精品解析：河北省石家庄市裕华区石家庄一中实验学校2025-2026学年高二下学期数学寒假反馈检测试题

G2024级高二数学寒假反馈检测 （共100分钟） 一､单选题（共10题，每题5分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 若数列，a，b，c，是等比数列，则实数的值为（ ） A. 4或 B. C. 4 D. 4. 连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 5. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 7. 若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则，，为等差数列 B. 若数列为等比数列，则，，为等比数列 C. 若数列为等差数列，则，，为等差数列 D. 若数列为等比数列，则，，为等比数列 8. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 10. 已知是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上任意一点，以为直径作圆，延长线与圆交于点，则（ ） A. 9 B. 4 C. D. 二､多选题（共4题，每题6分） 11. 已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ） A. 当时，以AB为直径的圆与相交 B. 当时，以AB为直径的圆经过原点O C. 当时，点M到的距离的最小值为2 D. 当时，点M到的距离无最小值 12. 在等差数列中，，记公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 当时，最大 13. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 14. 设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 三､填空题（共3题，每题5分） 15. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 16. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 17. 已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______. 四､解答题（18题15分，19题16分） 18. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项的和； （3）若，求满足条件的最大整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ G2024级高二数学寒假反馈检测 （共100分钟） 一､单选题（共10题，每题5分） 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解对数不等式求得集合，由此求得两个集合的交集. 【详解】由，解得，故.依题意，所以. 故选：C 【点睛】本小题主要考查对数不等式的解法，考查集合交集的概念和运算，属于基础题. 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】先求出所求复数，再判断其对应点所在象限即可. 【详解】， 所以复数在复平面内对应的点为， 故选：B 3. 若数列，a，b，c，是等比数列，则实数的值为（ ） A. 4或 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比中项可得，，分析运算求解． 【详解】∵，a，b成等比数列，则，∴ 由题意得：，则 故选：B． 4. 连接两点的直线无限延展，与其平行的直线无论走多远都无法碰面.设，则“”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的定义,分别验证充分性和必要性. 【详解】当时，两直线方程分别为和，则两直线平行； 当直线与直线平行时，有， 即，解得或，其中时两直线重合，舍去，故. “”是“直线与直线平行”的充分必要条件. 故选：A 5. 某超市举行抽奖活动，规则如下：从装有编号四个小球的抽奖箱中，每次取出1个小球，记下编号后放回，连续取2次，取出的2个小球号码之和等于7中一等奖，等于6中二等奖，等于5中三等奖，则顾客参与抽奖1次中奖的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理确定基本事件总数，再确定符合条件的基本事件个数，由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】因为每次取球都有4种可能，且取2次，根据分步乘法计数原理，总的基本事件数种， 小球号码之和等于7的情况有，共2种情况； 号码之和等于6的情况有，共3种情况； 号码之和等于5的情况有，共4种情况， 所以中奖的情况数种，所以中奖的概率为. 故选：D. 6. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形；，，且，则错误的是（ ） A. B. C. D. 直线与平面所成的角为 【答案】B 【解析】 【分析】A．利用空间向量的线性运算求解判断；B．利用空间向量的数量积运算求解判断；C．利用空间向量的模及向量数量积运算律求解判断；D．连接AC得到即直线与平面ABCD所成的角，利用余弦定理求解判断． 【详解】由题可知，A正确． ，B错误． ，故，C正确． 连接AC如图所示： 则即直线与平面ABCD所成的角， 所以，，D正确． 故选：B. 7. 若数列的前n项和为，则下列选项正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则，，为等差数列 B. 若数列为等比数列，则，，为等比数列 C. 若数列为等差数列，则，，为等差数列 D. 若数列为等比数列，则，，为等比数列 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列和等比数列的前项和公式逐项计算判断即可. 【详解】对于A，C，设等差数列的首项为，公差为， 所以. 所以，. 所以，则，，不为等差数列，所以A错误； ，. 所以，. 所以，所以，，为等差数列，C正确； 对于B，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，B错误； 对于D，当等比数列的公比时，. 由于等比数列的项不能为0，所以，，不为等比数列，D错误； 故选：C. 8. 在中，为边上的中点，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解. 【详解】在中，由余弦定理得， 而，则， 两式联立解得，所以的面积为. 故选：D 9. 若直线被圆截得的弦长为，则（    ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式结合弦长可得，求解即可. 【详解】由可知圆的方程为表示圆，所以， 解得或， 圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离， 由弦长为可得，所以， 解得或. 故选：D. 10. 已知是双曲线的左、右焦点，点是双曲线上任意一点，以为直径作圆，延长线与圆交于点，则（ ） A. 9 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用双曲线的定义及圆和三角形的几何性质求出，再利用数量积的运算法则计算求解． 【详解】双曲线的，，， 设，由双曲线的定义可得， 为的中点，为的中点， ， 点在圆上，， ， 圆与圆内切， ，故D正确． 故选：D． 二､多选题（共4题，每题6分） 11. 已知抛物线C：的准线为，直线与C相交于A、B两点，M为AB的中点，则（ ） A. 当时，以AB为直径的圆与相交 B. 当时，以AB为直径的圆经过原点O C. 当时，点M到的距离的最小值为2 D. 当时，点M到的距离无最小值 【答案】BC 【解析】 【分析】将直线代入，结合韦达定理求得坐标、点到准线的距离及．当时，由可判断A；当时，由可判断B；当时，得的关系式，代入表达式，利用基本不等式可判断C；当时，得的关系式，代入表达式，利用对勾函数的性质可判断D． 【详解】抛物线，准线方程是， 直线代入，可得，， 设，则， ， ， 设，则， 点到准线的距离， ， 当时，，点到准线的距离，则以AB为直径的圆与相切，故A错误； 当时，，则，则以AB为直径的圆经过原点O，故B正确； 当时，即，得， 则，当且仅当时等号成立，故C正确； 当时，即，得， 所以，令， 则，由对勾函数的性质得，当时，单调递增， 故当时，取最小值，故D错误． 故选：BC． 12. 在等差数列中，，记公差为，前项和为，若，则（ ） A. B. C. D. 当时，最大 【答案】AD 【解析】 【分析】借助与的关系及等差数列性质计算可得A；计算出数列的公差后利用即可判断B；利用等差数列基本量的运算判断C；分析可得当时，；当时，，进而判断D. 【详解】对A：， 所以，又，所以，故A正确； 对B：因为，所以，故B错误； 对C：由B可知， ，所以，故C错误； 对D：因为，， 所以当时，；当时，， 所以当时，最大，故D正确. 故选：AD 13. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 点到面的距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面角的定义及求法即可判断；由点到平面的距离的求法即可判断；由异面直线所成角的定义及求法即可判断；由平面角的定义及余弦定理即可判断． 【详解】解：如图，取的中点，连接，易证平面， 所以是直线与平面所成的角为，故正确； 点到平面的距离为的长度为，故正确； 易证，所以异面直线和所成的角为或其补角， 因为为等边三角形，所以两条异面直线和所成的角为，故错误； 连接，由，所以，又， 所以为二面角的平面角， 易求得，又，， 由余弦定理可得，故错误． 故选：． 14. 设函数，则（ ） A. 点是图像的对称中心 B. 当时，函数有三个零点 C. 当时，直线不是曲线的切线 D. 若有三个不同的零点，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A计算即可判断，对于B由函数的单调性结合三次函数的图像特征即可判断，求切线方程即可判断C，结合零点的定义代入计算，即可判断D， 【详解】对于A：由， 所以是图像的对称中心，故A正确； 对于B：当时，，所以， 令，得或，由有：或，由有：， 所以在单调递减，在单调递增， 又，所以函数有三个零点，故B正确； 对于C：当时，，所以，由，， 所以在处的切线方程为：，故C错误； 对于D：设的三个零点为， 所以， 对比项的系数有：，故D正确； 故选：ABD. 三､填空题（共3题，每题5分） 15. 已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列片段和性质求解. 【详解】根据等比数列的性质，当时，也成等比数列， 不妨设，则， 即是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，， 可得，则. 故答案为：. 16. 已知为双曲线的左焦点，是的右顶点，是上一点，且，，则的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理得到关于和的齐次式，求解即可. 【详解】 设双曲线的右焦点为，因为为双曲线的左焦点，是双曲线上一点， 根据双曲线的定义知，， 因为是双曲线的右顶点，所以， 又，，所以， 所以， 在中，根据余弦定理得， 即， 整理得， 等式两边同时除以得，，解得（舍）或， 所以的离心率为. 故答案为：. 17. 已知函数在上单调递减，则实数a的最小整数是______. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意在上恒成立，再参变分离求导分析单调性求解最值即可. 【详解】由题意得的定义域为. 在上恒成立，即在上恒成立. 设，则，. 当时，， 所以在上单调递增，所以，所以， 即实数a的最小整数是5. 故答案为：5 四､解答题（18题15分，19题16分） 18. 设函数. （1）当时，求函数在点处的切线方程． （2）已知是函数的导函数，若恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求导，根据切点横坐标求出切线斜率和该点坐标，再结合直线点斜式求切线方程; （2）根据可得，设函数，求导求解最小值. 【小问1详解】 由，知 则,得， 故函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由恒成立，可得， 即在恒成立， 设，，则， 当时，，在单调递增， 当时，，在单调递减， 所以，即的最小值为1， 所以，即的最大值为1． 19. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列； （2）记，求数列的前项的和； （3）若，求满足条件的最大整数． 【答案】（1） 由且，可得， ， 即，， 数列是首项为，公比为的等比数列． （2） （3）2025 【解析】 【分析】（1）对两边取倒数并整理得，进而根据等比数列的定义即可判断； （2）先求得，利用错位相减法求解即可得到； （3）由，利用分组求和法求出，再令，得到满足条件的最大整数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，则 所以， 则， 两式相减， ， . 【小问3详解】 由（1）知， 则 ， 由，即， ，， 所以， 因为，所以， 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件， 故满足条件的最大整数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $