专题11 平面直角坐标系与函数基础（考点解读+知识梳理+例题精讲+题型突破）2026年中考数学一轮复习（全国通用）

专题11 平面直角坐标系与函数基础 平面直角坐标系与函数基础是中考数学的核心入门专题，是连接代数与几何的桥梁，为后续一次函数、二次函数、反比例函数等核心知识的学习奠定基础。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的基础部分，占分比重约5%-7%，核心考查学生的坐标运算能力、函数概念理解能力和图象分析能力。 核心考点 ①平面直角坐标系的概念（象限划分、点的坐标特征）； ②函数的定义与自变量取值范围（整式、分式、二次根式相关）； ③坐标与几何变换（平移、旋转、位似、对称）； ④坐标与几何性质（两点间距离、三角形面积、双曲线与坐标结合）； ⑤坐标的变换规律（循环规律、相似变换规律）； ⑥函数图象的识别与信息提取（实际情境、动点问题的函数图象）； ⑦函数关系式的确定（正比例、一次函数等基础函数）。 考情分析 ①基础题型：侧重象限内点的坐标特征、自变量取值范围、简单坐标变换，难度较低； ②中档题型：侧重坐标规律探究、函数图象信息提取、坐标与几何性质结合，难度中等； ③创新题型：侧重结合实际情境的函数图象分析、复杂坐标变换规律，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.平面直角坐标系 组成：由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成（x轴为水平轴，y轴为竖直轴）； 象限划分：四个象限按逆时针方向依次为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限； 点的坐标特征： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：； x轴上的点：纵坐标为0；y轴上的点：横坐标为0；原点：。 2.函数的相关概念 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量； 自变量取值范围： 整式函数：自变量可取全体实数； 分式函数：分母不为0； 二次根式函数：被开方数非负； 复合函数：同时满足多个条件（如分式+二次根式，需分母不为0且被开方数非负）。 3.坐标与几何变换 平移变换：点向右平移a个单位得，向左平移a个单位得，向上平移b个单位得，向下平移b个单位得； 旋转变换：绕原点逆时针旋转90°，点变为；绕原点顺时针旋转90°，点变为； 位似变换：以原点为位似中心，位似比为k，点变为； 对称变换：关于x轴对称，点变为；关于y轴对称，点变为；关于原点对称，点变为。 4.函数图象的意义 定义：函数图象是所有满足函数关系式的点组成的图形； 图象识别：横坐标表示自变量x，纵坐标表示函数y，通过图象可读取自变量取值范围、函数值范围、特殊点坐标等信息。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.坐标运算快捷结论： 两点、在x轴上的距离为，在y轴上的距离为； 三角形面积：若两点在x轴（或y轴）上，可将该边作为底，第三点的纵坐标（或横坐标）绝对值作为高计算； 2.自变量取值范围易错点：复合函数需“同时满足所有条件”，如，需满足且，即且； 3.函数图象分析技巧： 实际情境中，“水平线段”表示变量不变（如静止、匀速停留）； 线段斜率越大，变化速度越快（如注水问题中，容器越窄，水面上升斜率越大）； 坐标规律探究方法： 循环规律：先列出前几个点的坐标，找出循环周期，再用“总数÷周期”求余数确定位置； 相似变换规律：若涉及相似三角形，坐标比等于相似比。 考点1：平面直角坐标系与点的坐标特征 例题1（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 变式题1（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式题2（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点2：函数自变量的取值范围 例题2（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式题1（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式题2在函数中，自变量x的取值范围是 ． 考点3：坐标与几何变换 例题3（（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式题1（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 考点4：坐标与几何性质 例题4（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 变式题1（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 考点5：坐标的变换规律 例题5（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 变式题1（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 考点6：函数图象的信息提取 例题6（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 变式题1（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 考点7：函数关系式的确定 例题7（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 变式题1（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 考点1 平面直角坐标系 一．选择题（共7小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 2．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若想在如图的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴、轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长，则下列哪一种画法可在方格纸的范围内标出、、、四点？　　 A． B． C． D． 4．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为　　 A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 6．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是　　 A． B． C．0 D．1 7．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：． 若“和点” 按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 二．填空题（共5小题） 8．点，在第 　 　象限． 9．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则，点，的位置可以分别表示为，，则点的位置可以表示为 　 　． 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 　 　． 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是，；如此下去，，则的坐标是 　 　． 12．如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为 　 　． 考点2 函数基础 一．选择题（共21小题） 1．激光测距仪发出的激光束以的速度射向目标， 后测距仪收到反射回的激光束．则到的距离 与时间 的关系式为　　 A． B． C． D． 2．小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为，，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 3．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为　　 A． B． C． D． 4．函数自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 5．在函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 6．函数的定义域是　　 A． B． C． D． 7．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为　　 A． B． C． D． 8．甲、乙两车出发前油箱里都有油，油箱剩余油量（单位：关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 9．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是　　 A．当时， B．随的增大而增大 C．每增加，的增加量相同 D．越大，插线板电源线产生的热量越多 10．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 第所用的时间最长，约4.5分钟，故选项说法正确，不符合题意； 第所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项说法正确，不符合题意； 第和第的平均速度相同，故选项说法正确，不符合题意； 前的平均速度小于最后的平均速度，故选项说法错误，符合题意． 故选． 11．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是　　 A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0 C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 12．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是　　 A． B． C． D． 13．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是　　 A． B． C． D． 14．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 15．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为　　 A． B． C． D． 16．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 17．如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为　　 A． B． C． D． 18．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为　　 A．5 B．7 C． D． 19．如图，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为．下列图象能反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 20．如图，在中，，，，是边上的高．点，分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为，则关于的函数图象为　　 A． B． C． D． 21．如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是　　 A． B． C． D． 二．填空题（共8小题） 22．在函数中，自变量的取值范围是 　 　． 23．在函数中，自变量的取值范围是 　 　． 24．若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 　 　． 25．函数中，自变量的取值范围是 　 　． 26．在函数中，自变量的取值范围是 　 　． 27．函数的自变量的取值范围是 　 　． 28．在函数中，自变量的取值范围是 　 　． 29．请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　 　． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 平面直角坐标系与函数基础 平面直角坐标系与函数基础是中考数学的核心入门专题，是连接代数与几何的桥梁，为后续一次函数、二次函数、反比例函数等核心知识的学习奠定基础。该专题在中考中以基础题和中档题为主，分布于选择题、填空题及解答题的基础部分，占分比重约5%-7%，核心考查学生的坐标运算能力、函数概念理解能力和图象分析能力。 核心考点 ①平面直角坐标系的概念（象限划分、点的坐标特征）； ②函数的定义与自变量取值范围（整式、分式、二次根式相关）； ③坐标与几何变换（平移、旋转、位似、对称）； ④坐标与几何性质（两点间距离、三角形面积、双曲线与坐标结合）； ⑤坐标的变换规律（循环规律、相似变换规律）； ⑥函数图象的识别与信息提取（实际情境、动点问题的函数图象）； ⑦函数关系式的确定（正比例、一次函数等基础函数）。 考情分析 ①基础题型：侧重象限内点的坐标特征、自变量取值范围、简单坐标变换，难度较低； ②中档题型：侧重坐标规律探究、函数图象信息提取、坐标与几何性质结合，难度中等； ③创新题型：侧重结合实际情境的函数图象分析、复杂坐标变换规律，难度稍高。 （一）核心概念与性质 1.平面直角坐标系 组成：由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成（x轴为水平轴，y轴为竖直轴）； 象限划分：四个象限按逆时针方向依次为第一至第四象限，坐标轴上的点不属于任何象限； 点的坐标特征： 第一象限：；第二象限：；第三象限：；第四象限：； x轴上的点：纵坐标为0；y轴上的点：横坐标为0；原点：。 2.函数的相关概念 定义：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x是自变量； 自变量取值范围： 整式函数：自变量可取全体实数； 分式函数：分母不为0； 二次根式函数：被开方数非负； 复合函数：同时满足多个条件（如分式+二次根式，需分母不为0且被开方数非负）。 3.坐标与几何变换 平移变换：点向右平移a个单位得，向左平移a个单位得，向上平移b个单位得，向下平移b个单位得； 旋转变换：绕原点逆时针旋转90°，点变为；绕原点顺时针旋转90°，点变为； 位似变换：以原点为位似中心，位似比为k，点变为； 对称变换：关于x轴对称，点变为；关于y轴对称，点变为；关于原点对称，点变为。 4.函数图象的意义 定义：函数图象是所有满足函数关系式的点组成的图形； 图象识别：横坐标表示自变量x，纵坐标表示函数y，通过图象可读取自变量取值范围、函数值范围、特殊点坐标等信息。 （二）二级结论（中考高频应用） 1.坐标运算快捷结论： 两点、在x轴上的距离为，在y轴上的距离为； 三角形面积：若两点在x轴（或y轴）上，可将该边作为底，第三点的纵坐标（或横坐标）绝对值作为高计算； 2.自变量取值范围易错点：复合函数需“同时满足所有条件”，如，需满足且，即且； 3.函数图象分析技巧： 实际情境中，“水平线段”表示变量不变（如静止、匀速停留）； 线段斜率越大，变化速度越快（如注水问题中，容器越窄，水面上升斜率越大）； 坐标规律探究方法： 循环规律：先列出前几个点的坐标，找出循环周期，再用“总数÷周期”求余数确定位置； 相似变换规律：若涉及相似三角形，坐标比等于相似比。 考点1：平面直角坐标系与点的坐标特征 例题1（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【解析】利用非负性求出a、b的值： 由，，且和为0，得，； 解得，，即点A的坐标为； 第四象限的坐标特征为，故点A在第四象限。 变式题1（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【解析】∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 变式题2（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【解析】原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 考点2：函数自变量的取值范围 例题2（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【解析】∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 变式题1（2025·四川内江·中考真题）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据题意得出，即可求解． 【解析】根据题意得：， 解得： 故选：A． 变式题2在函数中，自变量x的取值范围是 ． 【答案】且 【解析】函数为二次根式与分式的复合函数，需同时满足两个条件： 二次根式有意义：被开方数非负，即，解得； 分式有意义：分母不为0，即，解得； 综上，自变量x的取值范围为且。 考点3：坐标与几何变换 例题3（（2025·四川自贡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为5，边在轴上．．若将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形．则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正方形的性质，旋转的性质，坐标与图形，由正方形与旋转可得在轴上，，结合，可得，，进一步可得答案. 【解析】∵正方形的边长为5，边在轴上，将正方形绕点逆时针旋转．得到正方形． ∴，在轴上，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A 变式题1（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 考点4：坐标与几何性质 例题4（2025·广西·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且满足，点，，，均在双曲线的一支上．若点A的坐标为，则第三级阶梯的高（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了双曲线的解析式，点的坐标与线段长度，解题的关键是得出双曲线的解析式． 把点的坐标代入，可得双曲线的解析式，结合已知的线段长度求出点和点的横坐标，代入解析式可得纵坐标，作差即可． 【解析】∵点在双曲线上， ∴， ∴双曲线， ∵“双曲线阶梯”的所有线段均与轴平行或垂直，且， ∴点的横坐标为，点的横坐标为， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， 故选：． 变式题1（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解析】∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 考点5：坐标的变换规律 例题5（2025·山东·中考真题）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数规律探究；根据题意可以写出点、、、的坐标，从而可以发现各点的变化规律，从而可以写出点的坐标． 【解析】∵点的坐标为， ∴点的横坐标为1， ∴点的坐标为， ∴点的纵坐标为1， ∴点的坐标为， 同理点的横坐标为， ∴点的坐标为， 点的坐标为， ∴四个点一个循环， ∵余1， ∴点的坐标与点相同，是， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、规律型，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． 变式题1（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【解析】∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 考点6：函数图象的信息提取 例题6（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【解析】根据函数图象读取关键信息判断： 选项A：当时，，故电池最多可充500W·h，A错误； 选项B：行驶10km时，能量从500降至300，消耗200W·h，但行驶后续10km（10-20km）消耗500-300=200W·h， B错误； 选项C：当时，，故最多行驶25km，C正确； 选项D：剩余能量100W·h时，(500-100)÷20=20（km）对应的行驶里程为20km，故行驶20km后报警，D错误； 故选C。 变式题1（2025·四川成都·中考真题）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是（   ） A．小明家到体育馆的距离为 B．小明在体育馆锻炼的时间为 C．小明家到书店的距离为 D．小明从书店到家步行的时间为 【答案】C 【解析】分析图象各段含义： 选项A：0-15min跑步到体育馆，距离为2.5km，A错误； 选项B：15-45min为锻炼时间，时长为，B错误； 选项C：80min时到达书店，纵坐标为1km，故小明家到书店的距离为1km，C正确； 选项D：80-100min从书店步行回家，时长为， 按图象显示，书店到家距离为1km，步行时间为20min，但需结合选项，最终正确答案为C。 考点7：函数关系式的确定 例题7（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【解析】∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选． 变式题1（2025·山东·中考真题）在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（   ）    A．当时，随的增大而减小 B．当时，有最大值 C．当时， D．当时， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【解析】A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B. 考点1 平面直角坐标系 一．选择题（共7小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标为，则点的坐标为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】点的坐标 【解析】点的坐标为． 故选． 2．如果单项式与单项式的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】坐标与图形性质 【解析】因为单项式与单项式的和仍是一个单项式， 所以，， 解得，， 所以点所在的象限为第四象限． 故选． 3．若想在如图的方格纸上沿着网格线画出坐标平面的轴、轴并标记原点，且以小方格边长作为单位长，则下列哪一种画法可在方格纸的范围内标出、、、四点？　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】点的坐标 【解析】、坐标系中不能表示出点，不符合题意； 、坐标系中不能表示出点，不符合题意； 、坐标系中不能表示出点，不符合题意； 、坐标系中能表示出各点，符合题意， 故选． 4．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“技”所在的象限为　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】 【考点】坐标确定位置 【解析】如图建立直角坐标系，则“技”在第一象限， 故选． 5．敦煌文书是华夏民族引以为傲的艺术瑰宝，其中敦煌《算经》中出现的《田积表》部分如图1所示，它以表格形式将矩形土地的面积直观展示，可迅速准确地查出边长10步到60步的矩形田地面积，极大地提高了农田面积的测量效率．如图2是复原的部分《田积表》，表中对田地的长和宽都用步来表示，区域表示的是长15步，宽16步的田地面积为一亩，用有序数对记为，那么有序数对记为对应的田地面积为　　 A．一亩八十步 B．一亩二十步 C．半亩七十八步 D．半亩八十四步 【答案】 【考点】坐标确定位置 【解析】根据可得，横从上面从右向左看，纵从右边自下而上看， 对应的是半亩八十四步， 故选． 6．如图，小好同学用计算机软件绘制函数的图象，发现它关于点中心对称．若点，，，，，都在函数图象上，这20个点的横坐标从0.1开始依次增加0.1，则的值是　　 A． B． C．0 D．1 【答案】 【考点】规律型：点的坐标 【解析】法一：由题知， 点的坐标为， 则． 因为函数图象关于点中心对称， 所以， 将代入函数解析式得， ， 即， 所以的值为1． 法二：将代入函数解析式得， 记此点为， 则． 结合上述过程可知， ， 所以， 则． 故选． 7．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点” 按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下：． 若“和点” 按上述规则连续平移16次后，到达点，则点的坐标为　　 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】 【考点】规律型：点的坐标；坐标与图形变化平移 【解析】根据已知：点横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，再按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移； 若“和点” 按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点” 反向运动16次即可，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个 单位得到，故符合题意， 点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即， 最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选． 二．填空题（共5小题） 8．点，在第 　四　象限． 【答案】四． 【考点】点的坐标 【解析】，， 点，在第四象限． 故答案为：四． 9．如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点，，处有目标出现．按某种规则，点，的位置可以分别表示为，，则点的位置可以表示为 　　． 【答案】． 【考点】坐标确定位置 【解析】点，的位置可以分别表示为，， 点的位置可以表示为， 故答案为：． 10．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中，均为正整数．例如，点经过第1次运算得到点，经过第2次运算得到点，以此类推．则点经过2024次运算后得到点 　　． 【答案】 【考点】规律型：点的坐标 【解析】点经过1次运算后得到点为，即为， 经过2次运算后得到点为，即为， 经过3次运算后得到点为，即为， ， 发现规律：点经过3次运算后还是， ， 点经过2024次运算后得到点， 故答案为：． 11．如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点的坐标为，是等边三角形，点坐标是，在正方形内部紧靠正方形的边（方向为做无滑动滚动，第一次滚动后，点的对应点记为，的坐标是；第二次滚动后，的对应点记为，的坐标是；第三次滚动后，的对应点记为，的坐标是，；如此下去，，则的坐标是 　　． 【答案】． 【考点】规律型：点的坐标 【解析】由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，点的坐标每12个循环一次， 因为余8， 所以点的坐标为． 故答案为：． 12．如图，已知，，，，，，，，依此规律，则点的坐标为 　　． 【答案】． 【考点】规律型：点的坐标 【解析】由题知， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，每隔七个点，点的横坐标增加10，且纵坐标按循环出现， 又因为余1， 所以， 则点的坐标为． 故答案为：． 考点2 函数基础 一．选择题（共21小题） 1．激光测距仪发出的激光束以的速度射向目标， 后测距仪收到反射回的激光束．则到的距离 与时间 的关系式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数关系式 【解析】激光由到的时间为， 光速为， 则到的距离． 故选． 2．小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为，，则下列关系式正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】等式的性质；函数关系式 【解析】设“▲”的质量为． 根据甲天平，得①； 根据乙天平，得②． 根据等式的基本性质1，将①的两边同时减，得③； 根据等式的基本性质1，将②的两边同时减，得④； 根据等式的基本性质2，将④的两边同时乘以2，得， ． 故选． 3．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等．七张桌面分开可组合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名称为“回文”的桌面拼合方式，若设每张桌面的宽为尺，长桌的长为尺，则与的关系可以表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】规律型：图形的变化类；函数关系式 【解析】由图可知，小桌的长为尺，则，即． 故选． 4．函数自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数自变量的取值范围 【解析】由题意得：， 解得：， 故选． 5．在函数中，自变量的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数自变量的取值范围 【解析】由题意得：， 解得：， 故选． 6．函数的定义域是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数自变量的取值范围 【解析】由题意得， 解得：， 故选． 7．将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】将常温中的温度计插入一杯的热水中，温度计的度数与时间的关系，图象是； 故选． 8．甲、乙两车出发前油箱里都有油，油箱剩余油量（单位：关于行驶路程（单位：百公里）的函数图象分别如图所示，已知甲车每百公里平均耗油量比乙车每百公里平均耗油量少，则下列关系正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】由图象知：甲、乙两车行驶百公里时，甲车耗油，乙车耗油， 由题意得：． 故选． 9．把多个用电器连接在同一个插线板上，同时使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患．数学兴趣小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流与使用电器的总功率的函数图象（如图，插线板电源线产生的热量与的函数图象（如图．下列结论中错误的是　　 A．当时， B．随的增大而增大 C．每增加，的增加量相同 D．越大，插线板电源线产生的热量越多 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】由图1可知，当时，，故选项说法正确，不符合题意； 由图2可知，随的增大而增大，故选项说法正确，不符合题意； 由图2可知，每增加，的增加量不相同，故选项说法错误，符合题意； 由图1可知随的增大而增大，由图2可知随的增大而增大，所以越大，插线板电源线产生的热量越多，故选项说法正确，不符合题意． 故选． 10．在马拉松、公路自行车等耐力运动的训练或比赛中，为合理分配体能，运动员通常会记录每行进所用的时间，即“配速”（单位：．小华参加的骑行比赛，他骑行的“配速”如图所示，则下列说法中错误的是　　 A．第所用的时间最长 B．第的平均速度最大 C．第和第的平均速度相同 D．前的平均速度大于最后的平均速度 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】由图象可知， 第所用的时间最长，约4.5分钟，故选项说法正确，不符合题意； 第所用的时间最长最小，即平均速度最大，故选项说法正确，不符合题意； 第和第的平均速度相同，故选项说法正确，不符合题意； 前的平均速度小于最后的平均速度，故选项说法错误，符合题意． 故选． 11．化学实验小组查阅资料了解到：某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物并发生沉降，从而达到净水的目的．实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的关系如图所示，下列说法正确的是　　 A．加入絮凝剂的体积越大，净水率越高 B．未加入絮凝剂时，净水率为0 C．絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量相等 D．加入絮凝剂的体积是时，净水率达到 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】由题意得： 当加入絮凝剂的体积为时，净水率比时降低了，故选项说法错误，不符合题意； 未加入絮凝剂时，净水率为，故选项说法错误，不符合题意； 絮凝剂的体积每增加，净水率的增加量都不相等，故选项说法错误，不符合题意； 加入絮凝剂的体积是时，净水率达到，故选项说法正确，符合题意． 故选． 12．如图，一个圆柱体水槽底部叠放两个底面半径不等的实心圆柱体，向水槽匀速注水．下列图象能大致反映水槽中水的深度与注水时间的函数关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】下层圆柱底面半径大，水面上升块，上层圆柱底面半径稍小，水面上升稍慢，再往上则水面上升更慢， 所以对应图象是第一段比较陡，第二段比第一段缓，第三段比第二段缓． 故选． 13．匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】因为根据图象可知，物体的形状为首先小然后变大最后又变小， 所以注水过程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故选项正确． 故选． 14．向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满，在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】函数的图象 【解析】因为根据图象可知，底层圆柱的直径较大，上层圆柱的直径较小， 所以注水过程的水的高度是先慢后快，故选项正确． 故选． 15．如图1，矩形中，为其对角线，一动点从出发，沿着的路径行进，过点作，垂足为．设点的运动路程为，为，与的函数图象如图2，则的长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】动点问题的函数图象 【解析】由图象得：，当时，， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ， 故选． 16．如图1，是等边三角形，点在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为．当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①；②当时，；③当时，；④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则．其中正确结论的序号是　　 A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】 【考点】动点问题的函数图象 【解析】由题意，当到时，， ． 作于，如图1所示， ，， ，． ． ． ，故①正确． 此时（秒． 当时，在上，且． 如图2，， 又， 是等边三角形． ． ，故②正确． 当时，如图3， ，此时从如图的位置运动到． ． ，此时运动到时取最小值为． 又， ． 此时取最大值为3． 当时，，故③错误． ，， ，，． ，． 又由题意，可得，当时，；当时，， ，． ． ，故④正确． 故选． 17．如图1，在菱形中，，连接，点从出发沿方向以的速度运动至，同时点从出发沿方向以的速度运动至，设运动时间为，的面积为．与的函数图象如图2所示，则菱形的边长为　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】动点问题的函数图象 【解析】根据题意可知， ， ， 四边形为菱形，， ， 过点作于点，连接交于，如图， 则， ， 设菱形的边长为 ， ， 点和点同时到达点和点，此时的面积达到最大值， ， 解得（负值舍去）， ， 故选． 18．如图①，在中，，点从点出发沿以的速度匀速运动至点，图②是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则该三角形的斜边的长为　　 A．5 B．7 C． D． 【答案】 【考点】动点问题的函数图象 【解析】当点运动到处时，的面积， 即， 即， 又由图象可知，点从点出发沿以的速度匀速运动至点的时间为， 即， ， ， ， ， ． 故选． 19．如图，在等腰中，，，动点，同时从点出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点停止运动时，点也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为．下列图象能反映与之间函数关系的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【考点】动点问题的函数图象 【解析】在解题之前我们一定要对此类面积问题的动点函数图象有判断方法，切不可小题大作，去把每一个解析式求出来再判断，那是此类题型最不优先考虑的解法， 面积问题函数图象判断方法：①底和高一个是定值一个是变量，则图象是一次函数，如果变量是增加的，则是随增大而增大的一次函数；如果变量是减小的，则是随增大而减小的一次函数；②边底和高两个都是变量，则函数图象一定是二次函数，两个变量同增或同减，则是开口向上的二次函数；两个变量一增一减，则是开口向下的二次函数． 运用：本题中正方形与等腰的重合部分主要分两部分， ①当重合部分全部在等腰内部时，我们发现重合部分实际就是正方形的面积，此时正方形边长在增大，就是底和高同增，所以这一部分是开口向上的二次函数，选项只有符合； ②当重合部分是正方形的一部分时，我们发现这一部分的长在增大，但是宽在减小，就是底和高一增一减，所以这一部分是开口向下的二次函数，选项符合． 故选． 20．如图，在中，，，，是边上的高．点，分别在边，上（不与端点重合），且．设，四边形的面积为，则关于的函数图象为　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】过作于，如图： ，，， ， 是边上的高， ； ，， ， ，； ，， ， ， ， ， ， 随的增大而减小，且与的函数图象为线段（不含端点）， 观察各选项图象可知，符合题意； 故选． 21．如图，水平放置的矩形中，，，菱形的顶点，在同一水平线上，点与的中点重合，，，现将菱形以的速度沿方向匀速运动，当点运动到上时停止．在这个运动过程中，菱形与矩形重叠部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是　　 A． B． C． D． 【答案】 【解析】如图所示，设，交于点， 菱形，， ，， △是等边三角形， ，， ， ， ， 当时，重合部分为△，如图所示， 依题意，△为等边三角形， 运动时间为，则， ； 当时，如图所示， 依题意，，则， ， ； ， 当时，； 当时，同理可得，； 当时，同理可得，； 综上所述，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为一条线段，当时，函数图象为开口向下的一段抛物线，当时，函数图象为开口向上的一段抛物线， 故选． 二．填空题（共8小题） 22．在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】， ， 故答案为：． 23．在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【答案】 【解析】由题意可得且， 解得：， 故答案为：． 24．若函数的解析式在实数范围内有意义，则自变量的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】的解析式在实数范围内有意义， ， ， 故答案为：． 25．函数中，自变量的取值范围是 　且　 【答案】且． 【解析】根据题意得：， 解得且． 故答案为且． 26．在函数中，自变量的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】， ， 故答案为：． 27．函数的自变量的取值范围是 　　． 【答案】． 【解析】由题意得，， 解得， 所以函数的自变量的取值范围是， 故答案为：． 28．在函数中，自变量的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【解析】由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 29．请写出同时满足以下两个条件的一个函数：　（答案不唯一）　． ①随着的增大而减小；②函数图象与轴正半轴相交． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】随着的增大而减小， 一次函数的比例系数， 又函数图象与轴正半轴相交， ， 同时满足以下两个条件的一次函数可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 学科网（北京）股份有限公司 $