第7章相交线与平行线章末测试卷（培优卷）2025-2026学年人教版七年级下册数学

人教版新教材七年级下册数学第7章相交线与平行线 章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 3．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 5．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 6．如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（每题3分） 13．如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为______． 14．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为______． 15．年月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点，则______度． 16．如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 三、解答题（共72分） 17．如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 18．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 19．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 20．如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． (1)当时，求的度数； (2)若与互补，求的度数． 21．如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 22．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 23．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 24．综合与实践 如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）． (1)观察猜想 如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整． 解：过点作，…… (2)类比迁移 如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数． 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版新教材七年级下册数学第7章相交线与平行线 章末测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题3分） 1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 2．如图，大长方形的长是，宽是，阴影部分的宽都是，则空白部分的面积是（   ） A．18 B．24 C．32 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质，把两条小路都平移到矩形的边上，然后求出空白部分的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可得解． 【详解】解：把小路平移到矩形的边上，则空白部分的长为，宽为， 所以，空白部分的面积是：． 故选：C． 3．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放（厚度忽略不计），若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角板中角度的计算，解题的关键是掌握平行线的性质． 根据三角板的角度特点得出，根据平行线的性质得出，最后求出结果即可． 【详解】解：如图， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．对于命题“如果，那么”，下面能说明它是假命题的反例是（   ） A．， B．， C． D．， 【答案】C 【分析】本题考查假命题的反例，反例需满足命题的条件，同时不满足命题的结论，据此分析各选项即可． 【详解】解：∵原命题的条件是，结论是 ∴反例要满足且 对于选项C，，，满足条件但不满足结论，是原命题的反例 选项A满足条件也满足结论，不是反例 选项B、D不满足命题的条件，不是反例 故选：C． 5．如图，直线，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过的顶点作直线平行于直线，借助平行线的传递性得到平行于，再利用平行线的性质得到相等的角，将转化为与的和，进而通过角的差求出的度数． 【详解】解：如图，过的顶点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，直线于，平分，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据垂直的定义，求得，再根据角平分线的定义，得到，从而求得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选C． 7．如图，直线相交于点O，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵于O， ∴， ∵， ∴． ∴， 8．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 9．如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质是解题的关键． 由得到，，则可对③进行判断；再由平行线的性质得，由角平分线定义得，则，而，所以，则可对①进行判断；接着由平分得到，所以，根据平行线的判定即可得到，于是可对②进行判断；当，，，；利用平行线的性质得到，又因为，，于是可得，则可对④进行判断． 【详解】解：∵， ，即， ，所以③正确； ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∵ ， ， ∴平分，即①正确； ∵平分， ∴， ∴ ∴，即②正确； 时，， ∴， ∴， ∵，而，， ∴， ∴．故④错误． 综上，正确的结论有①②③，共3个． 故选C． 10．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 11．如图，下列条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理逐项进行判断． 【详解】解：A.∵， ∴； B. ∵， ∴； C. ∵， ∴， 无法得出； D.∵， ∴； 【点睛】注意掌握“三线八角”模型和平行线的判定定理． 12．如图，直线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、几何图形中的角度计算等知识点，正确作出辅助线、构造平行线是解题的关键． 如图：过点A作，过点B作，由平行线的性质可得；再说明可得，最后根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，过点B作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选B． 二、填空题（每题3分） 13．如图，在直角中，，．将沿射线方向平移得到，与交于点，且为中点，若四边形面积为，则平移距离为______． 【答案】 【分析】本题考查了平移，根据平移的性质得，，，即得，再根据梯形的面积公式解答即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移得，，，， ∴，， ∴四边形是直角梯形， ∵为中点， ∴， ∴， 解得， ∴平移距离为， 故答案为：． 14．如图，，点E在上，连接，若平分，，则的度数为______． 【答案】23 【分析】本题主要考查了角平分线的定义、平行线的性质等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 先根据平行线的性质求出，，再根据角平分线的定义求得即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵平分， ∴，即． 故答案为：23． 15．年月日，北京举行全球第一次机器人马拉松比赛，此次比赛意义重大．如图，这是某款机器人跑步的姿态，图为其某一瞬间姿态的平面示意图，其中，，．若，于点，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，由已知可得，过点作，过点作，可得，再根据平行线的性质解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 过点作，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【详解】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 三、解答题（共72分） 17．如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线： （1）因为，， 所以，求得； （2），结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，即． 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 所以． 18．完成下面的证明过程，并在括号里填写推理的依据． 如图，点、分别在线段、上，点在线段的延长线上．，，，，求证：． 证明：，（已知） ______（等量代换） ______（______） ，（已知） （______） ______（______） （已证） （______） 【答案】2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是熟练运用同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等判定定理，以及平行公理的推论． 先由已知角相等推出，再由同角的补角相等推出，最后根据平行公理的推论得到． 【详解】证明：（已知）， （等量代换）． （同位角相等，两直线平行）． （已知）， （同角的补角相等）． （内错角相等，两直线平行）． （已证）， （如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：2；；同位角相等，两直线平行；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 19．如图，点在线段上，点在线段上，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）根据平行线的判定与性质即可进行判断与证明； （2）先根据平行线的性质求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质得出的度数． 【详解】（1）解：， 理由：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ． 20．如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． (1)当时，求的度数； (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，根据补角的定义，求的度数，根据平分，求得，再利用余角计算的度数； （2）根据已知得与互补，与互补，所以，由，得到，所以，再根据邻补角的性质即可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ， ． （2）解：∵与互补， ∴， ∵， ， ， ， ． 21．如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意可得，进而可判定； （2）由，得到，继而得到，再由内错角相等，两直线平行即可判定； （3）由，可得，则，再由直接计算即可． 【详解】（1）证明：， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 22．如图，，与交于点． (1)若，求的度数； (2)若，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定方法及性质等； （1）由同位角相等，两直线平行得，由两直线平行，同位角相等得，即可求解； （2）由两直线平行，同位角相等得，由平行线的性质得，即可得证； 掌握平行线的判定方法及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ． 23．2025年央视春晚上，一群穿着花棉袄的机器人科技感爆棚．这个《秧》节目中的机器人名为，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破． [提出问题]（1）图1是练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，求的度数？ [分析问题]构造辅助平行线是解决几何问题的核心技巧，化散为聚，实现角度的转移与转化，是初中几何从看图说话迈向逻辑构造的关键一步． [解决问题]以下是学习小组的解题过程，请把证明过程补充完整． 解：如图2，过点作，过点作， 则． _____ ， （理由是：____________________） （理由是：____________________） ，_____， _____ [迁移应用]（2）如图3是一款手推车的平面示意图，．若，求的度数． 【答案】（1）60；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；；105；（2） 【分析】（1）根据题意，对每个步骤填写结论和依据； （2）过点作，根据平行线的性质得，，再根据即可求解． 【详解】解：（1）补全过程如下： 如图2，过点作，过点作， 则． ， ， ， （理由是：平行于同一直线的两直线平行） （理由是：两直线平行，内错角相等） ， ， ； （2）如图3，过点作， ， ， ， ， ． 24．综合与实践 如图，，点，分别在直线，上，点是，之间的一点（点不在直线上）． (1)观察猜想 如图1，当点在线段左侧时，为说明，李老师给出了辅助线的作法，请将下面说理过程省略部分补充完整． 解：过点作，…… (2)类比迁移 如图2，当点在线段右侧时，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展应用 若，的平分线相交于点，当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，邻补角，找出角度之间的关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键． （1）过点作，根据平行线的性质，得到，，即可证明结论； （2）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可得出结论； （3）分两种情况讨论：当点在线段左侧时；当点在线段右侧时，根据（1）和（2）所得结论，再结合角平分线的定义分别求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作， ， ， ，， ； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作， ， ， ，， ， ， ； （3）解：如图3，当点在线段左侧时， 由（1）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 如图4，当点在线段右侧时， 由（2）可知，， ， ， ，， ， 、的平分线交于点， ，， ， 同（1）理可证，， ； 综上可知，或． 试卷第14页，共23页 试卷第13页，共23页 学科网（北京）股份有限公司 $