精品解析：河南省信阳市浉河区信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高二下学期开学数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则等于（ ） A. {x|1<x<2} B. {x|x≥1} C. {x|x≤2} D. {x|x≤1或x≥2} 【答案】A 【解析】 【分析】先计算，然后取补集即可. 【详解】因为M∪P={x|x≤1或x≥2}，所以={x|1<x<2}. 故选：A 【点睛】本题考查集合的并集和补集的运算，属于简单题. 2. 已知是虚数单位，复数在复平面内对应的坐标为，则复数的虚部为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的几何意义写出复数的代数形式，再对进行分母实数化的除法运算即可求得的代数形式，进而可知其虚部. 【详解】因为复数在复平面内对应的坐标为，所以， 所以， 所以复数的虚部为2. 3. 正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值． 【详解】在正三棱柱中， 以A为原点，在平面中，过A作的垂线为x轴， 为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系， ，不妨取 则， ， 设异面直线与所成角为， 则， ∴异面直线与所成角的余弦值为． 故选：D． 4. 中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】根据“特殊元素（位置）优先法”，先安排生行、净行和旦行，再安排其他行即可. 【详解】由题意，生行、净行由男生扮演，则从3名男生中选2人，再全排列，有种扮演方式； 旦行由女生扮演，则从2名女生中选1人，有种扮演方式； 剩下的2人有种扮演方式， 故共有（种）不同的人物角色扮演方式． 故选：C 5. 已知圆，直线. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于，则的值为（     ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为 要使得圆上恰有3个点到直线的距离等于， 则满足圆心到直线的距离为， 即，可得，解得. 故选：C. 6. 某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，B两种数据更新方案可选．统计显示，凡是在星期一选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案；而选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案．用分别表示在第个星期的星期一选择方案和选择方案来维护训练任务节点的个数，则与的关系可以表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，建立与的递推关系即可. 【详解】总维护节点数：. 选方案的节点，下一周有换，即保留：. 选方案的节点，下一周有换，即. 因此，第个星期一选方案的节点数：. 所以. 故选：A. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由，可得，由内切圆的性质可得且，可解得，设，代入双曲线方程可得，由，可得，求得，即可得答案. 【详解】因为， 所以为线段的靠近的三等分点， 又因为， 即. 所以， 解得， 所以， 又因为 的内切圆圆心为， 所以平分， 又因为三点共线， 由角平分线定理可得， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 设， 则有， 即， 解得， 又因为， 即， 所以， 即， 解得， 设圆与分别相切于点， 设， 由内切圆的性质可知，， 所以 又因为, 所以， 解得， 所以， 即， 所以， 整理得：， 即， 解得或， 当时，， 此时点与双曲线的右顶点重合，不满足题意； 当时，，满足条件， 所以， 所以双曲线的离心率. 故选：C. 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指对运算将方程化为，设，求导确定单调性可得，令，求导确定函数的单调性与最值从而得实数的取值范围. 【详解】方程可转化为，则， 所以， 设，则方程转化为， 又恒成立，所以在上为增函数， 所以，即， 令，所以，则可得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 又时，，时，， 若方程有两个不同的解，则实数的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. “ ” 是 “”的必要不充分条件 B. 若，则 C. 若实数 满足，则的最小值为 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】通过列举特殊值可判断项；通过作差法比较大小可判断项；通过基本不等式可判断项；通过对数函数与指数函数的单调性，可判断项. 【详解】对于，当，时，，，此时， 所以“” 是“” 的不充分条件； 当，时，，，此时， 所以“”是 “”的不必要条件. 综上，“ ”是 “ ”的既不充分也不必要条件，故错误； 对于，因为， 又，所以，即成立，故正确； 对于，因为，所以， 当且仅当且，即时等号成立， 所以 的最小值为，故错误； 对于，因为在单调递减，所以； 因为在上单调递减，所以； 因为在上单调递增，所以.所以，故正确. 故选：. 10. 如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当点在线段上时， B. 当点在线段上时，平面 C. 当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D. 当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体中线面的位置关系，可判断AB的真假；当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体外接球的表面积可判断C的真假；先明确点轨迹是一段弧，再结合弧长公式求弧长可判断D的真假. 【详解】如图： 连接，则， 又为正方体，所以平面， 平面，所以， 因为平面，且，所以平面. 平面，所以. 同理可得，平面，， 所以平面. 同理可得：平面，所以平面平面. 对A：当点在线段上时，平面， 又平面，所以，故A正确； 对B：当点在线段上时，平面， 又平面平面，所以平面，故B正确； 对C：当点与点（或）重合时， 三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设半径为，则. 此时三棱锥的外接球的表面积为：，故C错误； 对D：当点在面上时，如图： 设，则，由， 所以点轨迹是平面中，以为圆心，以为半径的圆弧， 与的交点，，与的交点，. 所以. 由余弦定理，，所以. 所以点轨迹的长度为：，故D正确. 故选：ABD 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，求出导函数，代入验证可以判断A；利用导数研究函数的单调性，进而可以判断B；利用基本不等式，可以判断C；易知函数关于点对称,进而可以求D. 【详解】由函数得. 对于A，，故A正确； 对于B， ，，则Sigmoid函数是增函数，故B错误； 对于C，，当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为＋＋1， 所以，D正确． 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：求解函数的最值，导数法是一种很重要的方法，但在某些问题中，用导数可能很繁琐，可变形函数借助均值不等式、配方法等求解. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解. 【详解】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 13. 已知定义在上的函数，满足 ，且 ，则不等式 的解集为_____ 【答案】 【解析】 【分析】构造函数，对函数求导，根据已知条件得出函数在上的单调性，然后将所求不等式等价得出，最后利用单调性解出不等式即可. 【详解】设， 则， 由已知当时，， 即，又， 所以， 所以在上单调递减， 又，所以， 由，则， 因为，所以， 即， 又因为在上单调递减， 所以， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 14. 已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】题意条件可转化为的顶点的个数仅个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用正三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可. 【详解】由题知正n边形顶点为，设和夹角为， 由题意可得，满足的顶点仅个， 不等式两边平方可得， 因为正n边形（n为偶数）内接于单位圆O， 所以，且， 所以，则，故， 故满足条件的顶点只能为这三个， 所以有，解得，又为偶数，故； ， 下面求的最大值. 如图，由正三角形中，取中点，连接， 则，故三点共线，设， 则， 所以，当时，等号取到， 故，且当时，取到最大值. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）在AB边上存在一点E，使得，连接CE，若的面积为，∠BAC的平分线交CE于F点，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及诱导公式、二倍角的正弦化简即可得解； （2）利用余弦定理及三角形面积公式可得，解出，再由角平分线定理得解. 【小问1详解】 因为，由可得, 即，由正弦定理得 代入上式得， 因为，所以，即， 解得，因为，所以，所以. 【小问2详解】 由，，则，， 因为，所以， 又，所以， 即，解得，又，所以， 因为AF是角平分线，由角平分线定理得：. 17. 如图①，在平面内，正方形的边DE，CF分别为两等腰直角，的腰．将分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点G，H分别是线段，的中点，如图②． （1）求证：平面DEM； （2）求直线CM与平面所成的角的正弦值； （3）若平面，求的值． 【答案】（1）如图1，设的中点为，连接 ， ， 分别为， 的中点， ，， 又，， 且， ∴四边形为平行四边形． ． 又平面，平面， ∴平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）线面平行转化为线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系求面的法向量，代入线面角公式求解； （3）转化为点到面的距离的比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，因为为等边三角形，为线段的中点， 所以， 又，，，平面， 所以面，过作直线. 以 ，， 为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则 ， ． 设平面的法向量为， 则，， ． 令，则． 则 设直线 与平面所成的角为 ， 则 ， ∴直线 与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 设点，到平面的距离分别为， ， ， . ， 的值． 18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 . （1）求 的标准方程； （2） 为 上一点且在第一象限，点 ，，延长 ， 分别交椭圆 于 ， 两点. （i）若，求直线 的斜率； （ii）连接 ，，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值. 【答案】（1） （2）（i） （ii） 【解析】 【分析】（1）先根据离心率和短轴长列出方程，再结合求解出，然后写出椭圆方程. （2）（i）先设出直线方程，联立直线和椭圆方程，再结合题目所给条件求出点和点坐标，再求解出点坐标，然后按照斜率公式求解直线的斜率. （ii）联立方程组，求出两点坐标，然后表示出三角形面积，然后根据基本不等式求解的最大值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，短轴长为. 即，又，解得. 椭圆的方程为 【小问2详解】 设， 因为直线经过和，不妨设直线的方程：. 联立直线与椭圆方程，消元整理得： ， 又在椭圆上，，代入上式，整理得：. 由韦达定理得：，即. （i）且，. ，代入上式解得：，，即. 又，所以可得：，即. 又直线经过，直线的方程为. 联立直线和椭圆方程，解得，即. 所以直线的斜率. （ii）由（i）可得，代入直线方程得， 所以，同理可得. 的面积. 的面积. ，当且仅当“”即“”时“”成立. 所以有最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 【答案】（1）或． （2）（ⅰ）； （ⅱ）证明如下： ，， 令，， 则，，且， ∴， 令，则， ∴，； 要证，即证， 即证时，， 令，则， 当时，，单调递增，， ∴时，，不等式得证． 【解析】 【分析】（1）先写出的表达式，根据导数几何意义、设切点坐标，表示出切线方程，代入点，即可求得切点坐标，再代入切线方程，则问题得解； （2）（ⅰ）求导，根据极值点，可分离参数得，构造函数，求其导数分析单调性，再结合题目条件确定a的取值范围； （ⅱ）根据换元法（令，），转换对数运算，再根据待证不等式，构造相应函数，分析单调性，证明时，，从而得证. 【19题详解】 当时，，， 设切点为， ∴函数在处的切线方程为， 将点代入切线方程得， ，解得或1， ∴曲线在点处的切线为，在点处的切线为； 【20题详解】 （ⅰ）， ∵有2个极值点，∴方程有2根，， 令，， 在上，，单调递增，在上，，单调递减， 当时，，当时，， ，当时，， ∴a的取值范围是； （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高二下期03月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集U=R，M={x|x≤1}，P={x|x≥2}，则等于（ ） A. {x|1<x<2} B. {x|x≥1} C. {x|x≤2} D. {x|x≤1或x≥2} 2. 已知是虚数单位，复数在复平面内对应的坐标为，则复数的虚部为（    ） A. B. C. D. 3. 正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4. 中国戏曲中人物角色的行当分类，可以有生、旦、净、末、丑五大行当．现有3名男生和2名女生，每人要扮演某戏曲中的一个角色，五个行当均有人扮演，且生行、净行由男生扮演，旦行由女生扮演，则不同的人物角色扮演方式共有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 5. 已知圆，直线. 若圆上恰有3个点到直线的距离等于，则的值为（     ） A. B. 0 C. D. 6. 某AI公司每天维护1000个训练任务节点，每星期一有A，B两种数据更新方案可选．统计显示，凡是在星期一选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案；而选择方案来维护训练任务节点，下星期一有会改用方案．用分别表示在第个星期的星期一选择方案和选择方案来维护训练任务节点的个数，则与的关系可以表示为（    ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点， 的内切圆圆心为 ，连接并延长交轴于点 ，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 4 8. 关于 的方程 有两个不同的解，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中，正确的有（ ） A. “ ” 是 “”的必要不充分条件 B. 若，则 C. 若实数 满足，则的最小值为 D. 10. 如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当点在线段上时， B. 当点在线段上时，平面 C. 当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D. 当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 11. Sigmoid函数是一个在生物学中常见的S型函数，也称为S型生长曲线，常被用作神经网络的激活函数.记为Sigmoid函数的导函数，则（    ） A. B. Sigmoid函数是单调减函数 C. 函数的最大值是 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 13. 已知定义在上的函数，满足 ，且 ，则不等式 的解集为_____ 14. 已知正n边形（n为偶数）内接于单位圆O，且满足的顶点共有个，若正三角形的顶点在圆O上，则的最大值为_________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，． （1）求A； （2）在AB边上存在一点E，使得，连接CE，若的面积为，∠BAC的平分线交CE于F点，求的值． 17. 如图①，在平面内，正方形的边DE，CF分别为两等腰直角，的腰．将分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点G，H分别是线段，的中点，如图②． （1）求证：平面DEM； （2）求直线CM与平面所成的角的正弦值； （3）若平面，求的值． 18. 已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 . （1）求 的标准方程； （2） 为 上一点且在第一象限，点 ，，延长 ， 分别交椭圆 于 ， 两点. （i）若，求直线 的斜率； （ii）连接 ，，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的最大值. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线过点的切线方程； （2）若函数有2个极值点，，且． （ⅰ）求实数a的取值范围； （ⅱ）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $