精品解析：天津市汇文中学2026届高三下学期开学训练数学试题

2025-2026（下）高三年级数学学科‘策马争春’训练 （时长：1小时分数：100分） 一､单选题（每题5分，共100分） 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的定义，逐一分析集合中的元素是否满足条件. 【详解】集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 集合中元素，，不满足，所以， 集合中元素，，满足，所以， 所以. 故选：A. 2. 设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】化简复数，根据复数 是纯虚数求出，再根据充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】 . 因为复数 是纯虚数，所以，解得. 所以“”是“复数 是纯虚数”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性和对数函数的性质以及不等式的性质即可求解. 详解】由题意得，又， 所以， 故选：D. 4. 已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（    ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的定义域且为偶函数，对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】由函数的图象可得函数的定义域，且为偶函数， 对于A，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以A不符合题意； 对于B，函数定义域，且， 所以函数为定义域上的奇函数，所以B不符合题意； 对于C，由函数，当时，可得与图象不符，所以C不符合题意； 对于D，函数定义域为，且， 所以函数为偶函数， 当时，；当时，， ，所以D符合题意. 故选：D. 5. 记的内角的对边分别为，已知，则的周长（ ） A. 9 B. 14 C. 19 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得再代入余弦定理可求得，由此可进一步求出即可求出的周长. 【详解】由正弦定理可得：又因为， 所以由余弦定理可得：， 所以，又因 解得：所以的周长为. 故选：B. 6. 若的展开式中存在含的项，则可能等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式得，令，代入检验即可求解. 【详解】由二项式定理得，的展开式通项为， ，令， 当时，，故A错误；当时，，故B错误； 当时，，故C正确；当时，，故D错误. 故选：C. 7. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出上下底面正方形的顶点坐标、中心坐标，再设外接球球心，利用球心到上下底面顶点距离均为半径列方程，解出半径后计算外接球表面积. 【详解】取下底面正方形的中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 因为下底面边长为，几何体的高为， 故，，， ，，，，. 设几何体外接球的球心为，外接球半径为. 在中，， 在中， 则，解得. 所以. 故该几何体的外接球的表面积 故选：B. 8. 已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存在直线，使得，. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 【答案】A 【解析】 【分析】对①，讨论的位置关系，结合面面垂直的判定定理分析；对②，分析时的位置关系判断；对③，分析时的位置关系判断；对④，讨论的位置关系，结合线面平行的判定及定义分析. 【详解】对于命题①，当时，作平面垂直于交线，则，； 当时，存在直线，使得，， 因此存在平面，使得，所以，命题①正确. 对于命题②，当时，若，则， 此时不存在平面，使得，，命题②错误. 对于命题③，当时，若，则与不垂直， 此时不存在直线，使得，，命题③错误. 对于命题④，当时，存在，，，所以，； 当时，存在无数条直线，使得，，命题④正确. 故选：A. 9. 若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件设出直线方程，利用点到直线的距离和直线与圆的弦长公式计算即可求出直线斜率. 【详解】由题可得，直线斜率存在，故设斜率为， 直线的方程：，化为一般式：， 圆圆心坐标为，半径， 设圆心到直线的距离为， 则直线截得圆的弦长，即， 代入得：， 化简计算得：， ，解得： 故选：A 10. 下列说法正确的有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义即可得出① 正确，由标准差定义判断② 正确，由随机变量的数学期望及方差性质判断③错误，由排列组合求解分组分配可知④正确. 根据决定系数的意义判断⑤正确；根据方差的性质判断⑥正确；利用正态曲线的对称性计算可判断⑦错误. 【详解】① ：由，得第75百分位数为第5个数，即11，中位数为，故① 正确； ② ：根据标准差定义，一组数据的标准差 时，显然有，故② 正确； ③：若随机变量，满足，则，，故③ 错误； ④ ：一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，男医生人，女医生人， 现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，且女医生去同一个医院， 三个医院人数可以为，共有种分配方式；三个医院人数可以为，共有种分配方式； 综上，共有种分配方式，故④ 正确； ⑤：在回归模型中，决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好，故⑤ 正确； ⑥：若数据方差为，则数据的方差为，由题意，则，故⑥ 正确； ⑦：因，可得均值，则， 因为，所以 ，故⑦ 错误. 故正确的有①②④⑤⑥共5个. 故选：C. 11. 已知方程的四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程转化为或，所以根据题意有，化简可得解. 【详解】设方程的四个实根，，，， 可得方程，即或， 如图， 所以， 因为，，，成等差数列， 所以，即， 可得，即. 故选：A 12. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线垂直可得，结合题中条件求解结果. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为两条渐近线互相垂直，则，化简得，故， 此时双曲线方程可表示为，据此排除A,D. 由抛物线可得，其准线方程为， 因为双曲线的焦点在抛物线的准线上，可知， 又，即，解得， 则双曲线的标准方程为， 故选：B. 13. 已知数列的前n项和为，，且则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015 【答案】B 【解析】 【分析】利用等比数列的定义可推得数列的奇数项与偶数项分别构成等比数列，再利用分组求和法求得，代入所求式计算得解. 【详解】对于令，有，则. 因，则数列的奇数项和偶数项都是以2为公比的等比数列， 故， 可得. 故选：B. 14. 若一元二次不等式的解集为，则最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】分析可得，利用韦达定理可得出、，再利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为一元二次不等式的解集为， 所以、为关于的方程的两根且， 所以，则， 所以， 当且仅当时，即当时等号成立. 因此的最大值为. 故选：B. 15. 已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦型函数的零点和对称性可以求出该函数的最小正周期，再结合正弦型函数的最值性质进行求解即可. 【详解】因为为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴， 所以该函数的最小正周期为， 因为，所以，即， 由， 因为，所以令，，即， 当时，， 所以当时，函数有最小值， 即当时，函数有最小值. 故选：B. 16. 已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据锐角三角函数，结合椭圆的性质即可求解得，即可利用面积公式求解. 【详解】如图：,故， ，故， 故，解得， 由于， 故，故，故椭圆方程为， 故选：B 17. 已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，再用线面角公式求解即可. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，. 所以，. 因为平面过点且与垂直，所以就是平面的法向量， 设与平面所成角为， 所以. 所以. 故选：D. 18. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先计算每种情况下，“取出 2 个黑球” 的条件概率，再用贝叶斯公式计算概率. 【详解】用表示丢掉一个小球后任取两个小球均为黑球，用表示丢掉的小球为红球，表示丢掉的小球为黑球，则， 由全概率公式可得， 所以. 故选：D 19. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点，以边中点为原点，建立直角坐标系，利用等边三角形的性质得出相应点的坐标，进而得出的坐标，再运用向量坐标运算计算，求最小值． 【详解】设点，以边中点为原点，建立如图所示直角坐标系， 是边长为的等边三角形，，， ， ， ， 当时，即点为中点时，取最小值，最小值为． 故选：A 20. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】问题转化为在上恒成立，令，利用导数求出，则存在，使，令，利用导数求出的最大值即可得到的最大值. 【详解】任意的，都有， 则有在上恒成立， 令，函数定义域为， ，令，解得， 时，，在上单调递减； 时，，在上单调递增， ， 因此存在，使， 令，，令，解得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减， 有， 所以时，的最大值为. 故选：C 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026（下）高三年级数学学科‘策马争春’训练 （时长：1小时分数：100分） 一､单选题（每题5分，共100分） 1. 已知集合，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，，则“”是“复数 是纯虚数”的（ ） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图像如图所示，则函数的表达式可能为（    ）. A. B. C. D. 5. 记的内角的对边分别为，已知，则的周长（ ） A. 9 B. 14 C. 19 D. 24 6. 若的展开式中存在含的项，则可能等于（ ） A. 5 B. 9 C. 15 D. 19 7. 如图所示的几何体是由两个相互平行的正方形经过旋转连接而成，且上底面正方形的四个顶点在下底面的射影点为下底面正方形各边的中点，若下底面正方形边长为2，该几何体的高为，则该几何体外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，是两个不同的平面，则下列命题一定正确的是（ ） ①存在平面，使得，； ②存在平面，使得，； ③存在直线，使得，； ④存直线，使得，. A. ①④ B. ②③ C. ①② D. ③④ 9. 若倾斜角为锐角且过点的直线截圆所得弦长为，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 1 10. 下列说法正确有（ ） ①数据2，3，5，7，11，13的第75百分位数为11，中位数为6； ②一组数据的标准差为0，则这组数据中的数值均相等； ③若随机变量，满足，则，； ④一个医疗队有男医生36人，女医生24人，分层抽样抽取了一个5人小分队，现将这5人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少有一名医生，女医生去同一个医院，共有36种分配方式． ⑤在回归模型中，决定系数越大，则回归拟合的效果越好． ⑥样本数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为2． ⑦若随机变量X服从正态分布，且，则 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 11. 已知方程四个实根从小到大排列后成等差数列，则实数（ ） A. B. C. D. 12. 已知双曲线的两条渐近线互相垂直，且一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 13. 已知数列的前n项和为，，且则（ ） A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015 14. 若一元二次不等式的解集为，则最大值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 15. 已知函数，为函数的零点，为函数图象的对称轴，且二者之间没有零点和对称轴，则函数在区间上的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 16. 已知分别是椭圆的左、右顶点，直线（）上存在点，使得是顶角为的等腰三角形，且的面积为，则椭圆的方程为（   ） A. B. C. D. 17. 已知正方体，过点且与垂直的平面为，则与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 18. 小明在某不透明的盒子中放入4红5黑9个球，随机摇晃后，小明从中取出一个小球丢掉（未看被丢掉小球的颜色）.现从剩下8个小球中取出两个小球，结果都是黑球，则丢掉的小球也是黑球的概率为（ ） A B. C. D. 19. 已知是边长为的等边三角形，为平面内的一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 20. 若存在，对任意的，都有，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $