专题13 反比例函数（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题13 反比例函数 反比例函数是中考数学函数体系的核心专题之一，承接一次函数的学习内容，也是后续反比例函数与一次函数、几何图形综合应用的基础。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和高档题，分布于选择题、填空题及解答题（含综合题），占分比重约7%-9%，核心考查学生的函数图象分析能力、解析式求解能力、几何意义应用能力及综合建模能力。 核心考点 ①反比例函数的定义与基本性质（图象所在象限、增减性）； ②反比例函数中比例系数的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形/三角形面积）； ③反比例函数与一次函数的综合（解析式求解、交点问题、不等式求解）； ④反比例函数的实际应用（工程问题、行程问题、几何量之间的反比例关系）； ⑤反比例函数与几何图形的综合（与三角形、四边形、对称图形的结合）。 考情分析 ①基础题型：侧重反比例函数的定义、性质、的几何意义，难度较低； ②中档题型：侧重反比例函数与一次函数的交点、不等式求解、简单实际应用，难度中等； ③创新题型：侧重反比例函数与几何图形的综合、复杂实际情境建模，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1. 反比例函数的定义 一般形式：形如（为常数，），也可表示为或； 关键点：自变量，函数值，定义域和值域均为非零实数。 2. 反比例函数的图象与性质 比例系数的符号 图象所在象限 增减性（每一象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 注意：增减性需强调“在每一象限内”，跨象限无增减性规律（如时，的函数值均小于的函数值）。 3. 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则： 矩形的面积； 三角形（或）的面积； 推广：过双曲线上两点作坐标轴垂线，形成的图形面积关系可通过推导。 4. 反比例函数与一次函数的关系 交点问题：联立，消去得，交点个数由判别式决定： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点； 对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。 （二）二级结论（中考高频应用） 1. 反比例函数图象上两点、，若，则、； 2. 若反比例函数与直线相交，则交点坐标为和（）； 3. 反比例函数实际应用中，“总量一定”是判断反比例关系的关键（如工作量=效率×时间、路程=速度×时间）； 4. 反比例函数与几何综合中，遇到“垂直于坐标轴”的条件，优先用的几何意义求面积或值； 5. 比较反比例函数值大小时： 同象限内：根据增减性判断； 异象限内：时，第一象限函数值>第三象限函数值；时，第二象限函数值>第四象限函数值。 考点1：反比例函数的定义与性质 例题1（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 变式题1（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 变式题2（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 考点2：反比例函数的增减性（比较函数值大小） 例题2（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式题1（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 变式题2（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 考点3：反比例函数的几何意义 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式题1（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 变式题2（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 考点4：反比例函数与一次函数的综合（解析式与交点） 例题4（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 变式题1（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式题2（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 考点5：反比例函数的实际应用 例题5（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 变式题1（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 变式题2（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 考点6：反比例函数与几何综合 例题6（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 变式题1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 一．选择题（共24小题） 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．3 C． D．6 2．反比例函数的图象一定经过的点是　　 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 5．已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 6．已知点，，，在反比例函数的图象上，若，则有　　 A． B． C． D． 7．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 8．若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 9．点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为　　 A． B． C． D． 10．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 11．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍 12．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为　　 A． B． C． D． 13．一次函数，二次函数，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 14．函数与的图象如图所示，当　　时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 15．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 16．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　 A．或 B．且 C．或 D．或 17．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 18．如图，双曲线经过、两点，连接、，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是　　 A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 19．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为　　 A． B． C． D．3 20．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是　　 A． B． C． D． 21．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 22．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 23．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是　　 A． B． C． D．， 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点，和点，，如果，那么；④．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 二．填空题（共23小题） 25．某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　 　． 26．某反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小．写出一个满足条件的的值是 　 　． 27．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 　 　象限． 28．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则　 　． 29．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 　 　． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且，反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 　 　． 31．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②△的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 　 　．（填写所有正确结论的序号） 32．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 　 　． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则　 　． 34．如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则　 　． 35．已知点在反比例函数的图象上，则　 　． 36．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 　 　． 37．已知点和点均在反比例函数的图象上．若， 则　　0．（填“”“ ”或“” 38．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，则点的坐标为 　 　． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 　 　． 40．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 　 　． 41．已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 　 　． 42．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 　 　． 43．已知蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压　 　． 44．某型号蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压为 　 　． 45．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 　 　． 46．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 　 　． 47．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　 　． 三．解答题（共44小题） 48．已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． 49．列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 　 　 　　 　　 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 50．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 　 　平移 　　个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 　　． ．整体思想 ．类比思想 ．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 　　，再 　　得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 　　． 【应用延伸】 （1）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； （2）． 51．如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 52．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求、的值和一次函数的表达式； （2）连结，求点到线段的距离． 53．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接． （1）点的坐标为 　 　； （2）求所在直线的解析式． 54．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点坐标． 55．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点，点的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 56．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点在反比例函数的图象上． （1）求与的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点．若一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的解析式． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标． （2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 58．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 59．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积． 60．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 61．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 62．直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 63．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接、，求的面积． 64．在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 65．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 66．如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 67．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标． 68．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 69．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 70．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 71．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点．（1）求和的值； （2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点的坐标 　 　． 72．如图，已知平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点，求点的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 73．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 74．在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有 　，　； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 75．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 76．如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． （1）求，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 77．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作轴的平行线分别交与的图象于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 78．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，．将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，，与轴，轴交于点，，且满足，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的值及的面积． 79．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标． 80．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的横坐标为2． （1）求的值； （2）利用图象直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积 81．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 82．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电阻为时，求此时的电流． 83．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 84．如图，直线经过，两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 85．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 　 　． 86．如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标． 87．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 89．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； （3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 90．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； （3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值． 91．【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点． （2）如图2，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点，重合时，连接交于点．以点为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13 反比例函数 反比例函数是中考数学函数体系的核心专题之一，承接一次函数的学习内容，也是后续反比例函数与一次函数、几何图形综合应用的基础。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和高档题，分布于选择题、填空题及解答题（含综合题），占分比重约7%-9%，核心考查学生的函数图象分析能力、解析式求解能力、几何意义应用能力及综合建模能力。 核心考点 ①反比例函数的定义与基本性质（图象所在象限、增减性）； ②反比例函数中比例系数的几何意义（过双曲线上一点作坐标轴垂线形成的矩形/三角形面积）； ③反比例函数与一次函数的综合（解析式求解、交点问题、不等式求解）； ④反比例函数的实际应用（工程问题、行程问题、几何量之间的反比例关系）； ⑤反比例函数与几何图形的综合（与三角形、四边形、对称图形的结合）。 考情分析 ①基础题型：侧重反比例函数的定义、性质、的几何意义，难度较低； ②中档题型：侧重反比例函数与一次函数的交点、不等式求解、简单实际应用，难度中等； ③创新题型：侧重反比例函数与几何图形的综合、复杂实际情境建模，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1. 反比例函数的定义 一般形式：形如（为常数，），也可表示为或； 关键点：自变量，函数值，定义域和值域均为非零实数。 2. 反比例函数的图象与性质 比例系数的符号 图象所在象限 增减性（每一象限内） 第一、三象限 随的增大而减小 第二、四象限 随的增大而增大 注意：增减性需强调“在每一象限内”，跨象限无增减性规律（如时，的函数值均小于的函数值）。 3. 反比例函数的几何意义 过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则： 矩形的面积； 三角形（或）的面积； 推广：过双曲线上两点作坐标轴垂线，形成的图形面积关系可通过推导。 4. 反比例函数与一次函数的关系 交点问题：联立，消去得，交点个数由判别式决定： ：2个交点；：1个交点（相切）；：无交点； 对称性：正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称。 （二）二级结论（中考高频应用） 1. 反比例函数图象上两点、，若，则、； 2. 若反比例函数与直线相交，则交点坐标为和（）； 3. 反比例函数实际应用中，“总量一定”是判断反比例关系的关键（如工作量=效率×时间、路程=速度×时间）； 4. 反比例函数与几何综合中，遇到“垂直于坐标轴”的条件，优先用的几何意义求面积或值； 5. 比较反比例函数值大小时： 同象限内：根据增减性判断； 异象限内：时，第一象限函数值>第三象限函数值；时，第二象限函数值>第四象限函数值。 考点1：反比例函数的定义与性质 例题1（2025·湖南·中考真题）对于反比例函数，下列结论正确的是（   ） A．点在该函数的图象上 B．该函数的图象分别位于第二、第四象限 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质逐一判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，，所以点在它的图象上，故选项不符合题意； 、由可知，它的图象在第一、三象限，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故选项不符合题意； 、当时，随的增大而减小，故符合题意； 故选：D． 变式题1（2025·浙江·中考真题）已知反比例函数．下列选项正确的是（   ） A．函数图象在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图象在第二、四象限 D．y随x的增大而增大 【答案】C 【解析】根据的符号分析性质： 由，可知图象位于第二、四象限，A错误，C正确； 增减性需强调“在每一象限内”：当或时，随的增大而增大，但跨象限无此规律（如时，时，增大但减小），故B、D错误。 变式题2（2025·上海·中考真题）已知一个反比例函数在各个象限内，随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是 ．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据增减性确定的符号： 反比例函数在各象限内随增大而减小，需满足； 任意取的常数（如2、3、5等），即可写出解析式，例如。 考点2：反比例函数的增减性（比较函数值大小） 例题2（2025·天津·中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值的大小关系，根据反比例函数的增减性，进行判断即可． 【解析】∵， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点都在反比例函数的图象上，且， ∴； 故选D． 变式题1（2024·江苏徐州·中考真题）若点、、都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系为 ． 【答案】 【解析】分象限判断函数值符号与大小： 由，图象在第二、四象限； 点在第二象限，；点、在第四象限，、； 第四象限内随增大而增大，且，故； 综上，。 变式题2（2025·甘肃·中考真题）已知点，在反比例函数的图象上，如果，那么 （请写出一个符合条件的k值）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据增减性确定的符号： 点、横坐标均为正数，同在第一或第四象限； 若，则在该象限内随增大而增大，故； 取的任意常数（如、等），例如。 考点3：反比例函数的几何意义 例题3（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【解析】延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 变式题1（2025·山东威海·中考真题）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，连接．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求角的正切值，相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴于C，过点B作轴，可证明，得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义得到，则，据此可得答案． 【解析】如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 变式题2（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【解析】∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 考点4：反比例函数与一次函数的综合（解析式与交点） 例题4（2025·四川广安·中考真题）如图，一次函数（k，b为常数，）的图象与反比例函数（m为常数，）的图象交于A，B两点，点A的坐标是，点B的坐标是． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)根据函数图象直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）先把点A坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式，求出一次函数解析式即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【解析】（1）把点代入，得，解得， 反比例函数的解析式为， 把点代入，得，解得， ， 把，代入得，解得 一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或， ∴关于x的不等式的解集或． 变式题1（2025·贵州·中考真题）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论： ①线段AB的长为8； ②点的坐标为； ③当时，一次函数的值小于反比例函数的值． 其中结论正确的个数是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】∵点的横坐标为1， ∴， ∴， ∵过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点， ∴； ∴；故①正确； 联立，解得：或（舍去）； ∴点的坐标为，故②正确； 由图象可知，当，直线在双曲线上方，一次函数的值大于反比例函数的值，故③错误； 故选C． 变式题2（2025·陕西·中考真题）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点，则的值为 ． 【答案】9 【解析】∵过原点的直线与反比例函数的图象交于，两点， ∴，两点关于原点对称， 即A的横坐标与B的横坐标互为相反数，A的纵坐标与B的纵坐标互为相反数， ∴，， ∴，， ∴， 把代入， 得， 解得， 故答案为：9． 考点5：反比例函数的实际应用 例题5（2025·吉林长春·中考真题）在功一定的条件下，功率与做功时间成反比例，与之间的函数关系如图所示．当时，的值可以为（　　） A．24 B．27 C．45 D．50 【答案】C 【解析】由题意设关于的函数解析式为：， 代入点得：， 解得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，；当时，， ∵， ∴在第一象限内，随着的增大而减小， ∴， ∴的值可以为， 故选：C． 变式题1（2025·湖北·中考真题）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻大于时，电流可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设该反比函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比函数解析式为， ∴在第一象限随的增大而减小； 当时，， ∴电流可以为， 故选：A． 变式题2（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表： 点与点的距离 1 2 3 拉力的大小 300 200 150 120 (1)表格中的值是 ； (2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象； (3)根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由． 【答案】(1) 100；(2) 见解析；(3) 减小，理由见解析 【解析】(1) 求的值： 由反比例关系知，计算得，故； (2) 画函数图象： 函数解析式为（），图象为第一象限的双曲线一支，描点、等，连线即可； (3) 增减性判断： 因，在第一象限内随的增大而减小，故当增大时，拉力减小。 考点6：反比例函数与几何综合 例题6（2025·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，过点A作直线交x轴于点C，连接，则的面积是 ． 【答案】20 【解析】∵直线与双曲线交于，两点， ∴， ∴， ∴， 设， 则：，，， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积是； 故答案为：20． 变式题1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，与反比例函数的图象交于点C，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接． (1)求A，B两点的坐标； (2)若是以为底边的等腰三角形，求k的值． 【答案】(1)， (2) 【解析】（1）解：令，则， 解得， 点A的坐标为， 令，则， 点B的坐标为； （2）解：如图，过点C作，垂足为E， ，， ， 令，则， ， 点D的坐标为， 点C的坐标为， 点C在一次函数的图象上， ， 解得． 一．选择题（共24小题） 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为　　 A． B．3 C． D．6 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】点在反比例函数的图象上， ． 故选：． 2．反比例函数的图象一定经过的点是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】当时，， 图象不经过，故选项错误； 当时，， 图象经过，故选项正确； 当时，， 图象不经过，，故选项、选项错误； 故选：． 3．在平面直角坐标系中，函数的图象与坐标轴的交点个数是　　 A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】当时，，故函数与轴的交点坐标为， 当时，函数无意义．故函数与轴没有交点， 函数的图象与坐标轴的交点个数是1个． 故选：． 4．已知反比例函数与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则的值为　　 A． B． C．1 D．3 【答案】 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】将代入中， 得：， 将代入中， 得：， 故选：． 5．已知关于的一元二次方程无实数根，则函数与函数的图象交点个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】关于的一元二次方程无实数根， △， 解得， 则函数图象经过第二、四象限，函数的图象分布在第一、三象限， 两个函数没有交点． 故选：． 6．已知点，，，在反比例函数的图象上，若，则有　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】， 反比例函数的图象在一、三象限， ， ， 故选：． 7．已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】在反比例函数中，反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 在第四象限， ， ， ， ， 故选：． 8．若点，，，，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】， 反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 点，，，，，都在反比例函数的图象上， 点，分布在第三象限，，，，分布在第一象限，且， ，， ， 故选：． 9．点，和点，在反比例函数为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】反比例函数中，，反比例函数图象分布在第一、三象限， ， 点在第三象限的图象上，点在第一象限的图象上， ， 故选：． 10．反比例函数的图象上有，两点．下列正确的选项是　　 A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】反比例函数中，， 此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，在每一象限内随的增大而减小， 、当时，， ， ，正确，符合题意； 、当时，点在第三象限，点在第一象限， ，， ，原结论错误，不符合题意； 、由知，当时，，原结论错误，不符合题意； 、当时，， ，在第一象限， ， ，原结论错误，不符合题意． 故选：． 11．节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电度，则能使用天．下列说法错误的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若减小，则也减小 D．若减小一半，则增大一倍 【答案】 【考点】反比例函数的应用 【解析】由题意得，； 、若，则，正确，故此选项不符合题意； 、若，则，解得，正确，故此选项不符合题意； 、若减小，则增大，原说法错误，故此选项符合题意； 、若减小一半，即，所以增大一倍，正确，故此选项不符合题意； 故选：． 12．在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数的图象；一次函数的图象 【解析】将代入得， ， 所以函数过定点． 故选项不符合题意． 当时， 函数中随的增大而增大． 因为当时， ， 所以此函数的图象都在轴的上方， 所以不符合题意，符合题意． 故选：． 13．一次函数，二次函数，反比例函数在同一平面直角坐标系中图象如图所示，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数图象与系数的关系；反比例函数的图象；二次函数图象与系数的关系 【解析】根据题意得， 解得， 的取值范围是， 故选：． 14．函数与的图象如图所示，当　　时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；二次函数的图象；二次函数的性质 【解析】根据二次函数图象当时，随着的增大而减小，同样当时，反比例函数随着的增大而减小． 故选：． 15．在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象；反比例函数的图象；二次函数的图象 【解析】一次函数图象经过第一、二、四象限， ，， 反比例函数的图象在第二四象限， ， ，，， 函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，与轴交点在正半轴，选项符合． 故选：． 16．如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是　　 A．或 B．且 C．或 D．或 【答案】 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：． 17．如图，等腰三角形中，，反比例函数的图象经过点、及的中点，轴，与轴交于点．则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】平行线分线段成比例；反比例函数的性质；等腰三角形的性质 【解析】作过作的垂线垂足为，与轴交于点，如图， 在等腰三角形中，，是中点， 设，， 由中点为，， 在等腰三角形中， ， ， 的中点为， ，即， 由在反比例函数上得， ， 解得：， 由题可知，， ， 故选：． 18．如图，双曲线经过、两点，连接、，过点作轴，垂足为，交于点，且为的中点，则的面积是　　 A．4.5 B．3.5 C．3 D．2.5 【答案】 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】如图，过点作轴，垂足为，连接，则， 是的中点，即，而， ，， ， 即， ， ， ， ， ， ， 故选：． 19．如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为　　 A． B． C． D．3 【答案】 【考点】估算无理数的大小；反比例函数图象上点的坐标特征；正多边形和圆；坐标与图形变化平移 【解析】如图，作交的延长线于点，交反比例函数图象于点， 原点为正六边形的中心，轴， ， ， ， 设正六边形的边长为，则，，， 点都在反比例函数图象上， ， 解得， ， ． 故选：． 20．矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数的图象与边交于点，与边交于点，与交于点，，若四边形的面积为2，则的值是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义；矩形的性质 【解析】过点作，则， ， ， 设， ， ， ， ， 即，解得：， 故选：． 21．如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等腰三角形的性质 【解析】如图，过作轴于． 由题意，设，， ，， ． 又设直线为， ． ． 直线为． 联立， ． ． ，． ． 又， ． ． 故选：． 22．如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】作轴，垂足为，轴，垂足为， 点在函数图象上，点在反比例函数图象上， ，， ， ，， ， ， ． 故选：． 23．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在函数的图象上．将直线沿轴向上平移，平移后的直线与轴交于点，与函数的图象交于点．若，则点的坐标是　　 A． B． C． D．， 【答案】 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】由题意，点在函数上， ． 反比例函数为． 设直线为， ． ． 直线为． 又设向上平移个单位到直线， ，直线为． 再设，， ． ． 作轴于， ，，． ． ． ． ． ． 故选：． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：①点与点关于原点对称；②点是的中点；③在的图象上任取点，和点，，如果，那么；④．其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】如图，作轴，垂足为， ①根据反比例函数图象关于原点成中心对称图形，故选项正确； ②点与点关于原点对称， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ， ， 是的中点， 是的中位线，故选项正确； ③在每个象限内，随的增大而减小，故选项错误； ④，故正确； 其中正确结论的是①②④，共3个． 故选：． 二．填空题（共23小题） 25．某个函数的图象关于原点对称，且当时，随的增大而增大．请写出一个符合上述条件的函数表达式：　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质；二次函数的性质 【解析】根据题意有：， 故答案为：（答案不唯一）． 26．某反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小．写出一个满足条件的的值是 　1（答案不唯一）　． 【答案】1（答案不唯一）． 【考点】反比例函数的性质 【解析】由题可知， 当反比例函数具有下列性质：当时，随的增大而减小， 即时满足条件， 则的值取1． 故答案为：1（答案不唯一）． 27．反比例函数的图象在第一、三象限，则点在第 　四　象限． 【答案】四． 【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象 【解析】因为反比例函数的图象在第一、三象限， 所以， 解得， 所以点在第四象限． 故答案为：四． 28．若反比例函数，，当时，函数的最大值是，函数的最大值是，则　　． 【答案】12． 【考点】负整数指数幂；反比例函数的性质 【解析】反比例函数，当时，函数的最大值是， 随增大而减小，当时，函数最大值， 反比例函数，当时，函数的最大值是， 随增大而增大，当时，函数最大值， ． 故答案为：． 29．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质 【解析】如图，延长交轴于点， ，， ， 是平行四边形， ， ， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 30．如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点作轴交轴于点，点为线段上的一点，且，反比例函数的图象经过点交线段于点，则四边形的面积是 　12　． 【答案】12． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数系数的几何意义 【解析】过点作轴于，过点作轴于，如图所示： 点，，轴，， 四边形为矩形， ，， ， ， ， 轴，轴， ， ， ， 即， ，， ， 点的坐标为， 反比例函数的图象经过点， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ，， ． 31．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点在函数的图象上，，．将线段沿轴正方向平移得线段（点平移后的对应点为，交函数的图象于点，过点作轴于点，则下列结论： ①； ②△的面积等于四边形的面积； ③的最小值是； ④． 其中正确的结论有 　①②④　．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【考点】反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质；坐标与图形变化平移 【解析】①，， ， 矩形的顶点在函数的图象上， ，故①正确； ②点、点在函数的图象上， ， ， △梯形，故②正确； ③根据矩形对角线相等，，根据双曲线的轴对称性，可知当点落在直线与双曲线的交点，时，最短，最短为2，所以的最小值为2，故③错误． ④向右平移的过程中角与角变化相同，这两个角刚好是矩形的对角线与边的夹角，所以是相等，④正确． 故正确的结论有①②④． 故答案为：①②④． 32．在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边，分别落在轴负半轴、轴正半轴上（如图所示），然后将三角板向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后，小明发现，两点恰好都落在函数的图象上，则的值为 　2或3　． 【答案】2或3． 【考点】坐标与图形变化平移；解一元二次方程公式法；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】， ，， 设平移后点、的对应点分别为、， ，， 、两点恰好都落在函数的图象上， 把代入得：， 解得：或． 故答案为：2或3． 33．如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，且点落在反比例函数上，点落在反比例函数上，则　8　． 【答案】8． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质；解直角三角形 【解析】如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ， 设，则， 点落在反比例函数上， ， 解得（负值舍去）， ，， ，， ， 四边形为菱形， ， ，，即， 点落在反比例函数上， ， 故答案为：8． 34．如图，已知点，，，在平行四边形中，它的对角线与反比例函数的图象相交于点，且，则　　． 【答案】． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质 【解析】如图，作轴，轴，垂足分别为、， 点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 点在反比例函数图象上， ． 故答案为：． 35．已知点在反比例函数的图象上，则　5　． 【答案】5． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】将点代入， ， ， 故答案为：5． 36．在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 　0　． 【答案】0． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】函数的图象经过点和， ，， ． 故答案为：0． 37．已知点和点均在反比例函数的图象上．若，则　　0．（填“”“ ”或“” 【答案】． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】点和点均在反比例函数的图象上， ，， ， ， ， 故答案为：． 38．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与交于，两点，且点，都在第一象限．若，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】根据圆和反比例函数都是中心对称图形，点与关于直线对称， 设直线的解析式为，将点坐标代入得， ，解得， 直线解析式为， 点在反比例函数图象上， 反比例函数解析式为， 联立方程组，解得或． ． 故答案为：． 39．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在反比例函数的图象上，轴于点，，将沿翻折，若点的对应点落在该反比例函数的图象上，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化对称；翻折变换（折叠问题） 【解析】设点坐标为，则， ， ， 由对称可知：，， ， 作轴，垂足为， ，， ，， 点在反比例函数图象上， ①， 在中，， ，即②， 由①②解得． 故答案为：． 40．在一定条件下，乐器中弦振动的频率与弦长成反比例关系，即为常数，．若某乐器的弦长为0.9米，振动频率为200赫兹，则的值为 　180　． 【答案】180． 【考点】反比例函数的定义；待定系数法求反比例函数解析式 【解析】当，时，， ． 故答案为：180． 41．已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】由题意，在上， ． ，． 又在反比例函数上， ． 反比例函数为． 由翻折的性质，， 可设为， 为． 设直线与直线的交点为， ． ，． 又与关于直线对称，且， ，． 又在反比例函数上， ． 或（舍去）． ． 故答案为：． 42．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，．则满足的的取值范围 　或　． 【答案】或． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】由两个函数图象及交点坐标的横坐标可知： 当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 43．已知蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，则蓄电池的电压　36　． 【答案】36． 【考点】反比例函数的应用 【解析】电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系， ． 由图象可知，当时，， ． 答：蓄电池的电压是． 故答案为：36． 44．某型号蓄电池的电压（单位：为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，即，它的图象如图所示，则蓄电池的电压为 　64　． 【答案】64． 【考点】反比例函数的应用 【解析】电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系， ， 由图象可知，当时，， ． 故答案为：64． 45．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，其限制电流不能超过，那么用电器可变电阻应控制的范围是 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数的应用 【解析】设反比例函数关系式为：， 把代入得：， 反比例函数关系式为：， 当时，则， ， 故答案为：． 46．杠杆平衡时，“阻力阻力臂动力动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为和，动力为，动力臂为．则动力关于动力臂的函数表达式为 　　． 【答案】． 【考点】反比例函数的应用 【解析】， ， 故答案为：． 47．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度　4　． 【答案】4． 【考点】反比例函数的应用 【解析】设反比例函数解析式为， 机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度； ， 反比例函数解析式为， 当时，， 答：当其载重后总质量时，它的最快移动速度． 故答案为：4． 三．解答题（共44小题） 48．已知点在反比例函数的图象上． （1）求反比例函数的表达式； （2）点，，都在反比例函数的图象上，比较，，的大小，并说明理由． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式 【解析】（1）将点代入， 得：， ； （2）方法一：由图象得：； 方法二：将点，，代入， 得：，，， ． 49．列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数与部分自变量与函数值的对应关系： 1 1 　7　 　　 　　 7 （1）求、的值，并补全表格； （2）结合表格，当的图象在的图象上方时，直接写出的取值范围． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数的图象；反比例函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】（1）当时，，即， 当时，，即， ， 解得：， 一次函数为， 当时，， 当时，，即， 反比例函数为：， 当时，， 当时，， 当时，， 补全表格如下： 1 1 7 7 故答案为：7；；； （2）由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为，， 当的图象在的图象上方时，的取值范围为或； 50．在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． 【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向 　左　平移 　　个单位长度得到函数的图象． （2）上述探究方法运用的数学思想是 　　． ．整体思想 ．类比思想 ．分类讨论思想 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先 　　，再 　　得到函数的图象． （2）函数图象的对称中心的坐标为 　　． 【应用延伸】 （1）右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； （2）． 【考点】一次函数的图象；正比例函数的图象；一次函数图象与几何变换；反比例函数的图象 【解析】【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 1 1 描点、连线画出函数图象如图示： 【探究发现】 （1）将反比例函数的图象向左平移 1个单位长度得到函数的图象． 故答案为：左，1； （2）上述探究方法运用的数学思想是． 故答案为：； 【应用延伸】 （1）将反比例函数的图象先右平移2个单位长度，再向下平移1个得到函数的图象． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度； （2）函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为． 51．如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点． （1）求，的值； （2）点为反比例函数图象上一动点（点在，之间运动，不与，重合），过点作，交轴于点，过点作轴，交于点，连接，求面积的最大值，并求出此时点的坐标． 【考点】等腰直角三角形；反比例函数系数的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】（1），， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为，将，代入得： ，解得， 直线的函数表达式为． 将点代入，得． ， 将代入反比例函数解析式得： ，解得． （2）延长交轴于点，交于点． ，， ， 轴， ，， ， ，， ， 设点的坐标为，则，，， ， 当时， 有最大值，此时． 52．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． （1）求、的值和一次函数的表达式； （2）连结，求点到线段的距离． 【考点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】（1）点、在反比例函数图象上， ，． 又一次函数过点，， ，解得， 一次函数表达式为． （2）如图，连结．过点作，垂足为点，过点作，垂足为点． ，， 轴，． 点，，， 点，，． 在中，， 又， 即， ，即点到线段的距离为． 53．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点，过点作轴的垂线交双曲线于点，连接． （1）点的坐标为 　　； （2）求所在直线的解析式． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；待定系数法求反比例函数解析式；待定系数法求一次函数解析式；等腰直角三角形 【解析】（1）过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 又是等腰直角三角形， ， 点的坐标为． 故答案为：． （2）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 反比例函数解析式为． 轴， ． 将代入反比例函数解析式得， ， 点的坐标为． 令直线的函数解析式为， 将点和点的坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以直线的函数解析式为． 54．小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图． 请根据图中信息，求： （1）反比例函数表达式； （2）点坐标． 【考点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质 【解析】（1）由图可知点的坐标为， 反比例函数图象上过点，设反比例函数关系式为， ， 反比例函数解析式为； （2）直线的解析式为， 由图象可知，直线向上平移三个单位得到直线的解析式为， 联立方程组，解得，（舍去）， ，． 55．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点，． （1）求点，点的坐标及一次函数的解析式； （2）根据图象，直接写出不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把点代入 中 得 点的坐标为， 把点代入中， 得， 点的坐标为， 把，代入中 得，， 一次函数的解析式为． （2）根据一次函数和反比例函数图象，可得： 的解集为或， 56．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点在反比例函数的图象上． （1）求与的值； （2）连接，并延长交反比例函数的图象于点．若一次函数的图象经过，两点，求这个一次函数的解析式． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1），两点在反比例函数的图象上， ， ，． （2）由（1）可知点，根据反比例函数图象的中心对称性质可得点， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为：． 57．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，点的横坐标为1． （1）求的值及点的坐标． （2）点是线段上一点，点在直线上运动，当时，求的最小值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把代入，得出， ， ， 反比例函数的解析式为， 联立解析式得， 解得或， ； （2）， 是的中点， ， 的解析式为， 当取得最小值时，， 设直线的解析式为， 代入得， 解得， 直线为， 联立解析式得， 解得， ，， 的最小值为：． 58．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，交一次函数的图象于点，连接．（1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）反比例函数与一次函数的图象交于点， ，， 解得：，， 一次函数解析式为：，反比例函数解析式为； （2）将代入一次函数得， ， 将代入反比例函数得， ， ， ． 59．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、． （1）求一次函数、反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点、， ， ，， 反比例函数解析式为， 一次函数的图象过、， ，解得， 一次函数解析式为． （2）如图，设直线与轴的交点为点， 在函数中，当时，， ，即， ． 60．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象的一个交点是．点在直线上，过点作轴的平行线，交的图象于点． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把代入得，， ， ， 把代入得，， ， 反比例函数的表达式为； （2）把代入得，， ， 轴， 点的横坐标为， 把代入得，， ， ， ． 61．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点，为坐标原点，连接，． （1）求与的解析式； （2）当时，请结合图象直接写出自变量的取值范围； （3）求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）反比例函数和一次函数的图象相交于点，，两点 ， ， 点， ， ， ， 把， ，代入得， 解得， ； （2）由图象可知，当时，自变量的取值范围为或； （3）若与轴相交于点， ， ． 62．直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点． （1）求直线的表达式； （2）若，请直接写出满足条件的的取值范围； （3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）分别将点、点代入中， 即，， 解得：，， 点坐标为，点坐标为， 把点坐标，点坐标分别代入， 即 一次函数表达式为． （2）由图象可知， 当时，或． （3）把时代入中， 得， 点坐标为， ， ． 63．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）把直线向上平移3个单位长度与的图象交于点，连接、，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点在正比例函数图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为． （2）把直线向上平移3个单位得到解析式为， 直线与轴交点坐标为，连接， 联立方程组， 解得，（舍去）， ， ． 64．在平面直角坐标系中，反比例函数为常数且上有一点，且与直线交于另一点． （1）求与的值； （2）过点作直线轴与直线交于点，求的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点在直线图象上， ，解得， ， 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为， 点在反比例函数图象上， ． ． （2）在函数中，当时，， ， ， ． 65．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象，直接写出关于的不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为， ， ，， 反比例函数解析式为， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为． （2）由图象可知，关于的不等式的解集为：或． 66．如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，请直接写出的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把点代入，得， 反比例函数的解析式为， 把点代入 得， ， 点，在一次函数 的图象上， 解得， 一次函数的解析式为． （2）在函数中，当时，， ， 设点坐标为，则丨丨， 丨丨， 丨丨， 解得：或． 67．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）直线与反比例函数和的图象分别交于点，，且，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）将点和点的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数的解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数的解析式为． （2）将分别代入和得， 点的坐标为，点的坐标为， 所以． 又因为， 所以． 令直线与轴的交点为， 过点作轴的垂线，垂足为， 因为，且， 所以， 所以， 解得． 因为， 所以， 则点的坐标为． 68．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．（1）求的值和反比例函数的解析式； （2）将直线向下平移个单位长度后得直线，若直线与反比例函数的图象的交点为，求的值，并结合图象求不等式的解集． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点在一次函数图象上， ， ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）点为在反比例函数的图象上， ，解得， ， 将直线向下平移个单位长度得到解析式为， 点在直线图象上， ，解得， 根据函数图象及交点坐标可知，不等式的解集为：． 69．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象，直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以点的坐标为． 将，两点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为． （2）由函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， 所以当，的取值范围是：或． （3）连接，令直线与轴的交点为， 将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以． 因为正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，且坐标原点是对称中心， 所以点和点关于点成中心对称， 所以， 所以． 70．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）根据图象直接写出不等式的解集； （3）在第三象限的反比例函数图象上有一点，使得，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ， ，， 反比例函数解析式为， 一次函数图象过，， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由图象可知，不等式的解集为：或． （3）在一次函数中，当时，；当时，， ， ， ， 设点大坐标为， ， 解得， 点，． 71．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴、轴交于、两点，与反比例函数的图象交于点．（1）求和的值； （2）已知四边形是正方形，连接，点在反比例函数的图象上．当的面积与的面积相等时，直接写出点的坐标 　或　． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积 【解析】（1）一次函数的图象过， ， ， 在函数的图象上， ， 在函数图象上， ； （2）当时，， ， 四边形是正方形， ， 当在反比例函数的图象右半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 当在反比例函数的图象左半支上， 设的坐标是， 的面积与的面积相等， ， ， ， 的坐标是， 综上的坐标为或． 72．如图，已知平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）若点在一次函数的图象上，直线与反比例函数的图象在第三象限内交于点，求点的坐标，并写出直线在图中的一个特征． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1），两点在反比例函数图象上， ，， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数解析式为； （2）由题意可知，直线的解析式为， 联立方程组得，解得，， 点， 直线与直线互相垂直． 73．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，，两点． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）求的面积； （3）若点是轴上一动点，连接，．当的值最小时，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）由题意，，在反比例函数上， ． 反比例函数表达式为． 又在反比例函数上， ． ． 设一次函数表达式为， ． ，． 一次函数的表达式为． （2）由题意，如图，设直线交轴于点，交轴于点， 又直线为， ，，． ，． ． （3）由题意，如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则的最小值等于的长． ，与关于轴对称， 为，． 又， 直线为． 令，则， ． 74．在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：当点，，满足时，称点是点的等和点． （1）已知点，在，，中，是点等和点的有 　，　； （2）若点的等和点在直线上，求的值； （3）已知，双曲线和直线，满足的取值范围是或．若点在双曲线上，点的等和点在直线上，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）由，得， ． 点是点的等和点． 由，得， ，， ． 不是点的等和点． 由，得， ． 点是点的等和点． 故答案为：，． （2）由题意，设点的横坐标为， 点是点的等和点， 点的纵坐标为． 点的坐标为． 又点在直线上， ． ． （3）由题意得，，双曲线分布在第一、第三象限． 设直线与双曲线的交点分别为点、， 如图，由的取值范围是或， 的横坐标为4，的横坐标为． 把代入得，， ． 把代入得，． ． 反比例函数的解析式为． 设，点的横坐标为， 点是点的等和点， 点的纵坐标为． ． 点在直线上， ． ． 或． 经检验，，是方程的解． 点的坐标为或． 75．如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数为常数，的图象在第一象限的部分交于点． （1）求，，的值； （2）若是反比例函数的图象在第一象限部分上的点，且的面积小于的面积，直接写出点的横坐标的取值范围． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， 反比例函数解析式为， （2）的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 76．如图，直线与双曲线交于，两点，已知点坐标为． （1）求，的值； （2）将直线向上平移个单位长度，与双曲线在第二象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点在反比例函数图象上， 所以，解得， 将代入， ； （2）如图，过点作轴于点， ， ，， ， ， ，， 直线向上平移个单位长度得到， 令，得，令，得， ，， ，， ， 双曲线过点， ， 解得或（舍去）， ． 77．如图，在平面直角坐标系中，将函数的图象向上平移3个单位长度，得到一次函数的图象，与反比例函数的图象交于点．过点作轴的平行线分别交与的图象于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）连接，求的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）因为函数的图象由函数的图象向上平移3个单位长度得到， 所以． 将点坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， 所以一次函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析式得， ， 所以反比例函数解析式为． （2）将代入得， ， 解得， 所以点的坐标为． 将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以， 所以． 78．如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，．将正比例函数图象向下平移个单位后，与反比例函数图象在第一、三象限交于点，，与轴，轴交于点，，且满足，过点作轴，垂足为点，为轴上一点，直线与关于直线成轴对称，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的值及的面积． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点，在直线的图象上， ，， 点，在反比例函数的图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）正比例函数向下平移个单位后得到直线的解析式为． 如图，作轴，轴， ， ， ， ， 设点，则， 点、在直线的图象上， ， 解得， 直线解析式为， 直线与关于直线成轴对称， ，，，，， ， ． 79．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）点在反比例函数位于第四象限的图象上，的面积为21，请直接写出点坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）把代入得：， ， 反比例函数的解析式为； 把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）设直线交直线于，如图： 在中，令得， ， 的面积为21， ，即， ， ，， 的坐标为或； （3）过作轴交直线于，如图： 设， 在中，令得， ，， ， 的面积为21， ， 即， 或， 解得或或， 经检验，，符合题意， 的坐标为，或． 80．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，与轴交于点，点的横坐标为2． （1）求的值； （2）利用图象直接写出时的取值范围； （3）如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图象交于点，与轴交于点，再将函数的图象沿平移，使点、分别平移到点、处，求图中阴影部分的面积 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）点在 的图象上， 当时，． ， 将点代入， 得：． （2）由（1）可知一次函数解析式为， 联立方程组，解得，， ，， 根据图象可知不等式的解集为：或． （3）由题意可知，． 如图，过点作，垂足为， ，， ． 又，， ． 由平移性质可知，阴影部分面积就是的面积，即． 81．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点是线段上（不与点重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点作轴的垂线，与的图象交于点，当线段时，求点的坐标； （3）如图2，将点绕点顺时针旋转得到点，当点恰好落在的图象上时，求点的坐标． 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题 【解析】（1）将代入得， ， 将代入 得，解得， 反比例函数表达式为； （2）设点，那么点， 由 可得，所以， 解得， （舍去）， ； （3）如图2，过点作轴，过点作于点， 过点作于点，， ， 点绕点顺时针旋转， ，， ， ， 设点，，， 点， 点在反比例函数图象上， ， 解得，（舍去）． 点． 82．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：与电阻（单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示． （1）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）． （2）当电阻为时，求此时的电流． 【考点】反比例函数的应用 【解析】（1）设， 由题意得：， 这个反比例函数的解析式为； （2）电阻为时，． 83．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、，与反比例函数的图像交于点．已知点坐标为，点坐标为． （1）求反比例函数及一次函数的表达式； （2）点在线段上，过点且平行于轴的直线交于点，交反比例函数图像于点．当时，求点的坐标． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）把点代入得， ， 解得， 反比例函数的表达式为， 把点，点代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）设， 平行于轴， ， ， ， ， 解得， ，， 点的纵坐标为， 把代入得，， 点的坐标为，． 84．如图，直线经过，两点，与双曲线交于点． （1）求直线和双曲线的解析式． （2）过点作轴于点，点在轴上，若以，，为顶点的三角形与相似，直接写出点的坐标． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）点，在直线上， ， 解得：， 直线解析式为：； 点在直线上， ， ，即点为； 双曲线 过点， ， 双曲线解析式为：； （2）轴，， ，， ， ， ， ， 若以，，为顶点的三角形与相似，或4， 点在轴上， 点坐标为或或或． 85．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将矩形向左平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为 　　． 【考点】反比例函数综合题 【解答】（1）反比例函数 的图象经过点， 代入得 ， 这个反比例函数的表达式为． （2）如图， （3）由图知，令得，， ， 矩形向左平移个单位时，点落在反比例函数图象上． 86．如图，一次函数，为常数，的图象与反比例函数为常数，的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点是轴正半轴上的一点，且，求点的坐标． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：，， 即反比例函数的表达式为：，点， 将点、的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：； （2）设点， 由点、、的坐标得，，，， ， 则， 即， 解得：或（舍去）， 即点． 87．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）利用图象，直接写出不等式的解集； （3）已知点在轴上，点在反比例函数图象上．若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）将点、的坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：，， 即反比例函数的表达式为：，点； 将点、的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数表达式为：； （2）观察函数图象知，当或时，成立； （3）设点的坐标为：，点， 当为对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：，则点，； 当或为对角线时， 同理可得：或， 解得：， 则点，或，， 综上，点的坐标为：，或，或，． 88．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与轴，轴分别交于，两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）若点在轴上，当的周长最小时，请直接写出点的坐标； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点，当时，求的值． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， ， ， ， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 则此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为； （3）将直线向下平移个单位长度后与轴，轴分别交于，两点， 直线的解析式为， ，．， ， ， 解得或． 89．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，与轴交于点，点在反比例函数图象上． （1）求，，的值； （2）若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标和的值； （3）过，两点的直线与轴负半轴交于点，点与点关于轴对称．若有且只有一点，使得与相似，求的值． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）把代入得：， ， 把代入得：， ； 直线为， 把代入得：， ， 的值为4，的值为6，的值为6； （2）设， 由（1）知，，而， ①当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ②当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， 经检验，，符合题意， 此时点的坐标为； ③当，为对角线时，，的中点重合， ， 解得， ， 这种情况不符合题意； 综上所述，的坐标为或，的值为； （3）如图： 设直线解析式为，把代入得：， ， 直线解析式为， 在中，令得， ，， 与点关于轴对称， ，， ， ，， 与相似， 只能在左侧， ， 故与相似，只需即可，即， ，， ， ， 解得， 经检验，满足题意， 直线的解析式为， 有且只有一点，使得与相似， 直线与反比例函数图象只有一个交点， 只有一个解， 即有两个相等实数根， △，即， 解得， 的值为． 90．如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴的正半轴上．点，在第一象限，四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3． 提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，，，则中点坐标为，． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图2，点是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积； （3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点为的中点，过点作于点．请直接写出点坐标和的值． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）四边形是平行四边形，点在反比例函数的图象上，点的横坐标为2．点的纵坐标为3． ， 点在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为； （2）设点坐标为， ， ， 是平行四边形， ， 点是边的中点，点的纵坐标为3， 点的纵坐标为， 点在反比例函数图象上， ， 由中点坐标公式可得点坐标为 ， 解得或（舍去）， ． （3）将直线向上平移6个单位得到直线， 解析式为， 设直线与轴交于点，则， 如图3，作交于点， ， ， 在函数中，当时，， ， ，， 在中，由勾股定理得， 由三角形面积公式可得：， ， ， 列函数联立方程组得，解得，， ，，，， 点为的中点， ， ， ． 91．【问题背景】 如图1，在平面直角坐标系中，点，是直线上第一象限内的两个动点，以线段为对角线作矩形，轴．反比例函数的图象经过点． 【构建联系】 （1）求证：函数的图象必经过点． （2）如图2，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点落在轴上，且点的坐标为时，求的值． 【深入探究】 （3）如图3，把矩形沿折叠，点的对应点为．当点，重合时，连接交于点．以点为圆心，长为半径作．若，当与的边有交点时，求的取值范围． 【考点】反比例函数综合题 【解析】（1）设，则， 轴， 点的纵坐标为， 将代入中，得：， ， ， ， 将代入中得出，， 函数的图象必经过点； （2）点在直线上， ， ， 点的横坐标为1，点的纵坐标为2， 函数的图象经过点，， ，， ， ， 把矩形沿折叠，点的对应点为， ，， ， 如图，过点作轴，过点作轴， 轴， ，，三点共线， ，， ， ， ， ， ，， ，， ， 由图知，， ， ； （3）把矩形沿折叠，点的对应点为，当点，重合， ， 四边形为矩形， 四边形为正方形，， ，，， 轴， 直线为一，三象限的夹角平分线， ， 当过点时，如图所示，过点作轴交轴于点， 轴， ，，三点共线， 以点为圆心，长为半径作，， ， ， ，，， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 当过点时，根据，关于直线对称知，必过点，如图所示，连，，过点作轴交轴于点， ， 为等边三角形， ， ， ，， ，， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 当与的边有交点时，的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $