27.2.2 相似三角形的性质 同步练 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 27.2.2 相似三角形的性质 A 基础过关 1.已知△ABC∽△DEF,AC : DF = 3 : 1,AB=6,则DE为 ( ) A.18 B.2 C.54 D. 2.如图,P 是△ABC 的边 AC上一点,若△ABP ∽△ACB,∠A = 45°,∠ABC =110°,则∠ABP 的度数为( ) A.25° B.35° C.45° D.110° 3.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是 ( ) A.1:2 B.1:4 C.1:8 D.1:16 4. 已知△ABC∽△A'B'C',且 则S△ABC: S△A'B'C'为 ( ) A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:1 B 随堂检测 5.已知△ABC 的三边长分别为 4 cm,5cm ,6 cm, △DEF 的一边长为 2cm ,若两个三角形相似，则△DEF 的另外两边长不可能是( ) A.2.5cm ,3cm B.1.6 cm,2.4 cm C. cm, cm D.1.6cm,2.5cm 6.如果两个相似三角形的面积比是1：4，那么它们的周长比是 ( ) A.1:16 B.1:4 C.1:6 D.1:2 7.如图,已知AB,CD,EF 都与BD 垂直,垂足分别是 B,D,F,且AB=1,CD=3,那么 EF的长是 ( ) A. B. C. D. 8.如图,把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置，它们的重叠部分(即图中阴影部分)的面积是△ABC 面积的一半，若 则此三角形移动的距离 AA'是 ( ) A. B. C.1 D. 9.如图,O为矩形ABCD 的中心,将直角△OPQ的直角顶点与O 重合，一条直角边OP 与OA重合，使△OPQ 沿逆时针方向绕点O 旋转，两条直角边始终与边 BC，AB 相交，交点分别为M,N.若AB=4,AD=6,BM=x,AN=y,则 y 与x 之间的函数图象是 ( ) 10.如图,矩形 ABCD 中,E 是CD 延长线上一点,连接 BE 交 AD 于点 F,连接 CF,已知AB=1,BC=2,若△ABF 与△CEF 的面积相等，则DE 的长为 ( ) A. B. C. D. 11.如图,在△ABC 纸板中,AC=4,BC=8,AB=11,P 是 BC 上一点,沿过点 P 的直线剪下一个与△ABC 相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么 CP 长的取值范围是 ( ) A.0<CP≤1 B.0<CP≤2 C.1≤CP<8 D.2≤CP<8 12. 已 知 △ABC∽△DEF, 相似 比 为 3, 则△ABC 与△DEF 的面积之比为 . 13.如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比 进行缩小，得到的直角三角形的面积是 . 14. 如图,已知在 Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点 C 在x 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过 OA 的中点 B，交AC 于点 D,连接OD.若△OCD∽△ACO,则直线OA 的解析式为 . 15.如图,AB 与 CD 相交于点 O,△OBD∽ 求： (1)OA 的长; (2)S△OBD. 16.如图所示，三个边长为1 的正方形ABCD，ABEF,EFHG 拼在一起. (1)请找出图中相似的两个三角形，并证明； (2)求∠1,∠2,∠3这三个角度数之和. 17.在平面直角坐标系中，四边形 AOBC 的顶点O是坐标原点，点B 在 x 轴的负半轴上，且CB⊥x轴,点 A 的坐标为(0,6),在 OB 边上有一点 P ，满足 (1)求点 P 的坐标; (2)如果△AOP 与以A,P,C 为顶点的三角形相似,且∠PAC=90°,求点 C 的坐标. C能力提升 18.从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线. (1)如图1,在△ABC 中,∠A=40°,∠B =60°,当∠BCD = 时,CD 为△ABC 的完美分割线； (2)如图2,在△ABC 中,AC=2,BC= CD 是△ABC 的完美分割线,且CD 为等腰三角形的底边，求完美分割线 CD的长. 1. B ∵△ABC∽△DEF,AC:DF=3:1,AB=6, 解得 DE=2. 2. A ∵△ABP∽△ACB, ∴∠APB=∠ABC=110°, 3. B∵两个相似三角形对应边之比是1：4， 又∵相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比， ∴它们的对应中线之比为1：4. 5. D 设△DEF 的另外两边长分别为x cm,y cm,且x<y, ∵△ABC 与△DEF 相似, ∴当 时，解得 当 时,解得x=2.5,y=3; 当 时,解得x=1.6,y=2.4. 6. D∵两个相似三角形的面积比是1：4， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， ∴两个相似三角形的周长比是1：2. 7. C ∵AB,CD,EF 都与BD 垂直, ∴AB∥CD∥EF, ∴△DEF∽△DAB,△BEF∽△BCD, ∵AB=1,CD=3, 8. A ∵把△ABC 沿AB 边平移到△A'B'C'的位置, ∴AC∥A'C', ∴△ABC∽△A'BD, 9. C 如图,过点O分别作OE⊥BC 于E,OF⊥AB 于 F. ∵∠POQ=∠EOF=90°, ∴∠NOF=∠MOE, ∵∠NFO=∠MEO=90°, ∵AB=4,AD=6,BM=x,AN=y, ∴OF=BE=3,OE=BF=2, ∴NF=2-y,ME=3-x, ∴y与x之间的函数图象为选项 C. 10. D 设 DE=x, ∵DF∥BC, ∵△ABF 与△CEF 的面积相等, 整理得 解得 (舍去), ∴DE 的长为 11. B 如图所示,过点 P 作PD∥AB交AC 于D,或PE∥AC 交AB 于E, 则△DPC∽△ABC,△EBP∽△ABC, 此时0<CP<8; 如图所示,过点 P 作∠BPF=∠A 交AB 于F, 则△PBF∽△ABC, 此时0≤CP<8; 如图所示,过点 P 作∠CPG=∠A 交AC 于G, 则 当点G 与点A 重合时， B ∴此时0<CP≤2. 综上所述，CP 长的取值范围是0<CP≤2. 12.9 ∵△ABC与△DEF 的相似比为3,∴△ABC 与△DEF 的面积之比为 13.9设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为a,b(a<b), 根据题意得 解得a=3,b=6,∴缩小后的直角三角形的面积为 14. y=2x 设OC=a, ∵点 D 在反比例函数 的图象上， ∵△OCD∽△ACO,∴OCC=∞, ∴点 A 的坐标为 ∵B 是OA 的中点, ∴点 B 的坐标为 ∵点 B 在反比例函数 的图象上， 解得 ∴点 B 的坐标为(a/₂,a). 设直线 OA 的解析式为y=mx, 则 解得m=2, ∴直线OA 的解析式为y=2x. 15.解:(1)∵△OBD∽△OAC,∴OBA=OD/C= ∵OB=6,∴OA=10; (2)∵△OBD∽△OAC,且 16.解:(1)△ACF∽△AHC. 证明如下： ∵三个正方形的边长均为1， ∴AD=CD=AF=1,AH=2, 又∠FAC=∠CAH,∴△ACF∽△AHC; (2)∵△ACF∽△AHC, ∴∠2=∠ACH, 而∠1=∠ACH+∠3,∴∠1=∠2+∠3. ∵∠1=45°,∴∠1+∠2+∠3=90°. 17.解:(1)∵点 A 的坐标为(0,6),∴OA=6, ∴点 P 的坐标为(-3,0); (2)∵∠AOP=∠PAC=90°,△AOP 与以A,P,C 为顶点的三角形相似, 或 或 或 如图,过点 C 作CD⊥y轴于点D, ∵∠CDA=∠PAC=∠AOP=90°, ∴∠DCA+∠CAD=∠CAD+∠OAP=90°, ∴∠DCA=∠OAP, 当 时 解得 ∴点C 的坐标为 同理，当 时， ∴DC=12,DA=6, ∴OD=12, ∴点C 的坐标为(-12,12). 综上所述，点C 的坐标为 或(-12,12). 18.解:(1)40°; (2)①当△ACD 是等腰三角形时,△BCD∽△BAC, ∵AC=AD=2,BC= 设BD=x,则AB=2+x, 解得 ∵x>0,∴BD=-1+ ∵△BCD∽△BAC, ②当△BCD 是等腰三角形时,△ADC∽△ACB, 设AD=y,则. 解得 (舍), ∵△ADC∽△ACB, 综上所述，CD的长为 或1. 学科网（北京）股份有限公司 $