湖北襄阳市2026届高三下学期3月统一调研测试数学试题

高三数学试题解析 一、选择题 CBADD BAD 8.解析：a,=m+2(m-1),Sn=wm+ 2nn=D=700,n(m+n-1)=700=2×5°×7 2 所以n的取值为22×52×7的所有因数，所以所求和为(1+2+22)×(1+5+52)×(1+7)=1736 所以选D 二、选择题 9.AC 10.BCD 11.ACD 11、【详解】A.f(x)=x3+ax2+cx+d,.f"(x)=3x2+2ax+C,f"(x)=6x+2a=0 ·x=-y=fx的对称中心为(-f(-));所以A对 B.证明：设f(x)=f(m), f(x)-f(m)=x3+ax2+bx+c-f(m)=(x-x1)2(x-m) 利用方程左右两边x2的系数相等，得到a=-m-2x1 又x1,x2为∫'()=3x2+2r+c=0,所以x1+x2=-9 3 所以：m=-2x1-a=x2+2,所以B错 C有题意知，1和2是fx)-2026x=0的两根，设f(x)-2026x=(x-1)(x-2)(x-k) 则f(5)-f(-2)=2026×5+12×(5-k)-[2026×(-2)+12(-2-k)]=14266 D.f(x)=x3+ax2+cx+d=x3+ax2-(1-a)2=(x-a)(x-B)(x-Y) (a+B+y=-a 所以3aB+BY本y20++=r=a2、 aB ay =a>解得3-V6,1)u(13+同 又有f(x)=x3+ax2-(1-a)2三个不等实根，所以极大值大于0，极小值小于0 f0-3x+2ax=3tx+3) 又实数a为正.所以f四在(-，-学)为增，在(-台，0为减，0，+四)为增，所以3)>0 (f0)<0 所以a>子且a≠3，所以(，1)u(1,3)u(33+同 所以D对，故选ACD 三、填空题 试卷第 12.3x-2y-5=0 13.2 14.【详解】2sinx1+3c0Sx1=2simx2+3c0sx2 ..2(sinx1-sinx2)=3(cosx2-cosx1) 2osa2)=32jm2) 2 2 tm(士)子s+对 2× 12 2 1+( 13 四、解答题 15.解析：(1)证明：因为四边形ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE的中点， 所以四边形FDGA为平行四边形，所以FD∥AG.-一一1分 又H、G分别为CE、DE的中点，所以HG∥CD 因为FD、CD4平面AGH,AG、HGC平面AGH,所以FD∥平面AGH,CD∥平面AGH, 因为FD、CDC平面CDF,FDOCD=D, 所以平面CDF∥平面AGH.一一一5分 (2)因为三角形ABC为正三角形，BD=AD,F为AB的中点，所以AB⊥CF,AB⊥DF, 所以∠CFD为二面角C-AB一D的平面角， 又CFnDF=F,所以AB⊥平面CFD,因为ABC平面ABDE,所以平面CFD⊥平面ABDE. 作CO⊥平面ABDE于O,则O在直线DF上.又二面角C-AB-D的平面角为∠CFD=120°，所以O在 线段DF的延长线上.易知CF=2V3,则FO=V3,CO=3.一-一-9分 以F为原点，FD、FA所在直线分别为x轴、y轴，过点F平行于OC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图， 1页，共4页 因为AB=4,BD=AD=V31,所以DF=3V3 则A(0,2,0),B(0,-2,0),D33,0,0),E33,4,0),C(-√3,0,3)， 由(2)知CD=(4V3,0,-3),DE=(0,4,0),设平面CDE的法向量为i=(x,y,z),则由i⊥cD,i⊥DE,得 43x-32=0令2=4V3,得i=(3,0,4W3).--11分 4y=0 易知平面DEF的一个法向量m=(0,0,1), 所以平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值为s<i,而源温一罗一13分 (几何法酌情给分) 16解：1)由题意得bc51x26 4=×2b√3123 -+×2c- 222 22 2 所以bc=2(b+c)①--3分 又63=b2+c2+bc②--5分 由①②解得b+c=9,所以△4BC的周长为9+377分 2) Γ24 3 又co34=b+c2-a2 2bcC,6+c2=d+2bce08A=cnA+2bcco8A-10分 4 3 .(b+c)2_b2+c2+2bcb2+c2 +2 bc bc bc 试卷第2页 3imA+2c08A+2=213（2 4 A+3 o8)+2=2V 3s(4+0+2s21 2+2当且仅 3√13 13 3 当5inA=2W13时取=，-13分 13 又仍+之4当且仅当c时取=，所以6+c)的最大值2y1 2+2和最小值4.-15分 bc bc 17.解析：(1)f(x)的定义域为(0，+∞). 0若as0.因为付)}ah2<0.所以不清是题意：2 ②若a>0,由f(x)=1-=二知，当x∈(0，a)时，f'(e)<0:当xe(a+o)时，f"(x)>0,所 以f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+o)单调递增，故f(x)在x=a时取得最小值点. 所以f(a)=a-l-alna≥0，-5分 令g(a)=a-1-ana,则g'(a)=1-lna-1=-na 当a>1时，g'(a)<0,g(a单减：当0<a<1时，g'(a)>0,g(a单增： 又g()=0,所以f(a=a-1-aha≥20的解为a=1,故-1.7分 2)a分且x>1时，。t-1f=g46x-0-n-12e1-2+1+h,-9分 a 令g(x)=e-1-2x+1+lnx(x>1),下证g()>0即可. g(w=e12+,再令x)=g(w),则h)=e1- 3, 显然h(x)在1，+w)上递增，则(x)>l(①)=e°-1=0，--12分 即g'(x)=h(x)在(1，+o)上递增， 故g'(x)>g'I)=e°-2+1=0，即g(x)在(1，+o)上单调递增， 故8(x)>81)=e°-2+1+ln1=0,问题得证--15分 18.【详解】(I)证明：由y2=2px0p>0)得y=士√2px 当y=V2p时，V=品 共4页 所以kpw=燕则PM的方程为：y=c-x)+, 又y1=√2px1 整理得：yy1=p(x+x1) 同理，当y=-√2px时，PM:yy1=p(x+x1)--4分 (Ⅱ)解：同(1)：设N(x2y2),则PN的方程为yy2=p(x+x2),又P点的坐标为(-2p x1),又y7=2px1,所以-8y-4p2=0,同理片-8y2-4p2=0, 所以，y2是方程y2-8y-4p2=0的两根， 因此y+为2=8yy2=-4p,6分 又kw==2p- 2yy+y241 2p2p 由弦长公式得0时-+c+gy-4为-1√64+16=0 所以p4或2，因此所求抛物线方程为y2=8x或y2=4x;9分 ()解：设D(x3,y3),由题意得H(x1+x2,y1+y2), 则HD的中点坐标为r+3,+x,当++)， 2 2 由(1)(2)可知：直线MW的方程为%=p(x-2p), 由点T在直线MN上，并注意到点（十，十）也在直线MN上， 2 2 代入得yy。=px 若D(x3,y3)在抛物线上，则y32=2px3=2yoy3 因此0或g-2a即D0,或D2,2y）.-12分 D C1)当w0时，则y+为=2%=0，此时，点P(2p,0适合题意.-14分 H2,2）ke= 2y。4py (2)当⅓≠0，对于D0,0),此时2p +好+吃 2p 又ka=B,NLDA,所以kokg=卫4p=p y 为+好好+好 即矿+巧=-4p,矛盾对于D2少，2.因为H心+生，2，小此时直线DH平行于x轴， 2p 4),则4y1=p(-2p+ 又k,=卫，所以直线MN与直线DH不垂直，与题设矛盾，所以≠0时，不存在符合题意的P点. y。 综上所述，仅存在一点P(-2p,0)适合题意-17分 19.[解析](1)当n=4时，由X=(0,0,1,3,4),需构造Y=(y,,y2,3,y4)满足 ①f(f(x)=x,x∈M ②y=f(x) ③x+y∈{0,4,8，i∈{0,12,3,4} 设f(0)=0,f(1)=3,f(2)=2,f(3)=1,f(4)=4,则f(x)满足①②③，此时 Y=(0,0,3,1,4)；故Y=(0,0,3,1,4)满足题意.4分 (1)取X=(0,0,0,0,2,4,6,Y=(0,0,0,0,4,2,6)满足x+y∈{0,6,12}且满足 f(0)=0,f(1)=5,f(2)=4,f(4)=2,f(3)=3,f(5)=1,f(6)=6 兰的分布列为 5 0 2 4 6 --7分 0 1 1 1-2 )-=2写4*6 1113 3 6 23,所以X=(0,0.00,24,6.Y=(0,00,042,0(其他合 1=0 理答案，同样给分，如：X=(0,0,0,2,6,4,0),Y=(0,0,0,4,6,2,0)等)。-9分 (3)当n≥4时，若A=(a,4,42,an)∈T且满足nax{ao,4,,an}=n不妨令4。=n 试卷第3页，共4页 ①由于a0+a1+a2+…+a。=2n,所以a1,a2,…,an不可能都是0. ②若A中有n-1个0，不坊设a≠0，a2=…=an=0,则a=n,此时A=(n,n,0,0,,0), 根据题意a+b∈{0，n,2n,则B=(n,n,0,0,…,0),B=(0,0,m,n,…,m), 但是当B=(,,0,0,,0)时与A≠B矛盾，所以不成立： 当B=(0,0,n,n,,m)时，b+b+b2+b+…b。=0+0+n+n…n=(n-1)n>2na≥4)， 与∑=2m矛盾. 0 所以A中不可能有n一1个0. ③若A中有n-2个0，不坊设4≠0，a2≠0，则A=(n,a,a2,0,0…,0),其中a+a2=n, 则存在函数∫使得： f(n)=n,f(a)=n-af(az)=n-a,f(n-a)=a,f(n-a2)=a:f(0)=0, 即存在B=(n,n-a1,n-a2,0,0,…,0)使得A与B是T中的友好元素”. ④若A中0的个数小于等于n-3个，不妨设A=(n,a1,42,4,a4…,a), 其中a1≠0，a2≠0,4≠0，a,a5,,an≥0，则a1+a3+a≤n. 假设存在B,则有两种可能： 第-种：B=(m,n-a,n-42,n-4,f(a),,f(an)》,其中若a,≠0，(=4,5，n), 则f(a)=n-a,:若a,=0,(U=4,5,n),则f(a)=0,此时， b+b+b2+…+b>n+n-a+n-a2+n-a3=4-(a1+a2+a）≥41-n=37, 不特合题意： 第二种：B=(0,n-a1,n-a2,n-a3,n-a4,…n-an),则 b。+b+b2+…+bw≥0+n-a+n-a2+…+n-am =n2-(a,+a2+…+an)=n2-n>2nn≥4) 试卷第4 即这两种情况都有 ∑4>2n,矛盾. = 综上可知，当n≥4时，若存在本列B使得A与B为-对“友好元素”，则A中有n-2个0.-17分 万，共4页2026年3月襄阳市高三年级统一调研测试 数学试题 本试卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码 粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、 草稿纸和答题卡上的菲答题区域均无效， 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡-一并上交。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求)】 1.设集合P={2,4,6,8,10,Q={x2x>7,x∈R,则PnQ= A.8,10 B.6,8,10 C.{4,6,8,10 D.2,4,6,8,10 2.设i是虚数单位，iz=5+4i,则z= A.-5-41 B.4-5i C.4+5i D.5+4i 3.已知向量a=(t,1),b=(2,-3),且a/(a-b),则t= a员 B号 c分 n 4.把函数y=(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线 向左平移云个单位长度，得到函数y=sin }的图象，则()= 212 A.in B.ain) C.sin2x-12 5.设a=log4,b=log65,c=log43,则 A.a<c<b B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 6.已知椭圆C,与双曲线C2有相同的左焦点F,和右焦点F2,P为椭圆C1与双曲线C2在 第象限内的一个公共点，设椭圆C与双由线C,的离心率分别为©4，，且。若 ∠，PR,=行，则双曲线C,的渐近线方程为 A.y=±3x B.y=±2x C.y=±W5x D.y=±2x 高三数学试题第1页（共4页） 7.在一次游泳比赛结束后，甲、乙、丙、丁进入前4名，且这4人无并列名次。赛完他们出 场后，场外一个未看到比赛结果的游泳爱好者跟他们了獬比赛结果： 甲说：我是第四名 乙说：我不是第二名或第四名 丙说：我排在乙前面 丁说：我是第一名 他们4人中只有一个人说的是假话，下列正确的是 A.丙是第一名 B.乙是第二名 C.甲是第三名 D.丁是第四名 8.已知数列{an}为等差数列，首项a1=m(m为整数)，公差d=2,前n项和S。=700,则满 足题意的n的所有取值的和为 A.3720 B.4320 C.2940 D.1736 二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法正确的是 A.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.28 B.若样本数据x1,x2,…,xn的方差为4，则数据2x1-3,2x2-3,…,2x。-3的方差为8 C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事 件“至少有一个红球”与事件“两个球颜色相同”互斥 D.1,2,3,…,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507 10.已知菱形ABCD中，AB=2,∠ABC=60°，现将△ADC沿对角线AC折起至△PAC,连接 PB,形成三棱锥P-ABC,则下列说法正确的是 A.二面角P-AC-B的大小为120时，平面PAB⊥平面PBC B.在折起的过程中，存在某个位置使PA⊥BC C.∠PMB=90时，三棱锥P-ABC的体积为22 D三棱锥P-ABC的体积最大时，其外接球的表面积为 11.已知f(x)=x3+ax2+c%+d,则下列结论正确的是 A=)的对称中心为号，f(号)】 B.若了存在两个极值点，且则y时色2 与y=f(x)有3个交点 C.若f(1)=2026,f(2)=4052,则f(5)-f(-2)=14266 网网tcg2,则实数a D.若c=0,d=-(1-a),f(x)=0有三个不等实根a,8,y,且0+B+y>3 的取值范图是（经，U(1,3)U(3,3+6) 高三数学试题第2页（共4页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12曲发)子在点（1，-)处的切线方程为 13.已知等比数列{an}满足a:=1,a3a5=16(a4-4),则a2= 14.已知f(x)=2sinx+3cosx,若f(x1)=f(x2）,且x:-x2≠2nT(n∈Z),则sin(1+x2)》 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)》 如图，正三角形ABC'和平行四边形ABDE在同一个平面内，其中AB=4,BD=AD= √31，AB,DE的中点分别为F,G.将△ABC'沿直线AB翻折到△ABC,使二面角C-AB-D 为120°，设CE的中点为H. (1)求证：平面CDF∥平面AGH; (2)求平面CDE与平面DEF的夹角的余弦值 16.(本小题满分15分) 在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,M为边BC所在直线上一点 ()若∠BAG=子，AM平分2BMC,AM=2,BC=37,求△ABC的周长： (2)若ANLBC,.且AM=子，R6e 的最大值和最小值 bc 17.(本小题满分15分) 已知函数f代x)=x-1-alnx. (1)若f(x)≥0恒成立，求a的取值集合； (2)当a≥2时，证明：当1时，)<e-1恒成立 高三数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分)》 如图，设抛物线方程为y2=2x(p>0),点P为直线x=-2p上任意一点，过P作抛物线 的切线，切点分别为M,N: （I)若M的坐标为(x1,y),求证：直线PM的方程为yy=p(x+x,): (Ⅱ)已知P点的坐标为(-2印，4)，1MN1=8√10，求此时抛物线的方程； (Ⅲ)是否存在点P(-2P,y),使得点H关于直线MN的对称点D在抛物线y2=2px (P>0)上，其中点H满足0=0M+O(0为坐标原点).若存在，求出所有适合题意的点P 的坐标；若不存在，请说明理由， 19.（本小题满分17分) 集合M={0,1,2,3,,n,T={(a,4,a,…,a)a:∈M(i=0,1,2,…,n),2a,=2nm}, 对T中的两个不同元素X=(x0,x,x2,…,xn)和Y=(y01,y2,…,y), 若存在一个函数f:M→M满足： ①ff(x）)=,Hx∈M ②y:=fx),ie{0,1,2,…,n ③(x:ty:)∈{0，n,2n,Vie{0,1,2,…,n 则称：X与Y是T中的一对“友好元素” (1)当n=4时，若X=(0,0,1,3,4),写出X对应的一个“友好元素”； (2)若X=(x0,1,x2,…,x)和Y=(y0少，y2,…,y)是T中的一对“友好元素”，且满 足max,x,,*=n,规定：随机交量{服从分布P(《=x,)=光(i=0,1,2,n,当n=6 2n 13 时，试写出E()=写的分布列及其对应的一对“友好元素"X与Y: (3)当n≥4时，若A=(a,a1,a2,…,an）eT且满足maxa,a1,a2,…,an}=n,证明： 若存在B使得A与B是T中的一对“友好元素”，则A中有且仅有n-2个0. 高三数学试题第4页（共4页） ■■■■■■■■■■■■■■■■■■ 2026年3月襄阳市高三年级统一调研测试 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学答题卡 解答题 16(本小题满分15分) 15(本小题满分13分)】 准考证号 贴条形码区 填涂样例缺考标识！考生禁填！ 正确填涂▣由监考老师填写。 注1容题。生先将自已的名准考正号填写，并认真核准条形码上的姓名、准考号。在提定的位量贴好条形码 意2，法择题必领使用2B铅笔填涂：寺选排题必须使用签字笔或侧笔答是：字体工整，笼迹清是。 害3请按题号顺序在各题日的答题区城内作答，超出答题区城书写的答案无效：在试题卷、：稿纸上答题无效， 项4保特卡面清洁，不要折叠、不婴破。考试结束后。请将答题卡，试题一并上交， 选择题 1 A][B][C]ID] 5 [A [BI [CI D] 9AB©D 2 A]B]C]D] 6 A [BI CI [D] 10 A BI CID 3 [A][B][C][D] 7 [A][B]CI [D 11图B☒D 4 A]B]C]D] 8BD 填空题 13 14 请勿在此区域内作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17(本小题满分15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18(本小题满分17分) M 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19(本小题满分17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效