8.2特殊的平行四边形（第2课时菱形）同步培优讲义（3知识点+11大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（苏科版）

8.2特殊的平行四边形（第2课时 菱形）同步培优讲义 （3知识点+11大题型+过关检测） 目录 【知识点1 菱形的定义】 1 【知识点2 菱形的性质】 1 【知识点3 菱形的判定方法】 2 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段】 5 【题型3 利用菱形的性质求面积】 7 【题型4 利用菱形的性质证明】 9 【题型5 证明四边形是菱形】 11 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 14 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 16 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 18 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 21 【题型10 菱形中的动点问题】 24 【题型11 菱形中线段最值问题】 32 1. 理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的区别与联系，知道菱形是特殊的平行四边形。 2. 掌握菱形的性质（边、角、对角线、对称性），能熟练运用菱形的性质求角度、线段长度、面积，解决相关证明问题。 3. 掌握菱形的判定方法（定义法、对角线法、边相等法），能准确证明一个四边形是菱形，能添加合适条件使四边形成为菱形。 4. 能灵活运用菱形的性质与判定进行综合推理，解决角度、线段、面积的综合计算问题，提升几何推理和计算能力。 03 知识•梳理 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键说明：① 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；② 核心特征：一组邻边相等（区别于平行四边形、矩形）。 【知识点2 菱形的性质】 1. 边的性质 菱形的四条边都相等（∵ 菱形是平行四边形，对边相等，加上一组邻边相等，故四条边都相等）。 2. 角的性质 与平行四边形一致：① 对角相等；② 邻角互补（和为180°）；③ 无特殊直角（区别于矩形）。 3. 对角线的性质（菱形独有的核心性质） 菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 补充：对角线将菱形分成4个全等的直角三角形（常用解题辅助）。 4. 对称性 ① 轴对称图形：有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线；② 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点。 5. 面积公式（重点，两种常用方法） · 方法1（平行四边形通用）：面积 = 底 × 高（底为菱形的任意一条边，高为这条边对应的高）； · 方法2（菱形独有，最常用）：面积 = × 对角线乘积（设两条对角线长为、，则面积）。 【知识点3 菱形的判定方法】 1. 定义法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形； 3. 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（注意：必须强调“平行四边形”，仅对角线垂直的四边形不一定是菱形）。 核心易错点汇总 · 性质应用错误：混淆菱形与矩形的性质，误将“菱形对角线相等”（错误，矩形对角线相等，菱形不相等）； · 判定方法误用：① 忽略“平行四边形”前提，认为“对角线垂直的四边形是菱形”；② 仅用“一组对边相等”判定菱形； · 面积计算错误：忘记菱形独有面积公式，或误用对角线和的一半计算面积； · 综合题易错：动点问题中忽略动点运动范围，最值问题中不会利用菱形对称性或垂线段最短原理； · 证明易错：证明菱形时，未完整证明“平行四边形”+“邻边相等/对角线垂直”，逻辑不连贯。 【题型1 利用菱形的性质求角度】04 题型•汇总 解题关键：利用菱形“四条边相等、对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角”的性质，结合已知角度，转化求解未知角。 【典例1】．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的对角线平分对角是解题的关键． 先根据，求出，再根据菱形的对角线平分对角求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵菱形， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 跟随训练1-1．如图，点是矩形的对角线的中点，以、为邻边可作菱形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了菱形的性质、矩形的性质、等边三角形的判定和性质等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，根据矩形的性质得到，，再根据菱形的性质证明是等边三角形，则，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴点是中点，， ∴， ∵以、为邻边可作菱形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：C 跟随训练1-2．如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为_____°． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角等知识点，熟练掌握菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据菱形可得，即可得到，再由直角三角形斜边中线得到，由等边对等角即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，与交于点， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ 故答案为： 【题型2 利用菱形的性质求线段】 解题关键：利用菱形“四条边相等、对角线互相垂直平分”的性质，结合勾股定理，求解边长、对角线长度等。 【典例2】．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线交于点E，连接，若．且直线恰好经过点A，则的长（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作法得到垂直平分，即，，再利用菱形的性质得到，，则利用勾股定理先计算出，然后计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分，即，， 四边形为菱形，， ，， ，， 在中，， 在中，． 跟随训练2-1．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理、垂线段最短，过点作，当点与点重合时，的值最小，根据菱形的性质可以求出，利用三角形的面积公式可得，从而可以求出的最小值． 【详解】解：如下图所示，过点作， 当点与点重合时，的值最小， 四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 解得：， ， 的最小值为． 故选：C． 跟随训练2-2．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题关键：优先用菱形独有面积公式（），无对角线时用“底×高”，结合已知条件求解。 【典例3】．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 【答案】C 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 跟随训练3-1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 【答案】64 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握相关性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，即可求得菱形的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 故答案为：． 跟随训练3-2．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积． 【详解】解：菱形的对角线，相交于点， 、， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， 故答案为：24． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题关键：紧扣菱形的性质（边、对角线、角），结合全等三角形、角平分线等知识，逻辑连贯地完成证明，每一步标注依据。 【典例4】．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查菱形的性质，矩形的判定，勾股定理等知识， （）由，可得，可得，结合，可得四边形是平行四边形，再结合，可得平行四边形是矩形； （）在菱形中，，可得，在中，利用勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形； （2）解：在菱形中，， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∵， ∴在中，， 整理得，， 解得：． 跟随训练4-1．如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，然后证，即可得出结论． 【详解】证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ，即， 平行四边形是矩形． 跟随训练4-2．如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【答案】见解析 【分析】由菱形的性质得，，推出和都是等边三角形，再证，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【题型5 证明四边形是菱形】 解题关键：选择合适的判定方法（定义法、边判定法、对角线判定法），优先用定义法（平行四边形+邻边相等）或对角线判定法，证明逻辑完整。 【典例5】．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 【答案】D 【分析】本题考查了证明四边形是菱形等知识点，解题关键是掌握证明四边形是菱形的方法． 依据菱形的判定定理及平行四边形的判定性质，对四个选项逐一分析，再判断即可． 【详解】解：对角线互相垂直且相等的四边形，不一定是菱形， 故A不符合； 对角线互相垂直的四边形，不一定是菱形， 故B不符合； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形， 故C不符合； ∵对角线互相平分的四边形是平行四边形， 对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴对角线互相平分且垂直的四边形是菱形， 故D符合， 故选：D． 跟随训练5-1．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】根据三线合一的性质可得出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据证明，得出，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证明：是边上的中线， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是菱形． 跟随训练5-2．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质， 利用含30度的性质等知识． （1）利用菱形的判定方法和性质证明即可． （2）利用菱形的性质结合已知条件得出是等边三角形，再利用含30度的性质设，则，，利用勾股定理得出以及x，最后根据菱形求面积即可求出h． 【详解】（1）证明：∵是平行四边形， ∴是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 在中，， 即， 解得，负值舍去， 则，， ∴， ∴， 即， 则． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 解题关键：结合菱形的判定方法，根据已知条件（平行四边形、四边形），添加符合要求的条件（邻边相等、对角线垂直、四条边相等），不重复、不多余。 【典例6】．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 跟随训练6-1．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的判定，关键是熟练掌握正方形的判定定理． 根据正方形的判定定理逐选项分别进行分析即可． 【详解】解：A． 由，可判断是矩形，由可判定矩形是正方形，此选项不合题意； B． 由可判断是菱形，由菱形可判定，此选项不能判定是正方形，符合题意； C． 由可判断是菱形，由可判定菱形为正方形，此选项不符合题意； D． 由可判定是菱形，由可得，进而可判定菱形为正方形，不符合题意； 故答案为：B． 跟随训练6-2．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中点四边形，由四边形为菱形可得，由三角形中位线定理得，故可得结论． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵点、、、分别为四边形各边中点， ∴， ∴， 故选项C正确，选项A，B，D不正确， 故选：C． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是菱形，再利用菱形的性质（对角相等、邻角互补、对角线平分对角），求解未知角度。 【典例7】．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明四边形是菱形，再根据菱形的性质即可求得答案． 【详解】解：由作图可知，， ∴四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 跟随训练7-1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 【答案】70 【分析】本题考查了作线段，菱形的性质与判定，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得， ∴四边形是菱形，则， 又∵， ， 故答案为70． 跟随训练7-2．如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【答案】 【分析】本题考查的是菱形的性质与旋转的性质，灵活运用菱形的对边平行、同旁内角互补及旋转角相等的性质是解题的关键．根据菱形性质得到，进而求出旋转角，再由旋转性质得，从而得到答案． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 由旋转的性质得，． 故答案为：． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是菱形，再利用菱形“四条边相等、对角线互相垂直平分”的性质，结合勾股定理，求解线段长度。 【典例8】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定与性质、平行四边形的性质，是解题的关键．连接，由作图知，平分，得到，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由作图知：，，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 跟随训练8-1．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，根据，，可得四边形为平行四边形，根据，为的中点，则，则平行四边形为菱形，由，，，可得，证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， 又，为的中点， ， 平行四边形为菱形， ∴， ∴ 又 ∴四边形是平行四边形， ∴， ，，， ， ∴． 故选：B． 跟随训练8-2． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，菱形的判定与性质，熟记矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）根据已知证明，得，结合，点为线段的中点，即可证得结论； （2），则，设，则，利用勾股定理求出即可解答． 【详解】（1）证明：矩形中，， ， ∵点为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ∴四边形为菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， ． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是菱形，再根据已知条件（对角线、边长+高），选择合适的面积公式求解。 【典例9】．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 【答案】60 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，平行线之间的垂线段相等，三角形的面积， 连接交于点G，根据菱形的性质证得，根据勾股定理，即可解答． 【详解】解：∵中，， ∴是菱形，， ∴平分， 延长至E，则， ∵平分， ∴， ∴， 连接交于点G，则，且平分， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴的高为， ∴， 故答案为60． 跟随训练9-1．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意可得四边形为平行四边形，再由直角三角形的性质得出，即可得证； （2）设交于点，由（1）可得，四边形为菱形，，由菱形的性质可得，，，证明为等边三角形得出，求出，由菱形的性质可得，最后由计算即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵，为的中线． ∴， ∴平行四边形为菱形； （2）解：如图，设交于点， ， 由（1）可得，四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴． 跟随训练9-2．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的面积，勾股定理； （1）连接与交于点，证明，得到，即，则平行四边形是菱形； （2）先求出，再勾股定理求出，则，再根据菱形的面积是代入求值即可． 【详解】（1）解：连接与交于点， ∵平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵，平行四边形是菱形， ∴， ∴，即， ∴菱形的面积是． 【题型10 菱形中的动点问题】 解题关键：明确动点运动轨迹和速度，结合菱形性质、勾股定理、全等三角形等知识，用含动点运动时间的代数式表示相关线段，求解未知量（注意动点运动范围）。 【典例10】．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)16 (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质和勾股定理． （1）利用菱形周长公式求解即可； （2）作交延长线于点，分当点在线段上和点在线段的延长线上时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，利用三角形面积公式求解即可； （3）分当和时，两种情况讨论，利用直角三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形中，， ∴菱形的周长为， 故答案为：16； （2）解：作交延长线于点， 由题意得，则，， 当点在线段上时，， 当点在线段的延长线上时，， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴，， 当点在线段上即时，， 当点在线段的延长线上即时，， 综上，； （3）解：当时， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得； 当时， 同理，，即， 解得； 综上，的值为或． 跟随训练10-1．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． (1)如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； (2)如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； (3)在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）先利用菱形的性质，结合，可证明为等边三角形，再利用证明，从而可得，进而求得； （2）先利用证明，从而可得，结合，可得； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点，当点在直线上运动时，点在直线上运动，当时，有最小值，此时，与重合，与重合，再利用等边三角形的性质，得出，然后根据菱形的性质得出，再根据平行线的性质得出，从而可得，再利用含有角的直角三角形的性质求得，最后利用勾股定理求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴； （2）证明：如图，在上截取，连接、，与相交于点P， 由（1）知，， ∴， 由旋转性质知，， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∵ ∴（） ∴， ∵， ∴； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点， 当点在直线上运动时，点在直线上运动， 当时，有最小值， 此时，如图，与重合，与重合， 由（1）知为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，解题关键是准确作出辅助线． 跟随训练10-2．如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)求的长． (2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． (3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3)的值为或或． 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据菱形的性质，证明是等边三角形，即可求出的长． （2）由题意可知，动点运动的路程为，动点运动的路程为，从而得出点与点重合，点是中点，再结合等边三角形三线合一的性质，即可求解； （3）由题意可知，动点的速度为，动点的速度为，秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为，则，，分两种情况讨论：①当点运动到点，且点在上时；②当点运动到点，且点在上时，利用含30度角的直角三角形的特征分别求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：是直角三角形，理由如下： 由题意可知，动点运动的速度为，动点运动的速度为，运动时间为12秒， 动点运动的路程为，动点运动的路程为， 动点从点出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到达点，即点与点重合， 动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动，且， 动点到点的距离为，动点到达中点，即点是中点， 是等边三角形，点是中点， ， 是直角三角形； （3）解：是等边三角形， ， 由题意可知，动点的速度为，动点的速度为， 秒后，动点运动的路程为，动点运动的路程为， 从沿原路返回， ， ， ①如图，当点运动到点，且点在上时，则， ， 为直角三角形，，不能为， ，， ，即， 解得：； ②当点运动到点，且点在上时，则， 为直角三角形， 若，如图， ， ， ，即， 解得：； 若，如图，此时， ， ， ， ， ， 综上可知，若为直角三角形，的值为或或． 【题型11 菱形中线段最值问题】 解题关键：利用菱形的对称性、垂线段最短、两点之间线段最短等原理，转化线段，求解最值（常用辅助线：连接对称点、作垂线）。 【典例11】． 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称−最短路线问题，三角形三边关系，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，确定F点位置在何处时，取得最小值是解答本题的关键． 连接，交于，连接交于，由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则，根据三角形三边关系，进而得到，由此得到当点与重合时，取得最小值，根据等腰三角形三线合一性质和勾股定理，即可求得． 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ， 当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，， ，是等边三角形， ∵E为的中点， ∴，， 在中，， 的最小值为． 故答案为：． 跟随训练11-1．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，图形与坐标，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 过点作于点，延长到点，使，根据菱形的性质和勾股定理可得，以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，可得，，，，，然后证明，可得，连接，，，由，可得，，三点共线时，取最小值，所以的最小值的最小值，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，延长到点，使， 四边形是菱形， ，， 菱形的面积为20，边长为5， ， 在中，根据勾股定理得： ， 以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系， ，，，，， ，， ， 在和中， ， ， ， 连接，，， ， ，，三点共线时，取最小值， 的最小值的最小值． 但是当，，三点共线时，点不在边上， ． 故选：D． 跟随训练11-2．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为______． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 【答案】 【分析】当的值最小时，、、三点共线，即求的长度，根据题意判断为等边三角形，且点为的中点，根据直角三角形的性质，求出的长度即可． 变式题：根据菱形，可得为等边三角形，根据三线合一可得，再通过线段和差关系求出，通过勾股定理求出，最后再利用勾股定理即可求即的长． 【详解】解：当、、三点共线时，即当点位于时，的值最小， 由菱形的性质可知，， 又， ∴为等边三角形， ∵点为的中点，， ∴，， ∴在中，． 故答案为：． 变式题： 如图，连接， ∵四边形为菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ∴， ∴，， ∴， 是等边三角形， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形中的线段最值问题、等边三角形的性质、勾股定理和菱形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 05 过关•检测 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质即可得到结论． 【详解】解：如图， A．菱形的四边相等，故本选项中数据正确，不符合题意； B．∵菱形的四边相等， ∴， ∴，故本选项数据正确，不符合题意； C．∵菱形， ∴， ∴，即，故本选项数据正确，不符合题意； D．∵菱形， ∴，故本选项数据有误，符合题意， 故选：D． 2．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握以上性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，，，，由，得到，从而根据“等边对等角”得到，根据角的和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质；菱形的邻角互补，对角线平分一组对角，可得，，再由得出． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 4．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由菱形的性质得，可得，由作图过程可知，所作直线为线段的垂直平分线，可得，则，即可得． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴． 由作图过程可知，所作为线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直平分线的性质推出，再结合菱形的性质得，则． 【详解】解：依题得：直线是线段的垂直平分线， ， ， 又菱形中，， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是垂直平分线的性质、等边对等角、菱形的性质，解题关键是熟练掌握垂直平分线的性质． 6．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质、勾股定理以及菱形面积公式的综合运用，利用“等面积法”将边长与高建立联系是解题的关键，先根据菱形对角线的性质结合勾股定理求出边长，再通过面积相等列出等式，进而求出的长． 【详解】解：在菱形中， ，，， ， ， ， ． 故选：． 7．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的判定方法，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．根据一组邻边相等或对角线互相垂直的平行四边形为菱形，逐一进行分析即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 当的一组邻边相等或对角线互相垂直时，能使变为菱形， 逐一对比选项，其中选项能使变为菱形，符合对角线互相垂直，、、均不能使变为菱形，不符合题意． 故选：D． 8．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 【答案】B 【分析】本题主要考查了菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及轴对称性质，解题时注意：四条边相等的四边形是菱形．根据六边形的各个内角相等，即可得出，，都是等边三角形，由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形，再根据，，即可得到． 【详解】解：∵六边形的各个内角相等， ∴该六边形的每个内角为，每个外角都是， ∴，，都是等边三角形， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，即， 又， ∴， 由轴对称可得，四边形、四边形都是菱形， ∵， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 9．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，由菱形的性质推出，由直角三角形的性质得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形面积，掌握菱形的性质是解题关键．连接，根据菱形的性质，推出，得到，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形和四边形都是菱形， ，，，， ，， ， ， ， ， 和同底等高， ， 菱形的面积为，的面积为， ， ， 故答案为：． 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了菱形的判定知识点，掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形是解题的关键． 根据菱形的判定定理，在平行四边形的基础上，添加一组邻边相等或对角线互相垂直的条件即可判定为菱形． 【详解】解：添加条件： ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 故答案为：（答案不唯一） ． 12．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 【答案】 4 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，菱形的判定，菱形的面积等知识点，熟练掌握及运用勾股定理是做题的关键．先求得四个全等的直角三角形的斜边长为，即可得出图1中的的长度；设两条直角边分别为，，利用图3的外轮廓周长为，求得，再判定图1中的四边形为菱形，根据面积公式，列式计算即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， （已舍去负值）， 即图1中的的长度为； 如图， 由题意可知，，设，， 则， 在中，， 即， 由题意得，， ， ， ， 即， ， ． 将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形， ， 四边形为菱形． 由题意和图可知，，， ． 故答案为：；． 13．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定及性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知，，作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上，可证得四边形是平行四边形，则，可知，当点在上时取等号，即可求解． 【详解】解：∵菱形的周长为， ∴，， 作点关于的对称点，由菱形的轴对称的性质，可知在上， ∵分别是的中点， ∴，， 由轴对称可知，， 则， ∴四边形是平行四边形，则， ∴，当点在上时取等号， 故的最小值为， 故答案为：． 14．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的几何规律问题、菱形的性质等知识点，依据题意，正确归纳出规律是解题关键． 先利用菱形的性质、翻转的性质分别求出点坐标，再归纳总结出规律，由此即可得出答案． 【详解】如图，连接，交y轴于点D 四边形是菱形， ， 在中， 由翻转的性质得：旋转后的四边形仍是菱形，且边长为1 则点的横坐标为，纵坐标为，即 重合，它们的横坐标为，纵坐标为0，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 点的横坐标为，纵坐标为，即 由翻转过程可知，每翻转6次，点B向右平移4个单位长度 的纵坐标为0，横坐标在横坐标的基础上加上，即为 则 故答案为：． 15．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析； (2) 【分析】（1）先根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定四边形为平行四边形，再利用矩形对角线相等且互相平分的性质得到，结合“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成判定； （2）先计算矩形的面积，再利用矩形对角线分矩形为四个面积相等的三角形得到的面积，最后根据菱形的面积是面积的2倍，求出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是菱形， 理由：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵四边形是矩形， ∴，且，， ∴． ∴平行四边形是菱形． （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴． ∵四边形的形状是菱形， ∴根据对称性，， ∴． 即四边形的面积为． 16．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定和性质、等角对等边、全等三角形的判定和性质、角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定和性质、勾股定理是解题的关键． （1）先证明，利用证明，得出，因此，证出四边形是平行四边形，即可得出结论； （2）过点作于点，由菱形的性质得出，，，在中，求出，在中，求出，再求出，得出，中，由勾股定理即可得出的长． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴且， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图，过点作于点， ∵四边形是菱形，，，， ∴，，，， 在中，，， 在中，，， ∴， 在中，， ∴的长为． 17．我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G： ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ． 【答案】(1)①证明见解析；②画图见解析，证明见解析 (2) 【分析】（1）①根据平行四边形的性质，易证，再根据“”可证，即可求证；②先证，再证，即可求证； （2）连接，，利用“”得，从而，，即E，O，G三点共线，正方形对角线过点O，分析可得当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，，根据勾股定理、等面积法和正方形的性质，求出，，，，最后计算面积即可． 【详解】（1）①证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， （）， ； ②解：画出四边形，如图所示： 由①知， 同理可得， 四边形是平行四边形， ，即， 四边形是矩形； （2）解：在图2中，连接，， 四边形是菱形， ，， ， ， （）， ，， E，O，G三点共线，正方形对角线过点O， 当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小， 即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以O为圆心，的长为半径画圆，交垂线于F，H两点，连接，，，， 则此时正方形的面积最小，如图所示： 在菱形中，，，， ，，， ， ， ， 正方形面积的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查四边形综合问题，涉及平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质，正方形的性质，尺规作图，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 18．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 【答案】(1)13，20 (2)5或 (3)或或 (4)5或 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据得出答案． （2）先表示出,，再分两种情况可得或，然后得出两个方程，求出解即可； （3）作，连接，根据平行四边形的性质得，再根据勾股定理求出，然后根据为等腰三角形，分三种情况，分别列出方程求出解即可； （4）当共线时，则，根据可得，即可求出；当时，连接，先根据“边边边”证明，再说明，进而得出，即可得出四边形是菱形，然后根据边长相等可得答案． 【详解】（1）解：∵四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：13，20； （2）解：如图所示， 由题意，得, ∵， ∴． ∵将的面积分为两部分， 即或，且等高， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴t的值为5或； （3）解：如图，过点E作，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵, ∴． 由（1）知由（2）知， ∴． ∵为等腰三角形， ∴分三种情况： 当时，则， 解得； 当时， ∴即则， 解得； 当时，， ∵， ∴， 在中，，即， 解得． 综上所述，当为等腰三角形，t的值为或或； （4）解：∵点B，C，D在同一条直线上，点M与点D关于直线对称， ∴如图所示，当共线时，则， 同理（3）可得， ∴， ∴； 如图，当时，连接， 由对称的性质得， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴点M在上，即四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形， ∴，即， 解得． 综上所述，当直线与边或边平行或共线时，t的值为5或． 【点睛】运用分类讨论的思想方法是解题的关键． 19．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 【答案】（1），；（2），；（3），直线与的夹角度数为，理由见解析；（4） 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （2）由正方形的性质可得，，，再证明，得出，，延长交于点，求出，即可得出结果； （3）由菱形的性质可得，，，证明，得出，，延长交的延长线于点，交于点，结合三角形内角和定理求出，即可得出结果； （4）由，得出当点在上时，线段取得最小值，连接，交于，由菱形的性质可得，，，求出，由勾股定理可得，则，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵， ∴， ∴， ∴直线与直线的夹角度数为； （2）∵四边形和四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交于点， ， ∵，且， ∴， ∴， 即与直线的夹角度数为； （3）解：，直线与的夹角度数为，理由如下： ∵四边形与四边形都为菱形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ， ∵，，， ∴， ∴直线与的夹角度数为； （4）解：∵， ∴如图，当点在上时，线段取得最小值， ， 连接，交于， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴线段的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2特殊的平行四边形（第2课时 菱形）同步培优讲义 （3知识点+11大题型+过关检测） 目录 【知识点1 菱形的定义】 1 【知识点2 菱形的性质】 1 【知识点3 菱形的判定方法】 2 【题型1 利用菱形的性质求角度】 2 【题型2 利用菱形的性质求线段】 3 【题型3 利用菱形的性质求面积】 4 【题型4 利用菱形的性质证明】 5 【题型5 证明四边形是菱形】 5 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 6 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 7 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 8 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 9 【题型10 菱形中的动点问题】 9 【题型11 菱形中线段最值问题】 11 1. 理解菱形的定义，明确菱形与平行四边形的区别与联系，知道菱形是特殊的平行四边形。 2. 掌握菱形的性质（边、角、对角线、对称性），能熟练运用菱形的性质求角度、线段长度、面积，解决相关证明问题。 3. 掌握菱形的判定方法（定义法、对角线法、边相等法），能准确证明一个四边形是菱形，能添加合适条件使四边形成为菱形。 4. 能灵活运用菱形的性质与判定进行综合推理，解决角度、线段、面积的综合计算问题，提升几何推理和计算能力。 03 知识•梳理 【知识点1 菱形的定义】 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 关键说明：① 菱形是特殊的平行四边形，具备平行四边形的所有性质；② 核心特征：一组邻边相等（区别于平行四边形、矩形）。 【知识点2 菱形的性质】 1. 边的性质 菱形的四条边都相等（∵ 菱形是平行四边形，对边相等，加上一组邻边相等，故四条边都相等）。 2. 角的性质 与平行四边形一致：① 对角相等；② 邻角互补（和为180°）；③ 无特殊直角（区别于矩形）。 3. 对角线的性质（菱形独有的核心性质） 菱形的对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角。 补充：对角线将菱形分成4个全等的直角三角形（常用解题辅助）。 4. 对称性 ① 轴对称图形：有2条对称轴，对称轴是两条对角线所在的直线；② 中心对称图形：对称中心是两条对角线的交点。 5. 面积公式（重点，两种常用方法） · 方法1（平行四边形通用）：面积 = 底 × 高（底为菱形的任意一条边，高为这条边对应的高）； · 方法2（菱形独有，最常用）：面积 = × 对角线乘积（设两条对角线长为、，则面积）。 【知识点3 菱形的判定方法】 1. 定义法（最基础）：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 2. 边判定法：四条边都相等的四边形是菱形； 3. 对角线判定法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（注意：必须强调“平行四边形”，仅对角线垂直的四边形不一定是菱形）。 核心易错点汇总 · 性质应用错误：混淆菱形与矩形的性质，误将“菱形对角线相等”（错误，矩形对角线相等，菱形不相等）； · 判定方法误用：① 忽略“平行四边形”前提，认为“对角线垂直的四边形是菱形”；② 仅用“一组对边相等”判定菱形； · 面积计算错误：忘记菱形独有面积公式，或误用对角线和的一半计算面积； · 综合题易错：动点问题中忽略动点运动范围，最值问题中不会利用菱形对称性或垂线段最短原理； · 证明易错：证明菱形时，未完整证明“平行四边形”+“邻边相等/对角线垂直”，逻辑不连贯。 【题型1 利用菱形的性质求角度】04 题型•汇总 解题关键：利用菱形“四条边相等、对角相等、邻角互补、对角线平分一组对角”的性质，结合已知角度，转化求解未知角。 【典例1】．如图，在菱形中，连接，过点作于点，若，则的度数为（  ）． A． B． C． D． 跟随训练1-1．如图，点是矩形的对角线的中点，以、为邻边可作菱形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 跟随训练1-2．如图，在菱形中，与交于点，点为的中点，连接，若，则的度数为_____°． 【题型2 利用菱形的性质求线段】 解题关键：利用菱形“四条边相等、对角线互相垂直平分”的性质，结合勾股定理，求解边长、对角线长度等。 【典例2】．如图，在菱形中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点M，N；②作直线交于点E，连接，若．且直线恰好经过点A，则的长（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-1．如图所示，菱形的两条对角线相交于点，，，点是边上的一个动点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 跟随训练2-2．如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【题型3 利用菱形的性质求面积】 解题关键：优先用菱形独有面积公式（），无对角线时用“底×高”，结合已知条件求解。 【典例3】．如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C．48 D．96 跟随训练3-1．如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，则菱形的面积为 _______． 跟随训练3-2．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____． 【题型4 利用菱形的性质证明】 解题关键：紧扣菱形的性质（边、对角线、角），结合全等三角形、角平分线等知识，逻辑连贯地完成证明，每一步标注依据。 【典例4】．如图：在菱形中，对角线、交于点O，过点作于点，延长至点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 跟随训练4-1．如图，是菱形的一条对角线，延长，，分别至点E和点F，且使，，连接，，．求证：四边形是矩形． 跟随训练4-2．如图，在菱形中，，点E、F分别在、上，且是等边三角形．求证：． 【题型5 证明四边形是菱形】 解题关键：选择合适的判定方法（定义法、边判定法、对角线判定法），优先用定义法（平行四边形+邻边相等）或对角线判定法，证明逻辑完整。 【典例5】．下列条件中，能判定四边形是菱形的是（   ） A．对角线互相垂直且相等的四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．对角线相等的平行四边形 D．对角线互相平分且垂直的四边形 跟随训练5-1．如图，在中，，是边上的中线，点E在的延长线上，连接，过点C作交的延长线于点F，连接，．求证：四边形是菱形． 跟随训练5-2．如图，在平行四边形中，，对角线相交于点O，点E，F是对角线上的点，且，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求点D到的距离h． 【题型6 添一个条件使四边形是菱形】 解题关键：结合菱形的判定方法，根据已知条件（平行四边形、四边形），添加符合要求的条件（邻边相等、对角线垂直、四条边相等），不重复、不多余。 【典例6】．在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟随训练6-1．如图，的对角线相交于点，下列条件不能判定是正方形的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．已知点、、、分别为四边形各边中点，连接、，添加以下条件能使四边形为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【题型7 根据菱形的性质与判定求角度】 解题关键：先通过判定方法证明四边形是菱形，再利用菱形的性质（对角相等、邻角互补、对角线平分对角），求解未知角度。 【典例7】．按如下步骤作四边形：（）画；（）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交于点；（）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点；（）连接．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长度为半径画弧，分别交于点；③分别以点和点为圆心，1个单位长度为半径画弧，两弧交于点；④连接．若，则的度数是____________． 跟随训练7-2．如图，将菱形绕点沿逆时针方向旋转，得到菱形，连接，，若，，则_______°． 【题型8 根据菱形的性质与判定求线段长】 解题关键：先判定四边形是菱形，再利用菱形“四条边相等、对角线互相垂直平分”的性质，结合勾股定理，求解线段长度。 【典例8】．如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交于点，若，，则的长为______． 跟随训练8-1．如图，在中，，，，为的中点，，，则四边形的对角线的长为（　　） A． B．3 C．4 D．5 跟随训练8-2． 如图，矩形中，点E 为边上任意一点，连结，点 F 为线段 的中点，过点F 作，与分别相交于点M、N，连结． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，，当 时，求的长． 【题型9 根据菱形的性质与判定求面积】 解题关键：先判定四边形是菱形，再根据已知条件（对角线、边长+高），选择合适的面积公式求解。 【典例9】．如图，在中，，连接，，延长至E，平分，点P是上一点，连接、，则的面积为________． 跟随训练9-1．如图，在中，，为的中线．，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接，若，，求四边形的面积． 跟随训练9-2．如图，平行四边形中，是对角线上一点，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【题型10 菱形中的动点问题】 解题关键：明确动点运动轨迹和速度，结合菱形性质、勾股定理、全等三角形等知识，用含动点运动时间的代数式表示相关线段，求解未知量（注意动点运动范围）。 【典例10】．如图，在菱形中，．，两点分别从点，同时出发，点以每秒2个单位长度的速度沿射线方向匀速运动；点以每秒1个单位长度的速度沿边方向向终点匀速运动．当点到达点时停止运动，点也同时停止运动．连接，设点的运动时间为秒的面积为平方单位． (1)菱形的周长为___________． (2)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围． (3)当为直角三角形时，直接写出的值． 跟随训练10-1．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． (1)如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； (2)如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； (3)在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 跟随训练10-2．如图，菱形的边长为，动点从点出发，沿着线路做匀速运动，动点从点同时出发，沿着线路做匀速运动． (1)求的长． (2)已知动点运动的速度为，动点运动的速度为，经过12秒后，分别到达两点，试判断的形状，并说明理由． (3)设问题（2）中的动点分别从同时沿原路返回，动点的速度不变，动点的速度改变为，经过2秒后，分别到达两点，若为直角三角形，试求值． 【题型11 菱形中线段最值问题】 解题关键：利用菱形的对称性、垂线段最短、两点之间线段最短等原理，转化线段，求解最值（常用辅助线：连接对称点、作垂线）。 【典例11】． 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 跟随训练11-1．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（   ） A． B． C．10 D． 跟随训练11-2．如图，在菱形中，，，为对角线上的一个动点，点在边上，，则的最小值为______． 变式题 已知条件类似，图形有变化 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，为等边三角形，．若，，则的长为______． 05 过关•检测 1．已知下列选项中图形均为菱形，所标数据有误的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在菱形中，点是对角线上的一点，，连接，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，连接、交于点O，点E在边上，连接．如果，，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，，取大于的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交BC边于点（作图痕迹如图所示），连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，在菱形中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧相交于，两点，过，两点的直线交边于点，连接．则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的对角线与相交于点，于点，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，对角线，交于点O，添加下列条件，能使变为菱形的是（  ） A． B． C． D． 8．如图所示是以所在的直线为对称轴的轴对称图形，六边形的各个内角相等，记四边形、四边形的周长分别为，且，已知，则的长是（    ） A．22 B．33 C．44 D．55 9．如图，在菱形中，点E在对角线上，且，若，则的度数为____ ． 10．如图，四边形和四边形均为菱形，且菱形的面积为落在边上，若的面积为，则的面积是___________． 11．如图，的对角线，相交于点．请你添加一个条件：____________（写出一种情况即可），使四边形是菱形． 12．如图1，将四个全等的直角三角形拼成了一个四边形，然后将这四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形如图2所示，大正方形的面积为5；如果再将这四个全等的直角三角形拼成的图形如图3所示，外轮廓周长为．则图1中的的长度为________；四边形的面积为________． 13．如图所示，在菱形中，对角线与相交于点，分别是的中点，为上的一个动点，若菱形的周长为，则的最小值为__________． 14．如图，在坐标系中放置一菱形，已知，先将菱形沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转，连续翻转2025次，点B的落点依次为，，，…，则B2025的坐标为________． 15．已知：如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 16．如图，在中， 的平分线交于点E，过点A作的垂线交于点F，交于点G，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 17．我们可以用对称的眼光研究一些几何问题． (1)如图1，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G： ①求证：； ②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请在图3画出四边形，并证明四边形是矩形． (2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边，上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．若，，则正方形面积的最小值为 ． 18．如图，四边形中，,点在边上，四边形为平行四边形，，动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点运动，设点的运动时间为秒． (1)的长为___________，的长为___________； (2)连结，若将的面积分为两部分，求的值； (3)若为等腰三角形，求的值； (4)在点运动过程中，作点关于直线的对称点，当直线与边或边平行或共线时，直接写出的值． 19．【问题情境】 同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 【操作发现】 （1）如图1，正方形和正方形，连接，．线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________；（注：两条直线的夹角是指两条直线相交所形成的小于等于的角） （2）如图2，当正方形绕点旋转时，线段与线段之间的数量关系是________；直线与直线的夹角度数为________． 【深入探究】 （3）如图3，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想线段与的数量关系及直线与的夹角度数，并说明理由． 【迁移探究】 （4）如图3，在（3）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，求线段的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $