第05讲 相似三角形的性质（3个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（人教版）

第05讲 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 ①相似三角形对应线段的性质 ②相似三角形的周长的性质 ③相似三角形的面积的性质 1. 掌握相似三角形对应线段的性质并能够在解决问题时熟练的应用。 2. 掌握相似三角形的周长和面积的性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 知识点01 相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形对应线段的比： 相似三角形对应的高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 。一般的，相似三角形对应线段的比等于 。 【即学即练1】 1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 【即学即练2】 2．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．2：3 B．4：9 C．9：16 D．16：81 知识点02 相似三角形的周长的性质 1. 相似三角形的周长的性质： 相似三角形的周长的比等于 。 2. 推导： 若， 则（等比的性质） 【即学即练1】 3．已知△ABC～△A1B1C1，△ABC和△A1B1C1的相似比为3：1，则△ABC和△A1B1C1的周长比为（　　） A．9：1 B．6：1 C．3：2 D．3：1 【即学即练2】 4．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　） A．5 B．10 C．40 D．80 知识点03 相似三角形的面积的性质 1. 相似三角形的面积的性质： 相似三角形的面积比等于 。 2. 推导： 若， 则 【即学即练1】 5．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【即学即练2】 6．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 题型01 利用相似的性质求线段比 【典例1】如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【变式1】若两个相似三角形周长的比为1：3，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【变式2】若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　） A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81 题型02 利用相似三角形的性质求线段长度 【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，若△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则AE的长是（　　） A．15 B．12 C．9 D．4 【变式1】如果△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36，其中△ABC的最短边的长度是5，那么△DEF的最短边的长度是（　　） A．16 B．25 C．5 D．6 【变式2】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（　　） A． B． C． D．6 【变式3】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 题型03 利用相似的性质求周长和面积的比 【典例1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（　　） A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：2 【变式1】两个相似三角形的相似比为4：9，则它们的面积比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．16：81 D． 【变式2】若△ABC∽△DEF且周长之比1：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：3 B． C．1：9 D．3：1 【变式3】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 题型04 利用相似的性质求周长和面积 【典例1】已知△ABC∽△DEF，相似比为1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．45 【变式1】△ABC∽△DEF，且，若△ABC面积为4，则△DEF的面积是（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【变式2】△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（　　） A．15 B．14.4 C．12 D．10.8 【变式3】小康利用复印机将一张长为5cm，周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为10cm，则放大后的矩形周长为（　　） A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm 1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠B的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 2．如果两个相似三角形对应面积的比为10：9，则这两个三角形对应周长的比是（　　） A．10：9 B．5：4.5 C． D． 3．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B． C．CA平分∠BCD D．AC是BC、CD的比例中项 4．已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（　　） A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　） A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 6．如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．81：16 B．3：2 C．1：1 D．9：4 7．已知△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2，若AB＝6cm，则DE的长为（　　） A． B．4cm C．9cm D． 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB＝3OD，若点A的坐标为（﹣2，0），则点C的坐标为（　　） A．（0，1） B． C．（1，0） D． 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，△ADE与△ABC相似，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．2或 10．如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0）或 C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0） 11．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　 cm． 12．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且，若S△ADE＝1，则S△ABC＝ 　 ． 13．△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为　 　． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 　 　． 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7．E是CD边上的一个动点，若△ADE与△BCE相似，则DE的最大值为 　 　，最小值为 　 　． 16．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH和DG的比． 17．如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D． （1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长； （2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长． 19．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若AC＝3，AB＝5． ①求CE的长； ②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 相似三角形的性质 课程标准 学习目标 ①相似三角形对应线段的性质 ②相似三角形的周长的性质 ③相似三角形的面积的性质 1. 掌握相似三角形对应线段的性质并能够在解决问题时熟练的应用。 2. 掌握相似三角形的周长和面积的性质，并能够在解决问题时熟练的应用。 知识点01 相似三角形对应线段的性质 1. 相似三角形对应线段的比： 相似三角形对应的高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于 相似比 。一般的，相似三角形对应线段的比等于 相似比 。 【即学即练1】 1．如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝3：4，若AB的长度为6，则DE的长度为（　　） A．4.5 B．8 C．12 D．13.5 【分析】由相似三角形的对应边的比相等推出AB：DE＝AC：EC，即可求出DE的长． 【解答】解：∵△ABC∽△EDC， ∴AB：DE＝AC：EC， ∵AC：EC＝3：4，AB＝6， ∴DE＝8． 故选：B． 【即学即练2】 2．如果两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．2：3 B．4：9 C．9：16 D．16：81 【分析】由相似三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似之比为4：9，相似三角形对应高的比等于相似比， ∴这两个三角形对应边上的高之比为4：9， 故选：B． 知识点02 相似三角形的周长的性质 1. 相似三角形的周长的性质： 相似三角形的周长的比等于 相似比 。 2. 推导： 若， 则（等比的性质） 【即学即练1】 3．已知△ABC～△A1B1C1，△ABC和△A1B1C1的相似比为3：1，则△ABC和△A1B1C1的周长比为（　　） A．9：1 B．6：1 C．3：2 D．3：1 【分析】直接利用相似三角形的性质求解． 【解答】解：∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3：1， ∴△ABC与△A1B1C1的周长之比3：1． 故选：D． 【即学即练2】 4．已知△ABC∽△DEF，且AB＝3，DE＝6，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　） A．5 B．10 C．40 D．80 【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝AB：DE＝3：6＝1：2， ∵△ABC的周长为20， ∴△DEF的周长为40． 故选：C． 知识点03 相似三角形的面积的性质 1. 相似三角形的面积的性质： 相似三角形的面积比等于 相似比的平方 。 2. 推导： 若， 则 【即学即练1】 5．如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的面积比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据“两个三角形相似，那么它们的面积比是相似比的平方”进行求解即可． 【解答】解：∵两个相似三角形对应边的比为1：4， ∴它们的面积比是1：16， 故选：D． 【即学即练2】 6．已知△ABC∽△A1B1C1，且＝．若△ABC的面积为4，则△A1B1C1的面积是（　　） A． B．6 C．9 D．18 【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论． 【解答】解：∵△ABC∽△A1B1C1，， ∴＝（）2＝， ∵△ABC的面积为4， ∴△A1B1C1的面积为9， 故选：C． 题型01 利用相似的性质求线段比 【典例1】如果两个相似三角形的相似比是1：4，那么这两个相似三角形对应边上的中线之比是（　　） A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16 【分析】根据相似三角形的性质判断即可． 【解答】解：如果两个相似三角形的相似比为1：4，那么这两个三角形的对应中线的比为1：4， 故选：B． 【变式1】若两个相似三角形周长的比为1：3，则这两个三角形对应边的比是（　　） A．1：2 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形的对应边的比等于周长比，即可得出答案． 【解答】解：∵相似三角形对应边的比等于周长比，且周长的比为1：3， ∴这两个相似三角形的对应边的比为1：3， 故选：B． 【变式2】若两个相似三角形的面积比是1：9，则它们对应边的中线之比为（　　） A．1：9 B．3：1 C．1：3 D．1：81 【分析】根据两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方． 【解答】解：∵两个相似三角形的面积之比是对应边上的中线之比的平方， 两个相似三角形的面积之比为1：9， ∴它们对应边上的中线之比为1：3． 故选：C． 题型02 利用相似三角形的性质求线段长度 【典例1】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，若△ABE∽△DEF，AB＝6，DE＝2，DF＝3，则AE的长是（　　） A．15 B．12 C．9 D．4 【分析】根据相似三角形的性质求出AE的长即可． 【解答】解：∵△ABE∽△DEF，AB＝6，DF＝3，DE＝2， ∴＝， 即＝， 解得AE＝9． 故选：C． 【变式1】如果△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36，其中△ABC的最短边的长度是5，那么△DEF的最短边的长度是（　　） A．16 B．25 C．5 D．6 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积分别是25和36， ∴△ABC与△DEF的相似比为：5：6， ∵△ABC的最短边的长度是5， ∴△DEF的最短边的长度是6， 故选：D． 【变式2】如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（　　） A． B． C． D．6 【分析】利用相似三角形的性质求解即可． 【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2， ∴S△ABC：S△ADE＝1：3， ∵△ABC∽△ADE， ∴＝， ∵CB＝， ∴DE＝． 故选：A． 【变式3】如图，带有刻度的直尺结合数轴作图，已知图中过点B和8的两条线段（两条线段的另一端在刻度尺上分别对应3和5）相互平行．若点A在数轴上表示的数是﹣2且点A与刻度尺上的0刻度重合，则AB的长度是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】利用数轴知识和三角形相似的性质解答． 【解答】解：∵由题意可知线段平行， ∴可以找到相似三角形，通过三角形相似可以得到相似比的等式， ＝， ， AB＝6． 故选：D． 题型03 利用相似的性质求周长和面积的比 【典例1】已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC和△DEF的周长比为（　　） A．1：4 B．1： C．2：1 D．1：2 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比得出． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为1：2． 故选：D． 【变式1】两个相似三角形的相似比为4：9，则它们的面积比为（　　） A．4：9 B．2：3 C．16：81 D． 【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可求解． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9， ∴它们的面积比为42：92＝16：81， 故选：C． 【变式2】若△ABC∽△DEF且周长之比1：3，则△ABC与△DEF的面积比是（　　） A．1：3 B． C．1：9 D．3：1 【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方，求解． 【解答】解：∵相似三角形的周长之比是1：3， ∴相似比是1：3， ∵面积之比是相似比的平方， ∴面积之比是1：9． 故选：C． 【变式3】若△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF＝3：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　） A．3：4 B．4：3 C．：2 D．2： 【分析】由△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，S△ABC：S△DEF＝3：4， ∴△ABC与△DEF的相似比为：：2， ∴△ABC与△DEF的周长比为：：2． 故选：C． 题型04 利用相似的性质求周长和面积 【典例1】已知△ABC∽△DEF，相似比为1：3，且△ABC的周长为15，则△DEF的周长为（　　） A．1 B．3 C．5 D．45 【分析】根据相似三角形周长比等于相似比，即可求出周长． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为1：3， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3， ∵△ABC的周长为15， ∴△DEF的周长＝15×3＝45， 故选：D． 【变式1】△ABC∽△DEF，且，若△ABC面积为4，则△DEF的面积是（　　） A．4 B．6 C．9 D．18 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且，△ABC面积为4， ∴＝（）2＝（）2＝， ∴△DEF的面积是9． 故选：C． 【变式2】△ABC∽△A′B′C′，已知AB＝5，A′B′＝6，△ABC面积为10，那么另一个三角形的面积为（　　） A．15 B．14.4 C．12 D．10.8 【分析】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比，进而求出即可． 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，AB＝5，A′B′＝6， ∴＝， ∵△ABC面积为10， ∴解得：S△A′B′C′＝14.4． 故选：B． 【变式3】小康利用复印机将一张长为5cm，周长为16cm的矩形图片放大，其中放大后的矩形长为10cm，则放大后的矩形周长为（　　） A．16cm B．21cm C．32cm D．42cm 【分析】根据原矩形的长和周长，即可得到放大后矩形的周长． 【解答】解：∵原矩形长为5cm，放大后的矩形长为10cm， ∴原矩形与放大后的矩形相似比为1：2， ∵原矩形的周长为16cm， ∴放大后的矩形周长为32cm， 故选：C． 1．如图，若△ABC∽△DEF，则∠B的度数是（　　） A．70° B．60° C．50° D．40° 【分析】根据相似三角形的对应角相等，然后由三角形的内角和定理即可求解． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF， ∴∠B＝∠E， ∵∠D+∠E+∠F＝180°，∠D＝70°，∠F＝50°， ∴∠E＝60°， ∴∠B＝∠E＝60°， 故选：B． 2．如果两个相似三角形对应面积的比为10：9，则这两个三角形对应周长的比是（　　） A．10：9 B．5：4.5 C． D． 【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，对应周长的比等于相似比解答． 【解答】解：∵两个相似三角形对应的面积之比为10：9， ∴相似比是：3， 又∵相似三角形对应周长的比等于相似比， ∴对应周长的比为：3， 故选：D． 3．如图，△ABC∽△DAC，下列结论错误的是（　　） A．∠BAC＝∠ADC B． C．CA平分∠BCD D．AC是BC、CD的比例中项 【分析】根据相似三角形的性质判断求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DAC， ∴∠BAC＝∠ADC，∠ACB＝∠DCA，＝＝， ∴CA平分∠BCD，AC是BC、CD的比例中项， 故A、C、D正确，不符合题意；B错误，符合题意； 故选：B． 4．已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（　　） A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81 【分析】根据相似三角形的性质求出三角形的相似比，再根据相似三角形的性质得出即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长之比为2：3， ∴三角形的相似比是2：3， ∴它们的面积之比是4：9， 故选：B． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为线段BC上一动点（不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交线段AC于点E． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：△ABD∽△DCE； 乙同学：若AD＝DE，则BD＝CE； 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点． 则下列说法正确的是（　　）#ZZ01A A．只有甲同学正确 B．乙和丙同学都正确 C．甲和丙同学正确 D．三个同学都正确 【分析】在△ABC中，依据三角形外角及已知可得∠BAD＝∠CDE，结合等腰三角形易证△ABD∽△DCE；结合AD＝DE，易证△ABD≌△DCE，得到BD＝CE；当DE⊥AC时，结合已知求得∠EDC＝50°，易证AD⊥BC，依据等腰三角形“三线合一”得BD＝CD． 【解答】解：在△ABC中， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝40°， ∵∠B+∠BAD＝∠CDE+∠ADE，∠ADE＝∠B＝40°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∴△ABD∽△DCE， 甲同学正确； ∵∠C＝∠B，∠BAD＝∠CDE，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE， ∴BD＝CE， 乙同学正确； 当DE⊥AC时， ∴∠DEC＝90°， ∴∠EDC＝90°﹣∠C＝50°， ∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝90°， ∴AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， D为BC的中点， 丙同学正确； 综上所述：三个同学都正确． 故选：D． 6．如果两个相似三角形的相似比为3：2，那么这两个三角形对应边上的高之比为（　　） A．81：16 B．3：2 C．1：1 D．9：4 【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比即可得答案． 【解答】解：∵两个相似三角形的相似之比为3：2，相似三角形对应高的比等于相似比， ∴对应边上高的比为3：2， 故选：B． 7．已知△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2，若AB＝6cm，则DE的长为（　　） A． B．4cm C．9cm D． 【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，进而可得出结论． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的面积分别为18cm2和8cm2， ∴＝＝＝， ∵AB＝6cm， ∴DE＝＝＝4（cm）， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB＝3OD，若点A的坐标为（﹣2，0），则点C的坐标为（　　） A．（0，1） B． C．（1，0） D． 【分析】根据相似三角形的性质求出AC＝3OC，根据题意求出OA＝2，则AC＝OA+OC＝2+OC，再根据2+OC＝3OC求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△ODC，且AB＝3OD， ∴AC＝3OC， ∵点A的坐标为（﹣2，0）， ∴OA＝2， ∴AC＝OA+OC＝2+OC， ∴2+OC＝3OC， ∴OC＝1， 点C的坐标为（1，0）， 故选：C． 9．如图，在△ABC中，∠B＝90°，，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，△ADE与△ABC相似，则AE的长为（　　） A．1 B．2 C．1或 D．2或 【分析】解直角三角形求出AD＝AB＝，AC＝2BC＝4，＝，根据相似三角形的性质分情况求解即可． 【解答】解：∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝2， ∴tanA＝＝， ∴∠A＝30°， ∴AC＝2BC＝4， ∵D为AB的中点， ∴AD＝AB＝， ∴＝， 如图1，△ADE∽△ABC，当∠ADE＝∠B＝90°时， ∴＝＝， ∴AE＝AC＝2； 如图2，△ADE∽△ACB，当∠AED＝∠B＝90°时， ∴＝， ∴＝， ∴AE＝， 综上所述，AE的长为2或， 故选：D． 10．如图，平面直角坐标系中，A（6，0），B（0，8），C为AB的中点，D在x轴上，若以A，C，D组成的三角形与△AOB相似，则D的坐标为（　　） A．（3，0） B．（4，0）或 C．（3，0）或 D．（3，0）或（﹣1，0） 【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而可得出AC的长，再根据△AOB∽△ADC与△AOB∽△ACD两种情况进行讨论． 【解答】解：∵点A（6，0），B（0，8）， ∴OA＝6，OB＝8， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝＝10， ∵C为AB中点， ∴AC＝BC＝5， ①如图， 当△AOB∽△ADC时，， 即，解得：AD＝3， ∴OD＝AO﹣AD＝6﹣3＝3， ∴点D（3，0）， ②如图， 当△AOB∽△ACD时，， 即，解得：AD＝， ∴OD＝AD﹣AO＝， ∴点D（﹣，0）， 综上可知：D（3，0）或（﹣，0）． 故选：C． 11．如果两个相似三角形的面积之比为4：9，这两个三角形的周长的和是100cm，那么较小的三角形的周长为 　40　cm． 【分析】根据相似三角形周长比等于面积比的算术平方根列式计算． 【解答】解：设较小的三角形的周长为x cm，则较大的三角形的周长为（100﹣x）cm， ∵两个相似三角形的面积之比为4：9， ∴两个相似三角形的相似比为2：3， ∴两个相似三角形的周长比为2：3， ∴＝， 解得x＝40， 故答案为：40． 12．如图，已知点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，且，若S△ADE＝1，则S△ABC＝ 　4　． 【分析】根据相似三角形性质可得到，结合已知即可得出结果． 【解答】解：∵△ADE∽△ABC，且， ∴△ADE与△ABC相似比为， ∴， ∵S△ADE＝1， ∴S△ABC＝4S△ADE＝4， 故答案为：4． 13．△ABC的三边AB、AC、BC的长分别是6、7、8，边AB上有一点M，AM＝2，过点M的直线截△ABC其它边的交点是点N，如果截得的△AMN相似于△ABC，那么CN的长为　或　． 【分析】当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC，故只需分两种情况：①△AMN∽△ABC，②△AMN∽△ACB，进行讨论，再利用相似三角形的性质得出答案，主要利用了相似三角形的对应边成比例，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 【解答】解：当点N在BC上时，△AMN不可能相似于△ABC； 当点N在AC上时，分情况讨论如下： ①如图，△AMN∽△ABC， ∴， ∵AM＝2，AC＝7，AB＝6， ∴， 解得， ∴． ②如图，△AMN∽△ACB， ∴， ∵AM＝2，AC＝7，AB＝6， ∴， 解得， ∴， ∴CN为或． 故答案为：或． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，D为直线AC左侧一点．若△ABC∽△CAD，则BC+CD的最大值为 　　． 【分析】由相似三角形的性质得出CD＝AC2，进而求出CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2，设BC＝x，则BC+CD＝﹣+，由二次函数的性质可得出答案． 【解答】解：∵△ABC∽△CAD， ∴＝， ∵AB＝3， ∴＝， ∴CD＝AC2， ∵∠ACB＝90°， ∴AC2＝AB2﹣BC2＝9﹣BC2， ∴CD＝（9﹣BC2）＝3﹣BC2， 设BC＝x， ∴BC+CD＝x+3﹣x2 ＝﹣+ ∴x＝时，BC+CD的最大值为． 故答案为：． 15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AD＝2，BC＝3，CD＝7．E是CD边上的一个动点，若△ADE与△BCE相似，则DE的最大值为 　6　，最小值为 　1　． 【分析】由于∠ADE＝∠BCE＝90°，故要使△ADE与△BCE相似，分两种情况讨论：①△AED∽△BEC，②△AED∽△EBC，这两种情况都可以根据相似三角形对应边的比相等求出DE的长，即可解答． 【解答】解：由题意可知：∠D＝180°﹣∠C＝90°， ∴∠ADE＝∠BCE＝90°． 设DE的长为x， ∵CD＝7， ∴CE长为7﹣x． 要使△ADE与△BCE相似，那么分两种情况： ①△AED∽△BEC，则， ∵AD＝2，BC＝3，CD＝7， ∴， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ②△AED∽△EBC，则， ∵AD＝2，BC＝3，CD＝7， ∴， 解得x＝1或x＝6， 经检验，x＝1或x＝6是分式方程的解且符合题意， 综上，DE的长为1或6或， ∵， ∴DE的最大值为6，最小值为1． 故答案为：6，1． 16．如图，已知△ABC～△DEF，AH是△ABC的高，DG是△DEF的高，已知AB＝14，DE＝10，求AH和DG的比． 【分析】根据相似三角形的判定和性质度量即可得到结论． 【解答】解：∵△ABC～△DEF， ∴∠B＝∠E， ∵AH是△ABC的高，DG是△DEF的高， ∴∠AHB＝∠DGE＝90°， ∴△ABH∽△DEG， ∴＝＝＝． 17．如图，在矩形ABCD中，点EF分别在边AD，DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2． （1）求EF的长． （2）求证：∠BEF＝90°． 【分析】（1）根据两三角形相似，得到对应边成比例，，结合已知条件，从而得到DF的长，利用直角三角形勾股定理，从而得到结果； （2）利用两三角形相似，得到对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，从而证得结果． 【解答】（1）解：∵△ABE∽△DEF， ∴， ∵AB＝6，AE＝9，DE＝2， ∴， ∴DF＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠EDF＝90°， ∴在Rt△DEF中， ； （2）证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠ABE＝∠DEF， ∵在Rt△ABE中，∠ABE+∠AEB＝90°， ∴∠DEF+∠AEB＝90°， ∴∠BEF＝90°． 18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，过点E作ED⊥AB，垂足为D． （1）若AB＝10，AC＝8，AE＝5，求AD的长； （2）连接BE，若△CEB∽△CBA，且CE＝1，AE＝3，求DE的长． 【分析】（1）证明△ADE∽△ACB即可求解； （2）由△CEB∽△CBA得到，求得BC＝2，利用勾股定理可得，再证明△AED∽△ABC即可求解； 【解答】解：（1）∵ED⊥AB， ∴∠ADE＝∠C＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴， ∴， ∴AD＝4； （2）∵△CEB∽△CBA， ∴， ∴BC2＝CE•CA＝1×（1+3）＝4， ∴BC＝2， 在Rt△ABC中，， ∵∠A＝∠A，∠ADE＝∠C＝90°， ∴△AED∽△ABC， ∴， ∴， ∴． 19．四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”． （1）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝70°，AB＝AD，AD∥BC，当∠ADC＝145°时．求证：对角线BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）如图2，四边形ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”，请说明理由． 【分析】（1）利用两角对应相等证明△ABD∽△DBC，可得结论． （2）如图2中，当∠BAD+∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”．证明△ACB∽△DCA，可得结论． 【解答】（1）证明：如图1中， ∵AB＝AD， ∴∠ABD＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC＝35°， ∵∠ADC+∠C＝180°，∠ADC＝145°， ∴∠C＝35°， ∴∠ADB＝∠ABD＝∠DBC＝∠C＝35°， ∴△ABD∽△DBC， ∴BD是四边形ABCD的“理想对角线”． （2）解：如图2中，当∠BAD+∠BCD＝180°时，对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”． 理由：∵AC平分∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD， ∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，∠BAD+∠BCD＝∠BAC+∠CAD+∠ACB＝180°， ∴∠DAC＝∠B， ∴△ACB∽△DCA， ∴对角线AC是四边形ABCD的“理想对角线”． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F （1）求证：△CEF是等腰三角形； （2）若AC＝3，AB＝5． ①求CE的长； ②点P是AF延长线上一点，若△CEF与△BPF相似，请直接写出FP的长． 【分析】（1）利用直角三角形性质和角平分线的条件证明∠CFA＝∠CEF，即可得出△CEF是等腰三角形； （2）①证明△CAE∽△BAF，利用相似三角形对应边成比例可求得CE的长； ②作CH⊥AF于H，证明△FCH∽△FAC，可求得FH，即可得出EF的长，再分△CFE∽△BFP和△CFE∽△PFB，分别求解即可得出FP的长． 【解答】解：（1）∵AF平分∠CAB， ∴∠CAF＝∠BAF， ∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， ∴∠CFA＝90°﹣∠CAF，∠CEF＝∠AED＝90°﹣∠BAF， ∴∠CFA＝∠CEF， ∴CF＝CE， ∴△CEF是等腰三角形； （2）①∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D， ∴∠ACE＝90°﹣∠BCD＝∠B， ∵∠CAF＝∠BAF， ∴△CAE∽△BAF， ∴， 设CE＝CF＝x， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5， ∴BC＝4， ∴，解得x＝1.5 ∴CE＝1.5； ②如图1，作CH⊥AF于H， ∵∠FHC＝∠ACF＝90°，∠HFC＝∠CFA， ∴△FCH∽△FAC， ∴， ∴FH＝， ∴EF＝2FH＝， 当△CFE∽△BFP时，有， ∴FP＝； 如图2，当△CFE∽△PFB时，有， 即，即FP＝． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$