第7章三角函数单元测试卷 （提高卷）-2025-2026学年高一数学下学期沪教版第二册

2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第7章三角函数单元测试（提高卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【解析】函数的初始相位为. 故答案为：. 2.函数的最小正周期为 . 【答案】/ 【分析】根据，直接计算可得结果. 【解析】由正切函数的周期公式得：. 故答案为： 3.函数的定义域 【答案】 【详解】由题意有，解得， 所以， 故答案为：. 4.函数的最大值为 ． 【答案】6 【详解】， 又，函数在上单调递增， 所以函数最大值为． 故答案为：6． 5.若为偶函数，则_______ 【详解】若为偶函数，又，则或，解得或， 若，则， 若，则，所以. 6.已知函数，若，则 ． 【答案】 【详解】令，则， 函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以函数是定义在的奇函数， 因为， 所以，解得. 故答案为： 7.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值是_______ 【详解】正切函数的对称中心为， 令，则原函数化为， 当时，，此时，故对称中心的纵坐标， 横坐标满足：，，， 于是：， 当时，. 8.函数的部分图象如图所示，则 ． 【答案】/ 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【解析】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 9.已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简函数结合其值域可求答案. 【解析】， 因为，所以，， ， 所以，即. 故答案为： 10．已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是____________. 【答案】 【解析】由于， 所以有且只有一个解，即有且只有一个解， 因为，所以， 由题意知，解得， 即的取值范围是为， 故答案为： 11．关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 【答案】②③ 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】根据函数求出最小正周期，可知①错；利用诱导公式化简②，判断正误；求出函数的对称中心判定③；对称直线方程判断④的正误；即可得到解答． 【详解】函数的最小正周期，由相邻两个零点的横坐标间的距离是知①错， 利用诱导公式得知②正确， 由于曲线与x轴的每个交点都是它的对称中心， 将代入得， 因此点是图像的一个对称中心，故命题③正确． 曲线的对称轴必经过图像的最高点或最低点，且与y轴平行， 而时，点不是最高点，也不是最低点， 故直线不是图像的对称轴，因此命题④不正确， 故答案为：②③． 12.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求图象变化前（后）的解析式 【分析】首先根据函数的平移规则得到的解析式，画出函数图象，结合的对称性计算可得. 【详解】因为函数，将的图象向左平移个单位长度得到， 函数的对称轴为，对称中心为，且为偶函数， 又函数的图象是由的图象将轴下方的部分关于轴对称上去，轴及轴上方部分保持不变而得到， 所以的对称轴为， 又的图象是将的图象向上平移一个单位得到， 所以的图象如下所示： 因为关于的方程在上有个实数根， 即与在上有个交点， 又，，所以， 令与交点的横坐标从小到大依次为， 则关于对称，关于对称，关于对称，关于对称， 所以， 所以 . 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】D 【分析】利用函数图像的平移变换即可求解. 【详解】因为，所以将函数的图像向左平移个单位长度得， 故选：D. 14．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的图象，求得，得到，再由点在函数的图象上，求得，进而求得的解析式，得到答案. 【详解】由函数的图象，可得，所以， 则，所以， 又由点在函数的图象上，可得，即， 所以，因为，所以， 所以所求函数的解析式为. 故选：B. 15.已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】. 令可得：. 令，解得：. ∵函数在区间内没有零点，区间内不存在整数. 又，∴.又， ∴或， ∴或，解得或.故选：A 16．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以是的零点， 所以是图象的一个对称中心，故A正确； 对于B，因为一个周期内单调区间长度不超过半个周期， 而，且， 所以是图象的一条对称轴. 因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，故，则， 所以是图象的一条对称轴，故C正确； 对于D，由已知得，且点是函数图象的一个对称中心， 则函数的一个零点是，故D正确. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.已知(a为实常数). （1）当定义域为R时，求的单调递增区间； （2）当定义域为时，的最大值为4，求实数a的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简函数，进而求得单调递增区间； （2）由（1）得，再求出的取值范围，进而得到函数的最大值，从而求得实数a的值. 【详解】（1） ， ， 的单调递增区间为； （2） ，， 当，即时， . 【点睛】本题考查三角恒等变换、正弦函数的单调区间、由函数的最值求参数的值等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 18．已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由周期为且，得， 解得，即， 令，解得， 所以的对称中心的坐标为； （2）因为在区间上单调递增， 故在区间上为单调递增. 由题知，存在使得成立，则必有， 因为给定区间包含正数和负数，而当时，单调递增区间为正， 当时，单调递增区间为负，故只能取， 则，解得，故. 所以的最大值为. 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)处于向下的运动状态，理由见解析 【分析】（1）由圆的半径、周期性以及锐角三角函数即可求解； （2）结合（1）可得，，从而根据的取值范围可得的取值范围，即可判断单调性，进而即可得到盛水筒P的运动状态． 【解析】（1）如图，设筒车与水面的交点为，，连接， 过点作于点，过点分别作于点，于点， 则，， 因为筒车转一周需要1分钟，所以，故， 在中，， 所以，即． （2）盛水筒处于向下运动的状态， 结合（1）可得，， 则当时，，此时单调递减， 所以盛水筒处于向下运动的状态． 20. 已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正余弦的二倍角公式和辅助角公式即可化简； （2）先写出表达式，利用其最小值求出，再利用正弦函数的单调区间即可求出答案； （3）先求出的最大值，存在，则只需小于关于的函数的最大值，由此可得出答案. 【小问1详解】 由二倍角公式及辅助角公式可得 . 【小问2详解】 由题意得，， 由，， 令，解得， 在内，，所以单调减区间为. 【小问3详解】 由（2）知在的最大值为， 在有解，即在有解， 而，所以. 21. 对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 【答案】（1）是，理由见解析； （2）或； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数公式，确定一组，即可说明； （2）根据类对称函数的定义，代入公式，根据等式成立的条件，列式求解； （3）根据“类对称函数”的定义，结合所需要满足的式子，从充分性和必要性分别证明. 【小问1详解】 是，理由如下： 存在，，对任意的，都有，且恒成立， 所以函数“类对称函数”. 【小问2详解】 由题意知， 即（*）恒成立， 令，得，令，得， 又且时（*）恒成立， 所以，又，所以或. 【小问3详解】 充分性： 当且时，， ， 所以函数是“类对称函数”： 必要性： 若函数是“类对称函数”， 则， 即①恒成立； 下用反证法证明：若，因为，， 所以，所以， 故足够大时，一定会超过，①式不成立， （事实上，可以取）， 此时①式为② 令，得，令，得， 则，解得，从而或， 当时，②式左边为不是定值，因此②式不恒成立， 当时，②式为，此时， 综上所述，函数是“类对称函数”的充要条件是“ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期同步培优讲义【精英班课程】 第7章三角函数单元测试（提高卷） 满分分值：150分 完卷时间：120分钟 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.函数的初始相位为 . 2.函数的最小正周期为 . 3.函数的定义域 4.函数的最大值为 ． 5.若为偶函数，则_______ 6.已知函数，若，则 ． 7.已知点是函数的图象的一个对称中心，则的值是_______ 8.函数的部分图象如图所示，则 ． 9.已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 10．已知，当（其中）时，有且只有一个解，则的取值范围是____________. 11．关于函数，其中，有下列命题： ①由可得必是π的整数倍； ②的表达式可改写为； ③的图像关于对称； ④的图像关于对称． 其中正确的命题的序号是 ． 12.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在上有5个实数根，，，，，则 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13.为了得到函数的图象，只要把正弦函数上所有点（   ） A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 14．函数（，）在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式是（    ）    A． B． C． D． 15.已知函数，若函数在区间上没有零点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 16．设函数（，为常数，，），若函数在区间上为单调函数，且，则下列说法中不正确的是（    ） A．点是函数图象的一个对称中心 B．函数的最小正周期为 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数的一个零点是 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17.已知(a为实常数). （1）当定义域为R时，求的单调递增区间； （2）当定义域为时，的最大值为4，求实数a的值. 18．已知函数，其中. (1)若函数的周期为，求函数对称中心坐标； (2)若在区间上为增函数，求的最大值. 19.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，假定在水流挺稳定的情况下，一个半径为5米的简车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为米．设筒车上的桨个盛水简到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）．若以盛水简刚浮出水面时开始计算时间，则与时少（单位：秒）之少的关系为，其中． (1)求的值； (2)当时，判断盛水筒的运动状态（处于向上运动状态、处于向下的运动状态、处于先向上后向下运动状态、处于先向下后向上运动状态），并说明理由． 20. 已知. （1）试将表示成的形式. （2）当时，的最小值为，求函数在上的单调减区间. （3）对任意的，总存在，使得不等式成立，求的取值范围. 21. 对于函数，，若存在非零常数和，使得对任意实数都有，且等式恒成立，则称函数是“类对称函数”. （1）判断函数否是“类对称函数”，请说明理由； （2）设，若函数是“类对称函数”，求的值； （3）设，证明：函数是“类对称函数”的充要条件是“且”. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $