6.4.3 余弦定理、正弦定理讲义（知识梳理+13题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 讲义 基础知识梳理 1. 余弦定理 核心公式 在 中，角 所对的边分别为 ，则： 变形公式（求角） 适用场景 ①已知两边及夹角（SAS），求第三边； ②已知三边（SSS），求任意角； ③判断三角形的形状（锐角/直角/钝角三角形）。 2. 正弦定理 核心公式 在 中，角 所对的边分别为 ，外接圆半径为 ，则： 变形公式 ，，； ，，； 。 适用场景 已知两角及一边（AAS/ASA），求其他边和角； 已知两边及其中一边的对角（SSA），求其他边和角（注意解的个数）。 3. 三角形面积公式 (R为外接圆半径) 典例精讲 模块一：余弦定理的应用 典例1（已知两边及夹角，求第三边，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的值。 变式1在 中，已知 ，，，求 的值。 典例2（已知三边，求角，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的值。 变式2在 中，已知 ，，，求 的度数。 典例3（重难拓展：判断三角形形状） 例：在 中，已知 ，，，判断 的形状。 变式3在 中，已知 ，，，判断 的形状。 模块二：正弦定理的应用 典例4（已知两角及一边，求其他边，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 和 的值。 变式4在 中，已知 ，，，求 和 的值。 典例5（重难拓展：已知两边及其中一边的对角，讨论解的个数） 例：在 中，已知 ，，，判断三角形解的个数。 变式5在 中，已知 ，，，判断三角形解的个数。 模块三：正、余弦定理的综合应用 典例6（综合应用：求面积，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的面积。 变式6在 中，已知 ，，，求 的面积。 典例7（重难拓展：与三角恒等变换结合） 例：在 中，已知 ，，，求角 、 和边 。 变式7在 中，已知 ，，，求角 、 和边 。 【核心技巧】 · 选定理：已知两边及夹角（SAS）或三边（SSS），优先用余弦定理；已知两角及一边（AAS/ASA）或两边及其中一边的对角（SSA），优先用正弦定理。 · 求角优先：用余弦定理求角时，可直接得到角的余弦值，从而判断角是锐角还是钝角；用正弦定理求角时，需注意解的个数。 · 面积公式：已知两边及夹角时，直接用 ；已知三边时，先用余弦定理求一个角的正弦，再求面积。 · 解的个数：SSA 类型问题，需根据 与 的大小关系讨论解的个数： ：无解； ：一解（直角三角形）； ：两解； ：一解。 【易错提醒】 · 余弦定理符号：求角时，分子是“两边平方和减去第三边平方”，切勿写反。 · 正弦定理解的个数：SSA 类型问题，求出 后，若 ，需结合 的大小判断 是锐角还是钝角，避免漏解或多解。 · 三角形内角和：求出的角必须满足 ，且每个角都在 之间。 · 三角恒等变换：在综合题中，求 、 等非特殊角时，需用和差公式展开，切勿直接记忆数值。 题型 01 直接利用正弦定理求三角形的边或角 1．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝45°，C＝30°，c＝1，则b等于(　　) A.　　 B．－ C.　　 D．＋ 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则 . 题型 02 直接利用余弦定理求三角形的边或角 1．在中，若，则等于（    ） A． B． C．3 D． 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 4．在中，，，锐角C满足， 题型 03三角形外接圆与正余弦定理结合 1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 题型 04 三角形面积公式与正余弦定理结合计算 1．已知中，，且的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（    ） A． B．5 C．8 D． 4．在中，若，且，则的周长为 ． 题型 05 判断三角形解的个数 1．在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80° 4．在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 题型 06 判断三角形的形状 1．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 2．若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 题型 07 正余弦定理与三角恒等变换结合应用 1．在中，若，则（     ） A． B． C． D． 2．在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（   ） A．16 B． C． D．4 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 7．的内角的对边分别为，已知，，，则角 ． 题型 08 解三角形与中线/角平分线结合应用 1．已知ABC中,AD为∠BAC的角平分线,与BC交于点D，AB＝3，AC＝4,BC＝5,则AD＝（    ） A． B． C． D． 2.在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为 ． 题型 09 解三角形在四边形 / 梯形 / 平行四边形中的应用 1．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（    ） A． B． C． D． 2.如图,平面四边形中,,，,,,则 . 3．已知平行四边形，对角线，，，则边 . 题型 10 解三角形中求边长 / 角度 / 高的取值范围 / 最值 1．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 2．在锐角三角形ABC中，，，则AB边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．中，，则AB+2BC的最大值为____． 题型 11 解三角形的实际应用 1．如图,两点在河的两岸,在同侧的河岸边选取点,测得的距离,则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 2．根据气象部门提醒,在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动,距离风暴中心以内的地区都将受到影响,则该基地受热带风暴中心影响的时长为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要 小时． 5.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 题型 12 解三角形多选/综合判断问题 1．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则此三角形有2解 2．（多选）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（    ） A． B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 3．（多选）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交于一点,则这样的三个交点构成一个正三角形（如图所示）,若为等腰直角三角形,是的中点，且,则（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有唯一解，则或 D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 题型 13 解三角形多问综合解答题 1．已知角所对的边分别为,的周长为,且. (1)求边的长; (2)若的面积为,求角的度数. 2．记中角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 3.在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 4.在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 5.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.4.3 余弦定理、正弦定理 讲义 基础知识梳理 1. 余弦定理 核心公式 在 中，角 所对的边分别为 ，则： 变形公式（求角） 适用场景 ①已知两边及夹角（SAS），求第三边； ②已知三边（SSS），求任意角； ③判断三角形的形状（锐角/直角/钝角三角形）。 2. 正弦定理 核心公式 在 中，角 所对的边分别为 ，外接圆半径为 ，则： 变形公式 ，，； ，，； 。 适用场景 已知两角及一边（AAS/ASA），求其他边和角； 已知两边及其中一边的对角（SSA），求其他边和角（注意解的个数）。 3. 三角形面积公式 (R为外接圆半径) 典例精讲 模块一：余弦定理的应用 典例1（已知两边及夹角，求第三边，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的值。 解析：直接代入余弦定理公式： 所以 。 变式1在 中，已知 ，，，求 的值。 解析： 所以 。 典例2（已知三边，求角，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的值。 解析：代入余弦定理求角公式： . 变式2在 中，已知 ，，，求 的度数。 解析： 因为 ， 所以 。 典例3（重难拓展：判断三角形形状） 例：在 中，已知 ，，，判断 的形状。 解析：最大边为 ，对应的角为 ，计算 ： 因为 且 ，所以 。 因此， 是直角三角形。 变式3在 中，已知 ，，，判断 的形状。 解析：最大边为 ，对应的角为 ： 因为 ， 所以 为钝角， 是钝角三角形。 模块二：正弦定理的应用 典例4（已知两角及一边，求其他边，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 和 的值。 解析：先求角 ：。 由正弦定理 ： 同理，： . 变式4在 中，已知 ，，，求 和 的值。 解析：。 。 由正弦定理： . 典例5（重难拓展：已知两边及其中一边的对角，讨论解的个数） 例：在 中，已知 ，，，判断三角形解的个数。 解析：由正弦定理 ，得： 因为 ，且 （即 ）， 所以 可能为锐角或钝角， 故三角形有两解。 变式5在 中，已知 ，，，判断三角形解的个数。 解析： 因为 且 （即 ）， 所以 为锐角，三角形有一解。 模块三：正、余弦定理的综合应用 典例6（综合应用：求面积，中等） 例：在 中，已知 ，，，求 的面积。 解析：直接代入面积公式： . 变式6在 中，已知 ，，，求 的面积。 解析：先由余弦定理求 ： 再求 ： 代入面积公式： . 典例7（重难拓展：与三角恒等变换结合） 例：在 中，已知 ，，，求角 、 和边 。 解析：由正弦定理 ： 因为 ，所以 ， 故 或 。 情况一： 。 。 由正弦定理 。 情况二： 。 。 由正弦定理 。 变式7在 中，已知 ，，，求角 、 和边 。 解析：由正弦定理 ： 因为 ，所以 ， 故 。 。 所以。 【核心技巧】 · 选定理：已知两边及夹角（SAS）或三边（SSS），优先用余弦定理；已知两角及一边（AAS/ASA）或两边及其中一边的对角（SSA），优先用正弦定理。 · 求角优先：用余弦定理求角时，可直接得到角的余弦值，从而判断角是锐角还是钝角；用正弦定理求角时，需注意解的个数。 · 面积公式：已知两边及夹角时，直接用 ；已知三边时，先用余弦定理求一个角的正弦，再求面积。 · 解的个数：SSA 类型问题，需根据 与 的大小关系讨论解的个数： ：无解； ：一解（直角三角形）； ：两解； ：一解。 【易错提醒】 · 余弦定理符号：求角时，分子是“两边平方和减去第三边平方”，切勿写反。 · 正弦定理解的个数：SSA 类型问题，求出 后，若 ，需结合 的大小判断 是锐角还是钝角，避免漏解或多解。 · 三角形内角和：求出的角必须满足 ，且每个角都在 之间。 · 三角恒等变换：在综合题中，求 、 等非特殊角时，需用和差公式展开，切勿直接记忆数值。 题型 01 直接利用正弦定理求三角形的边或角 1．在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝45°，C＝30°，c＝1，则b等于(　　) A.　　 B．－ C.　　 D．＋ 【答案】C 【详解】B＝180°－45°－30°＝105°.由正弦定理得＝， ∴b＝×sin 105°＝2sin (60°＋45°)＝2(×＋×)＝. 2．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，由正弦定理得，由于，所以，所以，所以是锐角，且.故选：B. 3．在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据正弦定理将边化为角，再结合三角函数的性质求解. 【详解】已知，由正弦定理可得：， 因为，所以，得到，即. 又因为，所以. 故选：B 4.在中，角，，的对边分别为，，，若，，，则（    ） A．或 B．或3 C．或3 D．3 【答案】A 【详解】由题意及正弦定理，得，解得. 又，故，于是或，均符合题意. 当时，，由正弦定理，得，解得； 当时，，此时是等腰三角形，. 故选：A 5.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．则 . 【答案】 【详解】依题意，由正弦定理，即，解得. 题型 02 直接利用余弦定理求三角形的边或角 1．在中，若，则等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【详解】在中，若，由余弦定理得，得，故选：A 2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用余弦定理求出角的余弦值，即可确定角. 【详解】由余弦定理，可得， 又因为，故. 故选：C. 3．在中，，则（    ） A．3 B．5 C．4 D． 【答案】D 【分析】应用二倍角余弦公式求得，再应用余弦定理求边长. 【详解】由，且， 所以，可得. 故选：D 4．在中，，，锐角C满足， 【答案】 【分析】根据给定条件求出，再利用余弦定理求出及. 【详解】由，且为锐角，得， 由余弦定理，得，解得， 由余弦定理得. 故答案为： 题型 03三角形外接圆与正余弦定理结合 1．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆面积为（　　） A．3π B．6π C．9π D．12π 【答案】C 【分析】由余弦定理可得，再结合正弦定理可得的外接圆半径，即可求面积. 【详解】因为，所以，得， 设的外接圆半径为，则，可得， 故的外接圆面积. 故选：C. 2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且，若，，则△ABC的外接圆直径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由余弦定理与三角形面积公式，利用条件可解出角，再由利用余弦定理可求，由可得外接圆直径. 【详解】由得， ， 即：，可得. 又因为，可得． 又已知，， 由余弦定理得， 解得. 则外接圆直径. 故选：D. 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的外接圆面积为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用等腰三角形性质求出底角的正弦，再利用正弦定理求出三角形外接圆半径即可. 【详解】在中，由，，得，则， 则的外接圆半径，所以的外接圆面积为. 故答案为： 题型 04 三角形面积公式与正余弦定理结合计算 1．已知中，，且的面积为，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【详解】因为中,,且的面积为,.所以，所以或.故选：B. 2．已知的面积为，则（   ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】C 【分析】 由面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由面积公式可知，即，解得， 由余弦定理可知，， 所以. 故选：C 3．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则（    ） A． B．5 C．8 D． 【答案】A 【分析】由三角形的面积和 计算出 的值，再根据余弦定理求出 的值，即可得到答案 【详解】由题意可知， ，得 ， 由余弦定理可得： 整理得： ， 故选：A 4．在中，若，且，则的周长为 ． 【答案】 【分析】利用三角形的面积公式，求得，再由余弦定理，列出方程求求得，进而求得的值，即可求解. 【详解】由中，，且， 可得，解得， 又由余弦定理得，即， 可得，则，所以， 所以的周长为． 故答案为：． 题型 05 判断三角形解的个数 1．在中，，则这个三角形有（   ） A．一解 B．两解 C．无解 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题意可得，则有，即有，从而得，即可得答案. 【详解】解：因为， 所以，， 所以有，即， 所以， 所以三角形为钝角三角形，只有一个解. 故选：A. 2．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，如果有两解，则a的值可能为（    ） A．9 B． C．11 D．12 【答案】A 【分析】由题意知且，所得范围取交集，找出符合范围的a的值即可. 【详解】由正弦定理得：，且有两解，所以，且，所以，故符合题意的有A. 故选：A 3．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．b＝10，A＝45°，C＝70° B．b＝45，c＝48，B＝60° C．a＝14，b＝16，A＝45° D．a＝7，b＝5，A＝80° 【答案】BC 【详解】对于A，因为，所以，只有一解； 对于B，因为，且，所以有两解； 对于C，因为，且，所以有两解； 对于D，因为，但，所以有一解； 故选：BC. 4．在中，角、、的对边分别为、、．若，则的大小不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据余弦定理化简题中等式，可得，然后利用二倍角公式并结和为三角形的内角，计算出角的大小 【详解】根据余弦定理，可得，结合， 可知，即， 当时，等式成立，结合,可得; 当时，等式可化为,结合,可得或， 综上所述，，或. 故选：B 题型 06 判断三角形的形状 1．设中的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理整理等式，解得角，可得答案. 【详解】由，根据正弦定理可得， 则，由，则， 可得，由，解得. 故选：D. 2．若，且，那么是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】由余弦定理得推论可得，因为，所以，因为，由正弦定理可得：， 整理可得：，所以，所以或，为，所以，所以，所以是等腰直角三角形，故选：B 题型 07 正余弦定理与三角恒等变换结合应用 1．在中，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据正弦定理，可知，，，代入原式可得,又，， 则，，，得.故选：B 2．在锐角中，，，分别为内角，，的对边.已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由同角的正余弦的平方关系求得，进而由余弦定理求得，再利用正弦定理可求解. 【详解】因为为锐角三角形，所以，又，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以， 在中，由正弦定理可得，所以，解得. 故选：C. 3．在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角公式和诱导公式得到，解得，由同角三角函数关系得到，由正弦定理得到方程，求出答案. 【详解】因为，所以. 因为，所以，可得，解得. 因为，，所以. 由正弦定理得，故，解得. 故选：C 4．的内角，，的对边分别为，，，已知，，则（   ） A．16 B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用正弦定理整理等式，再根据正弦和角公式求得角的正弦值，利用同角三角函数关系式求得角的正弦值，再结合正弦定理，可得答案 【详解】由，则， 即，由，则， 由，则， 因为,所以， 所以. 故选：B. 5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知等式结合正弦定理可得，再由余弦定理可得，最后结合同角的三角函数关系和特殊三角函数值得到结果即可 【详解】由及正弦定理得，即， 由及余弦定理可得， ∴，∴，∴. 又，∴. 故选：D. 6．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，则 ． 【答案】/ 【分析】利用已知条件中的边长将化为，再结合正、余弦定理即可求解. 【详解】，， 则即为， 由正弦定理得：，即， 又由余弦定理得：， ， 由正弦定理有：，，解得． 故答案为：. 7．的内角的对边分别为，已知，，，则角 【答案】 【详解】由题意，则有，又由，则有，变形可得，因，则，即，又由，，则，又由，则，则；故答案为． 题型 08 解三角形与中线/角平分线结合应用 1．已知ABC中,AD为∠BAC的角平分线,与BC交于点D，AB＝3，AC＝4,BC＝5,则AD＝（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵AB＝3，AC＝4，BC＝5，满足，∴，故， ∵AD是∠BAC的角平分线，∴，∴，在ABD中，，得， 解得或者（舍去），故选：D． 2.在中，，，为边上的中点，且的长度为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，；在中，； ，，又，，整理可得：，即，，；在中，， ，解得：（舍）或，.故选：A. 3．在中，内角所对的边分别为，满足，是边的中点，，且，则的长为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理可知，， 即，则，， 所以，    因为点是中点，所以和的面积相等，设， 则，即， 中，根据余弦定理可知，， 则，， 中，. 故答案为： 题型 09 解三角形在四边形 / 梯形 / 平行四边形中的应用 1．在梯形中，，是边长为3的正三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是边长为3的正三角形,所以，又，所以,由正弦定理得,则． 故选：B 2.如图,平面四边形中,,，,,,则 . 【答案】2 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，化简得，故. 3．已知平行四边形，对角线，，，则边 . 【答案】2 【分析】利用余弦定理解三角形可得的长度. 【详解】如图： 取与的交点为，则为平行四边形的对角线与的中点. 在中，由. 所以. 在中，， 所以. 故答案为：2 题型 10 解三角形中求边长 / 角度 / 高的取值范围 / 最值 1．在中，已知，最大边与最小边的比为，则三角形的最大角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设a为最大边，c为最小边，根据正弦定理可得,化简即可求解. 【详解】不妨设a为最大边，c为最小边，由题意，即， 整理，得．所以，所以． 故选：B 2．在锐角三角形ABC中，，，则AB边上的高的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则有，由正弦定理，得，整理得，由余弦定理得， ，设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB边上的高，由正弦定理得．由为锐角三角形，可知，，所以，从而，因此AB边上的高的取值范围是．故选：D． 3．中，，则AB+2BC的最大值为____． 【答案】 【详解】在中，根据， 得，同理， 因此 ． 题型 11 解三角形的实际应用 1．如图,两点在河的两岸,在同侧的河岸边选取点,测得的距离,则两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故，由，得m.故选：D 2．根据气象部门提醒,在距离某基地正北方向处的热带风暴中心正以的速度沿南偏东方向移动,距离风暴中心以内的地区都将受到影响,则该基地受热带风暴中心影响的时长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示建立平面直角坐标系， 假设，，由题意易知，则,所以该基地受热带风暴中心影响的时长.故选：B 3．如图，已知某山峰的海拔高度为米，一位登山者到达海拔高度为米的点处．测得山峰顶端的仰角为．则、两点之间的距离为（　　）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】在中直接由正弦函数的定义计算即可. 【详解】如图，在中，，，， 所以，米， 故选：B. 4．如图，某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在处发现在北偏东方向，相距的水面上的处，有蓝方一艘小艇正以每小时的速度沿南偏东方向前进，红方侦察艇立即以每小时的速度，沿北偏东方向拦截蓝方的小艇，则红方侦察艇拦截住蓝方小艇最少需要 小时． 【答案】2 【详解】设红方侦察艇经过小时后在处追上蓝方的小艇, 结合题意：易得,，，，在中，利用余弦定理：，解得：，或（舍去）.故答案为：2. 5.海岸上建有相距海里的雷达站C，D，某一时刻接到海上B船因动力故障发出的求救信号后，调配附近的A船紧急前往救援，雷达站测得角度数据为.    (1)救援出发时，A船距离雷达站C距离为多少？ (2)求之间的距离，并判断若A船以30海里每小时的速度前往B处，能否在3小时内赶到救援（说明理由）？ 【详解】（1）在中，因为，， 所以，， 又，所以由正弦定理可得，即，解得， 所以A船距离雷达站C距离为120海里； （2）在中，根据正弦定理可得， 即，解得， 在中，由余弦定理可得， 解得， 因为A船以30海里每小时的速度前往B处，而， 所以能在3小时内赶到救援. 题型 12 解三角形多选/综合判断问题 1．（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则 C．若，则为等腰三角形 D．若，则此三角形有2解 【答案】AC 【详解】对于A，由余弦定理可得，即，但无法判定A、C的范围，故A错误；对于B，若，则，由正弦定理，得（为外接圆的半径）， 所以，故B正确；对于C，若，由正弦函数的性质，得或，又，故或，故C错误；对于D，由正弦定理可得，得，由，得，又，所以有2个A的值，即三角形有2个解，故D正确.故选：AC. 2．（多选）在中，，点在线段上，下列结论正确的是（    ） A． B．若是中线，则 C．若是角平分线，则 D．若，则是线段的三等分点 【答案】BC 【详解】对于A，在中，，，，， 又，，故A错误； 对于B:若是中线，,即,,故B正确； 对于：若是角平分线，则，即，解得，故C正确； 对于D:若为线段的三等分点,则或， 即或，，或，或，故D错误． 3．（多选）英国数学家莫利提出：将三角形各内角三等分,靠近某边的两条三分角线相交于一点,则这样的三个交点构成一个正三角形（如图所示）,若为等腰直角三角形,是的中点，且,则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对选项A：连接，且于，，则，， ,故，则；故，又，，正确； 对选项B：设，故，则，故， ，则，解得，故，错误； 对选项C：，正确； 对选项D：，错误； 故选：AC 4.（多选）已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（    ） A．若，则为等腰三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，，且有唯一解，则或 D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9. 【答案】BC 【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：， 所以有，整理可得， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，若为锐角三角形，所以，故， 由正弦函数在单调递增，则，故B正确． 对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确． 选项D，的平分线交于点，， 由，由角平分线性质和三角形面积公式得， 得，即，得， 得， 当且仅当，即时，取等号，故D错误．    故选：BC． 题型 13 解三角形多问综合解答题 1．已知角所对的边分别为,的周长为,且. (1)求边的长; (2)若的面积为,求角的度数. 【分析】(1)根据正弦定理可将化简为,再根据的周长即可求得; (2)根据三角形面积公式可得,根据(1)中的结论可得,再根据余弦定理即可求得角. 【详解】（1）由题意得:， 在中,将正弦定理代入可得， 又,即，所以； （2）由(1)知,,所以， 因为，所以,又有， 所以，因为，所以. 2．记中角所对的边分别为，已知，. (1)求； (2)若的周长为，求的面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又因为，所以， 在中，，所以， 所以则， 而，所以. （2）由（1）,所以由， 又，所以. 因为在中，，所以有，， 所以， 又，所以，所以， 由题，其中为外接圆的半径， 所以，所以，故的面积 . 3.在中，角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长. 【详解】（1）由，得，即且，则. （2）因为，所以，解得， 由余弦定理得， 所以，所以的周长为. 4.在中，角、、的对边分别为、、，已知 (1)求角的大小； (2)若，试判断的形状并给出证明. 【详解】（1）由，可得， 因为，所以. （2）解法一：为等边三角形，证明如下： 由三角形内角和定理得，， 故，由已知条件，可得， 整理得，所以， 因为、，则，所以， 又由（1）知，所以为等边三角形； 解法二：为等边三角形，证明如下： 因为，由正弦定理和余弦定理，得， 整理得，即. 又由（1）知，所以为等边三角形. 5.已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)若，角与角的内角平分线相交于点D，求面积的最大值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 所以， 所以， 又，得，所以，即， 由，解得； （2）由题意，， 所以，设，， ，又，则，， 在中，由正弦定理可得：. 即，， ， ，，， ，即， 所以面积的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $