北京市第二中教育集团2025-2026学年第二学期九年级数学综合练习试卷

北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 1. 未来将是一个可以预见的 时代．下列是世界著名人工智能品牌公司的图标，其中是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　） A. y=3（x+2）2 B. y=3（x-2）2 C. y=3x2+2 D. y=3x2-2 3. 下列说法正确的是（ ） A. “射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B. 某种彩票中奖的概率是，因此买100张该种彩票就一定会中奖 C. 抛掷一枚图钉， “针尖朝上”的概率可以用列举法求得 D. 一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率稳定于某个常数p，那么事件A发生的概率 4. 如图，是的直径，C，D是上两点，若点C为弧中点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 如图，在中，，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点M和N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接并延长交于点D，以下结论错误的是（ ） A. 是的平分线 B. C. 点D在线段的垂直平分线上 D. 7. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当 取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为6的等边绕它的中心逆时针旋转得到 （的对应点分别为），交于交于．给出下面4个结论：①；②；③的取值范围是；④当时，． 上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 10. 某公司新研发一款英语听说训练平台，为测试其用户满意度，随机抽取了以下样本进行调查，统计数据如下： 调查人数m 10 250 700 1000 5000 10000 20000 回复满意的人数n 8 218 621 898 4510 8990 18020 回复满意的频率（结果保留小数点后三位） 0.800 0.872 0.887 0.898 0.902 0.899 0.911 根据表中信息，估计平台用户回复满意的概率为_____（结果精确到0.1）． 11. 如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为，则这个“莱洛三角形”的周长是_______________．(结果保留π) 12. 点，在二次函数的图象上，若 ，，则与的大小关系是__________．（填“”、“”或“”） 13. 如图，在中，，将 绕点 A 旋转得到，连接，若，则的度数为_____． 14. 如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集为______． 15. 如图，在正方形中，点在上， 于点， 于点．若 ， ，则的面积为_________． 16. “北京八中好声音”彰显了八中学子的音乐素养，是八中素质教育的一种体现、为了更好的准备节目，学校提供场地供学生进行彩排．现有A，B，C，D，E五个节目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始．每个节目的演员人数和彩排时长（单位：）如下： 节目 演员人数 彩排时长 已知每位演员只参加一个节目．一位演员的候场时间是指第一个彩排节目开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔（不考虑换场时间等其它因素）． （1）若两个节目不能同时彩排，本着节目人数多先彩排的原则，应按_______顺序彩排才能使这名演员等待总时间最短； （2）为节约学生的时间，将场地分成两部分可供学生同时彩排两个节目，则这名演员等待总时长最少为________． 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分） 17. 计算：． 18. 已知实数是的根，求的值． 19. 如图，在矩形中，求作：经过 ，两点且与边相切．小明的做法如下： ①作线段的垂直平分线，交线段于点； ②连接，作线段的垂直平分线，交于点； ③以点为圆心，长为半径作圆． 即为所求作的圆． （1）根据小明的做法，补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明： 证明：连接，． 垂直平分， ， ． 四边形是矩形， ． ． 为半径， 与相切．（______）（填推理的依据） 垂直平分线段， ______． ． 经过 ，两点且与边相切． 20. 一个弓形桥洞截面示意图如图所示，弦是水底，弦表示水面，过圆心且，米，． （1）求桥洞所在圆的半径； （2）当水深为19米时，求此时水面的宽． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若m为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，直接写出m的值． 22. 已知，二次函数 （，， 是常数，）的与的部分对应值如下表． … 0 1 2 … … 3 0 0 … （1）求二次函数的解析式． （2）①在平面直角坐标系中画出函数图象； ②当 时，的取值范围是 ； ③当时，的取值范围是 ． 23. 综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 24. 篮球发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备．发球机经设置按某一角度发球后，把球看成点，一位教练为了得出篮球飞行过程中离地高度h（单位：m）与水平距离s（单位：m）之间的关系，测得一些数据如表： （m） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 … h（m） 0.45 1.1 1.65 2.1 2.45 2.7 2.85 2.9 2.85 … 为观察 与之间的关系，建立平面直角坐标系，以为横坐标， 为纵坐标，插出表中各对对应值为坐标的点，画出该函数图象，发现篮球的飞行路线可看成抛物线的一部分． （1）发球机出口点 的离地高度为 ； （2）求出该抛物线的解析式； （3）小亮在训练时发现，当球离地高度 的取值范围是时，接球较为舒适．已知标准篮球场地罚球线距离发球机出口 的水平距离为5.8米，此时小亮站在罚球线处，他 （填“能”或“不能”）舒适地接到球． 25. 如图，为半圆的直径，点在半圆上，点在弦上，过点 作半圆的切线交射线于点，与半圆交于点，且． （1）求证：平分 ； （2）若半圆的半径为，，求的长． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线经过点，点M为抛物线上任意一点，其横坐标为m，过点M作轴，点P的横坐标为． （1）求b的值； （2）当线段与抛物线有两个公共点时，求出m的取值范围； （3）过点P作 轴交抛物线于点Q，点M在抛物线上运动的过程中，若线段的长随m的增大而增大，直接写出m的取值范围． 27. 在 中， ， ，点D为平面内任意一点，连接，将线段绕点D顺时针旋转 得到线段，连接，取的中点F，连接． （1）如图1，当点D在线段上时，点E恰好落在上，求证：； （2）如图2，当点D在内部时， ①依题意补全图2； ②用等式表示的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于点 ，直线（点 不在上）和，给出如下定义：若点 关于直线的对称点在上，则称点 是关于直线的映像点，称线段的长度为点 与的映像距离． （1）如图，的半径为，直线， ①在点，，中，点______是关于直线的映像点，该点与的映像距离为______； ②点 是关于直线的映像点，当点 与的映像距离最小时，点 的坐标为______； （2）已知点，，点在轴的正半轴上且 为等边三角形．点， 的半径为．若 上存在 关于直线的映像点，直接写出的取值范围． 北京二中教育集团2025-2026学年度第二学期 初三数学综合练习试卷 一、选择题（共16分，每题2分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、填空题（共16分，每题2分） 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】0.9 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 或 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】 ①. ②. 三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分） 【17题答案】 【答案】 【18题答案】 【答案】． 【19题答案】 【答案】（1）见解析 （2）经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 【20题答案】 【答案】（1） （2） 【21题答案】 【答案】（1）见解析 （2）或 【22题答案】 【答案】（1）二次函数的解析式为  （2） 见解析； 或 ． 【23题答案】 【答案】（1）20，40 （2）不能 【24题答案】 【答案】（1） （2） （3）不能． 【25题答案】 【答案】（1） 证明：∵为半圆的直径，是半圆的切线， ∴ ，， ∴ ， ， ∴， ∵， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴平分 ； （2） 【26题答案】 【答案】（1） （2）或 （3）或 【27题答案】 【答案】（1）见解析 （2）①见解析，②，证明见解析 【28题答案】 【答案】（1）①；；② （2）或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $