专题六 2026年天津中考数学一轮复习 解直角三角形

专题六 解直角三角形 考点导航 · 考点一 特殊角三角函数值（6题） · 考点二 解直角三角形的应用（22题） 考点一 特殊角三角函数值（6题） · 三角函数的定义（Rt△中，∠C=90°） · sinA=对边/斜边 · cosA=邻边/斜边 · tanA=对边/邻边 · 30°/45°/60°的函数值 度数 sin cos tan 30° 45° 1 60° · 常考计算形式 · 直接求值（如sin45°） · 混合运算（如） · 易错警示：角与函数值记混（如把sin30°和sin60°混淆） 考点解析 ※真题演练 （2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的计算，代入各特殊角的三角函数值后按运算顺序计算，即可求解． 【详解】解： 故选：A． （2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，熟记特殊的三角函数值是解题的关键；根据代入即可求解. 【详解】， 故选：A. （2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据特殊角的三角函数值进行化简，再进行二次根式的加法运算即可． 【详解】解 ：， 故选：B． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和二次根式的加法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． （2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据三角函数定义：正切=对边与邻边之比，进行求解． 【详解】作一个直角三角形，∠C=90°，∠A=45°，如图： ∴∠B=90°-45°=45°， ∴△ABC是等腰三角形，AC=BC， ∴根据正切定义，， ∵∠A=45°， ∴， 故选 B． 【点睛】本题考查了三角函数，熟练理解三角函数的定义是解题关键． （2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据30°的正切值直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 故选：A． 【点睛】本题考查30°的三角函数，属于基础题，熟记其正切值即可． ※【模拟演练】 （2025·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，二次根式加减运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 先将特殊角三角函数值代入，再根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． （2025·天津西青·一模）的值等于（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，将特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：； 故选B． （2025·天津·一模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，二次根式的乘法，熟练掌握特殊角三角函数值是解题的关键． 先计算特殊角三角函数值，再根据二次根式乘法法则求解，最后合并即可． 【详解】解： ， 故选：． （2025·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角的三角函数运算，先把的正弦值和余弦值代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． （2025·天津河东·一模）计算的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查含三角函数的混合运算，将特殊角三角函数值代入，再计算二次根式的乘法，最后进行减法运算即可． 【详解】解：， 故选：D． （2025·天津和平·一模）的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了化简二次根式，特殊角的三角函数值，二次根式的加法，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 因为，，所以，即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． （2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了涉及特殊角的三角函数值的计算，二次根式的乘法计算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题的关键．分别代入特殊角的三角函数值，再计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． （2025·天津南开·一模）的值等于（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】题目主要考查特殊角的三角函数的运算及二次根式的乘法运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键 将特殊角的函数值代入计算即可 【详解】解：， 故选：C （2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角形函数运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．根据特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：原式． 故选：D． （2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了特殊角的三角形函数值，二次根式的加减运算，牢记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值及二次根式的加减运算即可解答． 【详解】解：． ∴ 故选：B． 考点二 解直角三角形的应用（22题） · 通用解题步骤 · 标：标注已知角、边、直角 · 判：识别背靠背模型/母子型模型 · 设：设未知边为 · 列：用/相似/勾股列方程 · 解：求解+检验实际意义 · 仰角 · 基准：水平线 · 方向：视线向上与水平线的夹角 · 俯角 · 基准：水平线 · 方向：视线向下与水平线的夹角 · 方位角 · 基准：正南/正北线 · 表述：北偏东，北偏西，南偏东，南偏西 · 特殊：东北=北偏东，西北=北偏西 模型一：背靠背模型（双直角共底模型） 如图，若三角形中有已知角时，通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 例题：（背靠背模型+方位角） 如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． · 构造直角三角形（如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H,） · 根据题意写出相应的已知条件 根据题意， · 计算解题 ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴． 又， ∴． 可得． ∴． 答：的长约为168海里． · 注意：1、一定要写根据题意知，将题目内容转化到三角形图形中。 2、一定要答，答话内注意有“约”字。 ※【实战演练】 坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道全长与在一条直线上，在隧道正上方的山顶有一信号塔，从与点相距的处分别测得、的仰角为、，从与点相距的处测得的仰角为，设山高的高度为（单位：）． (1)用含的式子表示线段的长度（结果保留三角函数形式）； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1)的长为； (2)信号塔的高约为35米． 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形的运用，掌握三角函数值的计算方法是关键． （1）在中，，，由，即可求解； （2）在中，，，在中，， ，又，所以，由即可求解． 【详解】（1）解：，， 在中，， ， ， 又， ∴， 即的长为； （2）解：由题意得， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 又， ， 即； ， 答：信号塔的高约为35米． 景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于E，设，分别解直角三角形求出的长，再根据建立方程求解即可 （2）过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形，则可得的长，再解直角三角形求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解；如图所示，过点B作于E，设， 在中，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：景点B到公路的最短距离为； （2）解：如图所示，过点B作，过点D作于D，交于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：景点D到公路的最短距离为． 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点依次在一条水平线上，，，垂足为点．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得信号塔顶端的仰角为，测得信号塔底端的仰角为．参考数据：取，取． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)线段的长为 (2)信号塔的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用： （1）设，分别解，表示出的长，根据，列出方程进行求解即可； （2）解，求出的长，再利用求出的长即可． 【详解】（1）解：设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：线段的长为； （2）解：由（1）知：， 在中，， ∴； ∴； 答：信号塔的高度为． 如图，小明在楼前的空地上将无人机升至空中处，在处测得楼的顶部处的仰角为，测得楼的底部处的俯角为.已知处距地面的高度为，根据测得的数据，计算楼的高度(结果保留整数).(参考数据：，，). 【答案】楼AB的高度为30m. 【分析】如图，过点C作CE⊥AB于E，则BE=CD=12m，利用∠BCE的正切值可求出CE的长，利用∠ACE的正切值可求出AE的长，进而可得AB的长. 【详解】如图，过点C作CE⊥AB， ∴BE=CD=12， 在Rt△BCE中，tan∠BCE=≈0.60， ∴CE==20(m) 在Rt△ACE中，tan∠ACE=≈0.90， ∴AE=20×0.90=18(m)， ∴AB=AE+BE=18+12=30(m) 答：楼AB的高度为30m. 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题关键. 综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸，互相平行． (1)求河岸，之间的距离（结果取整数）； (2)求轮渡码头P，M之间的距离和轮渡码头P，N之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，取1.4． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数的概念列方程是解题的关键． （1）过点作，设，则，，解直角三角形列方程即可解答； （2）解直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：如图，过点作于E，设， ， 为等腰直角三角形， 设，则，， 在中，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， 河岸，之间的距离； （2）解：在中，， 在中，， 则轮渡码头P，M之间的距离为和轮渡码头P，N之间的距离为． 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； (2)求教学楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，确定目标线段与直角三角形各边之间的和差关系是解题关键. （1）根据，进而根据线段的和差关系，即可求解； （2）过点C作，垂足为F，在中，求出，进而根据线段的和差关系，即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ， ， ， 此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度为； （2）解：过点C作，垂足为F， 由题意得：，，， ， 在中，， ， ， 教学楼的高度约为． 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距182（点在同一条直线上），在处测得塔筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，．） 【答案】风电塔筒的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，连接交于点．证明四边形是矩形，得到，．再证明四边形是矩形．得到，．同理四边形是矩形．则，，．设，解得到．解，得到，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于点． ， ． ， ∴四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ，． ． 四边形是矩形． ，． 同理四边形是矩形． ，，． 设， 在中，， ． ． 在中，， ． ．解得． ． ． 风电塔筒的高度约为． 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥塔的高度，某学习小组设计了一个方案：如图，点依次在同一水平直线上，，垂足为，在处测得桥顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．参考数据：．    (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）． 【答案】(1)线段的长约为； (2)桥塔的高度约为． 【分析】本题主要考查仰俯角解直角三角形，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）根据题意，，在中，，，则，所以，由此即可求解； （2）根据，，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，，于D，， 在中，， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：线段的长约为； （2）解：在中，，， ， 答：桥塔的高度约为． 如图，某学习小组在地面处操控位于他们正前方处的无人机在竖直方向上飞行，．当无人机飞行至处时，在处测得处的仰角为；当无人机继续沿着竖直方向上升到处时，在处测得处的仰角为． (1)求无人机从处到处上升的高度； (2)在地面处的正前方有一座通讯塔，若无人机在处测得通讯塔顶部的俯角为，在处测得通讯塔顶部的俯角为，求通讯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，取． 【答案】(1) (2) 【分析】（）分别解和，求出和的长，进而即可求解； （）过点作于，可得四边形是矩形，即得，设，由和得，，即得，进而求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； （2）解：如图，过点作于， 则四边形是矩形， ∴， 由题意得，，， 设， 在中，， ∴， 在，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴通讯塔的高度约为． 综合与实践活动中，要用测角仪测量山坡的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一条水平直线上，，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，求山坡的高度（取0.5，结果取整数）． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，矩形的性质，根据矩形的性质得到，，，，设，则，，根据三角函数的定义得到，，再由得到关于关于x的方程，解方程即可得到结论． 【详解】解：由题意知，，，，，， 四边形是矩形， ，，，， 设，则，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ， 得． 答：山坡的高度约为． 如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，做出合理的辅助线是解题的关键． （1）要想求高度需要先做出来高度，作出辅助线，在中设出未知数，根据得到各边的值，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； （2）由（1）中的结果，在中，根据三角函数关系计算出结果即可； 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，由题意可知， ，，，设，     在中，， ，              ∵， ，       在中，，，， 即，            ，            ， 答：此时无人机所在位置离地面的距离为； （2）解：∵， 在中，，， ，             ， 小汽车到桥梁入口的距离的长约为． 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36） 【答案】AB的长约为31m． 【分析】过点C作CM与BD垂直，CM的长即为AB的长，利用锐角三角函数定义，用含CM的式子表示BM和DM的长，代入BM＋DM＝BD，从而得到CM的长. 【详解】过点C作CM⊥BD于点M， 在Rt△CDM中，∵tan∠DCM=， ∴DM=CMtan∠DCM=CMtan18°； 在Rt△BCM中，∵tan∠BCM=， ∴BM=CMtan∠BCM=CMtan20°， ∵DM+BM=BD， ∴CMtan18°+CMtan20°=21， 解得：CM=≈31（m）， 则AB=31m， 答：AB的长约为31m． 故答案为约为31m. 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键. 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 【答案】(1)两座山之间水平距离约为 (2)这座山的高度为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）在中，由解直角三角形的知识得，，又，解出的长度即可； （2）过点作，垂足为点，证明四边形是矩形得，，由解直角三角形的知识得，最后根据即可得解． 【详解】（1）解：由题意知，，，，， 在中，，， ， 在中，，， ， ， 解得：， 两座山之间水平距离约为； （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 四边形是矩形， ，， 由题意可知， 在中，， ， ， 答：这座山的高度为． 模型二：母子型模型 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 例题：（母子模型+仰角） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． · 构造直角三角形（如图，延长DF） · 根据题意写出相应的已知条件 根据题意， 可得， 有，，，，， · 计算解题 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． · 注意：1、一定要写根据题意知，将题目内容转化到三角形图形中。 2、一定要答，答话内注意有“约”字。 ※【实战演练】 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，数形结合是解题的关键． （1）设，在中，．在中，．则．解方程即可； （2）求出，根据即可得到答案． 【详解】（1）解：设，由，得． ，垂足为， ． 在中，， ． 在中，， ． ． 得． 答：线段的长约为． （2）在中，， ． ． 答：桥塔的高度约为． 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 【答案】这座山的高度约为 【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解． 【详解】解：如图，根据题意，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． ∴． 答：这座山的高度约为． 【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程． 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机从地面垂直上升，至距地面的点处测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机向教学楼方向（、、在同一平面内）水平飞行了至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．（精确到，参考数据：，，） 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，延长交直线于点H，先用三角函数解求出，进而求出，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点H，则，    由题意知， 在中，，即， 解得， ， ，， ， ， . 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高． 【答案】(1)屋顶到横梁的距离为． (2)房屋的高为． 【分析】本题主要考查了仰角的定义及其解直角三角形的应用，解题时首先正确理解仰角的定义，然后构造直角三角形利用三角函数和已知条件列方程解决问题． （1）根据可得，再根据，即可求解； （2）过点作于点，设，则，，再根据，列出方程求解即可． 【详解】（1）解： ， ， 该房屋的侧面示意图是一个轴对称图形， ，， ， 答：屋顶到横梁的距离为． （2）解：过点作于点， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ，， 解得：， ， 答：房屋的高为． “桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 【答案】(1) (2)50米 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，等角对等边，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键： （1）过点B作于H，分别解，，求出的长，根据线段的和差关系求出的长即可； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接，得，设，解，求出，根据，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 过点B作于H，由题意，可得：，， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴的长为； （2）过点D作于G，在上取点，使得，连接， 由题意得，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则：， 在中， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 答：的长约为50米． 综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 【答案】(1)凉亭顶部到横梁的距离约为 (2)凉亭的高约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定等等，熟知锐角三角函数是解题的关键。 （1）根据题意可得，，由平行线的性质得到，再解求出的长即可得到答案； （2）过A作于点H，则四边形AHDE为矩形，则，设，解得到，则，再解可得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知，直线为的对称轴，． ，． ，，点C，A，F三点共线， ． 在中，． ． 答：凉亭顶部到横梁的距离约为； （2）解：如图，过A作于点H，则四边形AHDE为矩形， ∴ 根据题意可知，，． 设． 在中，． ． ． 在中，． ． 解得（已检验）． ， ． 答：凉亭的高约为．    如图1，是在同一平面内的四地．地在地的北偏东方向，两地相距地位于地的正东方向与地的正南方向的交汇处．地位于地的正南方向，还在地的正北方向． (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段和的长： ， ； (2)如图2，地与四地在同一平面内，地位于地的正西方向，且地位于地的南偏西方向，而地位于地的南偏西方向．设两地的距离为（单位：）． ①填空：用含有的式子表示线段的长为 （结果保留根号）； ②求两地的距离（结果取整数）参考数据：． 【答案】(1)； (2)①② 【分析】本题主要考查解直角三角形，正确作辅助线构造直角三角形是解答本题的关键． （1）直接根据直角三角形边角关系求解即可； （2）①根据角的正切值求解即可； ②过点E作于点H，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：①在中，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； ②过点作于点，则四边形是矩形， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴； 同理可得，， ∴， 在中，， ∴， 解得，， 即两地的距离为． 综合与实践活动中，要测量教学楼的高度． 如图，点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，求教学楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 【答案】 【分析】根据，得到，设，根据题意，得，，解直角三角形得到的长，根据计算解答即可． 本题考查了仰角的计算，矩形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的仰角计算是解题的关键． 【详解】解：∵点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为， ∴，，，，， ∴，四边形，四边形都是矩形， 设， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 答：楼高约为． 模型三：拥抱模型 分别解两个直角三角形 例题:拥抱型与母子型综合题 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． ※【实战演练】 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）利用含30度角的直角三角形的边长关系即可解答； （2）设，得到的长为，过点D作，垂足为F，利用三角函数列方程即可解答． 【详解】（1）解：在中，， ， 即的长为； （2）解：设． 在中，， ， 在中，由，，得， ，即的长为， 如图，过点D作，垂足为F． 根据题意，， ∴四边形是矩形， ，， 可得， 在中，，， ．即． ． 答：塔的高度约为． 综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度． 如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为． (1)求山坡的高度； (2)求建筑物的高度（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 【答案】(1)山坡的高度的长为； (2)建筑物的高度约为． 【分析】本题考查解直角三角形的应用． （1）在中，解直角三角形即可求解； （2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，过点作，垂足为．得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：在中，，，，， ∴，． 即山坡的高度的长为； （2）解：设， 在中，由，，， 则， 由（1）得， ∴， 如图，过点作，垂足为．    根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：建筑物的高度约为． 在学校开展的“数学实践周”活动中，数学兴趣小组利用三角函数原理测算某古建筑的高度，根据测量的数据绘制了如图所示的示意图．测得斜坡DE的长为，，在斜坡顶部点D处测得古建筑顶端A的仰角为，又在斜坡底部点E处测得古建筑顶端A的仰角为，点C，E，B在同一条直线上．    (1)求斜坡的高度． (2)计算古建筑的高度．（取1.6，取1.7，结果保留整数） 【答案】(1)3米 (2)22米 【分析】本题考查了含角的直角三角形，解直角三角形的应用，解一元一次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据含角的直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半即可求解； （2）根据锐角三角函数得，．过点D作，垂足为点F．则，四边形是矩形．设，则．根据，得．，根据，得．得方程．求解即可得解． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． 答：斜坡的高度为． （2）解：在中，， ∴． 过点D作，垂足为点F． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴．    设，则． 在中，， ∴． ∴ 在中，， ∴． ∴． 解得． 答：古建筑的高度约为． 综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物底部到一斜坡底部的距离是（即），在处测得建筑物顶部的仰角为，沿斜坡走到处，在处测得点的仰角为，已知斜坡的坡角（）为，垂足为，点在同一平面内，点在同一直线上． (1)求建筑物的高度； (2)求线段的长（结果取整数）．参考数据：，取． 【答案】(1) (2) 【分析】（）解即可求解； （）过点作于，可得，四边形为矩形，即得，， 由得，由得，进而由可得，解方程即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，，， ∵， ∴， 答：建筑物的高度为； （2）解：过点作于， 则，四边形为矩形， ∴，， 在中，, ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 答：线段的长约为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题六 解直角三角形 考点导航 · 考点一 特殊角三角函数值（6题） · 考点二 解直角三角形的应用（22题） 考点一 特殊角三角函数值（6题） · 三角函数的定义（Rt△中，∠C=90°） · sinA=对边/斜边 · cosA=邻边/斜边 · tanA=对边/邻边 · 30°/45°/60°的函数值 度数 sin cos tan 30° 45° 1 60° · 常考计算形式 · 直接求值（如sin45°） · 混合运算（如） · 易错警示：角与函数值记混（如把sin30°和sin60°混淆） 考点解析 ※真题演练 （2025·天津·中考真题）的值等于（   ） A．0 B．1 C． D． （2024·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C． D． （2023·天津·中考真题）的值等于（    ） A．1 B． C． D．2 （2022·天津·中考真题）的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． （2021·天津·中考真题）的值等于（    ） A． B． C．1 D．2 ※【模拟演练】 （2025·天津河西·一模）的值等于（   ） A．0 B．2 C． D． （2025·天津西青·一模）的值等于（   ） A．0 B． C．1 D． （2025·天津·一模）的值等于（   ） A． B． C． D． （2025·天津红桥·一模）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 （2025·天津河东·一模）计算的值等于（   ） A． B． C． D． （2025·天津和平·一模）的值等于（   ） A． B． C． D． （2025·天津河北·一模）的值等于（　　） A． B． C． D． （2025·天津南开·一模）的值等于（   ） A． B．1 C． D． （2025·天津河东·二模）计算的值等于（   ） A． B． C．1 D．2 （2025·天津·二模）的值等于（   ） A．1 B． C． D．2 考点二 解直角三角形的应用（22题） · 通用解题步骤 · 标：标注已知角、边、直角 · 判：识别背靠背模型/母子型模型 · 设：设未知边为 · 列：用/相似/勾股列方程 · 解：求解+检验实际意义 · 仰角 · 基准：水平线 · 方向：视线向上与水平线的夹角 · 俯角 · 基准：水平线 · 方向：视线向下与水平线的夹角 · 方位角 · 基准：正南/正北线 · 表述：北偏东，北偏西，南偏东，南偏西 · 特殊：东北=北偏东，西北=北偏西 模型一：背靠背模型（双直角共底模型） 如图，若三角形中有已知角时，通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键。 例题：（背靠背模型+方位角） 如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东方向上，同时位于A处的北偏东方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求的长（结果取整数）．参考数据：，取1.73． · 构造直角三角形（如图，过点B作BH⊥CA，垂足为H,） · 根据题意写出相应的已知条件 根据题意， · 计算解题 ∵在中，，， ∴． ∵在中，， ∴． 又， ∴． 可得． ∴． 答：的长约为168海里． · 注意：1、一定要写根据题意知，将题目内容转化到三角形图形中。 2、一定要答，答话内注意有“约”字。 ※【实战演练】 坐落在蓟县穿芳峪镇毛家峪村的毛家峪隧道是天津市普通公路建设史上第一座隧道，填补了天津市普通公路无隧道的空白．已知，隧道全长与在一条直线上，在隧道正上方的山顶有一信号塔，从与点相距的处分别测得、的仰角为、，从与点相距的处测得的仰角为，设山高的高度为（单位：）． (1)用含的式子表示线段的长度（结果保留三角函数形式）； (2)求信号塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 景点A的南偏东方向有景点B，景点A的正南方向有景点C，景点A和景点C有一条笔直的公路相连，景点B在景点C北偏东方向，即线段， (1)求景点B到公路的最短距离（结果取整数）； (2)景点B的东南方向有景点D，求景点D到公路的最短距离（结果取整数）． 参考数据：取，取，取． 综合与实践活动中，要用测角仪测量小山上方某信号塔的高度（如图①）．某小组设计了一个方案：如图②，点依次在一条水平线上，，，垂足为点．在处测得信号塔顶端的仰角为，在处测得信号塔顶端的仰角为，测得信号塔底端的仰角为．参考数据：取，取． (1)求线段的长； (2)求信号塔的高度（结果取整数）． 如图，小明在楼前的空地上将无人机升至空中处，在处测得楼的顶部处的仰角为，测得楼的底部处的俯角为.已知处距地面的高度为，根据测得的数据，计算楼的高度(结果保留整数).(参考数据：，，). 综合与实践活动中，要用测角仪测量位于河两岸的轮渡船码头之间的距离．如图，在河岸上有两个轮渡码头M，N，其对岸上有一个轮渡码头P，已知，，，河岸，互相平行． (1)求河岸，之间的距离（结果取整数）； (2)求轮渡码头P，M之间的距离和轮渡码头P，N之间的距离（结果取整数）．参考数据：，，取1.4． 如图，某校无人机兴趣小组为测量教学楼的高度，在操场上展开活动．此时无人机在离地面的D处，操控者从A处观测无人机D的仰角为，无人机D测得教学楼顶端点C处的俯角为，又经过人工测量测得操控者A和教学楼之间的距离为，点A，B，C，D都在同一平面上． (1)求此时无人机D与教学楼之间的水平距离的长度（结果保留根号）； (2)求教学楼的高度（结果取整数）（参考数据：，，，）． 某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动．如图，已知一风电塔筒垂直于地面，测角仪，在两侧，，点与点相距182（点在同一条直线上），在处测得塔筒尖顶点的仰角为，在处测得筒尖顶点的仰角为．求风电塔筒的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，．） 综合与实践活动中，要用测角仪测量一座桥塔的高度，某学习小组设计了一个方案：如图，点依次在同一水平直线上，，垂足为，在处测得桥顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为．参考数据：．    (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）． 如图，某学习小组在地面处操控位于他们正前方处的无人机在竖直方向上飞行，．当无人机飞行至处时，在处测得处的仰角为；当无人机继续沿着竖直方向上升到处时，在处测得处的仰角为． (1)求无人机从处到处上升的高度； (2)在地面处的正前方有一座通讯塔，若无人机在处测得通讯塔顶部的俯角为，在处测得通讯塔顶部的俯角为，求通讯塔的高度（结果取整数）．参考数据：，，取． 综合与实践活动中，要用测角仪测量山坡的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，点，，依次在同一条水平直线上，，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，处距离地面的垂直高度，在处测得山顶的仰角为，求山坡的高度（取0.5，结果取整数）． 如图，一架无人机在一条笔直的公路上方飞行，处为一辆行驶中的小汽车，为公路上的一座桥梁，当无人机飞行到处时，测得处的俯角（）为，处的俯角（）为，其中，，在一条直线上，且，此时，小明在桥梁的入口处测得无人机的仰角为．已知桥梁的总长度为． (1)求此时无人机所在位置离地面的距离； (2)处的小汽车到桥梁入口的距离的长（结果取整数）．参考数据：，． 如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学楼顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36） 综合与实践活动中，要用测角仪测量山的高度． 某学习小组设计了一个方案：如图，已知某座山的对面有一座小山，的顶部有一座通讯塔，且点，，在同一条直线上．从处测得塔底的仰角为，测得塔顶的仰角为，，又在处测得塔顶的俯角为． (1)求两座山之间水平距离的长（结果保留小数点后一位）； (2)求这座山的高度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，． 模型二：母子型模型 若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。 例题：（母子模型+仰角） 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津站附近世纪钟建筑的高度（如图①）． 某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点，，依次在同一条水平直线上，，，且．在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，在处测得世纪钟建筑顶部的仰角为，．根据该学习小组测得的数据，计算世纪钟建筑的高度（结果取整数）． 参考数据：，． · 构造直角三角形（如图，延长DF） · 根据题意写出相应的已知条件 根据题意， 可得， 有，，，，， · 计算解题 在Rt中，， ， 在中，， ． ， ． ． ． 答：世纪钟建筑的高度约为． · 注意：1、一定要写根据题意知，将题目内容转化到三角形图形中。 2、一定要答，答话内注意有“约”字。 ※【实战演练】 综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点依次在同一条水平直线上，，垂足为．在处测得桥塔顶部的仰角（）为，测得桥塔底部的俯角（）为，又在处测得桥塔顶部的仰角（）为． (1)求线段的长（结果取整数）； (2)求桥塔的高度（结果取整数）．参考数据：． 如图，某座山的顶部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：． 如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机从地面垂直上升，至距地面的点处测得教学楼底端点的俯角为，再将无人机向教学楼方向（、、在同一平面内）水平飞行了至点处，测得教学楼顶端点的俯角为，求教学楼的高度．（精确到，参考数据：，，） 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线．为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为，房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，， (1)求屋顶到横梁的距离； (2)求房屋的高． “桥园公园”简称桥园，是天津市最大的人造生态湿地公园，也是中国城市公园在世界建筑节上第一次获“全球最佳景观奖”的生态创意型公园．为了生态可持续发展，某园林设计公司为桥园一处湿地提供了一份景观提升设计．如图，距A地东北方向处是亲水平台（B地），距亲水平台（B地）北偏东方向处是观景台（C地），从观景台（C地）沿长廊向正南方向走可以到达凉亭（E地），从亲水平台（B地）向正东方向走可以到达长廊（F地）． (1)请求出的长度； (2)从A地出发后，先沿正东方向走可到达凉亭（E地），再沿北偏东方向走可到达小广场（D地），小广场（D地）在观景台（C地）的南偏东方向．请求出的长度．（结果取整数，参考数据） 综合与实践活动中，要用测角仪测量某学校凉亭的高度（如图①）． 某小组设计了一个方案：图②是凉亭侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是凉亭的高所在的直线，在地面上F点测得凉亭顶部C的仰角（）为，此时地面上F点，凉亭外檐上A点，顶部C点三点共线，继续向凉亭方向走到达G点处，又测得A点的仰角（）为，凉亭的顶层横梁，，交于点E（点F，G，D在同一水平线上）．    (1)求凉亭顶部到横梁的距离（结果取整数）． (2)求凉亭的高（结果取整数）．（参考数据：，） 如图1，是在同一平面内的四地．地在地的北偏东方向，两地相距地位于地的正东方向与地的正南方向的交汇处．地位于地的正南方向，还在地的正北方向． (1)请直接用含有三角函数的代数式表示线段和的长： ， ； (2)如图2，地与四地在同一平面内，地位于地的正西方向，且地位于地的南偏西方向，而地位于地的南偏西方向．设两地的距离为（单位：）． ①填空：用含有的式子表示线段的长为 （结果保留根号）； ②求两地的距离（结果取整数）参考数据：． 综合与实践活动中，要测量教学楼的高度． 如图，点依次在同一条水平直线上，小明用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，小军在小明的前面处用高的测量仪测得楼顶的仰角（）为，求教学楼的高度（结果取整数）． 参考数据：． 模型三：拥抱模型 分别解两个直角三角形 例题:拥抱型与母子型综合题 综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．    某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：m）． ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）． 解：在中，， ∴． 即的长为． （2）解：①在中，， ∴． 在中，由，，， 则. ∴． 即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， ∴四边形是矩形． ∴，． 可得． 在中，，， ∴．即． ∴． 答：塔的高度约为． ※【实战演练】 在综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度． 如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)求塔的高度．（取0.5，取1.7，结果取整数）． 综合与实践活动中，要利用测角仪测量一座建筑物的高度． 如图，在建筑物前有一座高为的山坡，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上． 某学习小组在山坡底部C处测得建筑物顶部B的仰角为，在山坡顶部D处测得建筑物顶部B的仰角为． (1)求山坡的高度； (2)求建筑物的高度（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 在学校开展的“数学实践周”活动中，数学兴趣小组利用三角函数原理测算某古建筑的高度，根据测量的数据绘制了如图所示的示意图．测得斜坡DE的长为，，在斜坡顶部点D处测得古建筑顶端A的仰角为，又在斜坡底部点E处测得古建筑顶端A的仰角为，点C，E，B在同一条直线上．    (1)求斜坡的高度． (2)计算古建筑的高度．（取1.6，取1.7，结果保留整数） 综合与实践活动中，要利用测角仪测量有关高度的问题．如图，已知某建筑物底部到一斜坡底部的距离是（即），在处测得建筑物顶部的仰角为，沿斜坡走到处，在处测得点的仰角为，已知斜坡的坡角（）为，垂足为，点在同一平面内，点在同一直线上． (1)求建筑物的高度； (2)求线段的长（结果取整数）．参考数据：，取． 学科网（北京）股份有限公司 $