精品解析：山东德州市2026届高三下学期一模考试数学试题

高三数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. B. 36 C. 或6 D. 3或36 6. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 四面体的体积为 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，前项和为，则 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则__________. 13. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 14. 在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值. 16. 已知为锐角三角形，. （1）求； （2）求； （3）若外接圆的周长为，求的面积. 17. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求，并根据全概率公式求； （2）是否存在值且，使得，请说明理由. 18. 已知函数. （1）证明：在上单调递增； （2）记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷1-2页，第II卷3-4页，共150分，测试时间120分钟. 注意事项： 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上. 第I卷选择题（共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知命题“”的否定为. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以样本中心点为，又与的线性回归方程， 所以，解得. 4. 数列中，，对，有，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】先根据求证为等差数列，再根据等差数列求和公式列等式求解即可． 【详解】令 ，可得， 则是首项，公差的等差数列， 通项公式为， ， 解得． 5. 若平面向量两两夹角相等，且，则（ ） A. B. 36 C. 或6 D. 3或36 【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得夹角为或，再分夹角为和两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即，，两两夹角为或， 当夹角为时，； 当夹角为时，， 则 ； 综上所述：或. 6. 已知随机变量，且，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 7. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴交点为，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用线段长度关系可求得点的坐标，代入双曲线方程化简整理可求得离心率. 【详解】如下图： 易知，所以，且为的中点， 又，所以，因此可得, 代入双曲线方程可得，整理并化简可得，即， 解得或（舍）； 因为双曲线离心率，所以. 8. 已知函数，若，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目条件，求出之间的等量关系，进而通过换元法构造函数，根据函数导数与函数单调性和极值之间的关系，求出函数单调区间和极值，判断函数最大值，进而求出结果. 【详解】由题意可得，则， 由，则， 令，则， 令，可知函数在上单调递增， 所以当有唯一解，即，即，可得， 所以， 令，则，所以， 令，则， 令，即，解得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以函数在处取得极大值，也是最大值，为， 所以的最大值为. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正方体的棱长为分别是棱的中点，则（ ） A. 异面直线与所成角的大小为 B. 直线与平面所成角的正弦值为 C. 平面 D. 四面体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于异面直线所成角，因为异面直线所成角可通过找平行线转化为共面直线所成角，所以先找与其中一条直线平行的直线，再计算夹角；对于直线与平面所成角，因为直线与平面所成角是直线与平面中所有直线所成角中最小的，等于直线与它在平面内的射影所成角，所以先找直线在平面内的射影，再计算正弦值；对于线面垂直的判断，因为线面垂直的判定定理是直线垂直于平面内的两条相交直线，则直线垂直于该平面，所以需验证直线与平面内两条相交直线的垂直关系； 对于四面体体积，因为四面体体积可利用等体积法转换底面，所以选择易计算面积的底面和对应的高来计算体积. 【详解】对于A，正方体中，， 则异面直线与所成角即为与所成角，即（或其补角）， 而为等腰直角三角形，故，故A正确； 对于B，由于平面，故为在平面内的射影， 则直线与平面所成角为， 在中，，故，故B错误； 对于C，设G为的中点，连接，则， 而，故， 则四边形为平行四边形，故； ≌，则， 而，故， 设交于H，则，即， 则；又平面，平面，故， 又平面，故平面，故C正确； 对于D，由于，（h为三棱锥的高，）， 而，则，故D正确. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 若在区间上恰有一个最大值2和一个最小值，则实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据周期以及最值可得，即可判断A，代入验证即可判断B，根据整体法求解函数的单调性即可判断C，由整体法，结合三角函数的性质即可判断D. 【详解】由图可得，函数的最小正周期，又，所以， 则，由，得，， 解得，，又，所以，故A正确； 由上分析，得故，因为， 故函数的图象关于点对称，故B正确； 令，，解得，， 故函数的单调递增区间为， 令，，解得，， 故函数的单调递减区间为， ， 则函数在区间上单调递减，在上单调递增，故C错误； 当时，则， 要使在区间上恰有一个最大值2和一个最小值， 需使，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知数列满足，且，则（ ） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，前项和为，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A.由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B.因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C.，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D.当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确. 第II卷非选择题（共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用两个集合相等的定义结合集合的互异性求解. 【详解】，，且且且， 或， 当时，且，，. 当时，解得，且，不成立. 综上可得，. 故答案为：. 13. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在抛物线上，过点作于，若的面积为2，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义，结合已知建立方程，再利用给定的三角形面积列式求解. 【详解】抛物线，焦点为，准线为， 准线与x轴交点，； 设，由抛物线定义可得，且满足， 由于，则， 即， 故，可得，即得， 结合，可得， 的面积为2，故，即，解得. 14. 在矩形中，已知是的中点，将沿直线翻折成为线段的中点，连接.当与平面所成角为时，三棱锥外接球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，先证明平面平面，则与平面所成角为，即，再证为的外接圆的圆心，设为三棱锥外接球的球心，半径为，设，分别考虑球心和点位于平面的两侧和同侧分别讨论，利用球的表面积公式求解. 【详解】因是的中点，则， 是矩形，， 翻折后，因为线段的中点，则， 因，，则，故， 取的中点，连接，则，，， ，平面，平面，平面， 平面，平面平面，在平面的射影为， 与平面所成角为，， 因和都是直角三角形，则，为等边三角形， 取的中点为，连，则， 平面，平面，， ，，平面，平面， 平面， 是直角三角形，，为的外接圆的圆心， 设为三棱锥外接球的球心，半径为，则平面， 设，则， 若球心和点位于平面的两侧，如图1，延长到点，使得， 平面，平面，， 四边形为平行四边形，， ， ， 解得，则， 三棱锥外接球的表面积； 若球心和点位于平面的同侧，如图2， 平面，平面，， 过点作，交于点，则四边形为平行四边形， 则，， 则，解得，舍去. 综上可得，三棱锥外接球的表面积为. 【点睛】 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 如图，边长为2的正方形所在的平面与平面垂直，且. （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）因为平面平面，交线为平面， 所以 平面，又 平面，故. 又因为平面， 所以平面，而 平面， 故平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）由平面垂直可得出线面垂直，再由线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 . 因为 ，由题设得，， 设是平面的法向量，则 ，即，令，可得. 又是平面 的法向量， 设平面与平面 所成角为， ，所以， 所以平面与平面 所成角的正弦值是. 16. 已知为锐角三角形，. （1）求； （2）求； （3）若外接圆的周长为，求的面积. 【答案】（1） （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据，再结合条件，利用两角和差的正弦公式，即可求解； （2）首先根据（1）的过程求得与的关系，再根据，再根据两角和的正切公式，即可求解； （3）根据圆的周长公式求半径，再根据正弦定理求边长，最后代入三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 又，所以， 联立得； 【小问2详解】 因为，且三角形为锐角三角形， 所以，， 由（1）可得，即， 所以， 所以， 解得或， 因为角为锐角，所以， 【小问3详解】 因为外接圆的周长为.即. 由，得， 因为，所以，解得， 由（2）可知，且角为锐角，所以，, 所以的面积为 17. 在某工厂的产品质量检测中，设随机变量表示从一批产品中随机抽取的不合格产品数量.已知抽取到个不合格产品的分布列为： 0 1 2 3 每个不合格产品需要进行返工处理，返工成功（即将不合格产品修复为合格产品）的概率均为，且各个产品返工是否成功相互独立.事件表示抽取的产品中有个不合格产品（），事件表示抽取的产品中返工成功的数量比返工失败的数量多. （1）若，求，并根据全概率公式求； （2）是否存在值且，使得，请说明理由. 【答案】（1）， （2）不存在，理由如下： 假设存在，使 又 . 得 ， 化简得 即 令 则 因为 ，所以在上存在，使得 所以 即 且 在 为正，在 为负 从而 在 为增函数，在 为减函数 所以当 时， 即不存在值，使得 【解析】 【分析】（1）利用所给分布列，根据概率之和为1求出，再由条件概率公式及全概率公式求解即可； （2）根据分布列由期望公式求出得出方程，令 ，再由导数判断函数的最大值小于0，即可判断方程无解. 【小问1详解】 当时， ， 则 ，解得， 由题意，得， ， . 由全概率公式，得 . 【小问2详解】 略 18. 已知函数. （1）证明：在上单调递增； （2）记的最小值为，数列的前项积为. （i）求的通项公式； （ii）证明：对任意的成立. 【答案】（1）证明：因为 当时，则， 所以， 可得，且， 则， 即， 可得，所以函数在上单调递增， （2）（i） （ii）证明： 方法一：数学归纳法证明不等式 成立， 当时，左边，右边，因为，所以不等式成立， 假设当时不等式成立， 即成立， 则当时， 左边 所以当时，不等式也成立， 综上所述：可证得不等式恒成立； 方法二：构造新数列方法证明不等式. 令， 所以， 即 ， 综上所述：可证得不等式恒成立. 方法三： . 【解析】 【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性； （2）（i）先利用平方关系求，时利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得； （ⅱ）先求 方法一：利用数学归纳法证明结论， 方法二：令，证明，由此证明结论； 方法三：由，结合利用放缩法证明结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）（i）若，则，即； 若，由（1）可知：在上单调递增， 且， 可知是一个周期为的周期函数， 又因为 可知关于对称， 则在，处取到最大值，在，处取到最小值， 可得， 综上所述： （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $