专题12一次函数（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题12 一次函数 一次函数是中考数学的核心专题，是函数体系的基础内容，承接平面直角坐标系与函数基础知识，也是后续学习二次函数、反比例函数综合应用的关键铺垫。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和高档题，分布于选择题、填空题及解答题（含综合题），占分比重约8%-10%，核心考查学生的函数图象分析能力、解析式求解能力及实际应用建模能力。 核心考点 ①正比例函数的定义与性质； ②一次函数的定义、解析式求解与性质（增减性、图象经过象限）； ③一次函数的图象平移（“上加下减、左减右加”法则）； ④一次函数与坐标轴的交点问题； ⑤一次函数的实际应用（行程问题、销售问题、方案设计问题、跨学科问题等）； ⑥一次函数与几何综合（几何变换、图形面积、动点问题）； ⑦一次函数与新定义问题。 考情分析 基础题型：侧重正比例函数识别、一次函数解析式求解、图象性质与平移，难度较低； 中档题型：侧重一次函数与坐标轴交点、实际应用（行程、销售）、简单几何综合，难度中等； 创新题型：侧重跨学科应用、几何变换规律、新定义问题，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.正比例函数 定义：形如（为常数，且）的函数，是一次函数的特殊形式（常数项为0）； 性质： 图象是过原点的直线； 当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大； 当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小。 2.一次函数 定义：形如（、为常数，且）的函数； 解析式求解：常用待定系数法，需代入2个已知点的坐标，列二元一次方程组求解、； 性质： 增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小； 图象经过象限： 、：第一、二、三象限； 、：第一、三、四象限； 、：第一、二、四象限； 、：第二、三、四象限。 3.一次函数的图象平移 平移法则：“上加下减、左减右加”（针对常数项和自变量）； 具体规律： 向上平移个单位：； 向下平移个单位：； 向左平移个单位：； 向右平移个单位：。 4.一次函数与坐标轴的交点 与轴交点：令，解得，交点坐标为； 与轴交点：令，解得，交点坐标为。 （二）二级结论（中考高频应用） 1. 正比例函数的图象上任意一点到原点的距离为； 2. 一次函数中，两直线平行的条件：且；两直线垂直的条件：； 3. 一次函数实际应用中，“最值问题”可通过函数增减性求解：时，自变量取最大值（或最小值）对应函数最值；时，自变量取最小值（或最大值）对应函数最值； 4. 一次函数与几何综合中，“面积问题”常用方法：以坐标轴上的线段为底，另一点的横（纵）坐标绝对值为高； 5. 平移不变性：一次函数平移后，斜率保持不变，仅常数项发生变化。 考点1：正比例函数的定义与性质 例题1（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变式题1（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式题2（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 考点2：一次函数的定义与性质 例题2（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 变式题1（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 变式题2（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点3：一次函数的图象平移 例题3（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 变式题1（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 变式题2（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 考点4：一次函数与坐标轴的交点 例题4（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 变式题1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； 考点5：一次函数的应用——行程问题 例题5（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 变式题1（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 考点6：一次函数的应用——销售问题 例题6（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 变式题1（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 考点7：一次函数与几何综合 例题741．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形变式题1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 一．选择题（共19小题） 1．一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是　　 A．， B．， C． D． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 6．对于一次函数，下列结论正确的是　　 A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 7．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．1 9．已知点，，，都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 10．当时，一次函数有最大值6，则实数的值为　　 A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 11．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为　　 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 12．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 13．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：与时间（单位：之间的关系如图所示，当时，　　 A． B． C． D． 16．甲、乙两人沿相同路线由地到地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程（单位：与甲的前进时间（单位：之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是　　 A．甲比乙晚出发 B．乙全程共用 C．乙比甲早到地 D．甲的速度是 17．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用表示时间，表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75． 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 18．同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是　　 A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息36分钟 19．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 二．填空题（共22小题） 20．点、在一次函数的图象上，则　　（用“”、“ ”或“”填空）． 21．一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 　　． 22．写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式 　　． 23．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 　　． 24．若正比例函数是常数，的图象经过第三、第一象限，则的值可以是 　　（写出一个即可）． 25．若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　　（选填“增大”或“减小” 26．已知直线、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 　　（写出一个即可） 27．已知一次函数，当自变量时，函数的值可以是 　　（写出一个合理的值即可）． 28．如图，一次函数的图象经过、两点，交轴于点，则的面积为 　　． 29．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 　　． 30．平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 　　． 31．直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 　　． 32．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，且点的横坐标为4，直角三角板的直角顶点落在轴上，一条直角边经过点，另一条直角边与直线交于点，当点在轴上移动时，线段的最小值为 　　． 33．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 　　（写出一个即可）． 34．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 　　． 35．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长，当所排物体的质量为时，弹簧的长度为 　　． 36．铁的密度为，铁块的质量（单位：与它的体积（单位：之间的函数关系式为，当时，　　． 37．某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　　万元． 38．某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　　． 39．小王前往距家2000米的公司参会，先以（米分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程（单位：米）与距家的时间（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 　　分钟． 40．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 　　． 41．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，0 ，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 　　． 三．解答题（共19小题） 42．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量，的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． 1 2 3 4 8 4 2 1 写出与的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧），点关于坐标原点的对称点为点，点是第一象限内函数图象上的一点，且点位于点的左侧，连接，，．若△的面积为15，求点的坐标． 44．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 价格类别 短款 长款 进货价（元件） 80 90 销售价（元件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 45．某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． （1）求，两种花卉的单价． （2）该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 46．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见如表： 成本（单位：元个） 销售价格（单位：元个） 型号 35 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求、的值； （2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 47．眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 48．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进，两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元盒） 种类 进价 标价 90 120 50 60 （1）设该商场购进种粽子盒，销售两种粽子所得的总利润为元，求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进种粽子多少盒？ 49．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时之间的函数图象如图所示． （1）的值为 　　； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米时） 50．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 51．领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米与无人机飞行的时间（秒之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）　　米秒，　　秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可） 52．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往市．他驾车从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求与之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 53．一条公路上依次有、、三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是 　　，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 54．甲、乙两货车分别从相距的、两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 　　，乙货车的速度是 　　； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 55．综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 56．小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 档 4000米 小丽 第一段 档 1800米 第一次休息 第二段 档 1200米 第二次休息 第三段 档 1600米 （1）求，，各档速度（单位：米分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值． 57．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间 之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择 　　种电动车更省钱（填写或． ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，的值 　　． 58．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 59．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．如图图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： ①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 　　 0.6 　　 　　 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　　； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； （Ⅱ）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 60． 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且共使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 一次函数 一次函数是中考数学的核心专题，是函数体系的基础内容，承接平面直角坐标系与函数基础知识，也是后续学习二次函数、反比例函数综合应用的关键铺垫。该专题在中考中覆盖基础题、中档题和高档题，分布于选择题、填空题及解答题（含综合题），占分比重约8%-10%，核心考查学生的函数图象分析能力、解析式求解能力及实际应用建模能力。 核心考点 ①正比例函数的定义与性质； ②一次函数的定义、解析式求解与性质（增减性、图象经过象限）； ③一次函数的图象平移（“上加下减、左减右加”法则）； ④一次函数与坐标轴的交点问题； ⑤一次函数的实际应用（行程问题、销售问题、方案设计问题、跨学科问题等）； ⑥一次函数与几何综合（几何变换、图形面积、动点问题）； ⑦一次函数与新定义问题。 考情分析 基础题型：侧重正比例函数识别、一次函数解析式求解、图象性质与平移，难度较低； 中档题型：侧重一次函数与坐标轴交点、实际应用（行程、销售）、简单几何综合，难度中等； 创新题型：侧重跨学科应用、几何变换规律、新定义问题，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.正比例函数 定义：形如（为常数，且）的函数，是一次函数的特殊形式（常数项为0）； 性质： 图象是过原点的直线； 当时，图象经过第一、三象限，随的增大而增大； 当时，图象经过第二、四象限，随的增大而减小。 2.一次函数 定义：形如（、为常数，且）的函数； 解析式求解：常用待定系数法，需代入2个已知点的坐标，列二元一次方程组求解、； 性质： 增减性：时，随的增大而增大；时，随的增大而减小； 图象经过象限： 、：第一、二、三象限； 、：第一、三、四象限； 、：第一、二、四象限； 、：第二、三、四象限。 3.一次函数的图象平移 平移法则：“上加下减、左减右加”（针对常数项和自变量）； 具体规律： 向上平移个单位：； 向下平移个单位：； 向左平移个单位：； 向右平移个单位：。 4.一次函数与坐标轴的交点 与轴交点：令，解得，交点坐标为； 与轴交点：令，解得，交点坐标为。 （二）二级结论（中考高频应用） 1. 正比例函数的图象上任意一点到原点的距离为； 2. 一次函数中，两直线平行的条件：且；两直线垂直的条件：； 3. 一次函数实际应用中，“最值问题”可通过函数增减性求解：时，自变量取最大值（或最小值）对应函数最值；时，自变量取最小值（或最大值）对应函数最值； 4. 一次函数与几何综合中，“面积问题”常用方法：以坐标轴上的线段为底，另一点的横（纵）坐标绝对值为高； 5. 平移不变性：一次函数平移后，斜率保持不变，仅常数项发生变化。 考点1：正比例函数的定义与性质 例题1（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 变式题1（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【解析】设跳跃高度为，身高为，则比值为，即（正比例函数），值越大，比值越大，图象越陡。 观察图象，甲同学对应的直线斜率最大，即值最大，故跳跃高度与身高的比值最大，获胜者为甲，故选A。 变式题2（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 考点2：一次函数的定义与性质 例题2（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【解析】∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 变式题1（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【解析】∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 变式题2（2025·江苏扬州·中考真题）已知，则一次函数的图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解析】∵， ∴， 当时，，，与矛盾， 当时，，  ，与矛盾， 当时，，，与矛盾， 当时，，，与矛盾， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 考点3：一次函数的图象平移 例题3（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 变式题1（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【解析】由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 变式题2（2025·四川泸州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点，求的值． 【答案】(1)； (2) 【解析】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为； ∵反比例函数的图象经过， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：∵将一次函数的图象沿轴向下平移12个单位，与反比例函数的图象相交于点， ∴直线解析式为， 联立，解得或， ∴； 如图所示，过点A作轴交直线于T， ∵， ∴点T的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ． 考点4：一次函数与坐标轴的交点 例题4（2025·四川南充·中考真题）已知直线与直线的交点在轴上，则的值是 ． 【答案】 【解析】当时，，， ∵直线与直线的交点在轴上， ∴， ∴． 变式题1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； 【答案】(1) 【解析】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； 考点5：一次函数的应用——行程问题 例题5（2025·黑龙江绥化·中考真题）自主研发和创新让我国的科技快速发展，“中国智造”正引领世界潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买、两种型号的芯片．已知购买颗型芯片和2颗型芯片共需要元，购买颗型芯片和颗型芯片共得要元． (1)求购买颗型芯片和颗型芯片各需要多少元． (2)若该公司计划购买、两种型号的芯片共频，其中购买型芯片的数量不少于型芯片数量的倍．当购买型芯片多少颗时，所需资金最少，最少资金是多少元． (3)该公司用甲、乙两辆芯片运输车，先后从地出发，沿着同一条公路匀速行驶，前往目的地，两车到达地后均停止行驶．如图，、分别是甲、乙两车离地的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系．请根据图象信息解答下列问题： ①甲车的速度是________． ②当甲、乙两车相距时，直接写出的值________． 【答案】(1)购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 (2)当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 (3)①；②或或 【解析】（1）设：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 由题意得 解得 答：购买颗型芯片和颗型芯片分别需要元和元 （2）设购买型芯片颗，则购买型芯片颗，所需资金为元 由题意得： 随的增大而减小 购买型芯片的数量不少于型芯片数量的3倍， 解得 取正整数 当时，取最小值，（元） 此时 答：当该公司购买型芯片颗，所需资金最少，最少资金是元 （3）①设的解析式为 将点，代入 得 解得 所以，的解析式为， 当时， 所以，甲车的速度为 ②的解析式为 将点代入 得，解得 所以的解析式为 当函数的图象在函数上方时 可列方程 解得 当函数的图象在函数下方时 可列方程 解得 当甲车到达地，乙离目的地时， 可列方程 解得 综上所述，的值为：或或． 变式题1（2025·天津·中考真题）已知小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．下面图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空：小华从公园返回家的速度为____________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； (2)若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①②③ (2) 【解析】（1）解：①小华去书店的速度为， 1分钟时小华离家的距离为； 由图可知18分钟时，小华离家的距离为； 50分钟时，小华离家的距离为； 故答案为：； ②小华返回家的速度为 故答案为：； ③由①得小华去书店的速度为， ∴当时，； 由图可知，当时，； 当时，假设直线解析式为， 将代入解析式得， 解得 ∴； 综上，； （2）解：如图所示，为妈妈的图形， 根据题意可知，小华妈妈的速度为， 所以其直线解析式为， 当时， 令， 解得，经验证，符合题意； 令， 解得，经验证，符合题意； 结合图形，当时，． 考点6：一次函数的应用——销售问题 例题6（2025·黑龙江·中考真题）2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相．第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元． (1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？ (2)若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？ (3)设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？ 【答案】(1)购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元 (2)方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个；方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； (3)方案一需要的资金最少，最少资金是2160元 【解析】（1）解：设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元，由题意，得： ，解得：； 答：购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要元和元； （2）解：设购买“蜀宝”个，则：购买“锦仔”个； ∴， 解得：， ∴， ； ∴共有3种方案： 方案一：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案二：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； 方案三：购买“蜀宝”个，购买“锦仔”个； （3）解：由题意，得：， ∴随着的增大而增大， ∴当时，即方案一需要的资金最少，最少资金是（元）； 答：方案一需要的资金最少，最少资金是2160元． 变式题1（2025·山东烟台·中考真题）2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统．已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元． (1)求甲、乙两种路灯的单价； (2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少． 【答案】(1)甲、乙两种路灯的单价分别为元，元 (2)购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少 【分析】本题考查了二元一次方程组以及一元一次不等式、一次函数的应用，根据题意列出方程组，不等式以及一次函数关系式是解题的关键； （1）设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，列出不等式，求得，设购买费用为元，得出，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【解析】（1）解：设甲、乙两种路灯的单价分别为元，根据题意得， 解得： 答：甲、乙两种路灯的单价分别为，元 （2）解：设购买甲种路灯盏，则购买乙种路灯盏，根据题意得， 解得： 设购买费用为元，根据题意得， ∵ ∴当取得最大值时，取得最小值， ∴时，（盏）， 即购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少， 答：购买甲种路灯盏，购买乙种路灯盏，费用最少． 考点7：一次函数与几何综合 例题741．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【解析】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 变式题1（2025·四川德阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，，点在直线上，且，连接，，将绕点顺时针旋转到，点的对应点落在直线上，再将绕点顺时针旋转到，点的对应点也落在直线上．如此下去，…，则的纵坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，一次函数图象上点的坐标特征，旋转性质，勾股定理，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点，求出点，由，，则，，则有，由勾股定理得，由旋转性质可知，，所以，故有，即的纵坐标为，同理的纵坐标为，由，可判断在直线上，所以的纵坐标为，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】如图，设直线与轴交于点，分别过作轴，轴，垂足分别为点， 由直线得，当时，， ∴点， ∴， ∵，， ∴，，由勾股定理得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由旋转性质可知：，， ∴， ∴，即的纵坐标为， 同理的纵坐标为， ∵， ∴在直线上， ∴的纵坐标为， 故答案为：． 一．选择题（共19小题） 1．一次函数的图象不经过　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】一次函数的图象 【解析】一次函数的，， 一次函数图象经过第一、三、四象限， 即一次函数图象不经过第二象限． 故选． 2．正比例函数的图象如图所示，则的值可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】正比例函数的图象 【解析】由图象知，函数值随的增大而增大， ， 的值可能是， 故选． 3．在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】一次函数的性质 【解析】令得，， 令得，， 所以一次函数的图象经过点和． 如图所示， 所以一次函数的图象不经过第四象限． 故选． 4．如图，一次函数的图象与轴相交于点，则点关于轴的对称点是　　 A．， B．， C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象；关于轴、轴对称的点的坐标 【解析】对于一次函数，令，可得， ，， 点关于轴的对称点的坐标为，． 故选． 5．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的图象 【解析】由图象可得， ，，，， ，故选项正确，符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； ，故选项错误，不符合题意； 故选． 6．对于一次函数，下列结论正确的是　　 A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】 【考点】一次函数的性质 【解析】．当时，，则它的图象与轴交于点，故本选项符合题意； ．随的增大而增大，故本选项不符合题意； ．当时，，故本选项不符合题意； ．它的图象经过第一、三、四象限，故本选项不符合题意； 故选． 7．一次函数的函数值随的增大而减小，它的图象不经过的象限是　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】一次函数的性质 【解析】一次函数的函数值随的增大而减小， ，， 该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限， 故选． 8．若一次函数的函数值随的增大而增大，则的值可以是　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【考点】一次函数图象与系数的关系 【解析】由题意，得， 观察选项，只有选项符合题意． 故选． 9．已知点，，，都在正比例函数的图象上，若，则与的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【解析】因为正比例函数的比例系数是， 所以随的增大而增大． 又因为， 所以． 故选． 10．当时，一次函数有最大值6，则实数的值为　　 A．或0 B．0或1 C．或 D．或1 【答案】 【考点】一次函数的性质 【解析】当，即时，随的增大而增大， 当时，一次函数有最大值6， ， 解得，（舍去）， 当，即时，随的增大而减小， 当时，一次函数有最大值6， ， 解得，（舍去）， 综上，当时，一次函数有最大值6，则实数的值为0或， 故选． 11．生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长是尾长的一次函数，部分数据如下表所示，则与之间的关系式为　　 尾长 6 8 10 体长 45.5 60.5 75.5 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求一次函数解析式 【解析】蛇的长度是其尾长的一次函数， 设， 把时，；时，代入得， 解得， 与之间的关系式为． 故选． 12．已知不等式的解集是，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数与一元一次不等式；一次函数的图象 【解析】．不等式的解集是，故本选项不符合题意； ．不等式的解集是，故本选项符合题意； ．不等式的解集是，故本选项不符合题意； ．不等式的解集是，故本选项不符合题意； 故选． 13．点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数与二元一次方程（组 【解析】解方程组得：， ， 在第四象限， 故选． 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；菱形的性质 【解析】当时，， 点的坐标为， ． 四边形是菱形，且在轴上， ，且轴， 点的坐标为，即． 故选． 15．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数．容器内的水量（单位：与时间（单位：之间的关系如图所示，当时，　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数的应用 【解析】设当时的直线方程为：． 图象过、， ． ． ． 令， ． 故选． 16．甲、乙两人沿相同路线由地到地匀速前进，两地之间的路程为．两人前进路程（单位：与甲的前进时间（单位：之间的对应关系如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是　　 A．甲比乙晚出发 B．乙全程共用 C．乙比甲早到地 D．甲的速度是 【答案】 【考点】一次函数的应用 【解析】甲的速度是：； 乙的速度是：； 由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到， 故选． 17．已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．下面的图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用表示时间，表示该同学离家的距离．结合图象给出下列结论： （1）体育场离该同学家2.5千米． （2）该同学在体育场锻炼了15分钟． （3）该同学跑步的平均速度是步行平均速度的2倍． （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则的值是3.75． 其中正确结论的个数是　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）体育场离该同学家2.5千米，故（1）是正确的； （2）该同学在体育场锻炼的时间为：分钟，故（2）是正确的； （3）该同学跑步的平均速度：步行平均速度，故（3）是错误的； （4）若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍， 则：， 解得：， 故（4）是正确的； 故选． 18．同一条公路连接，，三地，地在，两地之间．甲、乙两车分别从地、地同时出发前往地．甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶．如图表示甲、乙两车之间的距离与时间的函数关系．下列结论正确的是　　 A．甲车行驶与乙车相遇 B．，两地相距 C．甲车的速度是 D．乙车中途休息36分钟 【答案】 【考点】一次函数的应用 【解析】根据函数图象可得两地之间的距离为， 两车行驶了4小时，同时到达地，如图所示，在小时，两侧同向运动，在第2小时，即点时，两者距离发生改变，此时乙车休息，点的意义是两车相遇，点意义是乙车休息后再出发， 乙车休息了1小时，故不正确，不符合题意； 设甲车的速度为 ，乙车的速度为 ， 根据题意，乙车休息后两者同时到达地，则甲车的速度比乙车的速度慢，， ，即， 在时，乙车不动，则甲车的速度是， 乙车速度为，故不正确，不符合题意； 的距离为（千米），故不正确，不符合题意； 设小时两辆车相遇，依题意得：， 解得：，即小时时，两车相遇，故正确，符合题意； 故选． 19．如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点落在直线上，再将△绕点逆时针旋转到△的位置，使点的对应点也落在直线上，如此下去，，若点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标；坐标与图形变化旋转 【解析】由题知， 将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以，， 在中， ， 所以． 由所给旋转方式可知， 点为正整数）在直线上． 因为， ， ， ， 所以， 令， 解得， 所以， 即． 令点的坐标为， 所以， 解得（舍正）， 所以， 所以点的坐标为． 故选． 二．填空题（共22小题） 20．点、在一次函数的图象上，则　　（用“”、“ ”或“”填空）． 【答案】． 【考点】一次函数的性质 【解析】， 随的增大而增大， 又点、在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 21．一次函数的值随的增大而增大，请写出一个满足条件的的值 　1　． 【答案】1． 【考点】一次函数的性质 【解析】的值随的增大而增大， ， ， 可以为：1， 故答案为：1． 22．写出一个过点且的值随着值增大而减小的函数表达式 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】一次函数的性质 【解析】由题知， 令这个函数的表达式为， 将点代入函数表达式得， ， 所以函数表达式为． 故答案为：（答案不唯一）． 23．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 　（答案不唯一）　． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】一次函数的定义；一次函数的性质 【解析】令一次函数的解析式为， 因为一次函数的图象经过第一、二、三象限， 所以，， 则一次函数的表达式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． 24．若正比例函数是常数，的图象经过第三、第一象限，则的值可以是 　1（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一）． 【考点】一次函数图象与系数的关系 【解析】因为正比例函数是常数，的图象经过第三、第一象限， 所以， 则的值可以是：1（答案不唯一）． 故答案为：1（答案不唯一）． 25．若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而 　减小　（选填“增大”或“减小” 【答案】减小． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质 【解析】正比例函数的图象经过点， ， 解得：． ， 的值随的增大而减小． 故答案为：减小． 26．已知直线、是常数）经过点，且随的增大而减小，则的值可以是 　2（答案不唯一）　（写出一个即可） 【答案】2（答案不唯一）． 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】直线、是常数）经过点， ． 随的增大而减小， ， 当时，， 解得：， 的值可以是2． 故答案为：2（答案不唯一）． 27．已知一次函数，当自变量时，函数的值可以是 　（答案不唯一）　（写出一个合理的值即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】当时，； 故答案为：（答案不唯一）． 28．如图，一次函数的图象经过、两点，交轴于点，则的面积为 　9　． 【答案】9． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【解析】一次函数的图象经过、两点， ，解得， 一次函数解析式为， 当时，， ， ． 故答案为：9． 29．如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【考点】坐标与图形变化旋转；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 根据旋转的性质，可得出：，，轴，轴， 点的坐标为，即． 故答案为：． 30．平面直角坐标系中，已知，．直线，为常数，且经过点，并把分成两部分，其中靠近原点部分的面积为，则的值为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征 【解析】如图，设与直线交于点． 设所在直线的函数关系式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在直线的函数关系式为． 将点代入， 得， 解得， 直线为． ， 解得， ，， ， 远离原点部分的面积为， ， ． 故答案为：． 31．直线与轴交于点，将直线绕点逆时针旋转，得到直线，则直线对应的函数表达式是 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象与几何变换 【解析】如图所示， 将代入得， ， 所以点坐标为． 将代入得， ， 所以点的坐标为， 所以， 所以． 由旋转可知， ， ． 在中， ， 所以， 则点的坐标为． 令直线的函数表达式为， 则， 解得， 所以直线的函数表达式为． 故答案为：． 32．如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，且点的横坐标为4，直角三角板的直角顶点落在轴上，一条直角边经过点，另一条直角边与直线交于点，当点在轴上移动时，线段的最小值为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象与几何变换；垂线段最短 【解析】如图，作轴，垂足为，轴，垂足为，设点， 点在函数图象上，且点的横坐标为4， ， ， ， 设点，则， ， ， ， 即， 整理得：， 点在轴上，方程必有实数解， △，即， ， 解得（舍去）或， 取最大值为， ． 33．在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则该直线的解析式可能为 　（答案不唯一）　（写出一个即可）． 【答案】．（答案不唯一） 【考点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形， 可设直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， 把，分别代入得， 解得， 此时直线解析式为． 故答案为：．（答案不唯一） 34．如图，已知一次函数的图象分别与、轴交于、两点，若，，则关于的方程的解为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数的性质；一次函数与一元一次方程 【解析】， 一次函数的图象与轴相交于点， 关于的方程的解为． 故答案为：． 35．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．一根弹簧不挂物体时长，当所挂物体的质量为时，弹簧长，当所排物体的质量为时，弹簧的长度为 　15　． 【答案】15． 【考点】一次函数的应用 【解析】设与的函数关系式为， 时，， ， 得， ， 当时，， 故答案为：15． 36．铁的密度为，铁块的质量（单位：与它的体积（单位：之间的函数关系式为，当时，　79　． 【答案】79． 【考点】一次函数的应用 【解析】当时，． 故答案为：79． 37．某种商品的销售量（万元）与广告投入（万元）成一次函数关系，当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元．则投入80万元时，销售量为 　4500　万元． 【答案】4500． 【考点】一次函数的应用 【解析】设， 当投入10万元时销售额1000万元，当投入90万元时销售量5000万元， ， 解得， ， 当时，， 故答案为：4500． 38．某公司生产了，两款新能源电动汽车．如图，，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多 　12　． 【答案】12． 【考点】一次函数的应用 【解析】款新能源电动汽车每千米的耗电量为，款新能源电动汽车每千米的耗电量为， 图象的函数关系式为，图象的函数关系式为， 当时，，， ， 当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多． 故答案为：12． 39．小王前往距家2000米的公司参会，先以（米分）的速度步行一段时间后，再改骑共享单车直达会议地点，到达时距会议开始还有14分钟，小王距家的路程（单位：米）与距家的时间（单位：分钟）之间的函数图象如图所示．若小王全程以（米分）的速度步行，则他到达时距会议开始还有 　5　分钟． 【答案】5． 【考点】一次函数的应用 【解析】（米分钟）， （分钟）， （分钟）． 故答案为：5． 40．已知，直线与轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作轴的平行线与直线交于点，与轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形，则点的横坐标为 　　． 【答案】． 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标 【解析】直线与轴负半轴交于点， 点坐标为， ， 过，作轴交轴于点，轴交于点，交轴于点， △为等边三角形， ， ， ， ，， 当时，， 解得：， ，， ， ， ， 当时，， 解得：， ； 而， 同理可得：的横坐标为， 点的横坐标为， 故答案为：． 41．如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，0 ，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 　　． 【答案】． 【考点】规律型：点的坐标；一次函数图象上点的坐标特征 【解析】因为直线的表达式为， 所以直线平分第一象限， 即直线与轴正半轴的夹角为． 因为点的坐标为， 所以． 由作图过程可知， ． 又因为， 所以△是等腰直角三角形， 所以， 同理可得， ， ， ， 所以为正整数）， 当时， ， 所以点的横坐标为． 故答案为：． 三．解答题（共19小题） 42．在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【考点】一次函数图象与系数的关系；两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式 【解析】（1）直线点， ， 解得， 将点代入得：， 解得． （2）当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ． 的取值范围是． 43．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点． （1）求一次函数的解析式； （2）已知变量，的对应关系如下表已知值呈现的对应规律． 1 2 3 4 8 4 2 1 写出与的函数关系式，并在本题所给的平面直角坐标系中画出函数的大致图象； （3）一次函数的图象与函数的图象相交于，两点（点在点的左侧），点关于坐标原点的对称点为点，点是第一象限内函数图象上的一点，且点位于点的左侧，连接，，．若△的面积为15，求点的坐标． 【考点】规律型：点的坐标；一次函数的性质；待定系数法求一次函数解析式；两条直线相交或平行问题；关于原点对称的点的坐标 【解析】（1）一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， ，解得， 一次函数解析式为：； （2）根据表格数据可知是反比例函数，， ， 函数图象如下： （3）联立方程组，解得，， ， 点关于坐标原点的对称点为点， ， 如图，连接，作轴，轴， △的面积为15， ， 点、在反比例函数图象上， ， 设点， ． 解得或（舍去）， ． 44．近年来，中国传统服饰备受大家的青睐，走上国际时装周舞台，大放异彩．某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售，进货价和销售价如表： 价格类别 短款 长款 进货价（元件） 80 90 销售价（元件） 100 120 （1）该服装店第一次用4300元购进长、短两款服装共50件，求两款服装分别购进的件数； （2）第一次购进的两款服装售完后，该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件（进货价和销售价都不变），且第二次进货总价不高于16800元．服装店这次应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？ 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用；一次函数的应用 【解析】（1）由题意，设购进短款服装件，购进长款服装件， ． ． 答：长款服装购进30件，短款服装购进20件． （2）由题意，设第二次购进件短款服装，则购进 件长款服装， ． ． 又设利润为元， 则． 随的增大而减小． 当时，利润最大为：（元． 答：当购进120件短款服装，80件长款服装时有最大利润，最大利润是4800元． 45．某小区物管中心计划采购，两种花卉用于美化环境．已知购买2株种花卉和3株种花卉共需要21元；购买4株种花卉和5株种花卉共需要37元． （1）求，两种花卉的单价． （2）该物管中心计划采购，两种花卉共计10000株，其中采购种花卉的株数不超过种花卉株数的4倍，当，两种花卉分别采购多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用 【解析】（1）设种花卉的单价为元株，种花卉的单价为元株． 由题意得：， 解得：， 答：种花卉的单价为3元株，种花卉的单价为5元株； （2）设采购种花卉株，则种花卉 株，总费用为元． 由题意得：， ， 解得：， 在中， ， 随的增大而减小， 当 时的值最小， ， 此时， 答：当购进种花卉8000株，种花卉2000株时，总费用最少，最少费用为34000元． 46．、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢．某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见如表： 成本（单位：元个） 销售价格（单位：元个） 型号 35 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． （1）求、的值； （2）若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】（1）40，50； （2）564． 【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的应用 【解析】（1）根据题意，得， 解得， 的值是40，的值是50． （2）购买种型号吉祥物的数量为个． 根据题意，得， 解得； ， ， 随的减小而增大， 且为整数， 当时，的值最大，， 的最大值是564． 47．眉山是“三苏”故里，文化底蕴深厚．近年来眉山市旅游产业蓬勃发展，促进了文创产品的销售，某商店用960元购进的款文创产品和用780元购进的款文创产品数量相同．每件款文创产品进价比款文创产品进价多15元． （1）求，两款文创产品每件的进价各是多少元？ （2）已知款文创产品每件售价为100元，款文创产品每件售价为80元，根据市场需求，商店计划再用不超过7400元的总费用购进这两款文创产品共100件进行销售，问：怎样进货才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【考点】分式方程的应用；一次函数的应用 【解析】（1）款文创产品每件的进价元，则文创产品每件的进价是元，根据题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ． 答：款文创产品每件的进价80元，则文创产品每件的进价是65元． （2）设购进款文创产品件，则购进款文创产品件，总利润为，根据题意得： ， 解得：， ， ，随的增大而增大， 当时，利润最大，． 答：购进款文创产品60件，购进款文创产品40件，才能使销售完后获得的利润最大，最大利润是1800元． 48．端午节是我国的传统节日，有吃粽子的习俗．节日前夕，某商场购进，两种粽子共200盒进行销售．经了解，进价与标价如下表所示（单位：元盒） 种类 进价 标价 90 120 50 60 （1）设该商场购进种粽子盒，销售两种粽子所得的总利润为元，求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）； （2）若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，请问至少需要购进种粽子多少盒？ 【考点】一次函数的应用；一元一次不等式的应用 【解析】（1） ， 答：关于的函数解析式． （2）， 解得：， 故若购进的200盒粽子销售完毕，总利润不低于3000元，至少需要购进种粽子50盒． 49．区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时之间的函数图象如图所示． （1）的值为 　　； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米时） 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）由题意得，， 解得， 故答案为：； （2）设当时，与之间的函数关系式为，则： ， 解得， ； （3）当时，， 先匀速行驶小时的速度为：（千米时）， ， 辆汽车减速前没有超速． 50．如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图，碗的规格都是相同的．小亮尝试结合学习函数的经验，探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度（单位：随着碗的数量（单位：个）的变化规律．下表是小亮经过测量得到的与之间的对应数据： 个 1 2 3 4 6 8.4 10.8 13.2 （1）依据小亮测量的数据，写出与之间的函数表达式，并说明理由； （2）若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过，求此时碗的数量最多为多少个？ 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）由表中的数据，的增加量不变， 是的一次函数， 设， 由题意得：， 解得：， 与之间的函数表达式为； （2）设碗的数量有个， 则：， 解得：， 的最大整数解为10， 答：碗的数量最多为10个． 51．领航无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机以米秒的速度从地面起飞，乙无人机从距离地面20米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙无人机按照训练计划准时到达距离地面的高度为96米时，进行了时长为秒的联合表演，表演完成后以相同的速度大小同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米与无人机飞行的时间（秒之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）　8　米秒，　　秒； （2）求线段所在直线的函数解析式； （3）两架无人机表演训练到多少秒时，它们距离地面的高度差为12米？（直接写出答案即可） 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）由题意得甲无人机的速度为（米秒）， （秒． 故答案为：8，20； （2）由图象知，， 甲无人机的速度为8米秒， 甲无人机匀速从0米到96米所用时间为（秒， 甲无人机单独表演所用时间为（秒， （秒， ， 设线段所在直线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得 线段所在直线的函数解析式为． （3）由题意，， 同理线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 线段所在直线的函数解析式为， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 当时，由题意得， 解得或（舍去）， 综上，两架无人机表演训练到2秒或10秒或16秒时，它们距离地面的高度差为12米． 52．我国新能源汽车快速健康发展，续航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往市．他驾车从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是，行驶了后，从市一高速公路出口驶出．已知该车在高速公路上行驶的过程中，剩余电量与行驶路程之间的关系如图所示． （1）求与之间的关系式； （2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从市这一高速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少． 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）设，代入，， 得，， 解得：，， ； （2）令，则， ， 答：该车的剩余电量占“满电量”的． 53．一条公路上依次有、、三地，甲车从地出发，沿公路经地到地，乙车从地出发，沿公路驶向地．甲、乙两车同时出发，匀速行驶，乙车比甲车早小时到达目的地．甲、乙两车之间的路程 与两车行驶时间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： （1）甲车行驶的速度是 　70　，并在图中括号内填上正确的数； （2）求图中线段所在直线的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）请直接写出两车出发多少小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）由图可知，甲车小时行驶的路程为， 甲车行驶的速度是， ， 填图如下： 故答案为：70； （2）由图可知，的坐标分别为，， 设线段所在直线的函数解析式为， 则， 解得， 线段所在直线的函数解析式为； （3）由题意知，、两地的距离为：， 乙车行驶的速度为：， 、两地的距离为：， 、两地的距离为：， 设两车出发小时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍， 分两种情况： 甲在之间时： ， 解得； 甲在之间时： ， 解得； 综上可知，两车出发或时，乙车距地的路程是甲车距地路程的3倍． 54．甲、乙两货车分别从相距的、两地同时出发，甲货车从地出发途经配货站时，停下来卸货，半小时后继续驶往地，乙货车沿同一条公路从地驶往地，但乙货车到达配货站时接到紧急任务立即原路原速返回地，结果比甲货车晚半小时到达地．如图是甲、乙两货车距地的距离与行驶时间之间的函数图象，结合图象回答下列问题： （1）甲货车到达配货站之前的速度是 　30　，乙货车的速度是 　　； （2）求甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式； （3）直接写出甲、乙两货车在行驶的过程中，出发多长时间甲、乙两货车与配货站的距离相等． 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）甲货车到达配货站之前的速度是；乙货车的速度是． 故答案为：30，40． （2），， 点，． 设线段对应的函数解析式为、为常数，且． 将坐标和分别代入， 得， 解得， 甲货车在配货站卸货后驶往地的过程中，甲货车距地的距离与行驶时间之间的函数解析式为． （3）线段对应的函数表达式为， 线段对应的函数表达式为， 线段对应的函数表达式为． 当时，甲货车离配货站的距离为，乙货车离配货站的距离为， 根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得，解得； 当时，甲货车离配货站的距离为，乙货车离配货站的距离为， 根据“甲、乙两货车与配货站的距离相等”，得，解得； 当乙货车返回地过程中与甲货车相遇时，两车与配货站的距离相等，根据“相遇时两车与地距离相等”， ，解得； 出发或或甲、乙两货车与配货站的距离相等． 55．综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究．第一小组负责调查板凳的历史及结构特点；第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识；第三小组负责汇报和交流．下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题． 【背景调查】 图①中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观．榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度，确定榫眼的位置，如图②所示．板凳的结构设计体现了数学的对称美． 【收集数据】 小组收集了一些板凳并进行了测量．设以对称轴为基准向两边各取相同的长度为 ，凳面的宽度为 ，记录如下： 以对称轴为基准向两边各取相同的长度 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度 115.5 132 148.5 165 181.5 【分析数据】 如图③，小组根据表中，的数值，在平面直角坐标系中描出了各点． 【建立模型】 请你帮助小组解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上？如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数解析式；如果不在同一条直线上，说明理由． （2）当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是多少？ 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）它们在同一条直线上， 设， 则：， 解得：， 所以这条直线所对应的函数解析式为； （2）当时，， 解得：， 所以当凳面宽度为时，以对称轴为基准向两边各取相同的长度是． 56．小明和小丽在跑步机上慢跑锻炼．小明先跑，10分钟后小丽才开始跑，小丽跑步时中间休息了两次．跑步机上档比档快40米分、档比档快40米分．小明与小丽的跑步相关信息如表所示，跑步累计里程（米与小明跑步时间（分的函数关系如图所示． 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小明 不分段 档 4000米 小丽 第一段 档 1800米 第一次休息 第二段 档 1200米 第二次休息 第三段 档 1600米 （1）求，，各档速度（单位：米分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）； （3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等，求的值． 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）由题意可知，档速度为（米分）， 则档速度为（米分）， 档速度为（米分）， 答：，，各档速度80米分、120米分、160米分． （2）小丽第一段跑步时间为（分， 小丽第二段跑步时间为（分， 小丽第三段跑步时间为（分， 则小丽两次休息时间的总和为（分， 答：小丽两次休息时间的总和为5分钟． （3）小丽第二次休息后，在分钟时两人跑步累计里程相等， 此时小丽在跑第三段，所跑时间为（分， ， ． 57．为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某共享电动车公司准备投入资金购买、两种电动车．若购买种电动车25辆、种电动车80辆，需投入资金30.5万元；若购买种电动车60辆、种电动车120辆，需投入资金48万元．已知这两种电动车的单价不变． （1）求、两种电动车的单价分别是多少元？ （2）为适应共享电动车出行市场需求，该公司计划购买、两种电动车200辆，其中种电动车的数量不多于种电动车数量的一半．当购买种电动车多少辆时，所需的总费用最少，最少费用是多少元？ （3）该公司将购买的、两种电动车投放到出行市场后，发现消费者支付费用元与骑行时间 之间的对应关系如图．其中种电动车支付费用对应的函数为；种电动车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为请根据函数图象信息解决下列问题． ①小刘每天早上需要骑行种电动车或种电动车去公司上班．已知两种电动车的平均行驶速度均为（每次骑行均按平均速度行驶，其它因素忽略不计），小刘家到公司的距离为，那么小刘选择 　　种电动车更省钱（填写或． ②直接写出两种电动车支付费用相差4元时，的值 　　． 【考点】二元一次方程组的应用；一次函数的应用 【解析】（1）设、两种电动车的单价分别为元、元， 由题意得，， 解得：， 答：、两种电动车的单价分别为1000元、3500元． （2）设购买种电动车辆，则购买8种电动车辆， ， 解得：， 设所需购买总费用为元， 则， ， 随着的增大而减小， 取正整数， 时，最少， （元， 答：当购买种电动车66辆时所需的总费用最少，最少费用为535000元． （3）①两种电动车的平均行驶速度均为，小刘家到公司的距离为， 所用时间（分钟）， 根据函数图象可得当时，更省钱， 小刘选择种电动车更省钱， 故答案为：． ②设， 将代入得， ， 解得：， ， 当时，， 当时，设， 将、代入得， ， 解得：， ， 依题意，当时，， 即， 解得：， 当时，， 即， 解得：（舍去） 或， 故答案为：5或40． 58．小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）．在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来．新水杯（记为2号杯）示意图如图． 当1号杯和2号杯中都有水时，小云分别记录了1号杯的水面高度（单位：和2号杯的水面高度单位：，部分数据如下： 0 40 100 200 300 400 500 0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 （1）补全表格（结果保留小数点后一位）； （2）通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； （3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号杯和2号杯中都有水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 　1.2　（结果保留小数点后一位）； ②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 　　（结果保留小数点后一位）． 【考点】一次函数的应用 【解析】（1）设，将代入得：，解得， ， ， ， 故答案为：1.0． （2）如图所示， （3）①当时，，由图象可知相差约为，如图所示． 故答案为：1.2． ②解法一：在①的条件下两杯相差，此时大约是8.0，加上0.6约为． 解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为． 故答案为：8.6． 59．已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家，文化广场离家．张华从家出发，先匀速骑行了到画社，在画社停留了，之后匀速骑行了到文化广场，在文化广场停留后，再匀速步行了返回家．如图图中表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： ①填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 　0.15　 0.6 　　 　　 ②填空：张华从文化广场返回家的速度为 　　； ③当时，请直接写出张华离家的距离关于时间的函数解析式； （Ⅱ）当张华离开家时，他的爸爸也从家出发匀速步行了直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可） 【考点】一次函数的应用 【解析】①由图象可填表： 张华离开家的时间 1 4 13 30 张华离家的距离 0.15 0.6 0.6 1.5 故答案为：0.15，0.6，1.5； ②由图象可知，张华从文化广场返回家的速度为， 故答案为：0.075； ③张华从家到画社的速度为：， 张华从画社到文化广场的速度为， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，与的函数解析式为； 爸爸的速度为：， 设张华出发分钟时和爸爸相遇， 根据题意得：， 解得， ， 答：从画社到文化广场的途中两人相遇时离家的距离为． 60． 背景 【缤纷618，优惠送大家】 今年618各大电商平台促销火热，线下购物中心也亮出大招，年中大促进入“白热化”．深圳各大购物中心早在5月就开始推出618活动，进入6月更是持续加码，如图，某商场为迎接即将到来的618优惠节，采购了若干辆购物车． 素材 如图为某商场叠放的购物车，如图为购物车叠放在一起的示意图，若一辆购物车车身长，每增加一辆购物车，车身增加． 问题解决 任务1 若某商场采购了辆购物车，求车身总长与购物车辆数的表达式； 任务2 若该商场用直立电梯从一楼运输该批购物车到二楼，已知该商场的直立电梯长为，且一次可以运输两列购物车，求直立电梯一次性最多可以运输多少辆购物车？ 任务3 若该商场扶手电梯一次性可以运输24辆购物车，若要运输100辆购物车，且共使用电梯5次，求：共有多少种运输方案？ 【考点】一元一次不等式的应用；一次函数的应用 【解析】任务 根据题意得：， 车身总长与购物车辆数的表达式为； 任务 当时，， 解得， （辆， 答：直立电梯一次性最多可以运输18辆购物车； 任务 设用扶手电梯运输次，直立电梯运输次， ， 根据题意得：， 解得， 为正整数，且， ，3，4，5， 共有4种运输方案． 学科网（北京）股份有限公司 $