精品解析：安徽省阜阳市临泉县安徽省临泉田家炳实验中学（临泉县教师进修学校）2025-2026学年高二下学期开学数学试题

高二数学 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过直线的方向向量和向量的坐标运算求解. 【详解】依题意，直线l的一个方向向量为. 故选： 2. 已知直线l1的斜率，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（ ） A. B. C. D. - 【答案】B 【解析】 【分析】通过直线的斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由，可知直线l1的倾斜角为60°， 依题意，可知l2的倾斜角为30°，所以l2的斜率为. 3. 若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2+ C. 2+2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可得准线方程，根据抛物线定义可得，根据点P坐标，即可求得答案. 【详解】抛物线准线方程为，过点A作准线的垂线，垂足为B， 根据抛物线的定义可得，所以， 当P，A，B三点共线时，等号成立，所以的最小值为3+1=4. 故选：D 4. 已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得， 又知平面α的一个法向量，则点B到平面α的距离为. 5. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意及两点间距离公式，化简整理，即可得答案. 【详解】由题意得，则， 整理得，则点P的轨迹为双曲线. 故选：C 6. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据曲线类型以及表达式的几何意义，利用圆心到直线的距离即可得出结果. 【详解】曲线等价于； 可知其表示为圆的右半部分，圆心，半径为2，上顶点， 表示曲线上的点到直线的距离的倍，如下图： 圆心到直线的距离为， 顶点到直线的距离为. 则的最大值为，的最小值为， 故的取值范围为. 故选：B 7. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，则，根据两角差的正切公式，结合基本不等式，可得，结合条件，可得，根据离心率公式，即可得答案. 【详解】不妨设点在第一象限，设直线与x轴交于点， 且由题可知， 设，则， 又， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故， 因此，即，则， 所以离心率. 故选：A 8. 在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D. 在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据直线方向向量的概念求解即可；对于B，根据直线定点的求解方式求出直线定点即可；对于C，根据直线位置的判定判断即可；对于D，根据截距式不能表示截距为0的直线判断即可． 【详解】对于A，直线l的倾斜角为，斜率为，一个方向向量是，A正确； 对于B，直线，即，恒过定点，B错误； 对于C，当时，显然，当时，，所以，C正确； 对于D，截距式不能表示截距为0的直线，D错误． 10. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini oval).在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于2，则下列结论正确的是（ ） A. P的轨迹方程为 B. P的轨迹关于y轴对称 C. 存在点P，使得 D. 的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给定义，结合两点间距离公式，可判断A的正误；将方程中的x换成，分析可判断B的正误；根据基本不等式，可判断C的正误；根据方程化简变形，可得表达式，即可判断D的正误. 【详解】选项A：由题意得， 化简得，故A正确； 选项B：把方程中的x换成，方程不变，所以P的轨迹关于y轴对称，故B正确； 选项C：由题意， 则， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 选项D：由， 得，解得， 所以， 则的取值范围为，故D正确. 故选：ABD. 11. 双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当点异于双曲线的顶点时，平分 C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D. 若，则点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由双曲线定义计算可判断A；由题意结合光的反射原理计算可判断B，由双曲线定义及两点间距离公式计算可判断C；由双曲线定义及三角形面积公式列式计算可判断D. 【详解】在双曲线中，则，故. 设，若， 且，则，所以，A项正确； 过点作，如图所示， 由光的反射原理可知，， 所以，故平分，B项正确； ， 故当过点时， 光线由到再到所经过的路程为，C项错误； 若，则，设，则， 因为， 且， 所以，即，解得，D项正确. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得c值，根据离心率公式，可得双曲线中a值，根据关系，求出，即可得答案. 【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得， 故， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 13. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先确定二面角的平面角，建立向量关系，通过向量数量积计算异面直线所成的角. 【详解】如图，取的中点，连接，. 因为，所以，， 所以为平面与平面所成二面角的平面角， 又， 所以， 则，所以为等边三角形，所以. 因为， 所以， 所以， ， 即，得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 14. 数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【解析】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线. （1）若，求； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据两直线垂直可得； （2）利用两直线平行可求得，再排除重合的情况即可. 【小问1详解】 若，得，解得. 【小问2详解】 由，得，解得， 因为，所以或，此时直线与的纵截距分别为和. 因为当时，，此时两直线重合， 因为当时，，此时， 故. 16. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）由题意结合抛物线定义建立方程组计算求解； （2）根据点差法得直线斜率，求得直线方程，直线与抛物线联立方程组计算求解. 【小问1详解】 由题可知，解得(舍去)或， 故抛物线的方程为； 【小问2详解】 由，两式相减得，即. 因为线段的中点坐标为，所以，则， 故直线为. 联立，得， 解得或， 所以，所以. 17. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. （1）证明：平面⊥平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用空间垂直关系和正方形可证明线面垂直，再证明面面垂直； （2）利用空间向量法来求解线面角的正弦值即可. 【小问1详解】 证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以，又平面，所以平面， 因为平面，所以. 由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面， 因为平面，所以平面⊥平面. 【小问2详解】 因为底面，且，所以以A为坐标原点，以所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图所示. 设，则， 所以，，. 设平面的法向量为，则, 取，可得所以 设直线与平面所成的角为θ， 所以=， 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. （1）求点的轨迹方程. （2）设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算即可求解； （2）结合题意，由阿氏圆的定义列式计算，并代入检验即可. 【小问1详解】 设点.由， 可得，整理可得， 化为标准方程可得，所以点的轨迹方程为圆； 【小问2详解】 由阿波罗尼斯圆的定义可知，若为定值， 则点的轨迹(即圆)应为的阿波罗尼斯圆， 当分别位于和时，满足为定值， 可得，解得 (舍去)或，所以. 设点，因为， ， 所以可得，经验算，当点的坐标为时，满足， 故存在点，使得为定值，此时. 19. 已知圆圆与圆均外切. （1）求圆心的轨迹方程. （2）过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 【答案】（1） （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两圆圆心和半径，利用双曲线定义可求得圆心的轨迹方程； （2）①当的斜率为时，分别计算出的长代入计算可得结果； ②当的斜率不为时，设直线的方程为，联立双曲线方程并利用韦达定理得出表达式化简计算可得. 【小问1详解】 由题意可知，圆的圆心,半径，圆的圆心,半径, 由条件可得，即， 即根据双曲线的定义可知点是以为焦点，以为实轴长的双曲线的上支， 则,可得， 故圆心的轨迹方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在. ①当斜率为时，可知直线方程为，代入双曲线方程可解得； 所以,则. ②证明：当的斜率不为0时，设直线的方程为，点如下图： 联立与双曲线的方程得，易知， 则 因为直线与双曲线交于上支两点，所以， 则. 设直线的方程为，联立与双曲线的方程得 ∴可得. 故为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 120分钟　150分 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线l1的斜率，且直线l1的倾斜角是直线l2的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（ ） A. B. C. D. - 3. 若点A在焦点为F的抛物线上，点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 2+ C. 2+2 D. 4 4. 已知平面α的一个法向量，点在α内，则点到α的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 5. 古希腊后期的数学家帕普斯在他的《数学汇编》中探讨了圆锥曲线的焦点和准线的性质：平面内到一定点和定直线的距离成一定比例的所有点的轨迹是一圆锥曲线.这就是圆锥曲线的第二定义或称为统一定义.若平面内一动点到定点和到定直线x=1的距离之比是，则点P的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 6. 点在曲线上，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右顶点分别为，点M在直线上运动，c为半焦距，若的最大值为45°，则椭圆的离心率e=（ ） A. B. 2 C. D. 8. 在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（ ） A. 2 B. 2 C. 3 D. 3 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的有（ ） A. 倾斜角为的直线l的一个方向向量是 B. 直线恒过定点 C. 不论m为何实数，直线与直线互相垂直 D. 在x，y轴上的截距为a，b的直线可表示为 10. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线(Cassini oval).在平面直角坐标系xOy中，动点到两个定点的距离之积等于2，则下列结论正确的是（ ） A. P的轨迹方程为 B. P的轨迹关于y轴对称 C. 存在点P，使得 D. 的取值范围为 11. 双曲线具有如下光学性质: 是双曲线的左、右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过.如图，若双曲线的方程为，是双曲线在点处的切线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 当点异于双曲线的顶点时，平分 C. 当过点时，光线由到再到所经过的路程为4 D. 若，则点的坐标为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 13. 在三棱锥中，，，，平面与平面所成二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为____. 14. 数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线. （1）若，求； （2）若，求的值. 16. 已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与抛物线交于两点，且线段的中点坐标为，求弦长. 17. 阳马，中国古代算术中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体.如图，在阳马中，PA⊥底面为线段的中点，F为线段上的动点. （1）证明：平面⊥平面. （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯同欧几里得、阿基米德齐名，他发现:平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，点，，点满足. （1）求点的轨迹方程. （2）设点，在轴的正半轴上是否存在异于点的点，使得对于点的轨迹上任意一点，满足为定值?若存在，求的值;若不存在，请说明理由. 19. 已知圆圆与圆均外切. （1）求圆心的轨迹方程. （2）过点的直线与的轨迹交于两点，过原点作直线，点为直线与点的轨迹的交点. ①当的斜率为时，求的值； ②当的斜率不为时，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $