专题4.3 数列的概念与性质综合（高效培优讲义）数学沪教版选择性必修第一册

本讲义聚焦数列的概念与性质核心知识点，系统梳理数列的项、通项公式、递推公式等基础概念，衔接列表、图象、解析三种表示方法及按项数、项间关系的分类，构建从概念到求通项公式、分析单调性与周期性的学习支架。 资料通过即学即练夯实基础，典例与变式分层突破重难点，融入约瑟夫问题、斐波那契数列等实际情境，培养学生用数学眼光抽象模型、用数学思维推理递推关系的能力，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过练习题查漏补缺。

专题4.3 数列的概念与性质 教学目标 1.熟练掌握数列的项、项数、通项公式等关键概念，能准确指出数列中某一项对应的项数，以及根据通项公式求出指定项的值。 2.能熟练根据数列的前几项特征，归纳总结出数列的通项公式，同时也能根据通项公式分析数列的性质。 3.学会运用累加法、累乘法、构造法等方法求解较复杂数列的通项公式。 4.能根据数列的通项公式或递推关系，分析数列的单调性、周期性、有界性等性质。 教学重难点 1.重点 数列的相关概念 2.难点 数列单调性、周期性相关问题及数列新定义 知识点01 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 【即学即练】 1．以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 2．数列 1，2，3，4 和数列 1，3，2，4 （是/不是）同一数列. 3．已知有穷递增数列的各项均为正整数，所有项的和为S，所有项的积为T，若，则该数列可能为 ．（填写一个数列即可） 4．是数列的第 项. 知识点02 数列的表示 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． (1)列举法：a1，a2，a3，…，an，…； (2)图像法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 数列与函数的关系：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 【即学即练】 1．下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 2．下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 3．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 4．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 知识点03 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】 1．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 2．下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 3．给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ． 4．数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 题型01 求数列中的项 【典例1】已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【变式1】数列的第6项为（   ） A． B． C． D．19 【变式2】2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为．例如时，操作可知，则 ． 【变式3】已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 【变式4】数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，，，则 ． 题型02 求数列的通项公式 【典例1】数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【变式3】设正数列满足，且，则的通项公式是 . 【变式4】已知，当时，，则的通项公式为 题型03 数列的单调性 【典例1】已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 【变式3】已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 【变式4】已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 . 题型04 数列的周期性 【典例1】已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 【变式1】已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【变式2】设数列满足，且，则 ． 【变式3】我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 【变式4】已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 题型05 数列的递推关系 【典例1】已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于（     ） A． B． C． D． 【变式1】数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，则数列的前7项和 ；若()，则 . 【变式3】已知数列中，，，且．则数列的前n项_和为 【变式4】设数列满足，，若使得，则正整数 ． 题型06 递推数列的实际应用 【典例1】一个饼，用刀切4次，最多能将其切成多少块？（   ） A．4 B．11 C．8 D．10 【变式1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 【变式2】某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则 ． 【变式3】斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有 种上楼方法. 【变式4】如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面． 若，则至少需要移动 次； 将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动 次．    1．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 2．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 4．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（   ） A．11 B．22 C．24 D．44 5．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 6．已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围为 ． 7．在数列中，，下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，则对任意，都存在，使得； ④若，且存在常数，使得对任意，都有，则的最大值是． 8．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ①若是“数列”则为假命题 ②若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 9．已知数列的前项和为，且，则 . 10．数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 11．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 12．已知函数 (1)求函数，的零点个数; (2)记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii）． 13．已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是否是“数列”，并说明理由； (3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列． 14．若数列，，…，中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”． (1)若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y； (2)若“数列”，，…，中，，，求n的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 数列的概念与性质 教学目标 1.熟练掌握数列的项、项数、通项公式等关键概念，能准确指出数列中某一项对应的项数，以及根据通项公式求出指定项的值。 2.能熟练根据数列的前几项特征，归纳总结出数列的通项公式，同时也能根据通项公式分析数列的性质。 3.学会运用累加法、累乘法、构造法等方法求解较复杂数列的通项公式。 4.能根据数列的通项公式或递推关系，分析数列的单调性、周期性、有界性等性质。 教学重难点 1.重点 数列的相关概念 2.难点 数列单调性、周期性相关问题及数列新定义 知识点01 数列的有关概念 概念 含义 数列 按照确定的顺序排列的一列数 数列的项 数列中的每一个数 通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式 递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式 数列{an}的 前n项和 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn=a1+a2+…+an 【即学即练】 1．以下三个结论中正确的个数为（    ） ①是数列；②不是数列；③数列的通项公式是唯一的. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数列的概念判断①②③即可. 【详解】①正确，其是按一定次序排列的一列数，符合定义； ②错误，都是数，而且是按一定次序排列的，所以它是数列； ③错误，因为数列的通项公式不一定是唯一的. 故选：B. 2．数列 1，2，3，4 和数列 1，3，2，4 （是/不是）同一数列. 【答案】不是 【分析】根据数列的定义判断. 【详解】因为第二，第三项不同， 所以数列是两个不同的数列， 故答案为：不是 3．已知有穷递增数列的各项均为正整数，所有项的和为S，所有项的积为T，若，则该数列可能为 ．（填写一个数列即可） 【答案】1，5，24（答案不唯一，符合题意即可） 【分析】根据题意不妨令，可得，结合题意代值验证即可. 【详解】由题意得，不妨令，则且，，是正整数． 可得，， 因为，即， 当，时，，无解； 当，时，，无解； 当，时，，无解； 当，时，，解得，满足题意． 此时该数列为1，5，24． 故答案为：1，5，24.（答案不唯一，符合题意即可） 4．是数列的第 项. 【答案】21 【分析】令，结合解得，即是数列的第21项. 【详解】令，即， 即， 所以或， 又因为，所以. 故答案为：21 知识点02 数列的表示 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． (1)列举法：a1，a2，a3，…，an，…； (2)图像法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 数列与函数的关系：数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an=f(n). 【即学即练】 1．下列结论中，正确的是（    ） A．数列和数列是相同的数列 B．数列的通项公式的形式是唯一的 C．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 D．数列不存在通项公式 【答案】C 【分析】根据数列的定义判断AC；根据数列通项公式的概念举例判断BD. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，数列和数列是不同的数列，A错误； 对于B，数列的通项公式可以为，也可以为， 该数列通项公式不唯一，B错误； 对于C，由数列定义知，数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数，C正确； 对于D，该数列的通项公式可以为，错误． 故选：C 2．下列说法中正确的是（   ） A．如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列 B．数列的第项为 C．数列1，0，，与，，0，1是相同的数列 D．数列0，2，4，6，可记为 【答案】B 【分析】根据数列的定义和概念逐项判断即可. 【详解】选项A：数列除了递增数列和递减数列，还有常数列（所有项都相等）、摆动数列（项的大小交替变化）等， 所以一个数列不是递增数列，不一定就是递减数列，A说法错误； 选项B：对于数列，它的第项为，B说法正确； 选项C：数列是按一定顺序排列的一列数，数列1，0，，，和数列，，0，1排列顺序不同， 所以这两个数列不是相同数列，C说法错误； 选项D：数列0，2，4，6，的通项公式为， 而表示的数列为2，4，6，8，，首项不同，D说法错误. 故选：B 3．下列说法正确的是（    ） A．数列4，7，3，4的首项是4 B．数列中，若，则从第2项起，各项均不等于3 C．数列3，6，8可以表示为 D．，－3，－1，1，，5，7，9，11一定能构成数列 【答案】A 【分析】根据数列的定义可判断各项的正误. 【详解】对于A，数列4，7，3，4的第1项就是首项，即4，故A正确． 对于B，同一个数在一个数列中可以重复出现，故B错误． 对于C，数列和数的顺序有关，集合中元素具有无序性，故C错误． 对于D，当都代表数（数列的各项都是数）时，能构成数列， 当中至少有一个不代表数时，不能构成数列， 因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故D错误． 故选：A. 4．若数列的通项公式为，则关于此数列的图象叙述正确的是（    ） A．此数列不能用图象表示 B．此数列的图象仅在第一象限 C．此数列的图象为直线 D．此数列的图象为直线上满足的一系列孤立的点 【答案】D 【分析】根据数列的图象是直角坐标系里一个个散点，一一判定选项即可. 【详解】数列的通项公式为， 它的图象就是直线上满足的一系列孤立的点，所以A、C错误， 当时，，该点在第四象限， 当且时，，此时数列图象在第一象限，所以B错误. 故选：D. 知识点03 数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大 小关系 递增数列 an+1>an 其中 n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 【即学即练】 1．下列结论中，正确的是（   ） A．数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数 B．数列的项数一定是无限的 C．数列的通项公式的形式是唯一的 D．数列1，3，2，6，3，9，4，12，5，15，…不存在通项公式 【答案】A 【分析】利用数列的定义判断A；举例说明判断BC；写出数列通项公式判断D作答. 【详解】对于A，由数列定义知，A正确； 对于B，数列只有5项，该数列项数有限，B错误； 对于C，数列的通项公式可以为， 也可以为，该数列通项公式不唯一，C错误； 对于D，该数列的通项公式可以为，D错误. 故选：A 2．下列说法正确的是（    ） A．数列与数列是相同的数列 B．数列0，2，4，6，8，…，可记为， C．数列的第项为 D．数列既是递增数列又是无穷数列 【答案】C 【分析】对于A利用数列的概念判断；对于B通过的值判断；对于C计算出第项即可判断；对于D通过数列有穷和无穷概念进行判断. 【详解】对于A：数列是有顺序的一列数，故A错误； 对于B：当时，，不符合，故B错误； 对于C：数列的第项为，故C正确； 对于D：数列的最后一项为，是有穷数列，故D错误； 故选：C. 3．给出下列数列：①2010～2017年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82，93，105，118，132，147，163，180；②无穷多个构成数列， ， ， ，…；③-2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列-2，4，-8，16，－32，…. 其中，有穷数列是 ，无穷数列是 ，递增数列是 ，常数列是 ． 【答案】 ① ②③ ① ② 【分析】根据数列的分类特征得到答案. 【详解】①为有穷数列，②③为无穷数列，①为递增数列，②为常数列，③为摆动数列， 故答案为：①，②③，①，② 4．数列首项为，，已知数列是单调递增数列，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得恒成立，进而有随的增大无限接近于，根据二次函数性质及数列单调性有，得，利用即可得. 【详解】记①，将n换为代入得②， 对时， 由②－①得③， 因为数列是单调递增数列，所以， 由③得，即. 综合得. 根据单调性有，即，显然， 所以，且，则， 所以随的增大无限接近于，则，可得， 由，则，所以. 故答案为： 题型01 求数列中的项 【典例1】已知数列，，…，，则是这个数列的（   ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 【答案】C 【分析】根据题设，令求参数即可得. 【详解】由题设，令，可得， 所以是这个数列的第23项. 故选：C 【变式1】数列的第6项为（   ） A． B． C． D．19 【答案】B 【分析】令项数，即可求解. 【详解】当时，， 所以数列的第6项为. 故选：B 【变式2】2024央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字按顺时针排列在圆周上，首先取走数字2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为．例如时，操作可知，则 ． 【答案】17 【分析】根据题意探索，，，与之间的关系，即可求解. 【详解】由题意，圆周上顺时针排列时，可得，就是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以，是这个数中的第个数； 当圆周上顺时针排列时，第一轮操作将划去所有偶数，留下共个数，它们的第个数是，所以. 故答案为：. 【变式3】已知数列满足．现将数列和的公共项由小到大组成新数列，则 ． 【答案】 【分析】根据数列和的通项公式找出它们的公共项，进而确定新数列的前几项，从而得到的值. 【详解】数列的奇数项满足， 数列的项形式为，   观察发现，当且仅当为奇数，此时可表示为，   因此，新数列的通项公式为， 计算得. 故答案为：. 【变式4】数列的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，，，，，，，则 ． 【答案】 【分析】由已知先找到数列的项数的规律，按分子进行分组后，当分子为时，该组共有项，其中第项的分母为，此时数列的总项数共有项，由此分析出属于哪一组的哪一项，即可得到答案． 【详解】数列的各项按分子进行分组如下规律排列： 当分子为时，该组只有一项，； 当分子为时，该组有项，； 当分子为时，该组共有项，，其中第项的分母为. 所以数列的总项数，即为这组的项数之和，故共有项， 当时，共有项数， 当时，共有项数， 所以所在组的分子为，分母应从63起倒数第5个，为59. 即， 故答案为：. 题型02 求数列的通项公式 【典例1】数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定数列前4项，利用观察法求出通项公式. 【详解】依题意， 由此得. 故选：B 【变式1】若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的定义，结合累加法、利用等比数列的前项和公式进行求解即可. 【详解】由， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则得， 因此有， 于是有. 故选：B 【变式2】在数列中，，前项和，则数列的通项公式为 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列递推式，得，两式相减，可得，利用累乘法，即可得到结论 【详解】由于数列中，，前项和， ∴当时，， 两式相减可得： ∴， 所以， 因此， 故选：A. 【变式3】设正数列满足，且，则的通项公式是 . 【答案】 【分析】首先通过构造的思想得出为等比数列，再利用累乘法即可得结果. 【详解】变形，得到， 再同除以得：，令，则得. 即是以为首项，2为公比的等比数列. . 当时，， 即，当时，适合，当时，不适合， ∴. 故答案为：. 【变式4】已知，当时，，则的通项公式为 【答案】 【分析】由题意设，展开后对照已知列方程组求出，再结合等比数列的通项公式，即可求得答案. 【详解】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 题型03 数列的单调性 【典例1】已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 【变式1】已知数列满足：，数列是递减数列，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的单调性，结合分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】因为数列满足：，数列是递减数列， 所以函数为减函数，所以，解得， 函数为减函数，所以， 且有，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式2】在数列中，，记，若数列为递增数列，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，得， 即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式3】已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题设，讨论符合求其范围，进而得到的取值范围. 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上， . 故答案为： 【变式4】已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 . 【答案】 【分析】分，，，，几种情况，结合双勾函数性质分类讨论求解即可. 【详解】由题意得， 当时，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，，，由双勾函数性质可知， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时，， 此时随着的增大而减小，而，此时不满足题意，舍去； 当时，， 随着的增大而增大，而，满足题意； 当时， ，，由双勾函数性质可知， 当时，随着的增大而减小， 当时，随着的增大而增大， 而，所以当，即，符合题意； 当时，，此时数列的最小项为或， 由题意可得，解得，所以， 当时，即时，必有，不符合题意舍去； 综上，实数的取值范围为，即最小值为. 故答案为：. 题型04 数列的周期性 【典例1】已知数列中，，，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】求出数列的前几项，根据规律总结数列是以3为周期的周期数列，即可根据周期求出答案． 【详解】，， 则， ， ， ， 即，， 故数列是以3为周期的周期数列， 则， 故选：A． 【变式1】已知数列满足，，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据题目条件可得数列是周期为3的周期数列，. 【详解】由数列满足，，可得： ， ， ，， 故数列是周期为的周期数列，. 故选：A 【变式2】设数列满足，且，则 ． 【答案】 【分析】根据递推公式，依次求出数列各项，判断数列周期，进而求出结果. 【详解】由题意得，，，，，以此类推， 可知数列周期为，即，所以. 故答案为：. 【变式3】我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支．天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子．我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法，今年（2025年）是乙巳年，则百年后的2125年是 年． 【答案】乙酉 【分析】由题意可得天干、地支的周期，再利用周期计算即可得. 【详解】由题意可得，天干每年一循环，地支每年一循环， 由，故百年后的天干为乙，地支为酉， 即2125年是乙酉年. 故答案为：乙酉. 【变式4】已知无穷数列中，，记，，． (1)若为2，0，2，4，2，0，2，4，…，是一个周期为4的数列（即，），直接写出，，，的值； (2)若为周期数列，证明：存在，使得当时，是常数． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 【分析】（1）根据定义可直接求出的值. （2）令（周期），结合新定义，即可证明结论. 【详解】（1）因为，，所以； ，，所以； ，，所以； ，，所以. （2）证明：不妨设的周期为（）， 记，， 则当时，是常数，故是常数. 故可记，则当时，是常数， 即，使得当时，是常数. 题型05 数列的递推关系 【典例1】已知数列{an}的通项公式an＝，则an·an＋1·an＋2等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列通项公式，代入目标式中化简即可. 【详解】. 故选：B. 【变式1】数列1，3，7，15，31，63，…应满足的递推关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列中的项代入四个选项中验证即可 【详解】解：将代入四个选项中， 对于A，，所以A不满足； 对于B，，所以B满足； 对于C，，所以C不满足； 对于D，，所以D不满足 所以只有B满足， 故选：B 【点睛】此题考查由数列的项求其递推式，利用了验证法求解，属于基础题. 【变式2】已知数列：1，1，2，3，5，…其中从第3项起，每一项都等于它前面两项之和，则数列的前7项和 ；若()，则 . 【答案】 33 4041 【分析】根据题意写出数列的递推关系式，即可得数列的前7项，即可求得；根据题意对递推关系式进行适当变形，然后利用累加法即可得到，进而可得的值. 【详解】由题意可得，，，()，所以数列的前7项为1，1，2，3，5，8，13，所以.易知，，…，，所以，，，…， ，所以，所以. 故答案为：33，4041 【点睛】关键点点睛：解题关键求解本题的关键是对()变形，得到()，并将中的一个用代替，得到().，本题是创新性题目，属于探索创新情境，具体是数学探究情境，本题考查逻辑思维能力､运算求解能力，试题以新定义数列为切入点设题，引导考生深度挖掘题中信息，培养用数学的思想方法分析问题､解决问题的能力，较好地体现对理性思维､数学探索学科素养的考查. 【变式3】已知数列中，，，且．则数列的前n项_和为 【答案】 【分析】，，且．可得 解得．可得．利用“累加求和”方法即可得出最后用裂项求和法可得数列的前n项_和． 【详解】由题意，可得 解得则，可得 则，则数列的前n项_和为 即答案为. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、数列递推关系、裂项相消法求和法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【变式4】设数列满足，，若使得，则正整数 ． 【答案】2018 【分析】根据递推关系可得数列的单调性、及，由裂项相加法求和及放缩法可得，即可得解. 【详解】由题意知，∴． 由， 得 ， ∴， ∴， ∴，∴． 由得， ∴．综上所述． 故答案为： 题型06 递推数列的实际应用 【典例1】一个饼，用刀切4次，最多能将其切成多少块？（   ） A．4 B．11 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据题意分析列出递推数列，进而可求出第4项的值. 【详解】设刀最多能将饼切成块，前刀已经得到块， 对于第n刀，要使得切出的块数最多，则这一刀所在直线必须与前刀所在直线都相交， 在此直线上有个交点，则最多增加n块，从而得到递推公式为， 显然，从而累加得到． 当时，． 故选：B. 【变式1】三名篮球运动员甲、乙、丙进行传球训练（不能传给自己），由丙开始传，经过5次传递后，球又被传回给丙，则不同的传球方式共有（    ） A．6种 B．10种 C．11种 D．12种 【答案】B 【分析】设在第次传球后有种情况球在丙手中，结合题意可推出，即可求得答案. 【详解】设在第次传球后有种情况球在丙手中，即经过n次传球后球又被传回给丙， 在前n次传球中，每次传球都有2种可能，故在前n次传球中共有种传球方法， 故在第n次传球后，球不在丙手中的情况有（种），即球在甲或乙手中， 只有在这些情况时，在第n+1次传球后，球才会被传回给丙， 即，由题意可得，则， ， 故选：B 【变式2】某大型景区有16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中，，则 ． 【答案】609 【分析】数列前几项总结规律，然后计算结果. 【详解】由题意知，，，，，，…，，所以路线数满足斐波那契递推，则前14项分别为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，则，，，，． 则．故答案为609． 【变式3】斐波那契数列，又称黄金分割数列.因数学家列昂纳多·斐波那契（）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列可以用递归的方法定义：.这种递推方法可以解决生活中很多问题.比如：某中学食堂一楼到二楼楼梯有个台阶，某同学一步可以跨一个或者两个台阶，则他到二楼就餐有 种上楼方法. 【答案】 【分析】根据题中所给的递推关系，分析题意满足斐波那契数列，列举即可求解. 【详解】由题意若只有一个台阶，则有种方法； 若只有两个台阶，则有种方法； 若只有三个台阶，则有种方法； 若只有四个台阶，则有种方法； 若只有五个台阶，则有种方法； 以此类推，要想到达第个台阶，前一步可能在第个台阶处向上迈一步到达，也可能在第个台阶处向上迈两步到达，所以满足，且该数列与题干中定义的斐波那契数列初始项不同，是以斐波那契数列的第二项为首项，符合斐波那契数列规律，所以列出前项： ， 所以有个台阶，上楼有种方法. 故答案为： 【变式4】如图所示，有标号为1，2，3的三根柱子，在1号柱子上套有n个金属圆片，从下到上圆片依次减小．按下列规则，把金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，要求：①每次只能移动一个金属圆片；②较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面． 若，则至少需要移动 次； 将n个金属圆片从1号柱子全部移到3号柱子，至少需要移动 次．    【答案】 7 【分析】从的情况开始逐一进行分析，找到规律后利用数列的递推关系求解. 【详解】（1）当时，只需把金属圆片从1号柱子移到3号柱子，用符号（13）表示，共移动一次． 当时，移动的顺序为（12）（13）（23），共移动3次． 当时，把上面的两个金属圆片作为一个整体，则归结为的情形， 移动的顺序是（13）（12）（32）；（13）；（21）（23）（13），共移动7次． （2）记把n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子，最少需要移动次，则由（1）知，，． 当移动n个金属圆片时，可按下列3个步骤进行： ①将上面个金属圆片从1号柱子移到2号柱子； ②将第n个金属圆片从1号柱子移到3号柱子； ③将上面个金属圆片从2号柱子移到3号柱子． 就把移动n个金属圆片的任务转化为移动2次个金属圆片与移动1次第n个金属圆片的任务．而移动个金属圆片需要移动2次个金属圆片和移动1次第个金属圆片；移动个金属圆片需要移动2次个金属圆片和移动1次第个金属圆片……如此继续，直到转化为移动1个金属圆片的情形．根据这个过程，可得递推公式：，且，从而当时，有,∴是以2为公比，2为首项的等比数列，故，即． 故答案为:； 1．数列的通项公式为，满足：，则数列的最大项是第（    ）项 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】设数列的最大项为,由求解. 【详解】设数列的最大项为， 则，即， 化简得，解得， 所以，又，所以， 即数列的最大项是第项. 故选：B 2．数列的通项公式为．若数列仅第7项最小，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，结合题意根据二次函数性质列不等式求解即可. 【详解】设函数， 由二次函数性质可知，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 若数列仅第7项最小，则，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C 3．意大利数学家斐波那契（约1170∼1250），以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花，飞燕草，万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．已知斐波那契数列满足：，，若，则（   ） A．2022 B．2023 C．59 D．60 【答案】D 【分析】根据斐波那契数列的性质即可求解. 【详解】由题意，所以. 故选：D 4．已知数列的通项公式为，则下列各数是数列的项是（   ） A．11 B．22 C．24 D．44 【答案】B 【分析】分别将选项中的数换，得到的等式，计算的值，若，则此数是数列中的项，否则，不是数列中的项. 【详解】解得，故A错误； 解得，故B正确； 解得，故C错误； 解得，故D错误． 故选:B． 5．已知数列的前项和为，且．若对任意的正整数恒成立，则实数的最小值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】通过数列前项和与项的关系求得数列的通项公式，代入不等式分离参数后构造数列，然后通过作商法求得数列中最大项的值，从而求得结果. 【详解】当，则，即， 当，， 则，即，∴， ∴数列是的等比数列， ∴， ∵，即， ∴， 令数列的通项为， 则， 令，则， 又∵ ∴当，，当，， ∴数列的最大项为， ∴. 故选：B. 6．已知数列的前n项和为，且满足，若对于任意的正整数n恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】降次作差即可证明为等比数列，再利用等比数列求和公式以及分离参数得，设，求出其最大值，即可得到的范围. 【详解】根据，当时，; 当时，，两式相减可得，即， 由，得， 数列是首项为2，公比为2的等比数列， ， 则可变为， 即，令， 则 且， ， ，即实数的取值范围是. 故答案为：. 7．在数列中，，下列说法正确的是 ． ①若，则一定是递增数列； ②若，则一定是递增数列； ③若，则对任意，都存在，使得； ④若，且存在常数，使得对任意，都有，则的最大值是． 【答案】②③④ 【分析】对于①，根据条件得，取，得到，此时为常数数列；对于②，根据条件可得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的最小值，即可得，故得到②正确；对于③，推出，故为递增数列，③正确；对于④，根据存在的有界性判断即可，④正确. 【详解】对于①，因为，故， 取，则，所以，即，此时数列为常数数列，所以①错误； 对于②，若，则， ，构造函数，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，所以在区间上单调递增， 所以，所以，则， 所以一定是递增数列，故②正确. 对于③，因为， 因为，所以，， 以此类推，可得为递增数列，且时，， 故对任意，都存在，使得，③正确； 对于④，，且存在 使所有 ，求 的最大值. 这里数列有上界，并不是对所有 都小于 ，而是能找到有限上界，即数列有界. 设，对称轴，开口向上.迭代：. 不动点方程：，即 . 判别式. 使得存在常数 有 对任意 成立，就是有上界，最大 就是 ， 此时上界是 （不动点）. 所以④正确. 故答案为：②③④. 8．若无穷数列满足：，当时，，则称是“数列”，则下列正确的有 ①若是“数列”则为假命题 ②若是“数列”且是等差数列，则单调递增 ③若是“数列”且单调递减，则是等比数列 ④若是“数列”且是周期数列，则集合的元素个数最多是50 【答案】①④ 【分析】根据数列定义，举例计算判断①；结合等差数列，单调性，周期数列计算判断②③④. 【详解】对于①，若是“数列”，当时，， ，若 当时，，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故命题若是“数列”则为假命题，①正确； 对于②，若是“数列”且是等差数列，设公差为， 当时，，即， 当时，，则，，即， 此时，数列不单调递增，②错误； 对于③，若是“数列”且单调递减， 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 当时，，因为数列单调递减，所以. 可知数列不是等比数列，③错误； 对于④，若是“数列”且是周期数列，假设周期为， 当时，， 当时，，所以或 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 这样数列值会越来越大（非周期），所以 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 若时，当时，，所以或， 同理按此规律计算可得数列的取值可能是， 所以的元素个数最多是，④正确． 故答案为：①④ 9．已知数列的前项和为，且，则 . 【答案】4051 【分析】利用递推公式化简，作差，得到数列的周期性，利用周期性可得答案. 【详解】由已知得，因为， 所以， 所以， 两式相减，得， 所以， 即是以3为周期的数列， 又 ， 所以. 故答案为：4051 10．数列的通项公式为，．求证：为递增数列． 【答案】证明见解析 【分析】计算，利用指数函数的单调性进行证明. 【详解】 ，因为，所以，所以，所以，又，所以，即，．所以是递增数列． 11．已知项数为m（，）的数列满足如下条件：①（，2，…，）；②.若数列满足，其中，2，…，，则称为“默契数列”. (1)数列1，5，9，13，17是否存在“默契数列”，若存在，写出其默契数列，若不存在请说明理由； (2)若为的“默契数列”，判断数列的单调性，并予以证明； (3)已知数列存在“默契数列”，且，，求的最大值. 【答案】(1)存在；11，10，9，8，7. (2)单调递减，证明见解析 (3)46 【分析】（1）求出、、、、后，根据“默契数列”的定义判定即可； （2）由“默契数列”的定义，结合数列单调性讨论的符号即可得解； （3）根据数列及其“默契数列”中项的特征，结合单调性分析出，即可得解. 【详解】（1）数列1，5，9，13，17存在“默契数列” 因为， ，， ，， 所以数列1，5，9，13，17存在“默契数列”为：11，10，9，8，7. （2）数列为单调递减数列． 因为，，， 又因为，所以有， 所以， 即成立 所以数列为单调递减数列． （3），都有， 因为，． 所以， 所以， 所以 因为， 所以， 又 ， 则，即，，所以． 所以的最大值是46． 12．已知函数 (1)求函数，的零点个数; (2)记在上的零点为，求证; （i）是一个递减数列 （ii）． 【答案】(1)有1个零点，有2个零点； (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数，结合零点的存在性定理可求解零点； （2）（i）易知，当时可得，利用的单调性解不等式可得，即可证明；（ii）由（i），求和可得，求和计算即可证明. 【详解】（1）由，得， 所以函数在上单调递增，又，， 所以函数在内有唯一零点； ， 设， 则，函数在上单调递增， ，在内有1个零点，记作， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 且，根据零点的存在性定理可有2个零点. 所以有1个零点，有2个零点； （2）（i）由（1）知，当时，在内的零点， 当时，，， 则， 故，所以数列是一个递减数列； （ii）由（i）知，当时，， 当时，， 有，所以， 求和可得，当且仅当时等号成立； 当时，即， ，当且仅当时等号成立； 综上，. 13．已知数列中，，．若数列同时满足以下条件：①对于任意的正整数n，恒成立；②对于给定的正整数k，对于任意的正整数恒成立，则称数列是“数列”． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列是否是“数列”，并说明理由； (3)已知数列是“数列”，且存在整数，使得，，成等差数列，求证：是等差数列． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将等式变形，然后两式相减可确定数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列，然后根据为偶数和奇数时分别求得通项公式即可. （2）根据“数列”的定义，判断和是否成立即可. （3）根据“数列”的定义，可得数列、、都是等差数列，设公差分别为，借助性质①探究出，再利用，，，成等差数列，设公差为，然后分类讨论求解为同一常数即可. 【详解】（1）因为①，所以当时，②. ①②式相减得即数列的奇数项和偶数项分别成公差为4的等差数列. 由于，可得，所以. 当为奇数时，设，； 当为偶数时，设，； 综上，数列的通项公式为. （2）是，理由如下： 当为奇数时，为偶数，则，则； 当为偶数时，为奇数，则，则； 所以对于任意正整数，恒成立. 当为奇数时，，； 当为偶数时，，； 所以对于给定的正整数2，对于任意的正整数恒成立. 所以数列是“数列”. （3）因为数列是“数列”，则（）， 当时，， 则， 所以数列是等差数列，首项为，设公差为； 当时，， 则， 所以数列是等差数列，首项为，设公差为； 当时，， 则， 所以数列是等差数列，且首项为，设公差为； 因为对任意正整数n，恒成立，所以， 即， 所以，且， 若，则当且时，， 由性质①对于任意的正整数n，恒成立，产生矛盾； 若，则当时，， 这也与性质①产生矛盾； 所以； 同理由，可得； 记， 由题意，存在整数，使得，，，成等差数列， 可设， 则， 同理可得，， 即对任意整数，恒成立， 所以是等差数列． 14．若数列，，…，中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”． (1)若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x，y； (2)若“数列”，，…，中，，，求n的最大值； (3)设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，，…，，记，其中表示，，…，这s个数中最大的数，求M的最小值． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】（1）利用“数列”的定义，得到关于的不等式组，列出所有满足条件，即可得解； （2）利用“数列”的定义，推得，进而得到，解得；再取，推得符合题意，由此得解； （3）利用“数列”的定义，结合（2）中结论推得；再取特殊例子证得成立，从而得解. 【详解】（1）依题意，因为数列1，，，7为“数列”， 则，注意到， 故所有可能的，为或或. （2）n的最大值为66，理由如下： 因为，对任意的， 令，则且， 故对任意的恒成立． 当，时，注意到， 得， 此时， 即，解得：，故； 另一方面，取，则对任意的，， 故数列为“数列”， 此时，即符合题意．综上，n的最大值为66． （3）当时， 一方面：由（2）可得：， 则， 此时有 ， 故， 另一方面，当，，，，，，，时， ， 取，则，，， 且， ， 此时， 综上，的最小值为. 2 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $