8.2特殊的平行四边形（第3课时正方形）同步培优讲义（4知识点+16大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

8.2特殊的平行四边形（第3课时 正方形）同步培优讲义 （4知识点+16大题型+过关检测） 目录 【知识点1 正方形的定义】 1 【知识点2 正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系】 2 【知识点3 正方形的性质】 2 【知识点4 正方形的判定方法】 3 【知识点5 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 3 【题型1 正方形的性质】 3 【题型2 根据正方形的性质求角度】 4 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 6 【题型4 根据正方形的性质求面积】 9 【题型5 正方形折叠问题】 12 【题型6 求正方形重叠部分面积】 16 【题型7 根据正方形的性质证明】 20 【题型8 正方形的判定定理理解】 23 【题型9 证明四边形是正方形】 25 【题型10 添一个条件使四边形是正方形】 27 【题型11 根据正方形的性质与判定证明】 29 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 39 【题型13 根据正方形的性质与判定求线段长】 43 【题型14 根据正方形的性质与判定求面积】 51 【题型15 正方形的动点问题】 56 【题型16 正方形中的线段最值问题】 62 1. 理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系，知道正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，也是特殊的平行四边形。 2. 掌握正方形的性质（边、角、对角线、对称性），能熟练运用正方形的性质求角度、线段长度、面积，解决折叠、重叠面积等相关问题。 3. 掌握正方形的判定方法，理解判定定理的内涵，能准确区分正方形与矩形、菱形的判定条件，能灵活证明一个四边形是正方形。 03 知识•梳理 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 关键说明：① 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形（兼具三者的性质）；② 核心特征：一组邻边相等 + 一个角是直角（同时满足菱形和矩形的核心特征）。 【知识点2 正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系】 1. 从属关系：正方形 包含于 矩形 包含于平行四边形；正方形 包含于 菱形 包含于 平行四边形； 2. 区别：① 矩形：有一个角是直角的平行四边形（无邻边相等要求）；② 菱形：有一组邻边相等的平行四边形（无直角要求）；③ 正方形：同时满足“矩形+菱形”的条件。 【知识点3 正方形的性质】 1. 边的性质 正方形的四条边都相等（继承菱形的性质），且对边平行（继承平行四边形的性质）。 2. 角的性质 正方形的四个角都是直角（继承矩形的性质），且邻角互补、对角相等（继承平行四边形的性质）。 3. 对角线的性质（正方形独有的综合性质） 正方形的对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 补充：① 对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形（常用解题辅助）；② 对角线与边长的关系：设正方形边长为a，对角线长为（由勾股定理推导）。 4. 对称性 ① 轴对称图形：有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边的垂直平分线）；② 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点。 5. 面积公式（重点，三种常用方法） · 方法1（通用）：面积 = 底 × 高（底和高都等于正方形的边长，即面积 = 边长×边长 = ）； · 方法2（继承菱形）：面积 = × 对角线乘积（设两条对角线长为、，正方形对角线相等，故，面积，d为对角线长）； · 方法3（折叠/重叠问题常用）：面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积（或分割成多个图形面积和）。 【知识点4 正方形的判定方法】 1. 定义法（最基础）：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 2. 矩形判定法：有一组邻边相等的矩形是正方形（先证矩形，再证邻边相等）； 3. 菱形判定法：有一个角是直角的菱形是正方形（先证菱形，再证一个角是直角）； 4. 对角线判定法：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形（同时满足平行四边形、矩形、菱形的对角线条件）。 【知识点5 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 04 题型•汇总 【题型1 正方形的性质】 解题关键：牢记正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，明确边、角、对角线的核心特征，能准确区分正方形与其他特殊平行四边形的性质差异。 【典例1】．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 跟随训练1-1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 跟随训练1-2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四条边相等 【题型2 根据正方形的性质求角度】 解题关键：利用正方形“四个角都是直角、对角线平分一组对角”的性质，结合等腰直角三角形的角度特征（45°、90°），转化求解未知角。 【典例2】．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 解题关键：利用正方形“四条边相等、对角线互相垂直平分且相等”的性质，结合勾股定理、对角线与边长的关系（），求解边长、对角线长度等。 【典例3】．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 跟随训练3-1．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 跟随训练3-2．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【题型4 根据正方形的性质求面积】 解题关键：根据已知条件（边长、对角线），选择合适的面积公式（边长²、×对角线²），直接或转化求解面积。 【典例4】．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 跟随训练4-2．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【题型5 正方形折叠问题】 解题关键：牢记折叠前后“对应边相等、对应角相等、图形全等”，结合正方形的性质，转化线段和角的关系，利用勾股定理求解未知量。 【典例5】．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 跟随训练5-1．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 跟随训练5-2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【题型6 求正方形重叠部分面积】 解题关键：先判断重叠部分的图形形状（多为等腰直角三角形、正方形），再结合正方形的性质、全等三角形，转化边长，求解面积。 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 跟随训练6-1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 跟随训练6-2．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【题型7 根据正方形的性质证明】 解题关键：紧扣正方形的性质（边、角、对角线），结合全等三角形、等腰直角三角形等知识，逻辑连贯地完成证明，每一步标注依据。 【典例7】．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 跟随训练7-1．如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 跟随训练7-2．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【题型8 正方形的判定定理理解】 解题关键：明确正方形的4种判定方法，理解每种方法的前提条件（平行四边形、矩形、菱形），能准确判断判定语句的正误。 【典例8】．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 跟随训练8-1．下列命题正确的是（   ） A．有三个角是直角的平行四边形是正方形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 跟随训练8-2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 【题型9 证明四边形是正方形】 解题关键：选择合适的判定方法（优先用定义法、矩形/菱形判定法），先证明四边形是平行四边形、矩形或菱形，再补充条件证明为正方形，逻辑完整。 【典例9】．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 跟随训练9-1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 跟随训练9-2．四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【题型10 添一个条件使四边形是正方形】 解题关键：结合正方形的判定方法，根据已知条件（平行四边形、矩形、菱形），添加符合要求的条件，不重复、不多余，确保条件能判定为正方形。 【典例10】．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-1．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练10-2．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【题型11 根据正方形的性质与判定证明】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是正方形，再利用正方形的性质进行后续证明；或先利用正方形的性质推导条件，再证明其他结论，逻辑连贯。 【典例11】．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 跟随训练11-1．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 跟随训练11-2．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是正方形，再利用正方形的性质（四个角都是直角、对角线平分一组对角），结合等腰直角三角形的角度特征，求解未知角。 【典例12】．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 跟随训练12-1．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 跟随训练12-2．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【题型13 根据正方形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是正方形，再利用正方形“四条边相等、对角线与边长的关系”，结合勾股定理，求解线段长度。 【典例13】．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 跟随训练13-1．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点（不与点重合），以为斜边作等腰直角，点、在的两侧． (1)线段的长为__________， (2)当时，求线段的长． (3)当时，求线段的长． (4)连接，当线段最短时，此时__________，__________． 跟随训练13-2．如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点． (1)设，求证：； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围． 【题型14 根据正方形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是正方形，再根据已知条件（边长、对角线），选择合适的面积公式，求解面积。 【典例14】．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 跟随训练14-1．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 跟随训练14-2．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【题型15 正方形的动点问题】 解题关键：明确动点运动轨迹和速度，结合正方形的性质、勾股定理，用含动点运动时间t的代数式表示相关线段，结合题意列方程求解，注意动点运动范围（不超出正方形边长）。 【典例15】．如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 跟随训练15-1．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 跟随训练15-2．如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 【题型16 正方形中的线段最值问题】 解题关键：利用正方形的对称性、垂线段最短、两点之间线段最短等原理，转化线段（如找对称点），求解线段的最大值或最小值。 【典例16】．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 跟随训练16-1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 跟随训练16-2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 05 过关•检测 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 4．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 6．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 7．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 8．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是__________形． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 11．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则________°． 12．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 13．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 14．如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有______．（填序号） 15．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 16．如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 17．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 18．四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． 19．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 20．【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形（第3课时 正方形）同步培优讲义 （4知识点+16大题型+过关检测） 目录 【知识点1 正方形的定义】 1 【知识点2 正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系】 2 【知识点3 正方形的性质】 2 【知识点4 正方形的判定方法】 3 【知识点5 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 3 【题型1 正方形的性质】 3 【题型2 根据正方形的性质求角度】 4 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 6 【题型4 根据正方形的性质求面积】 9 【题型5 正方形折叠问题】 12 【题型6 求正方形重叠部分面积】 16 【题型7 根据正方形的性质证明】 20 【题型8 正方形的判定定理理解】 23 【题型9 证明四边形是正方形】 25 【题型10 添一个条件使四边形是正方形】 27 【题型11 根据正方形的性质与判定证明】 29 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 39 【题型13 根据正方形的性质与判定求线段长】 43 【题型14 根据正方形的性质与判定求面积】 51 【题型15 正方形的动点问题】 56 【题型16 正方形中的线段最值问题】 62 1. 理解正方形的定义，明确正方形与平行四边形、矩形、菱形的区别与联系，知道正方形是特殊的矩形、特殊的菱形，也是特殊的平行四边形。 2. 掌握正方形的性质（边、角、对角线、对称性），能熟练运用正方形的性质求角度、线段长度、面积，解决折叠、重叠面积等相关问题。 3. 掌握正方形的判定方法，理解判定定理的内涵，能准确区分正方形与矩形、菱形的判定条件，能灵活证明一个四边形是正方形。 03 知识•梳理 【知识点1 正方形的定义】 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 关键说明：① 正方形是特殊的平行四边形、特殊的矩形、特殊的菱形（兼具三者的性质）；② 核心特征：一组邻边相等 + 一个角是直角（同时满足菱形和矩形的核心特征）。 【知识点2 正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系】 1. 从属关系：正方形 包含于 矩形 包含于平行四边形；正方形 包含于 菱形 包含于 平行四边形； 2. 区别：① 矩形：有一个角是直角的平行四边形（无邻边相等要求）；② 菱形：有一组邻边相等的平行四边形（无直角要求）；③ 正方形：同时满足“矩形+菱形”的条件。 【知识点3 正方形的性质】 1. 边的性质 正方形的四条边都相等（继承菱形的性质），且对边平行（继承平行四边形的性质）。 2. 角的性质 正方形的四个角都是直角（继承矩形的性质），且邻角互补、对角相等（继承平行四边形的性质）。 3. 对角线的性质（正方形独有的综合性质） 正方形的对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角。 补充：① 对角线将正方形分成4个全等的等腰直角三角形（常用解题辅助）；② 对角线与边长的关系：设正方形边长为a，对角线长为（由勾股定理推导）。 4. 对称性 ① 轴对称图形：有4条对称轴（两条对角线所在直线、两组对边的垂直平分线）；② 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点。 5. 面积公式（重点，三种常用方法） · 方法1（通用）：面积 = 底 × 高（底和高都等于正方形的边长，即面积 = 边长×边长 = ）； · 方法2（继承菱形）：面积 = × 对角线乘积（设两条对角线长为、，正方形对角线相等，故，面积，d为对角线长）； · 方法3（折叠/重叠问题常用）：面积 = 大正方形面积 - 空白部分面积（或分割成多个图形面积和）。 【知识点4 正方形的判定方法】 1. 定义法（最基础）：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形； 2. 矩形判定法：有一组邻边相等的矩形是正方形（先证矩形，再证邻边相等）； 3. 菱形判定法：有一个角是直角的菱形是正方形（先证菱形，再证一个角是直角）； 4. 对角线判定法：对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形（同时满足平行四边形、矩形、菱形的对角线条件）。 【知识点5 顺次连接特殊的平行四边形各边中点得到的四边形的形状】 （1）顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形. （2）顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形. （3）顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形. （4）顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形. 要点诠释：新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成. （1）若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形. （2）若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形. （3）若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形. 04 题型•汇总 【题型1 正方形的性质】 解题关键：牢记正方形兼具平行四边形、矩形、菱形的所有性质，明确边、角、对角线的核心特征，能准确区分正方形与其他特殊平行四边形的性质差异。 【典例1】．下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（    ） A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【分析】本题考查特殊四边形的对角线性质，根据平行四边形、正方形、菱形、矩形的对角线特征来逐一判断选项即可． 【详解】解：A.平行四边形的对角线互相平分，但不一定相等且垂直，A选项不符合题意； B.正方形的对角线相等且互相垂直平分，B选项符合题意； C.菱形的对角线互相垂直平分，但不一定相等，C选项不符合题意． D.矩形的对角线相等且互相平分，但不一定垂直，D选项不符合题意． 故选：B． 跟随训练1-1．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（   ） A．四条边都相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查的是正方形及菱形的性质，熟练掌握正方形及菱形的性质是解题关键，选项A、C和D是菱形的必然性质，故排除；选项B是菱形不一定具有的，对角线相等是正方形特有而菱形不一定具有的性质据此得出结论． 【详解】解：∵正方形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等（只有正方形时相等）， ∴正方形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等． 故选：B． 跟随训练1-2．正方形具有而矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相平分 C．对角线相等 D．四条边相等 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质、正方形的性质，根据矩形的性质和正方形的性质即可求解． 【详解】解：矩形的性质：两组对边平行且相等，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角； 正方形的性质：四边都相等且两组对边相互平行，对角线相等且相互平分，四个角都相等且都是直角， 正方形的四边都相等，是矩形不一定具有的， 故选：D． 【题型2 根据正方形的性质求角度】 解题关键：利用正方形“四个角都是直角、对角线平分一组对角”的性质，结合等腰直角三角形的角度特征（45°、90°），转化求解未知角。 【典例2】．如图，正方形的对角线相交于点O，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形为正方形，得到，平分，即可求出． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，平分， ∴． 跟随训练2-1．如图，四边形是正方形，是等边三角形，连接，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形，等边三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识是解题的关键． 首先由正方形的性质得到，，，然后由等边三角形的性质得到，，推出，，然后利用等腰三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 跟随训练2-2．如图，有一个和一个正方形，其中点在边上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形和正方形的性质，由三角形内角和定理求出的度数是解决问题的关键.由平角的定义求出的度数，由三角形内角和定理求出的度数，再由平行四边形的同旁内角互补即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴． 故选：C． 【题型3 根据正方形的性质求线段长】 解题关键：利用正方形“四条边相等、对角线互相垂直平分且相等”的性质，结合勾股定理、对角线与边长的关系（），求解边长、对角线长度等。 【典例3】．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 跟随训练3-1．如图，在正方形中，，是的中点，点是正方形内一动点，且，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长的最小值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形性质，勾股定理，旋转性质，全等三角形的判定和性质． 连接，由，，得，得的最小值为，由旋转性质和正方形性质证明，得，即得的最小值 【详解】解：连接， ∵正方形中，，且， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵点是正方形内一动点，且， ∴点E是在以点G为圆心，以长为半径的半圆上运动， ∴， ∴当点E在上时，，取得最小值， 由旋转知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：D． 跟随训练3-2．如图，我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的1个小正方形拼成的1个大正方形．若大正方形的面积为23，小正方形的面积为3，直角三角形的两直角边长为a，b，则的值为（   ） A．43 B．45 C．46 D．49 【答案】A 【分析】根据正方形的面积的计算方法，勾股定理可得，四个三角形的面积为，可求出的值，将变形后，代入求值即可求解． 【详解】解：∵大正方形的面积是23，小正方形的面积是3，直角三角形的两直角边长分别为a，b， ∴， ∴四个全等的三角形的面积为， ∴， 解得， ∵， ∴的值是43， 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的证明，正方形的性质，三角形的面积，掌握勾股定理的计算，正方形，全等三角形面积的关系是解题的关键． 【题型4 根据正方形的性质求面积】 解题关键：根据已知条件（边长、对角线），选择合适的面积公式（边长²、×对角线²），直接或转化求解面积。 【典例4】．如图所示，从一个大正方形中裁掉面积为20和90的两个小正方形，则余下部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y，根据题意，得，，，解答即可． 本题考查了正方形的性质，算术平方根的计算，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设面积为20和90的两个小正方形的边长分别为x，y， 根据题意，得，，， 故， 故， 故剩余图形的面积为， 故选：C． 跟随训练4-1．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若，，则（   ） A．50 B．60 C．100 D．110 【答案】B 【分析】连接，即可利用勾股定理的几何意义解答． 本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边． 【详解】解：连接，根据勾股定理，得， 由正方形的性质，得， 故， 又，， 则， 故选：B． 跟随训练4-2．如图，点在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．36 B．32 C．16 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理解三角形等知识点，熟练掌握判定的方法是解题的关键． 过点作于点，于点，证出，得到，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】过点作于点，于点，如图所示： ∵四边形是正方形，且边长为， ∴，，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴正方形的面积为：， ∴， 故选：C． 【题型5 正方形折叠问题】 解题关键：牢记折叠前后“对应边相等、对应角相等、图形全等”，结合正方形的性质，转化线段和角的关系，利用勾股定理求解未知量。 【典例5】．如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 跟随训练5-1．如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，则（   ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故选：D 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 跟随训练5-2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、正方形的判定与性质、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 由第一次折叠可知，，则四边形为正方形，，，由第二次折叠可知，利用平行线的性质得，于是可得，由等边对等角得，以此即可求解． 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 【题型6 求正方形重叠部分面积】 解题关键：先判断重叠部分的图形形状（多为等腰直角三角形、正方形），再结合正方形的性质、全等三角形，转化边长，求解面积。 【典例6】．如图，有大小不同的2个正方形A和B，当B的对角线交点与A的一个顶点重合时，重叠部分的面积是A的，那么当A的对角线交点与B的一个顶点重合时，重叠部分的面积是B的（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及到正方形性质的应用，正确认识图形是解题的关键． 根据题意，结合图形，先得到图1中，结合已知条件，得到，结合图2，得到结果． 【详解】解∶如图，设正方形的面积为，正方形的面积为，图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为， ∵图1中，，，， ∴（）， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理，图2中，， ∴， 即当的对角线交点与的一个顶点重合时，重叠部分的面积是的， 故选∶． 跟随训练6-1．已知正方形纸片和的面积分别为，．如图①，先将正方形纸片的顶点A放置在正方形纸片的对称中心O处，此时重叠部分的面积为；如图②，再将正方形纸片的顶点H放置在正方形纸片的对称中心处，此时重叠部分的面积为．若，则等于（    ） A． B． C．4 D．9 【答案】A 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，连接，设交于点，交于点，证明，推出，同理推出，进而求出即可． 【详解】解：连接，设交于点，交于点， ∵正方形，正方形，点为正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 跟随训练6-2．如图所示：正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长相等，若正方形的边长为4，则两个正方形重叠部分的面积为（    ） A．16 B．8 C．4 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握相关知识点是解题关键．过点作，，和的交点为，和的交点为，根据正方形的性质可证，四边形是正方形，得到，再证明，得到，从而得出两个正方形重叠部分的面积，即可得解． 【详解】解：如图，过点作，，和的交点为，和的交点为， ， 四边形和是正方形， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ，， 四边形是正方形， ，， ，即， 又，， ， ， 两个正方形重叠部分的面积， 故选：C． 【题型7 根据正方形的性质证明】 解题关键：紧扣正方形的性质（边、角、对角线），结合全等三角形、等腰直角三角形等知识，逻辑连贯地完成证明，每一步标注依据。 【典例7】．下列关于正方形对角线的结论中，错误的是（    ） A．两条对角线互相平分 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．正方形面积等于对角线长的平方 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，根据正方形的性质，勾股定理逐一排除即可，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：、正方形的两条对角线互相平分，该选项正确，不符合题意； 、正方形的两条对角线相等，该选项正确，不符合题意； 、两条对角线互相垂直，该选项正确，不符合题意； 、设正方形边长为，对角线， ∴， ∴， ∴面积，即正方形面积等于对角线长平方的一半，该选项错误，符合题意； 故选：． 跟随训练7-1．如图，在正方形中，点在边上，将以点为中心逆时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，延长与边相交于点，连接，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，先根据正方形的性质和旋转的性质得到，，，然后根据得到，即可得到证明选项． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由旋转可得， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 故选：B． 跟随训练7-2．如图，正方形中，点、分别在、上，是等边三角形，连接交于，下列结论：①，②，③垂直平分，④，⑤．其中正确结论有（   ）个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】通过条件可以得出，从而得出，，由正方形的性质就可以得出，就可以得出垂直平分，设，由勾股定理就可以得出与，利用三角形的面积公式分别表示出和，再通过比较大小就可以得出结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴（）， ∴，故①正确； ∵， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴−−，即， ∵， ∴垂直平分，故③正确； ∴， 设，由勾股定理，得，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴−， ∴，故④错误； ∵，， ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③⑤，共个． 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理的运用，等边三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答本题时运用勾股定理的性质是解题的关键． 【题型8 正方形的判定定理理解】 解题关键：明确正方形的4种判定方法，理解每种方法的前提条件（平行四边形、矩形、菱形），能准确判断判定语句的正误。 【典例8】．在复习特殊的平行四边形时， 某小组同学画出了如下关系图， 组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（    ） A．①，对角相等 B．②，对角线互相垂直 C．③，有一组邻边相等 D．④，有一个角是直角 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、矩形和菱形、正方形的判定，根据平行四边形的性质和矩形、菱形、正方形的判定定理，对它们之间转换的条件一一进行分析，即可得出结果． 【详解】解：A、①，对角相等的平行四边形，不一定是矩形，故该转换条件填写错误，符合题意； B、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意； C、③，有一组邻边相等的矩形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意； 故选：A． 跟随训练8-1．下列命题正确的是（   ） A．有三个角是直角的平行四边形是正方形 B．一组邻边相等的四边形是菱形 C．有一个角是直角的平行四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，矩形、菱形、正方形的判定定理，需根据各图形的定义和判定条件判断选项正误． 【详解】解：A、有三个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故原命题错误，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故原命题正确，符合题意； D、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意． 故选：C． 跟随训练8-2．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　）． A．①对角相等 B．②对角线互相垂直 C．③有一条对角线平分一组对角 D．④对角线相等 【答案】A 【分析】本题考查矩形，菱形，正方形的判定，关键是熟练掌握矩形，菱形，正方形的判定方法．由矩形，菱形，正方形的判定，即可判断． 【详解】解：平行四边形的对角相等，故①错误； 对角线垂直的平行四边形是菱形，故②正确： 有一条对角线平分一组对角的矩形是正方形，故③正确； 对角线相等的菱形是正方形，故④正确， 故选：A． 【题型9 证明四边形是正方形】 解题关键：选择合适的判定方法（优先用定义法、矩形/菱形判定法），先证明四边形是平行四边形、矩形或菱形，再补充条件证明为正方形，逻辑完整。 【典例9】．若四边形的对角线互相垂直平分且相等，则它一定是（   ）． A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．以上说法均不正确 【答案】B 【分析】本题考查了特殊四边形的判定，掌握平行四边形、菱形、矩形和正方形的判定方法是关键． 根据对角线互相平分可得四边形为平行四边形，再结合垂直可得菱形，最后对角线相等可得正方形． 【详解】解：∵ 四边形的对角线互相平分，   ∴ 该四边形是平行四边形， ∵ 平行四边形的对角线互相垂直， ∴ 该平行四边形是菱形， ∵ 菱形的对角线相等，   ∴ 该菱形是正方形． 故选：B． 跟随训练9-1．如图，有下列条件：，；③，；④，，其中，能判定是正方形的有（   ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定，熟练掌握平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定是解题的关键．根据平行四边形的性质，矩形、菱形以及正方形的判定方法对各组条件进行判断即可得出答案． 【详解】解：①，   根据有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ②，； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ③，； 由是平行四边形，可得与互相平分，而， 所以，对角线相等的平行四边形是矩形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确； ④，， 由，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得是菱形； 由是平行四边形，可得与互相平分，，则， 所以，又对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形是正方形，能判定是正方形，故此选项正确． 则①②③④均能判定是正方形． 故选：D． 跟随训练9-2．四边形中，、相交于点O，能判别这个四边形是正方形的条件是（　　） A．，， B．， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题是考查正方形的判定，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念．途径有两种∶①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．根据正方形的判定∶对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形进行分析从而得到最后的答案． 【详解】解：A：，， 四边形为平行四边形． ， 对角线相等，为矩形，但无邻边相等或垂直，故A不符合题意；． B：， 四边形可能为平行四边形． ，为平行四边形性质，无额外条件，不能判定为正方形．故B不符合题意． C：， 且O为对角线中点． 四边形为平行四边形且对角线相等，为矩形． ， 对角线垂直． 矩形变为正方形．故C符合题意； D：，， 四边形为平行四边形． ， 邻边相等，为菱形，但无直角，不能判定为正方形．故D不符合题意．   故选：C 【题型10 添一个条件使四边形是正方形】 解题关键：结合正方形的判定方法，根据已知条件（平行四边形、矩形、菱形），添加符合要求的条件，不重复、不多余，确保条件能判定为正方形。 【典例10】．如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 跟随训练10-1．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 跟随训练10-2．有下列四个条件：①，②，③，④，使为正方形（如图）．现有下列四种选法，其中错误的是（   ） A．②③ B．②④ C．①② D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查正方形的判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．先根据给定条件判断平行四边形是否为矩形或菱形，再结合正方形的判定定理(对角线互相垂直的矩形是正方形、邻边相等的矩形是正方形、对角线相等的菱形是正方形)逐一分析不同条件组合能否判定为正方形，最终得出②③组合不能判定为正方形，其余符合条件的组合可以判定的结论． 【详解】解：A、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以②③组合不能判定为正方形，故此选项错误，符合题意； B、②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； ④矩形的对角线互相垂直说明是正方形(对角线垂直的矩形是正方形)； 所以②④组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； C、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ②平行四边形有一个角是直角，说明是矩形； 所以①②组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； D、①平行四边形一组邻边相等，说明是菱形； ③矩形的对角线本来就相等，不能进一步判定为正方形； 所以①③组合可以判定为正方形，故此选项正确，不符合题意； 根据正方形的判断方法可知：满足条件①②或①③或②④或③④时，四边形是正方形． 故选：A． 【题型11 根据正方形的性质与判定证明】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是正方形，再利用正方形的性质进行后续证明；或先利用正方形的性质推导条件，再证明其他结论，逻辑连贯。 【典例11】．已知，长方形中，，点是线段上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转得到，过作于点，连接，取的中点，连接，．点在运动过程中，下列结论：①；②；③当点和点互相重合时，；④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据旋转性质、矩形性质等条件判断，确定①正确；通过判定四边形是正方形，得到，确定③正确；由题意得到，结合，点是线段上的一个动点，从而确定当运动到点时，最短，，；当运动到点时，最长，，，即可确定，确定④错误；无法证明②正确，综上所述即可得到答案． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和， ， ∴，故①正确； 当互相重合时，如图1所示： ∵是中点，，， ∴是等腰直角三角形，且，， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，故③正确； 过作，交延长线于点，如图3所示： ∵AH平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据四边形内角和为得到， ∵， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴最短时，最短；最长时，最长， 当运动到点时，最短，此时，； 当运动到点时，最长，此时，； ∴，故④错误； 无法证明；故②错误， 综上所述，①③正确， 故选：B． 【点睛】本题综合性强、难度较大，考查较为综合，涉及旋转性质、矩形性质、两个三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、角平分线定义、动点最值问题等，熟练掌握相关知识点，熟记相关判定与性质是解决问题的关键． 跟随训练11-1．如图，已知四边形为正方形，，点E为对角线上一动点，连接，过点E作，交于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形． (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)是定值，6 (3) 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）过作于点，过作于点，可证四边形是正方形，得，进而证明，得到，即可求证； （）证明，可得，即得，即可求解； （3）由矩形为正方形，得到，根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为，此时，有最小值，即可解答． 【详解】（1）证明：如图，过作于点，过作于点， ∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵是正方形对角线的一点， ∴， ， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：是定值，定值为，理由如下： ∵矩形为正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴是定值，定值为． （3）解：∵矩形为正方形， ∴， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值，最小值为， 此时，有最小值， 由（2）知， ∴的最小值为． 跟随训练11-2．已知正方形中，是上一动点，过点作交正方形的外角的平分线于点． (1)【动手操作】 如图①，在上截取，连接，根据题意在图中画出图形，图中_____度． (2)【深入探究】是线段上的一个动点，如图②，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．试判断四边形的形状，并证明． (3)【拓展应用】 是射线上的一个动点，过点作交直线于点，以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，连接．若，，求线段的长． 【答案】(1)； (2)矩形是正方形；见解析； (3)线段的长为或． 【分析】本题考查了正方形的性质与判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理，关键是通过构造辅助线证明三角形全等，推导线段相等关系，结合特殊四边形的判定定理进行推理，并根据动点的位置进行分类讨论． （1）利用正方形的直角性质，结合证为等腰直角三角形，再通过邻补角的和差关系计算的度数； （2）先在上截取，证明得，再构造辅助线证得，结合证平行四边形，再由垂直证矩形，最后由邻边相等证正方形； （3）分点在线段上和点在延长线上两种情况，先证明两种情况下四边形均为正方形，得到，再利用勾股定理分别计算的长度，即可得的长． 【详解】（1）解：根据题意画图如图； ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：四边形为正方形，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中，，，， ∴， ∴， 在上截取，连接，则， ∵，， ∴，， 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形； （3）解：①当点在线段上时， 由（2）知四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴； ②当点在延长线上时，延长至，使得，连接， ∵，，且，， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵，， ∴，即． 延长至点，使，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，且是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 结合，可得， 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴平行四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． ， 综上所述，线段的长为或． 【题型12根据正方形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是正方形，再利用正方形的性质（四个角都是直角、对角线平分一组对角），结合等腰直角三角形的角度特征，求解未知角。 【典例12】．如图，两个相同的正方形与正方形的顶点重合，恰好落在正方形的对角线上，与交于点，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，得到，进而即可求解，掌握正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形和四边形是两个相同的正方形，恰好落在正方形的对角线上， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 跟随训练12-1．如图，已知在菱形中，点为对角线上一点，连结，过点作，与交于点，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明和全等得到、，结合推出，进而证得； （2）利用菱形性质、全等三角形判定与性质，结合等腰三角形三线合一、矩形及正方形的判定，推导得出． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，． 在和中， ， ∴（）， ∴． 又∵， ∴， ∴是等腰三角形． 过点作于，交于， ∴（等腰三角形三线合一）． ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∵是菱形对角线， ∴， 又∵，， ∴（）， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵四边形是菱形， ∴菱形是正方形， ∴． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、正方形的判定，熟练掌握菱形的性质及全等三角形的判定方法是解题的关键． 跟随训练12-2．如图，在正方形中，分别是上两点，交于点，且． (1)判断与之间的数量关系与位置关系，并说明理由： (2)当点是的中点时，连接，求的度数． 【答案】(1)，，理由见解析 (2) 【分析】（）证明，得，，进而可得，即得到，即可求证； （）过点作于，交的延长线于，可得四边形是矩形，再证明，得，利用三角形面积得，即得，即可得四边形是正方形，即可求解； 本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：如图，过点作于，交的延长线于， ∵， 则， ∴四边形是矩形， ∵点是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（）知， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴． 【题型13 根据正方形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是正方形，再利用正方形“四条边相等、对角线与边长的关系”，结合勾股定理，求解线段长度。 【典例13】．如图所示，在中，平分交于点，按下列步骤作图．步骤1：分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点；步骤2：作直线，分别交于点；步骤3：连接．若，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】本题考查了尺规作图-线段垂直平分线，正方形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 推出直线垂直平分，证明四边形为正方形，根据三角形的面积解题即可． 【详解】解：由题意知，直线垂直平分， ∴，， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴， 又∵， ∴四边形为正方形； ∵， 又∵， ∴， 解得． 故答案为： ． 跟随训练13-1．如图，在矩形中，，，为的中点，为边上一动点（不与点重合），以为斜边作等腰直角，点、在的两侧． (1)线段的长为__________， (2)当时，求线段的长． (3)当时，求线段的长． (4)连接，当线段最短时，此时__________，__________． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)，． 【分析】（）根据线段中点定义即可求解； （）由四边形是矩形，则有，又，故有，然后通过勾股定理即可求解； （）由四边形是矩形，得，又是等腰直角三角形，则，，然后得出，所以，最后通过线段的和与差即可求解； （）过作于点，作于点，证明，所以，又，，所以点在平分线上，即平分，则当时，线段最短，然后正方形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：∵为的中点， ∴， 故答案为：； （2）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段的长为； （3）解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：如图，过作于点，作于点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴点在平分线上，即平分， 则当时，线段最短， 如图， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，线段中点，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 跟随训练13-2．如图，中，，，点分别为边上动点（点与点不重合），且，过点作边的垂线交的延长线于点． (1)设，求证：； (2)若为等腰三角形，求的度数； (3)设的周长为，点在运动的过程中，的值是否会发生变化？如果不变，求的值；如果变化，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 (3)的值不会发生变化，为定值，理由见解析 【分析】（）由直角三角形两锐角互余可得，再根据平角定义即可求解； （）由等腰直角三角形的性质得，进而得到，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解； （）过点作的延长线于点，过点作于点，连接，可证四边形是正方形，得到，再分别证明和，得到，，即得，进而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， 当时，， ∴， 由（）得，， ∴； 当时，， ∴， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的度数为或； （3）解：的值不会发生变化，为定值，理由如下： 如图，过点作的延长线于点，过点作于点，连接， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为， ∴的值不会发生变化，为定值． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的定义及性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型14 根据正方形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是正方形，再根据已知条件（边长、对角线），选择合适的面积公式，求解面积。 【典例14】．如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 跟随训练14-1．如图，点是正方形的中心（对角线的交点），以点为直角顶点作，的两直角边，分别交，于点，，若正方形的边长为8，则重叠部分四边形的面积为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. 先过点E分别作，，证明四边形是正方形，再得出，故重叠部分四边形的面积为，则，即可作答． 【详解】解：过点E分别作，，如图所示： ∵四边形是正方形，正方形的边长为8， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵点E是正方形的中心， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵的两直角边分别交于点M，N， ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 则重叠部分四边形的面积为， ∴， 即重叠部分四边形的面积为， 故选：D． 跟随训练14-2．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 【题型15 正方形的动点问题】 解题关键：明确动点运动轨迹和速度，结合正方形的性质、勾股定理，用含动点运动时间t的代数式表示相关线段，结合题意列方程求解，注意动点运动范围（不超出正方形边长）。 【典例15】．如图，在正方形中，点沿折线匀速运动，到点时停止，过点作于点，作于点，设点运动的路程为，四边形的面积为，能大致表示与之间的函数关系的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，二次函数与一次函数的图像特征，动点问题的分段函数分析，将面积转化为关于的代数表达式是解题关键． 根据点在和上的不同位置分段建立面积函数，通过分析函数类型与增减性确定图像特征，进而得出答案． 【详解】解：设正方形边长为， 当点沿运动： 根据题意，， ，，， 四边形为矩形， 为正方形的对角线， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 函数图像为开口向下的抛物线； 当点沿运动： 四边形为矩形，， ， ， 函数图像为一次函数，随的增加而增加． 综上，表示与之间的函数关系的图象先是开口向下的抛物线，然后是随的增加而增加的一次函数． 故选：． 跟随训练15-1．如图，已知正方形中，边长为，点E在边上，．如果点P在线段上以的速度由B点向点C运动，同时点Q在线段上以的速度由点C向点D运动，设运动的时间为t秒． (1)________，________；（用含t的代数式表示） (2)若以E，B，P为顶点的三角形和以P，C，Q为顶点的三角形全等，试求a的值． 【答案】(1)， (2)a的值为2或 【分析】（1）先根据点P运动的速度与时间，用t表示出，再根据，用t表示出； （2）分、两种情况讨论，分别求出a的值． 【详解】（1）解：点P在线段上以的速度由B点向点C运动，运动的时间为t秒， ， ， ， 故答案为：2t，； （2）当时， 此时，， 则有，， 此时，． 当时， 此时，， 则有，， 此时，． 综上所述，a的值为2或． 【点睛】本题考查了列代数式，全等三角形的性质，根据正方形的性质求线段长，（特殊）平行四边形的动点问题等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 跟随训练15-2．如图，正方形中，已知，对角线与交于点O，点E为射线上的一个动点不与点B重合，点M为线段的中点．现将线段绕点M顺时针旋转得到线段，连结，．    (1)若点M在线段OD上且，求线段OF及EF的长． (2)当点E在线段OB上运动时，请判断的形状，并说明理由． (3)在点E的运动过程中，当时，求线段BE的长． 【答案】(1)； (2)的形状是等腰直角三角形，见解析 (3)线段BE的长为或 【分析】（1）利用正方形的性质得到，，，，利用等腰直角三角形的性质得到，利用线段的中点的意义，等腰直角三角形的性质和勾股定理解答即可得出结论； （2）连接，利用等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到，利用线段的垂直平分线的性质得到，则；利用正方形的性质和三角形的内角和定理求得，则结论可得； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当点E在线段上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可；②当点E在线段的延长线上时，设，则，，利用勾股定理列出方程解答即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形， ，，，， ， ， 点M为线段的中点， ， ， ，， ， ； （2）解：的形状是等腰直角三角形，理由如下： 连接，如图，   为等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点M为线段的中点，， 为线段的垂直平分线， ， ， ， ，， ， 的形状是等腰直角三角形； （3）解：①在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； ②在点E的运动过程中，当时，如图，    设，则， ，M为线段的中点， ， ， ， ， ， （负数不合题意，舍去）， ， ； 综上，线段BE的长为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，线段的垂直平分线的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，分类讨论的思想方法，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 【题型16 正方形中的线段最值问题】 解题关键：利用正方形的对称性、垂线段最短、两点之间线段最短等原理，转化线段（如找对称点），求解线段的最大值或最小值。 【典例16】．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 跟随训练16-1．如图，在正方形中，点E为延长线上的一点，取的中点M，连接和．若，则的最大值为_________． 【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．在的右侧构造等腰直角三角形，连接，证明，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，在的右侧构造等腰直角三角形，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的最大值为； 故答案为：． 跟随训练16-2．如图所示，在正方形中，为上的一点，，，为上的一点，连接，．求的最小值． 【答案】5 【分析】利用正方形的对称性，将其中一个点关于对角线对称，转化线段长度，再根据“两点之间线段最短”求最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，连接交于点，连接． 易知，且， ，则，此时有最小值． ，， ． 由勾股定理，得，即的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的对称性与勾股定理的应用，解题关键是利用对称将折线线段和转化为直线段，结合“两点之间线段最短”求解． 05 过关•检测 1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（    ） A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对角线平分对角 【答案】B 【分析】此题综合考查了矩形、菱形、正方形的对角线的性质，熟练掌握矩形、菱形、正方形的性质是解题的关键． 因为正方形的对角线垂直平分且相等、矩形的对角线互相平分且相等、菱形的对角线互相垂直平分，可知正方形、矩形、菱形都具有的特征是对角线互相平分． 【详解】解：矩形、菱形、正方形的对角线相互平分， 故选：B． 2．如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 3．如图，在正方形中，，将沿折叠至，延长交于点G．若点G刚好是的中点，则的长是（    ） A．1 B． C． D．3 【答案】B 【分析】连接，先根据正方形的性质及图形轴对称的性质，证明，，然后根据全等三角形的判定证明，可得，设，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， 四边形是正方形， ，， 点G是的中点， ， 沿折叠至， ，， ，， ， ， ， 设，则， 根据图形翻折的性质可知，， 在中，， ， 解得， 的长是． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，图形轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 4．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 5．如图，在边长为8的正方形纸片中，E、F分别是边、上的两点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处，则的长度是（    ） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题重点考查正方形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．作，交于点，证明四边形是平行四边形，再证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：作，交于点， ∵正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的中点G处， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的长度是， 故选：A． 6．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键． 由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得． 【详解】解：， ， ， ， ∴， ， 在正方形中，， ，即， 同理可得， ， ，即， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ∴， 故选：B． 7．我们知道当图形的组成元素及相关元素之间的关系特殊化时，图形也从一般图形发展为特殊图形，如图是小颖从“对角线、边或者角”的角度对平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的梳理，其中对应序号的条件填写正确的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系，熟记相关图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：当四边形为平行四边形时，若①是，则四边形为菱形，故A不符合题意； 当四边形为平行四边形时，若②是，则四边形为菱形，故B符合题意； 当四边形为矩形时，若③是，则四边形仍为矩形，故C不符合题意； 当四边形为菱形时，若④是，则四边形仍为菱形，故D不符合题意； 故选：B． 8．如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：若为的中点，则四边形是正方形；若为上任意一点，则；点在运动过程中，的值为定值；点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小,在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 9．如图，在中，点，，分别在，，上，且，．如果，且是的角平分线，那么四边形是__________形． 【答案】正方 【分析】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定等知识点，掌握各判定定理是解题的关键． 根据题意，，，则四边形是平行四边形，再根据，得到该四边形为矩形，最后根据是的角平分线，可得到，即可得到该四边形为正方形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是矩形， 是的角平分线， ∴， ， ， ， ， 又四边形是矩形， ∴四边形是正方形， 故答案为：正方． 10．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且是边长为的等边三角形．点E，F同时从点O出发在线段上以的速度反向运动（点E，F分别到达A，C两点时停止运动），连接，，，．当运动时间为______s时，四边形为正方形． 【答案】4 【分析】本题考查了“菱形的性质”“正方形的判定”，找到运动路程与正方形的判定条件之间的关系是解题关键． 由菱形的性质，可知，，因此，当时，即可判定四边形为正方形，此时的时间即为所求． 【详解】∵四边形是菱形， ∴，． 设运动时间为t，则． ∴四边形是菱形． ∴当时，四边形是正方形． ∵是边长为4 cm的等边三角形， ∴． ∴． 故答案为：4． 11．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则________°． 【答案】 【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线与的夹角即可． 【详解】延长与交于点， ∵可以由绕某一点顺时针旋转得到， ∴， ∵将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所在直线的夹角． 12．如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于___． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴直线AC是正方形ABCD的对称轴， ∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J． ∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，△AIE的面积＝△AEG的面积， ∴S阴＝S正方形ABCD＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型． 13．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：a.两组对边分别相等，b.一组对边平行且相等，c.一组邻边相等 ，d.一个角是直角，顺次添加的条件：①②③，则正确的是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键． 根据题意及正方形的判定定理可直接进行排除选项． 【详解】解∶ ①由两组对边分别相等可得该四边形是平行四边形，添加一组邻边相等可得该四边形是菱形，再添加一个角是直角则可得该四边形是正方形，故符合题意； ②由一组对边平行且相等可得该四边形是平行四边形，添加一个角是直角可得该四边形是矩形，再添加一组邻边相等则可得该四边形是正方形，故符合题意； ③a、b都为平行四边形的判定定理，故不能判定该四边形是正方形，不符合题意； 故答案为：； 14．如图，中，，，是边上的动点．将线段绕点顺时针旋转到，将线段绕点顺时针旋转到，连接，，，分别是，的中点．下列结论：①点，，三点不一定共线；②；③垂直平分；④．正确的有______．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质．证明是等腰直角三角形，推出，可证明点，，三点一定共线；证明，推出，再证明，得到；根据直角三角形斜边中线的性质证明四边形是菱形，推出垂直平分；证明四边形是正方形，求得，利用勾股定理即可证明． 【详解】解：连接，， ∵将线段绕点顺时针旋转到， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵中，，， ∴， ∴点在上， ∴点，，三点一定共线，故①说法不正确； 连接， ∵线段绕点顺时针旋转到， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②说法正确； 连接，，， ∵，分别是，的中点，， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分，故③说法正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴，则， ∵， ∴④，故④说法正确； 综上，②③④正确， 故答案为：②③④． 15．如图，在中，，D是边的中点，，，，垂足分别为E，F．求证：四边形是正方形． 【答案】详见解析 【分析】由题意易得四边形是矩形，然后通过证明得，进而问题可求解． 【详解】证明：，， ，． 又， 四边形是矩形． 是边的中点， ． ， ． 又， ， ， 四边形是正方形． 16．如图，在四边形中，，，，点在边上，点是边的中点，且，于点，延长交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据邻边相等的矩形是正方形证明即可； （2）证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （2）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 17．如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接．    (1)若，求的长度； (2)当点E是边的中点时，求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可求解； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 【详解】（1）解：如图，      ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2）证明：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 18．四边形是正方形，将线段绕点A逆时针旋转至，旋转角为，连接，与交于O点，过点D作，垂足为点F，连接． (1)如图1，当时，的度数为_________． (2)如图2，当时，用等式写出的数量关系，并证明． (3)在旋转过程中，当时，若，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由旋转的性质，正方形的性质及等腰三角形的性质求得，再根据正方形的性质结合，利用三角形内角和得，从而求解；　 （2）在上截取，连接，先证明为等腰直角三角形，得到，再证明，得到，进而得到，证明，推出，利用勾股定理结合线段的和差关系即可得出结论； （3）分和两种情况，根据全等面积转化，以及同高三角形的面积比等于底边比，结合线段之间的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：由旋转的性质得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 解：，证明如下： 在上截取，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 由旋转的性质得，， ∴，，， ∴， 同理（1）得， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当，分两种情况： ①当，如图， 由（2）可知：，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图，延长至点，使，连接， 由旋转的性质得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为或． 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 19．如图1，已知平行四边形，点、分别为边上的动点，连接． (1)若，证明：平分； (2)如图2，若，，，求的面积； (3)如图3，在四边形中，，用表示四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证出四边形是正方形，再通过延长至使构造全等三角形，先证，利用角的代换得到，再证，由全等三角形的对应角相等证得，从而证明平分． （2）取边的中点，作，交于点，连接，证四边形为正方形，利用（1）的角平分线结论结合的边角关系，通过勾股定理求出的长度，进而计算出的面积，结合正方形的面积与内部各三角形面积的数量关系求出的面积，再由是中点且证出是的中位线，得到为中点，最终将的面积转化为2倍的面积求解，核心是构造正方形实现面积拆分，利用中位线定理实现面积的倍数转化． （3）先在的延长线上取点使，连接，利用四边形内角和证得，结合四点共圆的性质证出，进而证得，得到且，由此证出为等边三角形，过作于，利用勾股定理求出的长度，再将四边形的面积转化为与的面积和，即等边的面积，最后通过三角形底乘高的面积公式求出结果． 【详解】（1）解：延长至点，使得，如图， ∵四边形是平行四边形，，， ∴四边形是正方形， ∴，， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴，即． 在和中，， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图，取边的中点，作，交于点，连接． ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴四边形是矩形． ∵，， ∴四边形是正方形，面积为． 由（1）． ∴， ∴， 由勾股定理得，得， 解得， ∴． 在中，，同理，． ∴， 由（1），而， ∴． ∵是中点，， ∴是的中位线， 点是的中点， ∴. （3）解：如图，在的延长线上取点，使得，连接． ∵四边形的内角和为， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴、、、四点共圆， ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形，． 过点作于，则为的中点，． 在中，由勾股定理：， ∵，且， ∴． 【点睛】本题考查了矩形、正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，同时考查了图形面积的转化与计算，核心侧重辅助线的构造与几何图形间的边角、面积转化技巧．本题的关键是根据不同问题特征构造合适的辅助线，利用全等、特殊三角形的性质实现边角和面积的转化，将未知问题转化为已知可解的问题． 20．【初步发现】如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，延长至点G，使得，得到，从而发现．已知，，求正方形的边长． 【类比探究】如图2，正方形中，P，F，Q三点分别在边，，上，连接，，若，，，求线段的长． 【拓展迁移】如图3，在中，，两锐角的角平分线交于点O，点M、N分别在边、上，且都不与点C重合，若，连接，当，时，求的周长． 【答案】初步发现：6；类比探究：；拓展迁移：2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质与判定、勾股定理、角平分线的性质定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键。 初步发现：如图：延长至点G，使得，连接,先利用正方形的性质证明可得,,进而证明可得,设正方形边长为a，则，然后运用勾股定理列方程求解即可； 类比探究：如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形，利用全等三角形的性质以及勾股定理可得，如图：延长至点H，使得，连接,利用初步发现中的方法可得：可得，再在利用勾股定理列方程求得，最后再运用勾股定理求解即可； 拓展迁移：如图：过O作,垂足分别为E、G、F，则，四边形是正方形，,设，运用等面积法可求得，即正方形的边长为1；如图：在上截取,连接,利用初步发现中的方法可得：,即；最后根据周长公式以及等量代换即可解答. 【详解】解：初步发现：如图：延长至点G，使得，连接, ∵正方形， ∴,即， ∵， ∴, ∴,, ∵， ∴, ∴,即, ∴, ∵, ∴, ∴, 设正方形边长为a，则， 在中，,即，解得：或（舍去）， ∴正方形的边长为6； 类比探究： 如图：过A作交于G，则四边形是平行四边形， ∴, ∵正方形中，， ∴,, ∴, 如图：延长至点H，使得，连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∵在，，,,, ∴，解得：, . 拓展迁移： 如图：过O作,垂足分别为E、G、F， ∵在中，，，,锐角的角平分线交于点O， ∴，四边形是矩形，, ∴四边形是正方形， 设， ∵, ∴，解得：， ∴正方形的边长为1，即 如图：在上截取,连接, 利用初步发现中的方法可得：, ∴, ∴的周长为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $