专题01 相交线与平行线重难点题型汇编（十三大题型）-2025-2026学年七年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（人教版）

专题01 相交线与平行线重难点题型汇编 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：垂线段的性质】......................................................................................................3 【题型3：点到直线的距离】....................................................................................................5 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】.........................................................................8 【题型5：利用平行线性质求角度】.......................................................................................11 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................14 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................18 【题型8：平行线性质的实际应用】.........................................................................................22 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】.........................................................................26 【题型10：命题的判定】..........................................................................................................33 【题型11：利用平移的性质求面积】.....................................................................................35 【题型12：利用平移的性质求长度】......................................................................................39 【题型13：利用平移解决实际问题】...................................................................................40 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 2．如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对顶角相等得出，再结合已知条件得出，最后根据邻补角的定义求解即可． 【详解】解：由对顶角得出， ∵， ∴， ∴． 3．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角相等，利用邻补角互补求角度等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用对顶角相等，结合，求得，再利用邻补角求解即可． 【详解】解：∵与相交于点， ∴， 又， ∴， 即， 又， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的性质，关键是掌握“对顶角相等”这一核心知识点；根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵与是对顶角， ∴， 当增加时，也会增加． 故选：B． 【题型2：垂线段的性质】 1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 2．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 3．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段最短． 根据垂线段最短求出的范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，，点D可以在直线上自由移动， ∴， 只有A选项不在范围内． 故选：A． 4．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂线段最短，两点之间，线段最短，根据垂线段最短；两点之间，线段最短解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据垂线段最短，两点之间，线段最短可得：四种方案中最节省材料的是， 故选：． 【题型3：点到直线的距离】 1．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，理解到的距离为是解题的关键． 根据点到直线的距离，垂线段最短即可求解． 【详解】解：，，， 到的距离为， 点是边上的动点， 则的长不可能是． 故选A． 2．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 3．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 4．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 【答案】B 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握相关内容是解题的关键； 逐一分析各选项所述是否符合点到直线距离的定义． 【详解】解：A、点C到直线的距离为过点C作的垂线段即AC的长度，则点C到直线的距离为5，错误，不符合题意； B、根据定义，点A到直线的距离为AB的长4，正确，符合题意； C、根据定义，点C到AB的距离为线段BC的长为3，错误，不符合题意； D、根据定义，点B到AC的距离为：，错误，不符合题意； 故选：B． 5．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 【答案】C 【分析】本题考查的是点到直线的距离，熟知直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，是解答此题的关键．根据点到直线距离的定义进行解答即可． 【详解】解：∵A、B、C为直线l上三点，，且， ∴根据垂线段最短得出P到直线l的距离是不大于． 故选：C． 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查了内错角，同位角，同旁内角的定义，以及对顶角的定义，解决本题的关键是熟练掌握以上相关角的定义． 根据内错角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线两侧，且夹在两条被截直线之间，这样的一对角即为内错角；同位角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，又在被截两直线的同一侧，这样的一对角即为同位角；同旁内角，即两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线同旁，并且都在被截两直线之间，这样的一对角即为同旁内角；对顶角，即一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，这样的一对角即为对顶角；由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． 故选：A ． 2．下列各图中，和是同位角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角的概念，熟练掌握同位角的概念是解题的关键； 根据同位角的概念分析是否为同位角即可． 【详解】解：已知同位角的定义：两条直线被第三条直线所截时，在截线同侧，且在被截两直线同一方向的位置上形成的两个角； A、两角不在截线同侧，不是同位角，不符合题意； B、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； C、符合同位角定义，符合题意； D、图中所标两角不是两条直线被第三条直线所截得到的，不符合题意； 故选：C ． 3．如图，直线，被直线所截，则下列说法中不正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，关键是掌握同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形．根据对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、与是邻补角，正确，本选项不符合题意； B、与是对顶角，正确，本选项不符合题意； C、与不是内错角，原说法错误，本选项符合题意； D、与是同位角，正确，本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角．根据同旁内角的概念即可得到与是同旁内角． 【详解】解：与都在直线a、b之间，且它们都在直线c的同侧， 的同旁内角是． 故选：B． 5．如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】D 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，同位角、内错角、同旁内角都是两直线被第三条直线所截形成的具有特殊位置关系的角，解决本题的关键是判断这两个角是由哪两条直线被第三条直线所截形成的． 【详解】解：A选项：与是直线和直线被直线所截形成的同旁内角，故A选项判断正确，不符合题意； B选项：与是直线和直线被直线所截形成的内错角，故B选项判断正确，不符合题意； C选项：与是直线和直线被直线所截形成的同位角，故C选项判断正确，不符合题意； D选项：与不是两直线被第三条直线所截形成的有特殊位置关系的角，故D选项判断错误，符合题意． 故选：D． 【题型5：利用平行线性质求角度】 1．如图， ，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，， ∴， ∵ ∴． 2．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 3．如图，直线分别与直线、交于点、，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过平行线的性质找到与相关的角，再利用邻补角的互补关系计算的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 4．如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，即可解答． 【详解】解：， ∴，， ， 故选：C． 5．如图，，直线交于点，直线，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质和垂直的性质．根据平行线的性质，得到，进而求出的度数，最后根据垂直的性质即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 故选：． 6．如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查根据平行线的判定和性质求角的度数．作直线，根据“两直线平行，同旁内角互补”可得，再根据“两直线平行，同位角相等”即可求解． 【详解】解：如图，作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 故选：C． 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【详解】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 2．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的性质，平行公理推论，过点作，且点在点的右侧，则，进而得，，由此得，再根据，即可得出的度数，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，且点在点的右侧，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 故选：． 3．一副三角板如图摆放，三角板的斜边与三角板的直角边相交于点，点在直角边上，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．由题意可知，则由平行线的性质可得，求得，从而可求的度数． 【详解】解：由题意得， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 4．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的内角和、对顶角、角平分线与平行线的性质．准确识图，熟练利用角平分线和三角形内角和，平行线的性质是解题的关键． 根据三角板的特性及角平分线与三角形的内角和求出的大小，再由平行线的性质求解即可． 【详解】解：在含角的三角板中，， ∵为平分线， ∴， 由三角形的内角和可得，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 5．如图，直线，一个直角三角板，其中，将三角板按如图所示方式放置，顶点，分别落在直线，上，是角平分线，则的度数为（   ） A．45° B．35° C．30° D．25° 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角板中角度计算问题，角平分线的有关计算，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握三角板中角度计算问题是解题的关键．／ 由角平分线的定义可得，由两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，然后由角的和差关系可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：是的角平分线， ， ， ， ， ， 故选：． 6．如图，将直角三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点()在直尺的一边上，若则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，可得∠3=∠1=65°，然后用90°减去∠3的度数，求出∠2的度数等于多少即可． 【详解】解：如图， ∵两条平行线被第三条直线所截，同位角相等， ∴∠3=∠1=65°， 又∵∠2+∠3=∠ACB=90°， ∴∠2=90°-65°=25°， 即∠2的度数等于25°． 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意． 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】 1．将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的计算，解题的关键是理解折痕是角平分线．利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】解：四边形是长方形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 故选：A． 2.如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解： ， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ， ， 故选：B． 3．将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，，再根据折叠可知即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，延长至， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴，即， 故选：D． 4．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，由折叠的性质可得，从而求得，再根据平行线的性质定理求出，再根据平行线性质定理求出，再根据折叠的性质及平角定义求解即可． 【详解】解：如图，延长，由折叠的性质，可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 根据折叠的性质得，． 故选：C． 5．如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则为（    ） A．30° B．28° C．29° D．26° 【答案】C 【分析】由 AE平行BD，可得∠AED=∠ADB=32°，可求∠BAE=122°，由折叠，可得∠BAF=∠EAF，可求∠EAF=61°即可 【详解】∵AE//BD， ∴∠AED=∠ADB=32°， ∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+32°=122°， ∵折叠， ∴∠BAF=∠EAF， ∴2∠EAF=∠BAE=122° ∴∠EAF=61° ∴∠DAF=∠EAF-∠EAD=61°-32°=29° 故选择C 【点睛】本题考查平行线性质，掌握折叠性质，平行线性质是解题关键． 【题型8：平行线性质的实际应用】 1．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查平行线的性质，方位角．根据两直线平行，同旁内角互补列式进行计算即可得解． 【详解】解：如图 由题意得，， ∴，即， ∴， 故选：C． 3．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，解题的关键是通过作辅助线构造平行线，利用“两直线平行，同旁内角互补”的性质进行角度计算． 【详解】解：如图，过点作，    ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 故选：B． 4．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质，由平行线的性质求出的度数，由对顶角定义得，再根据求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等可得，两直线平行，同旁内角互补可得，然后计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键．根据两直线平行，内错角相等得． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：D． 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】 1．请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 2．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 求出，根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：， 理由：平分，， ， ， ， ． 3．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 4．如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见详解 (2) 【分析】本题主要考查了邻补角、平行线的判定与性质等知识， （1）根据题意易得，根据“同位角相等，两直线平行”可得，进而可得，再证明，根据“内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）根据，可得，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 如下图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 5．如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行）与性质定理（两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等）是解题的关键． （1）通过已知角相等的条件，利用等量代换得到内错角相等，从而证明两直线平行． （2）先由（1）的平行结论推出同旁内角互补，再结合角相等的条件证明另一组直线平行，最后利用平行线的性质得到角相等，进而求出角的度数． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 6．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行的判定与性质，熟练掌握平行的判定与性质是解题的关键． （1）由得到，即可得到，再根据等量代换得到即可证明； （2）由平行的性质得到，求出即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ，， ， ， ， ， ． 7．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 【答案】(1)70 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）根据两直线平行，内错角相等求解即可； （2）先求出，结合已知可得出，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可得证； （3）根据平行线的传递性得出，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：70； （2）证明：∵，， ∴， 又， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 8．如图，已知，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，几何图形中角度的计算； （1）根据，得出，进而证明，得出； （2）根据平行线的性质得，进而根据角平分线的定义得出，进而根据平行线的性质得，进而根据垂直的定义即可求解． 【详解】（1）解：与平行，理由如下： （已知）， （同位角相等，两直线平行）， ， ∵， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 【题型10：命题的判定】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 根据线段的性质、平行线的性质、平行公理、垂线的性质，逐项判断命题的真假即可． 【详解】解：两点之间，线段最短，A选项是假命题． 两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，B选项是假命题． 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上则不存在这样的直线， C选项是假命题． 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直， D选项是真命题． 故选：D 2．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 【答案】D 【分析】本题考查命题，判断各命题的真假，A、B、C均为真命题，D命题“同旁内角互补”不一定成立，因此是假命题． 【详解】解：∵对顶角相等，∴A是真命题； ∵如果，则，∴B是真命题； ∵正数总是大于负数，∴C是真命题； ∵同旁内角互补的条件是两直线平行，当两直线不平行时，同旁内角不互补，∴D不总是成立，是假命题． 故选：D． 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．邻补角是互补的角 C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 【答案】A 【分析】本题考查命题的真假，熟练掌握假命题的定义是解题的关键． 根据平行线的性质、邻补角的定义、平行公理的推论，平行线的判定定理判断即可． 【详解】解：选项A、同旁内角互补的前提是两直线平行，否则不一定成立，则A是假命题； 选项B、邻补角定义是相邻且互补的角，则B是真命题； 选项C、平行线具有传递性：若，，则，则C是真命题； 选项D、 在同一平面内，若，，则，则D是真命题， 故选：A． 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质与判定、平方根的概念，解题的关键在于准确掌握定理与概念． 【详解】解：A：两条直线被第三条直线所截，只有两直线平行时同旁内角才互补，否则不一定，此选项不符合题意； B：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，而不是垂直，是假命题，此选项不符合题意； C：两直线平行，内错角相等，这是平行线的性质，是真命题，此选项符合题意； D：若，则b的平方根有正负两个值，并非所有b的平方根都大于a的平方根，是假命题，此选项不符合题意． 故选：C． 【题型11：利用平移的性质求面积】 1．如图，原来是完全重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿着方向平移的距离，就得到此图形，则阴影部分面积是（    ）平方厘米． A．24 B．20 C．32.5 D．60 【答案】C 【分析】主要考查平移的性质及图形的面积，理解题意，掌握平移的性质是解题关键．根据平移的性质可判断，，求出，根据平移得出，说明，即可得出答案． 【详解】解：根据平移可知，，， ∴， ∵原来是重叠的两个直角三角形，将其中一个三角形沿着方向平移线段的距离，就得到此图形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得，绿化区的面积是． 故选：B． 3．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平移的性质，根据平移后得到半圆所扫过的面积（阴影部分）恰好边长为的正方形进行解答即可． 【详解】解：∵平移后阴影部分的面积恰好是边长为的正方形， ∴． 故选：B． 4．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质、平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题关键．先根据平移的性质可得，，，，再根据平移的性质可得，从而可得四边形和四边形都是直角梯形，然后根据图中阴影部分的面积等于直角梯形的面积求解即可得． 【详解】解：由图可知，在直角梯形中，， 由平移的性质可知，，，，， ∴， ∴四边形和四边形都是直角梯形， ∵， ∴， ∵， ∴图中阴影部分的面积为 ， 故选：B． 5．如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用平移把草坪变为矩形是本题的关键．利用平移可把草坪把为一个长为，宽为的矩形，从而根据题中的等量关系即可得出方程． 【详解】解：利用平移，原图可转化为，如图所示， 设小路宽为x米， 根据题意得：， 故选：C． 【题型12：利用平移的性质求长度】 1．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】对于本题，重点把握平移的不变性，即对应边相等． 由平移的性质得到，，，再根据四边形的周长求解即可． 【详解】解：将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到， ，，， 四边形的周长． 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质．根据平移的性质可得，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ 故选：C． 3．如图，三角形的周长为10，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3个单位长度到三角形的位置，则五边形的周长为 ． 【答案】16 【分析】根据平移的性质得到，，再将五边形的五条边相加即可得到周长． 【详解】解：根据题意得：，， 三角形的周长为10， ， ， 五边形的周长， 故答案为：16． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状大小完全相同，各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 【题型13：利用平移解决实际问题】 1．某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 【答案】80 【分析】根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和，进而得出答案． 【详解】解：根据图形得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和， ∵荷塘中小桥的总长为40米， ∴荷塘周长为：2×40=80(米) 故答案为：80． 【点睛】本题主要考查了生活中的平移现象，得出荷塘中小桥的总长为矩形的长与宽的和是解题关键． 2．如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．    【答案】2000 【分析】本题要看图解答．从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后可求出面积． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为，这个长方形的宽为：， 因此，草坪的面积平方米． 故答案为：2000． 【点睛】此题主要考查了平移的性质的应用，有一定的思维含量，得出草坪正好拼成长方形是解题的关键． 3．如图，某大酒店在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价35元．楼梯宽2米，则地毯的长度为 米，购买这种地毯至少需 元．    【答案】 9 630 【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形， 再求得其面积， 则购买地毯的钱数可求. 【详解】如图，    利用平移线段，把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，故地毯的长度为米， 地毯的面积为平方米,， 故购买这种地毯至少需元. 故答案为：；. 【点睛】此题考查利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算. 4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟两条等宽的小道，已知小道的宽度都为2米，则种植面积为 平方米． 【答案】540 【分析】本题考查平移的应用，解题的关键是巧妙的运用等积代换．把种植区域平移到长方形的上边和左边，可得种植面积为一个平行四边形，然后根据平行四边形的面积求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 即种植面积为540平方米， 故答案为：540． 5．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据平移的性质可得AD=BE，由，可求出的长，即为平移的距离； (2)根据平移的性质可求出和的长，进一步即可求出结果． 【详解】（1）∵沿方向平移至， ∴． ∵， ∴ ； 即沿方向平移的距离是． （2）由平移的性质可得：， ∵， ∴四边形的周长 ． ∴四边形的周长是． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，属于基本题型，正确理解题意、熟练掌握平移的性质是解题的关键． 6．如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 【答案】(1)一样长，画图见解析 (2) (3)够，理由见解析 【分析】（1）利用平移的性质得出两条线路的长相等； （2）利用出租车收费标准进而得出答案； （3）利用（2）中所求即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示：两条线路一样长； （2）由题意可得：； （3）小丽坐出租车由体育馆到少年宫，钱够， 理由：由（2）得：（元）． ∵， ∴小丽坐出租车由体育馆到少年宫10元够． 【点睛】此题主要考查了代数式求值以及生活中的平移现象，正确得出m与s的函数关系式是解题关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线重难点题型汇编 【题型1：对顶角及其性质】.....................................................................................................1 【题型2：垂线段的性质】......................................................................................................2 【题型3：点到直线的距离】....................................................................................................3 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】.........................................................................5 【题型5：利用平行线性质求角度】.......................................................................................6 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】.........................................................................7 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】............................................................................9 【题型8：平行线性质的实际应用】.........................................................................................10 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】.........................................................................12 【题型10：命题的判定】..........................................................................................................15 【题型11：利用平移的性质求面积】.....................................................................................15 【题型12：利用平移的性质求长度】......................................................................................17 【题型13：利用平移解决实际问题】...................................................................................17 【题型1：对顶角及其性质】 1．下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．王麻子剪刀是北京市的传统工艺品，其锻制技艺被国务院列入第二批国家级非物质文化遗产名录，如图1是王麻子剪刀，把它抽象为图2所示，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，折叠晾衣架展开后，两根支架和交叉于点是支架形成的一个角，如果把晾衣架再撑开一点，让增加，则会（    ） A．减少 B．增加 C．减少 D．增加 【题型2：垂线段的性质】 1．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 2．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 3．如图，在直线外有一点A，，，点D可以在直线上自由移动，的长不可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．如图，河道的一侧有甲、乙两个村庄，现要铺设一条引水管道把河水引向甲、乙两村，下列四种方案中最节省材料的是（    ） A． B． C． D． 【题型3：点到直线的距离】 1．如图，中，，，点P是边上的动点，则长不可能是（   ） A． B． C．6 D．8 2．如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A．B．C． D． 4．如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，，则下列说法正确的是（   ） A．点到直线的距离等于4 B．点到直线的距离等于4 C．点到的距离等于4 D．点到的距离等于3 5．为直线l外一点，是直线l上三点，且，则点到直线l的距离为（   ） A． B． C．不大于 D．不小于 【题型4：同位角，内错角和同旁内角的识别】 1．如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．下列各图中，和是同位角的是（   ） A．B． C． D． 3．如图，直线，被直线所截，则下列说法中不正确的是（   ） A．与是邻补角 B．与是对顶角 C．与是内错角 D．与是同位角 4．如图，直线、被直线所截，与是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，按各组角的位置判断错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【题型5：利用平行线性质求角度】 1．如图， ，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．在两千多年前我们祖先就运用杠杆原理发明了木杆秤，如图，这是在称物时的状态，已知，则的度数是（　　） A．130° B．110° C．70° D．20° 3．如图，直线分别与直线、交于点、，，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，中，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，直线交于点，直线，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型6：利用平行线性质解决三角板问题】 1．如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 2．如图，直尺和三角板摆放在课桌面上，直尺的边缘，三角板中角的顶点在上，直角顶点在上，三角板与直尺边缘形成的，则（   ） A． B． C． D． 3．一副三角板如图摆放，三角板的斜边与三角板的直角边相交于点，点在直角边上，且，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．将一个含角的三角板按照如图所示的方式放置在直尺上，此时，直尺边正好是三角板的角平分线，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．如图，直线，一个直角三角板，其中，将三角板按如图所示方式放置，顶点，分别落在直线，上，是角平分线，则的度数为（   ） A．45° B．35° C．30° D．25° 6．如图，将直角三角板与直尺贴在一起，使三角板的直角顶点()在直尺的一边上，若则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【题型7：利用平行线性质解决折叠问题】 1．将一张长方形纸片沿折叠，折叠后的位置如图所示，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 3．将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，把一个长方形纸条沿折叠，已知，，则为（    ） A．30° B．28° C．29° D．26° 【题型8：平行线性质的实际应用】 1．如图，这是健身器材上肢牵引器，在自然状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行、抽象成如图所示的几何图形，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在两地间修一条笔直的公路，从地测得公路的走向为北偏东．若两地同时开工，要使公路准确接通，则的度数应为（   ） A． B． C． D． 3．转角式布局的玻璃浴室隔断是浴室常见的干湿分离设施，具有适配性强，通透感好，可以有效阻挡淋浴水花外溅等特点．小明观察玻璃浴室的地面布局，从中抽象出一道数学问题：如图，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 4．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底C处，点D在的延长线上，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 5．太阳灶、卫星信号接收器、探照灯以及其他很多灯具都与抛物线有关．如图，以点O照射到抛物线上的光线，等反射以后沿着与平行的方向射出．如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 6．某市为方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图②是图①共享单车示意图，．已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型9：利用平行线的判定与性质的综合】 1．请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 2．如图，已知平分，且，，判断和是否平行，并说明理由． 3．如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 4．如图，，，． (1)探究与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 5．如图，点D、B分别在AE、FC上，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 6．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 7．如图，点是上一点，，，，． (1)___________； (2)求证：直线； (3)若，求的度数． 8．如图，已知，． (1)与有怎样的位置关系？请说明理由； (2)若平分，于点，，求的度数． 【题型10：命题的判定】 1．下列命题是真命题的是（    ） A．两点之间，直线最短 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．下列命题是假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．如果，那么 C．正数大于负数 D．同旁内角互补 3．下列命题中是假命题的是（   ） A．同旁内角互补 B．邻补角是互补的角 C．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 D．已知a，b，c是同一平面内三条不同的直线，若，，则 4．下列命题中，是真命题的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C．两直线平行，内错角相等 D．若，则b的平方根大于a的平方根 【题型11：利用平移的性质求面积】 1．如图，原来是完全重叠的两个直角三角形，将其中一个直角三角形沿着方向平移的距离，就得到此图形，则阴影部分面积是（    ）平方厘米． A．24 B．20 C．32.5 D．60 2．如图是校园内一块长为，宽为的长方形空地，中间设计一条宽为的弯曲道路，其余部分为绿化区，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D． 3．如图，将直径为的半圆水平向左平移，则半圆所扫过的面积（阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 4．如图，将直角梯形平移得直角梯形，若，，，则图中阴影部分的面积（   ） A．30 B．36 C．60 D．72 5．如图，在宽为，长为的矩形地面上修同样宽的小路（阴影部分），余下的部分种上草，要使草坪的面积为，求小路的宽，若设小路的宽为，则根据题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型12：利用平移的性质求长度】 1．如图，将边长为2个单位长度的等边沿边向右平移1个单位长度得到，则四边形的周长是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 3．如图，三角形的周长为10，为边上一点，将三角形沿着射线的方向平移3个单位长度到三角形的位置，则五边形的周长为 ． 【题型13：利用平移解决实际问题】 1．某景点拟在如图所示的长方形荷塘上架设小桥，若荷塘中小桥的总长为40米，则荷塘周长为 米． 2．如图，是一块长方形的场地，长，宽．从A，B两处入口的小路宽都为1m，两条小路汇合处宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为 ．    3．如图，某大酒店在装修时，准备在主楼梯上铺上红地毯，已知这种地毯每平方米售价35元．楼梯宽2米，则地毯的长度为 米，购买这种地毯至少需 元．    4．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长32米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟两条等宽的小道，已知小道的宽度都为2米，则种植面积为 平方米． 5．如图，在中，，，，沿方向平移至，若，．求：    (1)沿方向平移的距离； (2)四边形的周长． 6．如图，粗线和细线是公交车从少年宫A到体育馆B的两条行驶路线． (1)比较两条线路的长短（简要在右图上画出比较的痕迹）； (2)小丽坐出租车由体育馆B到少年宫A，假设出租车的收费标准为：起步价为7元，3千米以后每千米元，用代数式表示出租车的收费m元与行驶路程千米之间的关系； (3)如果这段路程长千米，小丽身上有10元钱，够不够小丽坐出租车由体育馆到少年宫呢？说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $