专题02 平行线重难点模型（四大模型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题02 平行线重难点模型 重难点模型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 1．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 2．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行的性质，熟练掌握平行的性质是解题的关键．过点作平行线，根据平行的性质计算即可． 【详解】解：过点作平行线， ， ． 故选C． 3．如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、垂线的性质，熟练掌握上述知识、灵活应用整体的思想是解题的关键． 过N点作，则，如图，由平行线的性质得，进而由平分和得，再由可变形推得． 【详解】解：过N点作，则，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可． 【详解】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图，        ∵AB∥EF∥CD， ∴∠γ+∠FED=180°， ∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β， ∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°， ∴∠α+∠β+∠γ=360°， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键． 5．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 【答案】/80度 【分析】过点F作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 6．如图，若直线，，，则的度数为____． 【答案】/150度 【分析】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数． 【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为， 直线， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键． 7．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180° 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案； （2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案； （3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案； （4）由（2）（3）类比可得答案． 【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD， ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：180°； （2）如图2，过点E作AB的平行线EF， ∵AB∥CD， ∴AB∥EF，CD∥EF， ∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°， ∴∠1+∠2+∠3=360°； （3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线， 类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°， 故答案为：540°； （4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°， 故答案为：（n-1）×180°． 【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键． 8．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF 【分析】（1）由于点是平行线，之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论：如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为：； （2）当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； （3）①若当点在的左侧时，；当点在的右侧时，可求得； ②结合①可得，由，得出；可得，由，得出． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ， ， ， ， ， ； （2）如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为：； 过点作， ， ， ， ， ， ； （3）①如图3，若当点在的左侧时， ， ， ，分别平分和， ，， ； 如图4，当点在的右侧时， ， ， ； 故答案为：或30； ②由①可知：， ； ， ． 综合以上可得与的数量关系为：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键． 9．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】（1）；（2）①130°；②，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360° 【分析】（1）过点P作PHAB，利用平行线的性质即可求解； （2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解． 【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PMAB，则PMCD， ∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°， ∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°， 即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； 故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°； （2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∵∠EPF＝100°， ∴∠PEA+∠PFC＝100°， ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°， ∴∠DFQ+∠BEQ＝130°， ∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°， 故答案为：130°； ②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下： ∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°， ∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +2∠EQF＝360°； ③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD， ∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1， ∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°， ∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°， ∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°， ∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF， ∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°； 同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，…… ∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键． 10．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 【答案】 360 540 720 180n 【分析】过点作，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于的倍； （1）分别过、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的三倍； （2）分别过、、分别作的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于的四倍； （3）根据前三问个的剪法，剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 【详解】过作（如图②）． ∵原四边形是长方形， ∴， 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 又∵， ∴；    （）分别过、分别作的平行线，如图③所示，    用上面的方法可得； （）分别过、、分别作的平行线，如图④所示，    用上面的方法可得； （）由此可得一般规律：剪刀，剪出个角，那么这个角的和是度． 故答案为：；；；． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点． 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 1．推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，利用“猪蹄模型”是解题关键． （1）如图，过作．得，故，，因此． （2）过点N作的平行线，设，则，由“猪蹄模型”可表示，再借助平行线的性质计算即可． 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 2．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，构造辅助线掌握“猪蹄模型”是解本题的关键． （1）过点M作，证明，则，进而得，由此可得∠B+∠D的度数； （2）过点M作，则，证明，由（1）得，则，进而得，再根据，即可得出和之间的数量关系； （3）过点G作，依题意得，证明，由（1）得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 3．同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析． (2)①，②． 【分析】（1）过E作ETAB，由ABCD，得ETABCD，即有∠B=∠BET，∠D=∠DET，即可得∠BED=∠B+∠D； （2）①同（1）方法可知：∠AEC=∠BAD+∠BCD，即知∠AEC=116°=∠BED，根据EF平分∠BED，即得答案； ②延长DH交AG于K，由DGCB，∠BCD=80°，得∠CDG=100°，而DH平分∠CDG，即得∠CDH=∠CDG=50°，又ABCD，可得∠AKD=130°，根据∠BAD=36°，AH平分∠BAD，得∠KAH=∠BAD=18°，即可得∠AHD=148°． 【详解】（1），理由如下： 如图1：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （2）①同（1）方法可知：， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ②延长DH交AG于K，如图3： ∵DGCB， ∴∠BCD+∠CDG=180°， ∵∠BCD=80°， ∴∠CDG=100°， ∵DH平分∠CDG， ∴∠CDH=∠CDG=50°， ∵ABCD， ∴∠CDH+∠AKD=180°， ∴∠AKD=130°， ∵∠BAD=36°，AH平分∠BAD， ∴∠KAH=∠BAD=18°， ∴∠AHK=180°-∠KAH-∠AKH=32°， ∴∠AHD=180°-∠AHK=148°， ∴ 故答案为：148． 【点睛】本题考查平行线的性质及应用，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理，并能熟练应用． 4．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键． （1）过点P作，则，可知，即可求出的度数； （2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系； （3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可； ②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得 ，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可． 【详解】（1）解：如图1，过点P作， 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图1，过点P作， ， ； （3）解：①由（2）得． 平分平分 ． 同（2）可得 ； ②．理由如下： 如图，过点P作，则有． 平分 ． 平分 ． 同（2）可得 ， ， ． 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 1．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，垂线，解答的关键是结合图形，分析清楚角与角之间的关系． （1）过点C作，可得，再由平行线的性质得，则可求得； （2）过点C作，可证得，由，结合垂线，从而可求得； （3）延长交于点Q，过点G作，不难证得，再由角平分线的定义得，，可得，结合（2）即可求解． 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 2．已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过点作，证明，再结合平行线的性质与角的和差关系可得答案； （2）如图，过点作，同理可得：．证明，．由角平分线的定义证明，，可得．结合，再进一步可得结论； （3）由（2）的结论可得出①，由可得出②，联立①②可求出、的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，将其代入中可求出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵ ，， ∴ ． （2）解：如图，过点作， 同理可得：． ∴，． ∵平分，平分， ∴，， ∴． ∴． 由（1）得， ∴， ∴ ． （3）解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 又∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、邻补角、角平分线以及垂线的含义，作出合适的辅助线是解本题的关键． 模型四：“骨折模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 1．已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线性质，应用（1）所得结论解决（2）和（3）中问题，计算繁琐，难度较大，易出错． （1）过点作，得，得，两式相减便可得出结论； （2）由（1）中结论可得，设，因为平分平分，所以，即得，即可得解； （3）过H作，得出，，结合分别平分，得出，过P作，同理可得，根据 ，即可求出． 【详解】（1）证明：过点作，如图， ， ， ， ， 即； （2）解：如图： 设， ∵平分平分， ∴， 由（1）中结论可得， ． ， ， 即， ∴； （3）解：过H作， ， ， ， ， 分别平分， ， ， 过P作， ， ， ， ， ， ∴． 2．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)不发生变化，的度数为 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）①过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； ②过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由②可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用同②的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：①过点作， ， ， ，， 又， ， ； ②过点C作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）不发生变化，，理由为： 由②可得，， 、的角平分线交于点， ， 过点作，则， ，， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ， 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 的度数为或． 3．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质是解本题的关键； （1）先证明，，再结合平行线的性质建立方程可得答案； （2）过F点作，则，设，可得，证明，可得，，结合角平分线证明，从而可得结论； （3）过F点作，过G点作，证明，，，证明，再结合角平分线的性质可得，再进一步可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵，CE平分， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： 如图，过F点作，则， 即 设， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）如图，过F点作，过G点作， ∴ ， ∵，， ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴ ∴ ∵平分， ∴ 又∵，，， ∴， ∴； 4．（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）过点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解； （3）过点作．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【详解】解：（1）如图1，过点作， ∵， ∴， ∵， ∴． ，而， ∴， ， （2）， 理由：如图2，过点作， ∵，， ∴， ， ， ， ∵， ， ； （3）如图3，过点作． ∵，， ∴， ，， 又的平分线和的平分线交于点， ，， 由（2）得，， ∵， ， ． 【点睛】本题主要考查平行公理的推论，平行线的性质，角平分线的定义，角的和差运算灵活运用平行线的性质是解题的关键． 5．已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）过E作，然后根据两直线平行，内错角相等进行解答即可； （2）①过F作，交于H点，过点作，则，，根据平行线的性质可得，根据角平分线的性质结合，从而得出，进而得出答案； ②过点F作，设，则，，所以，，然后分当K在上；当K在延长线上两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：如图，过E作，    ∴， 又∵， ∴， ∴， 即； （2）①如图， 过F作，交于H点，过点作，则，，    ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； ②如图，过点F作，则，作，    设，则， ∵， ∴， ∵ ∴，， ∵， ∴ ∴，即 ∴，， 当K在上，， 同推出的道理可证： ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 当K在延长线上时，    同推出的道理可证： ∴ ∵ ∴， ∵平分， ∴，即， ∴； 综上所述，或． 故答案是：或． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的和差倍分，熟练掌握平行线的性质、作出正确辅助线、运用分类讨论的思想解题是关键． 6．如图，已知直线． (1)在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若，，则______； (2)如图2，若FN平分，延长GE交FN于点M，EM平分，当时，求的度数； (3)如图3，直线MF平分，直线NE平分相交于点H，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)45° (2) (3)∠EGF＝2∠EHF；理由见解析 【分析】（1）过G作，依据，即可得到∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH，进而得出∠2的度数； （2）过G作，过N作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠AEN的度数； （3）过H作，过G作，依据平行线的性质以及角的和差关系，即可得到∠G与∠H的数量关系． 【详解】（1）解：过G作，如图所示： ∵， ∴， ∴∠1＝∠EGH，∠2＝∠FGH， ∴∠1＋∠2＝∠EGF，即30°＋∠2＝75°， ∴∠2＝45°． 故答案为：45°． （2）∵FN平分∠CFG，EM平分∠AEN， ∴可设∠AEM＝∠NEM＝α，∠CFN＝∠GFN＝β， 过G作，过N作， ∵， ∴， ∴∠QNF＝∠CFN＝β，∠QNE＝∠AEN＝2α，∠PGE＝∠AEM＝α，∠PGF＝∠DFG＝180°−2β， ∴∠FNE＝∠QNF-∠QNE＝β−2α，∠FGE＝∠PGE＋∠PGF＝α＋180°−2β， 又∵∠FNE＋∠FGE＝54°， ∴β−2α＋（α＋180°−2β）＝54°， ∴α＝24°， ∴∠AEN＝2α＝48°． （3）猜想：∠G＝2∠H．理由： ∵MF平分∠CFG，NE平分∠AEG， ∴可设∠AEN＝∠NEG＝α，∠CFM＝∠GFM＝β， 过H作，过G作，如图所示： ∵， ∴， ∴∠QGE＝∠AEG＝2α，∠QGF＝∠CFG＝2β，∠PHM＝∠CFM＝β，∠PHN＝∠AEN＝α， ∴∠EGF＝∠QGE−∠QGF＝2α−2β，∠EHF＝∠PHN−∠PHM＝α−β， ∴∠EGF＝2∠EHF． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角或同位角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 7．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD干点H，满足点E在线段PH上，∠PGB＋∠P＝∠PHD． (1)求证：AB∥CD； (2)如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q＋∠P＝120°，求∠QHD的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 【答案】(1)见解析 (2) (3)或或 【分析】（1）根据三角形外角性质得到，即可求证结论． （2）过点作，则，由角平分线的定义可知，，，，，，对两式进行整理可得结论． （3）根据点和点的位置不同，分三种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：，， ， ． （2）过点作，如图所示， 则， 由（1）知，， ， ，   ， 平分， ， 平分， ， ， ， ，   ， ， ， ， 解得， 即的度数为． （3）（2）的条件下，若点是直线上的一点，直线交直线于点，点在点左侧，和的数量关系是或或，理由如下： 在（2）的条件下，， 若点在的延长线上， ， ， ， ， 若点在上， ， ， ， ， 若点在的延长线上， ， ， ，， ， 综上所述，点在点左侧，和的数量关系是或或． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，解题过程中，注意数形结合、分类讨论数学思想的应用． 8．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】本题考查平行线的性质与应用、角平分线的性质、方程思想等知识，学会添加辅助线，掌握相关知识是解题关键． （1）根据平行线的性质及直角三角形的性质证明即可； （2）过点B作，根据同角的余角相等得出，再根据平行线的性质得到，即可得到； （3）过点B作，根据角平分线的定义得出，设，，可得，再根据，得到，据此计算得出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，； （3）解：如图3，过点B作， ∵平分，平分， ∴，， 由（2）知， ∴，设，， 则，，， ， ∴， ∵，， ∴， 中，由得 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)详见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，解决该题型题目时，利用平行线的性质找出相等（或互补）的角是关键． （1）先根据三角形的内角和得，分别根据角平分线的定义和三角形外角的性质得∠G的度数； （2）根据三角形内角和定理和角平分线定义，可得和的关系； （3）根据平行线的性质和角平分线定义可得结论． 【详解】（1）解：如图1，∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）如图2，，理由是： 由（1）知：，， 设，， ∵， ∴，即， ∴ ， 同理得， ∴，即 ， ∴； （3）如图3，∵， ∴， 由（2）得：， 中，，， ∴， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 平行线重难点模型 重难点模型归纳 模型一：“铅笔模型” 模型二：“猪蹄模型” 模型三：“臭脚模型” 模型四：“抬头模型” 模型一：“铅笔模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=3 60°； 结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD. 1．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 2．已知如图，，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，E，M分别为直线、上的点，N为两平行线间的点，连接、，过点N作平分交直线于点G，过点N作，交直线于点F，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知AB//CD，则，，之间的等量关系为（    ）    A． B． C． D． 5．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，则的度数是______． 6．如图，若直线，，，则的度数为____． 7．如图，已知AB∥CD． （1）如图1所示，∠1+∠2＝　 　； （2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝　 　；并写出求解过程． （3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝　 　； （4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝　 　． 8．已知，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一动点． （1）如图1所示时，试问，，满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问，，还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明 （3）当满足，且，分别平分和， ①若，则__________°． ②猜想与的数量关系．（直接写出结论） 9．如图，，定点，分别在直线，上，在平行线，之间有一个动点，满足． （1）试问：，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线，之间一动点，因此需对点的位置进行分类讨论．如图1，当点在的左侧时，易得，，满足的数量关系为；如图2，当点在的右侧时，写出，，满足的数量关系_________． （2）如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则的度数为______； ②猜想与的数量关系，并说明理由； ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，以此类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 10．如图①所示，四边形为一张长方形纸片．如图②所示，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（、、），则_________（度）；    （1）如图③所示，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（、、、），则_________（度）； （2）如图④所示，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（、、、、），则_________（度）； （3）根据前面的探索规律，将本题按照上述剪法剪刀，剪出个角，那么这个角的和是_________（度）． 模型二：“猪蹄模型” 【方法技巧】 模型二“猪蹄”模型（M模型） 点P在EF左侧，在AB、 CD内部 “猪蹄”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP； 结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD. 1．推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 2．【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 3．同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，为，之间一点，连接，，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题： ①如图②，，线段与线段相交于点，，，平分交直线于点，求的度数． ②如图③，，线段与线段相交于点，，，过点作交直线于点，平分，平分，直接写出的度数． 4．如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，． (1)若，则的度数为 ； (2)探究与之间的数量关系，并说明理由； (3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分． ①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数； ②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）． 模型三：“臭脚模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 1．已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 2．已知点，，不在同一条直线上，． (1)如图①，当 ， 时，求的度数； (2)如图②，为的平分线，的反向延长线与的平分线交于点，试探究与之间的数量关系； (3)如图③，在（2）的前提下，有，，直接写出的值． 模型四：“骨折模型” 【方法技巧】 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 1．已知直线，点P是上方一点，E是上一点，F是上一点连接、． (1)如图①，求证： (2)如图②，，的平外线所在直线交于点Q，若，求的度数． (3)如图③，、的平分线交于H点，且，直接写出___． 2．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系：________； (2)如图2，、的角平分线交于点，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化?如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 3．如图，已知，平分交于E点，点F是上一动点（点F在的上方）．          (1)如图1，当时，若，求的度数； (2)如图2，当时，判断与数量上有何关系？并说明理由； (3)若，，分别作和的平分线和且交于点G，如图3，求出的度数（用含和的式子表示）． 4．（1）【问题解决】如图1，已知，，，求的度数； （2）【问题迁移】如图2，若，点P在的上方，则，，之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，求的度数（结果用含的式子表示）． 5．已知．    (1)如图1，求证：； (2)若F为直线、之间的一点，，平分交于点G，交于点C． ①如图2，若，且，求的度数； ②如图3，若点K在射线上，且满足，若，，直接写出的度数 ． 6．如图，已知直线． (1)在图1中，点E在直线AB上，点F在直线CD上，点G在AB、CD之间，若，，则______； (2)如图2，若FN平分，延长GE交FN于点M，EM平分，当时，求的度数； (3)如图3，直线MF平分，直线NE平分相交于点H，试猜想与的数量关系，并说明理由． 7．如图1，G，E是直线AB上两点，点G在点E左侧，过点G的直线GP与过点E的直线EP交于点P．直线PE交直线CD干点H，满足点E在线段PH上，∠PGB＋∠P＝∠PHD． (1)求证：AB∥CD； (2)如图2，点Q在直线AB，CD之间，PH平分∠QHD，GF平分∠PGB，点F，G，Q在同一直线上，且2∠Q＋∠P＝120°，求∠QHD的度数； (3)在（2）的条件下，若点M是直线PG上一点，直线MH交直线AB于点N，点N在点B左侧，请直接写出∠MNB和∠PHM的数量关系．（题中所有角都是大于0°且小于180°的角） 8．已知直线，点为平面内一点，，垂足为． (1)如图①，过点作的平行线，若，则的度数为________； (2)如图②，过点作交直线于点．求证：； (3)如图③，在（2）的条件下，点，在线段上，连接，，，平分，平分，若，，求的度数． 9．已知中，点D是延长线上的一点，过点作，平分，平分，与交于点． (1)如图1，若，，直接求出的度数； (2)如图2，若，试判断与的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，若，求证： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $