精品解析：河北辛集中学2026届高三下学期开学收心练习数学试题

河北辛集中学2025-2026学年第二学期开学收心练习 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 3. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 4. 若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 6. 高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B. 经验回归直线至少经过一个样本点 C. 若事件满足，且，则事件独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 10. 已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 11. 已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ） A. 函数是偶函数 B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 若随机变量，且，则________ 13. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 14. 如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______. 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 16. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). （1）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 18. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北辛集中学2025-2026学年第二学期开学收心练习 高三数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的性质解不等式，判断选项即可. 【详解】集合，当时，， 当时，，故，A，C选项错误； 集合，对都成立， 故集合，D选项错误，B选项正确. 故选：B 2. 若复数满足，则（ ） A. 4 B. 3 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】设，，通过求出的值即可. 【详解】设，， 由，则， 所以， 所以，所以， 故选：C. 3. 记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】设公比为，首先判断，再由等比数列求和公式及通项公式得到方程，解得即可. 【详解】设公比为， 若，则由，可得，解得，不符合题意，所以； 由，则，显然， 所以，即， 即，解得（负值已舍去）. 故选：D 4. 若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件设出直线方程，利用点到直线的距离和直线与圆的弦长公式计算即可求出直线斜率. 【详解】由题可得，直线斜率存在，故设斜率为， 直线的方程：，化为一般式：， 圆圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则直线截得圆的弦长，即， 代入得：， 化简计算得：， ，解得：. 故选：A 5. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果. 【详解】由题意知，所以， 当时，由可得：此时等式恒成立， 即， 则， 故选：D 6. 高和底面圆直径均为2的圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设外接球的半径为，依题意可得，求出，再由球的表面积公式计算可得. 【详解】设外接球的半径为，依题意可得，解得， 所以圆锥的外接球的表面积. 故选：C 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及函数值的符号排除即可判断； 【详解】因为，即，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称， 又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称， 故排除； 当时，，即，因此，故排除A. 故选：D. 8. 已知过点作抛物线的两条切线，分别交轴于点，则外接圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切线方程为，联立抛物线方程，由，求得参数.根据题意求得的坐标，利用待定系数法求得圆的标准方程. 【详解】设切线方程为. 由，得. 由，得. 所以切线方程为. 令，得或. 所以，或. 设外接圆的方程为， 则，解得. 所以外接圆的方程为. 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 如果一组数据的极差为0，则这组数据的方差也为0 B. 经验回归直线至少经过一个样本点 C. 若事件满足，且，则事件独立 D. 若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：根据极差和方差的定义分析判断即可；对于B：根据线性回归方程的定义分析判断即可；对于C：根据独立事件的定义以及事件的运算分析判断；对于D：根据线性相关系数的意义分析判断. 【详解】对于选项A：如果一组数据的极差为0，则这组数据为同一实数， 所以这组数据的方差也为0，故A正确； 对于选项B：回归直线恒过样本点的中心，但可以不经过任何一个样本点，故B错误； 对于选项C：因为， 则， 且，所以事件独立，故C正确； 对于选项D：若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数r的绝对值越接近于1，故D错误； 故选：AC. 10. 已知双曲线的渐近线方程为，虚轴长为4，则（ ） A. 的焦距为 B. 的方程为 C. 的焦点到渐近线的距离为2 D. 与直线仅一个公共点 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意不确定双曲线焦点位置，可判断AB错误；根据双曲线的性质，可判断CD. 【详解】依题意，，即， 若双曲线焦点在轴上，则由，解得， 所以，所以焦距为， 若焦点在轴上，则，解得，所以， 所以焦距为，故A错误； 由A选项分析可知，双曲线的焦点位置不确定，方程有两个，故B错误； 若双曲线焦点在轴上，由双曲线的对称性，不妨取焦点，渐近线， 则焦点到渐近线的距离， 同理双曲线焦点在轴上，可得，故C正确； 因为与双曲线的一条渐近线平行，故与直线仅一个公共点，所以D正确， 故选：CD 11. 已知函数，若函数有4个零点，且其4个零点，，，成等差数列，则（ ） A. 函数是偶函数 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意得，当时，，当时，，作出的图象，利用偶函数的判断方法可得出选项A正确，结合图象得，，再根据条件可得，从而可判断出选项B和C的正误，再利用，即可判断出选项D的正误，从而得出结果. 【详解】因为，所以当时，， 当时，，其图象如图所示， 对于选项A，因为的定义域为关于原点对称， 又，所以选项A正确， 由图知，且，， 又，，，成等差数列，所以，又，得到，所以选项B错误， 对于选项C，因，得到，所以，故选项C正确； 对于选项D，又，所以，得到， 所以，故选项D正确， 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题的关键是分类讨论，作出分段函数的图象，再作出水平线，得到零点的位置，根据对数型函数的特点得到零点之间的关系. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分．） 12. 若随机变量，且，则________ 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【详解】因为随机变量，所以， ， 所以. 故答案为：. 13. 若的展开式中二项式系数之和为32，则展开式中的系数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式系数之和得出，再利用二项展开式的通项公式运算求解. 【详解】二项式系数之和为，所以， 因为的展开式的通项公式为： ， 当时，所以， 则展开式中的系数为. 故答案为：40. 14. 如图，斜率为的直线与椭圆交于，两点，与轴、轴分别交于点，，若，则椭圆的焦距为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，得到，再根据点差法解决中点弦问题，可求出焦距. 【详解】设，又因为， 所以，则，则， 由，两式相减得， 即，因为，所以，所以， ，所以，解得， 所以，所以椭圆的焦距为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数. （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用差角的正弦公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的单调性求出指定区间上的递增区间. （2）求出相位的范围，再利用给定值域，结合正弦函数性质列出不等式求出范围. 【小问1详解】 函数， 由，得，则当，即时，函数单调递增， 所以函数在上的单调递增区间是. 【小问2详解】 由，得，而函数在上的值域为， 则，解得， 所以的取值范围为. 16. 在三棱柱中，底面ABC是正三角形，，. （1）求证：； （2）若，且，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】（1）过点作平面ABC于点平面ABC，所以， 又平面， 平面平面， 同理可证，又是正三角形，则是的中心， 连接AO，CO并延长交BC，AB于E，F，则E，F分别为BC，AB的中点， 又平面平面，故， 同理可证， 综上，. （2） 【解析】 【分析】（1）先证得点在平面ABC内的射影是的中心，进而证得； （2）法一先作出直线与平面所成角，再解三角形即可求得该角的余弦值；法二建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求得直线与平面所成角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由（1）知，三棱锥是正三棱锥， 且在底面ABC内的投影为等边的中心， 又，故三棱锥的三个侧面 均为直角三角形， 且，则，又， 可知，则， 解得,在平面中过作， 交延长线于点，则平面， 则即为直线与平面所成角，其中 ， 故 即直线与平面所成角的余弦值. 法二：以BC的中点为坐标原点，以EA，EB为x，y的正方向， 过且与平行的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 因为， 则，取，则， 又， 设直线与平面所成角为，， 所以，故， 即直线与平面所成角的余弦值. 17. 已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*). （1）若数列{an}是等差数列，求a1的值； （2）当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn. 【答案】（1）a1＝－；（2）Sn＝. 【解析】 【分析】(1) 解法一：数列{an}是等差数列，则an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd,代入已知等式中,化简可求出a1的值； 解法二：由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，两式作差可得d,再令n=1求出a1的值； (2)分类讨论n为奇数时和n为偶数时,利用分组求和以及等差数列的前n项和公式代入分别求解化简,并写成分段函数的形式. 【详解】（1）解法一：∵数列{an}是等差数列， ∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd. 由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3， ∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3， 即2d＝4，2a1－d＝－3，解得d＝2，a1＝－. 解法二：在等差数列{an}中， 由an＋1＋an＝4n－3，得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1， ∴2d＝an＋2－an＝4n＋1－(4n－3)＝4，∴d＝2. 又a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝1，∴a1＝－. （2）由题意知，①当n为奇数时， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an) ＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×＝. ②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋9＋…＋(4n－7)＝. 综上，Sn＝. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等差数列的前n项和,考查分组求和的应用,考查学生逻辑思维能力与运算求解能力,属于中档题. 18. 为提升工作效率，某公司对员工进行了培训.公司规定：只有培训合格才能上岗，否则将补训. （1）若员工甲、乙培训合格的概率分别为，求甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率； （2）为了激发员工的培训积极性，某公司在培训过后举办了一次知识竞赛.已知参加这次知识竞赛员工的竞赛成绩近似服从正态分布，若该集团共有2000名员工，试估计这些员工中成绩超过93分的人数；（结果精确到个位） （3）参加了知识竞赛的员工还可继续参与第二轮答题赢重奖活动，活动规则如下：共有3道题，每答对1道题奖励现金800元.已知参与知识竞赛的员工甲答对每道题的概率均为，且每题答对与否都相互独立，记甲获得总奖金为元，求的分布列与数学期望. 参考数据：若，则，. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意明确“不需要补训”即为培训合格的事件，设甲、乙合格分别为独立事件；恰有一人不需要补训可分为“甲合格乙不合格”与“甲不合格乙合格”两种互斥情形，再根据独立事件的乘法公式及概率的加法公式求解； （2）利用给定参数确定正态分布模型，将成绩超过分转化为求的概率；结合正态分布的对称性及提供的概率参考数据，计算出对应的概率值，最后用总人数乘以该概率并取整估算人数； （3）先确定甲答对的题目数服从二项分布，由答对题数与奖金关系得到奖金的可能取值；再根据二项分布概率公式计算各取值对应的概率，列出分布列；最后利用期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 分别记甲、乙培训合格为事件， 则甲、乙两人中恰有一人不需要补训的概率：. 【小问2详解】 由已知得的近似值为的近似值为3， 所以， 而， 所以估计这些员工中成绩超过分的人数为. 【小问3详解】 的所有可能取值为. 且， 所以的分布列为 0 800 1600 2400 19. 已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，． （1）求C的方程； （2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足． （i）设，求的坐标（用m，n表示）； （ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值． 【答案】（1） （2）(ⅰ) (ⅱ) 【解析】 【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程； （2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出； (ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出. 【小问1详解】 由题可知,，所以，解得， 故椭圆C的标准方程为； 【小问2详解】 (ⅰ)设，易知， 法一：所以，故，且． 因为，，所以， 即，解得，所以， 所以点的坐标为. 法二：设，则，所以 ，，故 点的坐标为. (ⅱ)因为,,由,可得 ,化简得,即, 所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）, 为到圆心的距离加上半径, 法一：设,所以 ,当且仅当时取等号, 所以. 法二：设，则， ，当且仅当时取等号, 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $