港口在港口北偏西方向． （1）求港口和港口之间距离．（结果保留根号） （2）考虑到航行时间和成本，货船需要选择路程更短的路线，请通过计算说明是选择路线①还是路线②．（结果精确到个位） 六、解答题（本大题共2个小题，每小题 12分，共24分） 24. 如图，为的切线，为切点，过作，垂足为，交于点，延长与的延长线交于点． （1）求证：为切线； （2）若，，求的长． 25. 已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于C点，且； （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是抛物线在第一象限内的一点，连接，过点P作轴于点D，交于点K．记，的面积分别为，，求的最大值； （3）如图2，连接，点E为线段的中点，过点E作交x轴于点F．抛物线上是否存在点Q，使？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$