第1章 三角形的证明 单元复习（8大知识点+ 12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期培优讲义

第1章 三角形的证明 知识点1：三角形内角和定理及推论 1.三角形内角和为，即在中，； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的外角和为； 4.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 知识点2：等腰三角形的性质与判定 类别 内容 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等 性质2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 拓展性质 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等 判定1（定义法） 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定2（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 内容 性质 ①三边都相等；②三个内角都相等，且每个角都为；③具备等腰三角形的所有性质 判定1 三边都相等的三角形是等边三角形 判定2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 知识点4：直角三角形的性质与判定 1.性质 直角三角形的两个锐角互余； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为、，斜边为，则； 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 2.判定 有一个角是的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 知识点5：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 4.三角形性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等（外心）。 知识点6：角的平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线； 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； 4.三角形性质：三角形三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等（内心）。 知识点7：命题与逆命题、定理与逆定理 1.每个命题都有逆命题，将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题； 2.真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题也不一定为假； 3.每个定理都有逆命题，但只有当逆命题为真命题时，才称为原定理的逆定理； 4.常用的互逆定理：勾股定理与勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理。 知识点8：反证法 1.定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理推出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法； 2.步骤：①假设命题结论不成立；②推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论成立。 【基础必考题型】 【题型1】三角形内角和与外角的基础角度计算 1.核心知识点： 三角形内角和定理、三角形外角的性质 2.解题方法技巧： 直接利用内角和定理求未知角，若有外角，优先利用“外角=不相邻两内角和”简化计算； 设未知数建立方程，解决多个角的数量关系问题； 结合角平分线、平行线的性质进行角度转化。 【例题1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）在中，，，则的度数为________． 【答案】 【详解】解：三角形内角和为，即 【变式题1-1】.（23-24八年级上·河北邢台·月考）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东·月考）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据全等三角形的对应角相等得到的度数，再根据三角形的内角和定理求解的度数即可． 【详解】，， ， ， ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东·月考）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，， ∵， ∴. 【题型2】等腰三角形的边、角基础计算 1.核心知识点： 等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系 2.解题方法技巧： 已知边求角时，先确定腰和底边，再用等边对等角求角； 已知角求边时，先确定顶角和底角，再结合内角和定理计算，注意分情况讨论； 计算后验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，排除无效解。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）等腰三角形的底角为，则它的顶角是（　　） A． B．65° C．70° D．80° 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，掌握这些基本知识是解题关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理计算顶角． 【详解】解：∵ 等腰三角形的两个底角相等，且底角为， ∴ 两个底角之和为， 又∵ 三角形内角和为， ∴ 顶角， 故选：D． 【变式题2-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的定义，边分为腰和底两种情况讨论，再根据构成三角形的条件取舍即可解答． 【详解】当是等腰三角形的底边时，则其腰长是(10-2)÷2=4，能够组成三角形； 当是等腰三角形的腰时，则其底边是10-2×2=6，不能够组成三角形； 故该等腰三角形的底边长为. 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、构成三角形的条件等知识点，掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，根据角平分线的定义，平行线的性质，推出，进而得到，得到的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 故选C． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．证明为等边三角形，可得，可得的度数，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵等腰，， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【题型3】等边三角形的性质直接应用 1.核心知识点： 等边三角形的三边相等、三角均为的性质 2.解题方法技巧： 直接利用角结合内角和、外角性质求角度； 利用三边相等结合线段和差求线段长度； 等边三角形中出现高、中线、角平分线时，直接利用“三线合一”进行线段和角度转化。 【例题3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的性质，关键根据等边三角形的性质解答． 根据等边三角形的性质解答． 【详解】解：∵纸片，用两张相同的这种纸片恰好能拼成一个等边三角形， ∴． 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【答案】 【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明． 【详解】解：是等边三角形，平分，， ，，， ． 又， ， ， ． 【点睛】重点掌握三线合一． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明见详解； (2) 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形外角的性质，关键是利用等边三角形三边相等、三角均为的性质，通过证明三角形全等，再结合全等三角形对应角相等和外角性质求解角度． （1）通过证明和全等，借助等边三角形三边相等、三个内角均为的性质，结合已知，用判定全等后得到对应边相等； （2）利用全等三角形的对应角相等进行角的转化，结合等边三角形内角为的性质，通过三角形外角的性质求解． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵，， ∴． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质等知识． （1）根据全等三角形的判定定理即可求出答案． （2）根据全等三角形的性质得到，进一步得到，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ， ， ． ∴， ∴ 【题型4】线段垂直平分线与角平分线的性质直接应用 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质 2.解题方法技巧： 看到线段垂直平分线，直接连接线上点与线段端点，得到相等线段； 看到角平分线，过平分线上的点向角的两边作垂线，得到相等垂线段； 结合等量代换，将相等线段/垂线段转化到其他三角形中解题。 【例题4】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握到角两边距离相等的点在角的平分线上这一判定定理是解题的关键． 先根据角平分线的判定定理，由且、，得出平分，再在中利用直角三角形两锐角互余的性质求出的度数． 【详解】解：∵，，， ∴平分． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质求出即可． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点 M．连接． (1)若，则的度数是多少度？ (2)若的周长是，则的长度是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理，等腰三角形的定义以及线段垂直平分线的性质进行求解； （2）根据等腰三角形的定义以及线段垂直平分线的性质进行求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∵是的垂直平分线， ， ； ； （2）解：是的垂直平分线， ， ∴的周长． ． 【点睛】重点掌握线段垂直平分线的性质． 【变式题4-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，，平分，以为顶点作，交于点，交于点． (1)求证：． (2)在图①中，若，求的长． (3)如图②，，平分，以为顶点作，交于点，交于点．若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质得到，再证明，即可得到，从而得证结论； （2）由得到，因此，证明和都是等腰直角三角形，得到，，因此分别在和中根据勾股定理求出，，即可解答； （3）过点作于点，于点．同（1）思路证明，得到．再证明，得到，因此，在中求出，，从而得到的面积，即可解答． 【详解】（1）证明：过点作于点，作于点． 平分，，， ． ，， ． ， ． ∵，， ， ， ． （2）解：由（1），得， ， ∴， ∵平分，且， ∴， ∵， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∵在中，，即， ∴， ∵在中，，即， ∴， ∴． （3）解：过点作于点，于点．则， 平分，，， ． ，， ． ， ． ， ∴． ∵，， ， ∴， ∴ ． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形的分类讨论问题（边、角、高） 1.核心知识点： 等腰三角形的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理 2.解题方法技巧： 已知一条边为腰或底边不确定时，分两种情况讨论，验证三边关系； 已知一个角为顶角或底角不确定时，分两种情况讨论，验证内角和为； 等腰三角形的高的位置不确定时（锐角、钝角等腰三角形），分高在三角形内部、外部两种情况讨论。 【例题5】.（25-26八年级上·广东·月考）已知等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论计算． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若的角为顶角，则该等腰三角形的顶角为； 情况2：若的角为底角， ∴顶角． 综上，该等腰三角形顶角的度数为或． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和性质，勾股定理，先由勾股定理求出，然后分当时，当时，当时，三种情况分析求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 如图，当时， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，过作于点， ∴， 设，则， 由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， 综上可得：的长为或或， 故选：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西忻州·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点，连接，过点作的垂线，交直线于点． 独立思考：（1）当时，善思小组的同学认为点是的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由． 猜想证明：（2）如图2，当点在线段上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）若，请直接写出的度数． 【答案】（1）善思小组的观点正确，见解析；（2），见解析；（3）或 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； （2）根据等腰直角三角形的判定和性质得出角的度数以及相等的边，证明，即可得出结论； （3）分两种情况进行讨论，然后利用三角形的内角和定理以及角的和差进行求解即可． 【详解】解：（1）善思小组的观点正确，理由如下： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点； （2），理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 又∵点是的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）①如图所示， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； ②如图所示， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（1）得， ∴； 综上，或． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求a，b的值； (2)如图1，将直线绕点A顺时针旋转得到直线l，求直线l的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，点C是第一象限内直线l上一点，过点C作轴，垂足为D，E为线段上一点，连接，若，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）过点B作交于G，过G点作轴交于F，过B点作交于E点，证明，设，求出，即可求l的解析式； （3）设，则，分别求出，，，分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）解：过点B作交于点G，过G点作轴交于F，过B点作交于E点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， 解得，， ∴， 设直线l的解析式为， ∴， 解得， ∴； （3）解：设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得或（舍去）， ∴； 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得； ∴； 综上所述：C点坐标为或． 【题型6】勾股定理的综合计算 1.核心知识点：勾股定理、线段的和差关系、直角三角形的性质 2.解题方法技巧： 通过作垂线构造直角三角形，将不规则线段转化为直角三角形的边； 设未知数，利用勾股定理建立方程，解决线段长度的未知量问题； 结合折叠、平移的性质，找到相等线段，进行等量代换。 【例题6】.（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． (1)求证． (2)当时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）如图，设，交于F，根据旋转的性质得到，，，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形内角和定理即可得到结论． （2）由（1）知，求得∠EAD=90°，根据旋转的性质得到，根据勾股定理得到结论． 【详解】（1）证明：如图，设，交于F， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：由（1）知， ∴， ∵将绕点C顺时针旋转得， ∴， ∵， ∴． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【答案】(1)15米 (2)22800元 【分析】（1）利用勾股定理直接计算求解即可． （2）根据勾股定理计算，根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，根据面积公式， 面积乘以单价计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故的长为15米． （2）解：∵，，， 且， ∴， ∴四边形面积为： ． 购买运动型塑胶地板的总费用为（元）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及利用面积法解决几何问题，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等以及通过面积关系建立方程求解线段长度是解题的关键． （1）利用角平分线的性质得到，再通过证明来证得． （2）先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据角平分线性质得到，然后通过面积法，将的面积拆分为和的面积之和，列出方程求解的长度． 【详解】（1）证明：AD平分， ． 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中，， ，． ． ， ， 解得． 【题型7】直角三角形全等的判定（HL）综合应用 1.核心知识点： HL判定定理、直角三角形的性质、一般三角形全等的判定 2.解题方法技巧： 证明两个直角三角形全等时，优先考虑HL（斜边+直角边），减少条件验证； 若缺少斜边或直角边条件，先利用直角三角形的性质推导相等边/角，再用HL或其他判定定理； 全等证明后，利用“全等三角形的对应边、对应角相等”推导后续结论。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图所示，E，F分别为线段上的两个动点，且于点E，于点F，若，，交于点M． (1)求证：，． (2)当E，F两点移动到如图所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)结论成立，理由见解析 【分析】（1）先证明，由全等三角形的性质得出，再证明，再由全等三角形的性质得出，． （2）同（1）求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； （2）解：结论成立，理由如下： 同（1）得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【答案】见解析 【分析】先根据“”判定，根据全等三角形的性质得到，再由“”判定，即可得到结论． 【详解】证明：， ∴在和中， ， ， ， 于，于， ， ∵在和中， ， ， ， 点是的中点． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理． （1）根据于点M，得，根据得，进而可依据“”判定和全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）根据勾股定理求出，根据全等三角形的性质得到，证明，得到，，根据勾股定理求出，即可求出线段的长． 【详解】（1）证明：于点M，， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【题型8】反证法的简单应用 1.核心知识点： 反证法的步骤、三角形的基本性质 2.解题方法技巧： 明确原命题的结论，准确作出否定假设（如“至少有一个”的否定为“一个都没有”）； 从假设出发，结合三角形的性质（如内角和、三边关系）进行推理，推出与已知条件、定理相矛盾的结论； 紧扣矛盾，得出“假设不成立，原命题成立”的结论。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立． 【详解】解：∵ 原命题的结论是“”， ∴ 其否定为“”. 故第一步应假设“若，则”， 故选：D． 【变式题8-1】.（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【答案】A 【分析】本题考查了反证法，在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 用反证法证明命题，应先假设命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过推理，得出矛盾，从而证明原命题成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设两个锐角都大于． 故选：A． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 【答案】(1)能，见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，反证法等知识点． （1）由勾股定理得到，再由勾股定理逆定理证明即可； （2）利用反证法求解即可． 【详解】（1）解：长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，理由如下： ∵直角三角形的三边长分别是，其中为斜边， ∴， ∴， ∴长分别为的三条线段能组成一个直角三角形，长为的边是斜边； （2）解：假设长分别为的三条线段能组成一个直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，与矛盾， ∴假设不成立， ∴长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法的应用，三角形的重要线段，全等三角形的判定和性质， 掌握倍长中线法是解题关键． 先假设重合，将中线延长到点N，使得，易证得，则有，．结合是的平分线，判断出，这与题意矛盾，说明假设不成立． 【详解】证明：假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． ∵是边上的中线． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵是的平分线，点M与点D重合， ∴， ∴， ∴，这与题干相矛盾． ∴假设不成立， ∴点M与点D不重合． 【题型9】三角形证明中的尺规作图与计算结合 1.核心知识点： 尺规作线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形，三角形的性质与计算 2.解题方法技巧： 按照尺规作图的步骤完成作图，保留作图痕迹（弧、射线）； 利用作图的性质（如角平分线、垂直平分线）结合三角形的边、角性质进行后续计算； 作图后先验证作图的正确性，再进行计算。 【例题9】.（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的作法与性质，垂线的作法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据角平分线的性质，作的角平分线交于点P即可； （2）作于点D即可． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，线段为所求． 平分，，， ． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）尺规作图，如图，已知三角形． (1)尺规作图，作的垂直平分线，分别交于、交于（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若，的周长为，求的周长． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题主要考查尺规作图作一条线段的垂直平分线以及线段垂直平分线的性质， （1）分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，过两弧的交点作直线； （2）根据，可知，据此可求得答案． 【详解】（1）如图所示，直线和点、点即为所求， （2）∵为的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·青海西宁·期末）先尺规作图，后进行计算：如图，中，． (1)试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，线段垂直平分线和角平分线的判定定理，等边对等角，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到、两点的距离相等，则点P在线段的垂直平分线上，点P到两边的距离相等，则点P在的角平分线上，据此作线段的垂直平分线和的角平分线，二者的交点即为点P位置； （2）由题意得，，则，求出，由题意可得点P在的角平分线上，则；由三角形内角和定理可得，则． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求； （2）解：如图所示，连接， ∵点到、两点的距离相等， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点P到两边的距离相等， ∴点P在的角平分线上， ∴； ∵，， ∴， ∴． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）【教材原题】（1）华师版教材七年级下册第109页A组题第9题，如图①，在中，、分别为、的平分线，它们的交点为O．若，则________． 【改编】（2）如图②，分别作图①中和的平分线，它们交点为D，其他条件不变，求的度数． 【拓展】（3）如图③，与是的外角，小明已经用尺规作图的方法作出了的平分线，请你用尺规作图的方法作出的平分线，与交点为O，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）（2）（3）图见解析， 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）三角形的内角和定义求出的度数，角平分线，求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）求出的度数，再根据三角形的内角和进行求解即可． （3）根据尺规作角平分线的方法，作出角平分线，根据外角的定义结合角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵、分别为、的平分线， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵、分别为、的平分线， ∴， ∴， ∵分别作图①中和的平分线，它们交点为D， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由题意，作图如下： ∵， ∴， ∵分别为的角平分线， ∴， ∴， ∴． 【压轴素养题型】 【题型10】等腰三角形的“手拉手”全等模型应用 1.核心知识点： 等腰（等边）三角形的性质、三角形全等的判定、角的转化 2.解题方法技巧： 识别“共顶点、等顶角、双等腰”的手拉手模型，确定全等的两个三角形； 利用等腰三角形的边相等、角相等，推导夹角相等，用SAS证明三角形全等； 由全等得到对应边、对应角相等，进一步推导角的度数、线段的数量和位置关系（如垂直）。 【例题10】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，和都是等腰直角三角形，直角顶点为点，固定不动，绕点旋转． (1)如图②，将绕点旋转，使点落在边上，连接．直接写出图中的全等三角形：____________________，直接写出线段，，之间满足的等量关系：____________________； (2)如图②，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)     (2)．证明见解析 【分析】（1）根据， ，得到，得到，从而可得； （2）先证明，可得，证明，，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：．证明如下： 由（1）知， ，， ， ， ． 在中，， ． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，延长交于点F，若，求证：F为中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平行线的性质和判定，等角对等边，解题的关键是掌握以上性质． （1）利用证明，即可得出结论； （2）根据得出，然后根据三角形内角和定理进行证明即可； （3）过点B作，交的延长线于点N，根据平行线的性质得出相等的角，根据内错角相等得出，可得，得出相等的角，证明，然后证明，得出对应边相等，即可求证． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ； （2）证明：如图，延长交于点M，交于点O， ， ， ∵，， ， ； （3）证明：如图所示，过点B作，交的延长线于点N， ， ， ， ， ， 又， ， ∵， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ， ， ； ， ， ， 在和中， ， ， 即F为的中点． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解析；（3）或 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）先求出，再进行分类讨论且逐个情况作图，运用等腰直角三角形的判定与性质进行分析，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）解：成立，理由如下： 如图，连接，    ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，，， ∴ ∴ ， ∴， 当点在线段上时，连接，如图所示：，    由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 则； 当点在线段的延长线上时，连接，如图所示： 由（2）的结论知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则 则， 综上：或 【变式题10-3】.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，和都是以O为直角顶点的等腰直角三角形，连接，． (1)如图1，试判断与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若点D恰好在上，且D为的中点，，求的面积； (3)如图3，设与的交点为点E，若，，，直接写出的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）证明，根据垂直的定义判断即可； （2）作于H．设，则，根据（1）证明，得到，且，利用勾股定理解答即可． （3）连接，作交的延长线于H．利用直角三角形的性质，勾股定理，解答即可． 【详解】（1）解：如图中，设交于K． ∵， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴ ， ∴ ∴． （2）解：如图2中，作于H． ∵， ∴， 设， 则， 根据（1）证明，得到，且， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ． （3）如图3中，连接，作交的延长线于H． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∴, ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 【题型11】三角形证明的探究式问题（条件/结论开放） 1.核心知识点：三角形的性质与判定、全等三角形、等腰/直角三角形的证明 2.解题方法技巧： 条件开放题：根据结论倒推所需条件，结合三角形的定理验证条件的合理性； 结论开放题：从已知条件出发，逐步推导，得出多个合理结论（如线段相等、角相等、三角形的形状）； 探究过程中注重逻辑推理，每一步结论都要有定理依据，书写规范。 【例题11】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）图见解析， 【分析】本题考查角平分线的性质、三角形内角和、平行线的性质，解题的关键是能够举一反三，通过第一小问的结论能够想到构造辅助线来解决后面的问题． （1）关根据角平分线的性质和三角形内角和的性质求角度； （2）作于H，由（1）的结论和平行的性质得到； （3）作于H，由(1)的结论和平行的性质得到． 【详解】（1）如图1，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. （2）如图2，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. （3）如图3，作于点H，由（1）可得， ∵， ∴， ∴. 【变式题11-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 【答案】(1)②或③或④；证明见解析 (2) (3)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的几种证明方法是解题的关键． （1）先证明，再由全等三角形的几种判定证明即可； （2）先根据全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求解即可； （3）先根据全等三角形的性质得到，再由线段间的数量关系求解即可． 【详解】（1）解：选择②或③或④ ∵， ∴， ∴， 选择②， ∵，， ∴； 选择③， ∵，， ∴； 选择④， ∴， ∵，， ∴； 故答案为：②或③或④； （2）解：∵， ∴ ∵， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·全国·月考）如图1，在平面直角坐标系中，，且． (1)求证：； (2)作的平分线交x轴于一点D，求D点的坐标； (3)如图2所示，两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段上有两动点M、N，满足，下列结论： ①； ②，其中有且只有一个结论成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论． 【答案】(1)见解析； (2)D； (3)结论②是对的，证明见解析． 【分析】此题主要考查了二次根式与平方的非负性，等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识的综合应用；能够正确的构造全等三角形是解决此题的关键． (1) 根据非负数的性质求出a、b的值，根据直角三角形的判定定理证明； (2)过D作于E，由于是的角平分线，根据角平分线的性质知，即可证得，根据三角形的面积公式计算即可； (3)过点O作，并使，连接先证明，可推导出，继而证明，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：∵ ∴， 则， ∴ ∴都是等腰直角三角形，且 ∴； （2）过点D作于E，如图 ∵平分， ∴， 设， ∵， 解得， ， ∴； （3）结论②是对的， 证明：过点O作，并使，连接如图 ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即结论②正确． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”、“<”或“=”)． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“>”、“<”或“=”）；理由如下，过点作 ，交于点．（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1)= (2)，解答过程见解析 (3)3 【分析】本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质解答即可． （2）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． （3）过点作，交于点，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过点作，交于点， 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作，交的延长线于点，如图3所示： 则，，， 是等边三角形， ，， ，， 为等边三角形，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【题型12】跨学科情境下的三角形证明与计算 1.核心知识点： 勾股定理、等腰/直角三角形的性质、三角形内角和 2.解题方法技巧： 从生活/跨学科情境中提取数学模型（如楼梯、秋千、支架转化为直角三角形，彩旗、地砖转化为等腰/等边三角形）； 忽略无关情境信息，聚焦图形的边、角关系，标注已知条件； 结合三角形的定理进行证明和计算，将数学结论还原为情境答案。 【例题12】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【答案】（1）①②（2）（3）32 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答． ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答． （2）理解题意，设，结合，得，由阴影部分的面积为18，进行列式，整理得，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）先整理得，再模仿（1）的过程，作图，与（1）同理得，当时，该长方形是边长为4的正方形，得边长是和的长方形的最大面积16，即可作答． 【详解】解：（1）①如图所示： 依题意，， ∴， 则图2中的阴影部分的面积是； ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积， 得出图2的空白部分面积， ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式； （2）如图3， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）依题意，， 我们把和看作是长方形的两条边长， 此时这个长方形的周长， 根据“周长一定的长方形中，正方形的面积最大” 如图4，当时，阴影部分是边长为的正方形 ∴与（1）同理得， 当时，该长方形是边长为4的正方形， ∴边长是和的长方形的最大面积16， ∴当时，代数式的最大值是． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）实践与探索 实践课题 如图1，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 活动过程 甲小组选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量的长即可，示意图如图2． 交流研讨 乙小组提出另一种方案：在点的右侧取一点，测得，改变点的位置，当时，只需测量的长即可，示意图如图3． 示意图    提出问题 （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由； （2）乙小组的方案用到了_____． 【答案】（1）甲小组的方案正确，见解析；（2）等角对等边 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质和等角对等边是解答的关键． （1）证明，利用全等三角形的对应边相等求解即可； （2）利用三角形的内角和定理求得，然后根据等角对等边得到即可作出判断． 【详解】解：（1）甲小组的方案正确． 理由：在和中， ， ， 只需测量的长即可得到湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离， 甲小组的方案正确； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， 故乙小组的方案用到了等角对等边． 故答案为：等角对等边． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； (2)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了重心的概念、等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交于点，则重心即为所求； （2）过点C作，垂足为点E，延长交于点F，易证且必过重心，即为边上的中线，根据，推出，得到，证明为等边三角形，得到，进而推出，根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，重心即为所求： （2）解：过点C作，垂足为点E，延长交于点F， ∵， ∴， ∵是水平线，为重力作用线， ∴且必过重心，即为边上的中线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 【答案】（1）等边三角形；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，较复杂的尺规作图，熟知相关性质及正确作出辅助线是关键． （1）根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形进行判定即可； （2）在边上截取，连接，根据等边三角形的性质得出相等的角和边，证明是等边三角形，然后得出相等边和角，证明，得出，即可得出结论； （3）在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作． 【详解】解：（1）根据以上数据，猜想：是等边三角形， 故答案为：等边三角形； （2）如图，在边上截取，连接． 是等边三角形， ，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ∴， 即， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ． ， 是等边三角形； （3）如下图，在上截取，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交于，连接，作，，连接，，即为求作； 理由： 由作法可知：，， ∴是等边三角形三角形， 由前面的过程可知：、是等边三角形， ∴， 延长至，使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，即， 同理可证， ∵，， ∴不合题意， ∴即为求作． 易错点 1.等腰三角形问题中，未进行分类讨论（腰/底边、顶角/底角、高的位置），直接得出唯一解，忽略多解情况； 2.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边，直接将三边代入公式，导致计算错误； 3.角平分线的性质应用时，未作垂线段直接得出线段相等，忽略“距离是垂线段的长度”这一前提； 4.用反证法时，假设错误（未否定原命题的结论），或推理过程未推出实质性矛盾； 5.尺规作图时，未保留作图痕迹，或作图步骤错误（如作垂直平分线时，半径小于线段一半）； 6.证明三角形全等时，直角三角形未优先考虑HL，或错误用SSA判定一般三角形全等。 重点 1.等腰（等边）三角形的性质与判定，尤其是“三线合一”和分类讨论思想的应用； 2.勾股定理及其逆定理的应用，包括直接计算、方程思想、折叠和最短路径问题； 3.线段垂直平分线和角平分线的性质与判定，能结合性质作辅助线解题； 4.三角形全等的判定（含HL），能熟练运用判定定理证明三角形全等，并推导后续结论； 5.三角形内角和与外角性质的灵活应用，能进行角度的转化和计算； 6.命题与逆命题、定理与逆定理的区分，反证法的基本步骤和简单应用。 难点 1.等腰三角形“手拉手”模型的识别与应用，能快速找到全等三角形并推导结论； 2.勾股定理在折叠、立体图形最短路径问题中的应用，掌握构造直角三角形和图形展开的技巧； 3.三角形证明中的探究式、开放型问题，能根据已知条件合理推导或补充条件，逻辑推理严密； 4.多个定理（如角平分线、垂直平分线、全等、等腰三角形）的综合应用，能在复杂图形中提取基本图形； 5.分类讨论思想在三角形问题中的全面应用，能考虑到所有可能情况并排除无效解； 6.跨学科和生活实际情境中，数学模型的提取与转化，将实际问题转化为三角形的证明与计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】过点M作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点M作于E， ∵平分，， ∴， ∵D在上， ∴， ∴． 2．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 【答案】A 【分析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、小赵同学作图判定的依据是，正确，本选项符合题意； B、小赵同学第二步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，不符合题意； C、小刘同学作图判定的依据应该是，错误，本选项不符合题意； D、小刘同学第一步作图时，用圆规截取的长度应该是的长，错误，本选项不符合题意． 故选：A． 3．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得，进而根据三角形的外角的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】连接，由题意易得，，则有，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】连接，由线段的垂直平分线的性质得，转化为，当B，M，D共线时，由等腰三角形三线合一得，根据面积求出即可． 【详解】解：连接， 直线为线段的垂直平分线， ， ，当B，M，D共线时等号成立， D为的中点，， ， ，面积为20， ， ， 的最小值为8． 二、填空题 6．如图，，则写出的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查了平角为，三角形内角和定理，根据题意得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图所示，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 7．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 8．如图，在中，，D为的中点，，则______． 【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，D为的中点， ∴，， ∴． 【点睛】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理． 9．如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 【答案】2或5或6或 【分析】本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的定义和性质等知识，分情况讨论是解题关键． 首先根据勾股定理确定的长度，然后结合等腰三角形的定义和性质，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 根据题意，点P与中的两个顶点构成等腰三角形，可分情况讨论， ①当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ②当为等腰三角形，且时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当为等腰三角形，且时，如下图， 则； ④当为等腰三角形，且时，如下图，过点作于点， ∵， ∴，解得， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综上所述，的长为2或5或6或． 故答案为：2或5或6或． 10．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 【答案】4 【分析】连接，先证出点在射线上运动（此时满足），再作点关于直线的对称点，连接，得出的最小值为，最后根据三角形全等的判定与性质证出． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，是上的中线， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在射线上运动（此时满足）， 如图，作点关于直线的对称点，连接， ∴， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为，即的最小值为， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即的最小值为4． 【点睛】在涉及到两个等边三角形的题型中，通常是构造全等三角形，进而确定相应点的运动轨迹． 三、解答题 11．如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是的中点，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）等边对等角，结合等角的余角相等，以及对顶角相等，得到，即可得证； （2）过点A作于点，三线合一，得到，证明，得到，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，，     ∴， ∵， ∴， ∴； ∴是等腰三角形. （2）解：如图，过点A作于点，由（1）知，， ． 是的中点， ． 又， ， ， ． 12．如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的度数是． (2)能，见解析 【分析】（1）先求得，根据角平分线的定义得出，由于，则，根据三角形外角性质得，所以，然后利用进行计算； （2）根据三角形内角和定理得，再根据角平分线定义得，结合，然后利用角的和差得，即的度数等于与差的一半． 【详解】（1）解：在中，，， ， ，平分， ， ， ， ， ， 的度数是． （2）解：能，理由如下： 平分，且， ， ， ， ， ， ， 的度数是． 13．如图，点D在的边上． (1)利用直尺和圆规过点B作的平行线，交的延长线于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若是边上的高，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据“同位角相等，两直线平行”尺规作一个角等于已知角即可； （2）由是边上的高，根据“三线合一”可证明，根据可得，进而得即可证明结论． 【详解】（1）解：延长，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线，边于，，以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，作直线，交射线于，直线即为所求作的； （2）解：是等腰三角形， 理由： 是边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 14．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等量代换可得，通过角边角证明； （2）由可得，，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 15．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）证明即可证明； （2）过点O作于点M，于点N，求出，再证明平分，即可求出结论； （3）先证明，得出，进而证明，点E在的垂直平分线上，再根据为等边三角形得出点A在的垂直平分线上，证明结论即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ． ； （2）解：如图，过点O作于点M，于点N，则， 由（1）， ∴， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴平分， ∴． （3）证明：由（1）得：． 在和中， ． ∵， ∴，点E在的垂直平分线上； 在中，， ∴为等边三角形， ∴，点A在的垂直平分线上； ∴直线垂直平分． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的证明 知识点1：三角形内角和定理及推论 1.三角形内角和为，即在中，； 2.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 3.三角形的外角和为； 4.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 知识点2：等腰三角形的性质与判定 类别 内容 性质1（等边对等角） 等腰三角形的两个底角相等 性质2（三线合一） 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 拓展性质 等腰三角形两腰上的中线、高分别相等；两底角的平分线相等 判定1（定义法） 有两条边相等的三角形是等腰三角形 判定2（等角对等边） 有两个角相等的三角形是等腰三角形 知识点3：等边三角形的性质与判定 类别 内容 性质 ①三边都相等；②三个内角都相等，且每个角都为；③具备等腰三角形的所有性质 判定1 三边都相等的三角形是等边三角形 判定2 三个角都相等的三角形是等边三角形 判定3 有一个角是的等腰三角形是等边三角形 知识点4：直角三角形的性质与判定 1.性质 直角三角形的两个锐角互余； 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，若直角边为、，斜边为，则； 在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半； 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。 2.判定 有一个角是的三角形是直角三角形； 有两个角互余的三角形是直角三角形； 勾股定理的逆定理：若三角形的三边、、满足，则该三角形是直角三角形。 知识点5：线段的垂直平分线 1.定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线； 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 3.判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 4.三角形性质：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点到三角形三个顶点的距离相等（外心）。 知识点6：角的平分线 1.定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等角的射线，叫做这个角的平分线； 2.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等； 3.判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上； 4.三角形性质：三角形三条角平分线相交于一点，该点到三角形三条边的距离相等（内心）。 知识点7：命题与逆命题、定理与逆定理 1.每个命题都有逆命题，将原命题的题设和结论互换即可得到逆命题； 2.真命题的逆命题不一定为真，假命题的逆命题也不一定为假； 3.每个定理都有逆命题，但只有当逆命题为真命题时，才称为原定理的逆定理； 4.常用的互逆定理：勾股定理与勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理。 知识点8：反证法 1.定义：先假设命题的结论不成立，然后通过推理推出矛盾，从而证明原命题成立的证明方法； 2.步骤：①假设命题结论不成立；②推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不成立，从而肯定原命题结论成立。 【基础必考题型】 【题型1】三角形内角和与外角的基础角度计算 1.核心知识点： 三角形内角和定理、三角形外角的性质 2.解题方法技巧： 直接利用内角和定理求未知角，若有外角，优先利用“外角=不相邻两内角和”简化计算； 设未知数建立方程，解决多个角的数量关系问题； 结合角平分线、平行线的性质进行角度转化。 【例题1】.（25-26八年级下·四川绵阳·开学考试）在中，，，则的度数为________． 【变式题1-1】.（23-24八年级上·河北邢台·月考）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·广东·月考）如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·广东·月考）如图，在五角星ABCDE中，（    ） A． B． C． D． 【题型2】等腰三角形的边、角基础计算 1.核心知识点： 等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”、三角形三边关系 2.解题方法技巧： 已知边求角时，先确定腰和底边，再用等边对等角求角； 已知角求边时，先确定顶角和底角，再结合内角和定理计算，注意分情况讨论； 计算后验证三边是否满足“任意两边之和大于第三边”，排除无效解。 【例题2】.（25-26八年级上·福建福州·期中）等腰三角形的底角为，则它的顶角是（　　） A． B．65° C．70° D．80° 【变式题2-1】.（2025八年级上·全国·专题练习）若等腰三角形的周长为10cm，其中一边长为2cm，则该等腰三角形的底边长为（   ） A．2cm B．4cm C．6cm D．2cm或6cm 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河南南阳·期末）如图，在中，平分，．已知，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式题2-3】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，等腰，，，则________． 【题型3】等边三角形的性质直接应用 1.核心知识点： 等边三角形的三边相等、三角均为的性质 2.解题方法技巧： 直接利用角结合内角和、外角性质求角度； 利用三边相等结合线段和差求线段长度； 等边三角形中出现高、中线、角平分线时，直接利用“三线合一”进行线段和角度转化。 【例题3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）一个含角的三角尺如图①所示，用两个完全相同的这种三角尺恰好能拼成一个如图②所示的等边三角形．若，则（    ） A．3 B． C．12 D．9 【变式题3-1】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长． 【变式题3-2】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在等边三角形中，，分别是边，上的点，连接，，与交于点，． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式题3-3】.（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）如图，在等边中，点分别在边上，且，与相交于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型4】线段垂直平分线与角平分线的性质直接应用 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质、角平分线的性质 2.解题方法技巧： 看到线段垂直平分线，直接连接线上点与线段端点，得到相等线段； 看到角平分线，过平分线上的点向角的两边作垂线，得到相等垂线段； 结合等量代换，将相等线段/垂线段转化到其他三角形中解题。 【例题4】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，是上一点，连接，过点作于点，若，则的度数为__________． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·江苏镇江·期末）如图，在中，是边的垂直平分线，，．则的长为（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【变式题4-2】.（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）如图，在中，已知的垂直平分线交于点N，交于点 M．连接． (1)若，则的度数是多少度？ (2)若的周长是，则的长度是多少？ 【变式题4-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，，平分，以为顶点作，交于点，交于点． (1)求证：． (2)在图①中，若，求的长． (3)如图②，，平分，以为顶点作，交于点，交于点．若，求四边形的面积． 【培优高频题型】 【题型5】等腰三角形的分类讨论问题（边、角、高） 1.核心知识点： 等腰三角形的性质、三角形三边关系、三角形内角和定理 2.解题方法技巧： 已知一条边为腰或底边不确定时，分两种情况讨论，验证三边关系； 已知一个角为顶角或底角不确定时，分两种情况讨论，验证内角和为； 等腰三角形的高的位置不确定时（锐角、钝角等腰三角形），分高在三角形内部、外部两种情况讨论。 【例题5】.（25-26八年级上·广东·月考）已知等腰三角形的一个角为，则其顶角的度数为（    ） A． B． C．或 D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，在中，，，，在射线上找一点，将扩充为等腰三角形，则的长为（   ） A．或或 B．或 C．或或 D．或 【变式题5-2】.（25-26八年级上·山西忻州·期末）综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，点是的中点，点是射线上的一个动点，连接，过点作的垂线，交直线于点． 独立思考：（1）当时，善思小组的同学认为点是的中点，请你判断善思小组的观点是否正确，并说明理由． 猜想证明：（2）如图2，当点在线段上时，判断线段与的数量关系，并说明理由． 拓展延伸：（3）若，请直接写出的度数． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·四川成都·期末）已知：在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点． (1)求a，b的值； (2)如图1，将直线绕点A顺时针旋转得到直线l，求直线l的表达式； (3)如图2，在（2）的条件下，点C是第一象限内直线l上一点，过点C作轴，垂足为D，E为线段上一点，连接，若，当为等腰三角形时，求点C的坐标． 【题型6】勾股定理的综合计算 1.核心知识点：勾股定理、线段的和差关系、直角三角形的性质 2.解题方法技巧： 通过作垂线构造直角三角形，将不规则线段转化为直角三角形的边； 设未知数，利用勾股定理建立方程，解决线段长度的未知量问题； 结合折叠、平移的性质，找到相等线段，进行等量代换。 【例题6】.（25-26八年级上·四川雅安·期中）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图，将绕点顺时针旋转90°得，连接后发现、、三点共线． (1)求证． (2)当时，求的长度． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）全民健身手牵手，社区运动心连心．为提升社区居民的幸福感，某小区准备将一块四边形平地进行改建，如图所示，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．经测量，米，米，米，米． (1)连接，求的长度． (2)已知购买运动型塑胶地板的价格为每平方米200元，求购买运动型塑胶地板的总费用． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在中，，平分交于点，，垂足为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型7】直角三角形全等的判定（HL）综合应用 1.核心知识点： HL判定定理、直角三角形的性质、一般三角形全等的判定 2.解题方法技巧： 证明两个直角三角形全等时，优先考虑HL（斜边+直角边），减少条件验证； 若缺少斜边或直角边条件，先利用直角三角形的性质推导相等边/角，再用HL或其他判定定理； 全等证明后，利用“全等三角形的对应边、对应角相等”推导后续结论。 【例题7】.（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【变式题7-1】.（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图所示，E，F分别为线段上的两个动点，且于点E，于点F，若，，交于点M． (1)求证：，． (2)当E，F两点移动到如图所示的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立，说明理由． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·浙江温州·月考）如图，，，于，于，，求证：点是的中点． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，，相交于点O，，于点M，，与交于点N，． (1)求证：； (2)若，，，求线段的长． 【题型8】反证法的简单应用 1.核心知识点： 反证法的步骤、三角形的基本性质 2.解题方法技巧： 明确原命题的结论，准确作出否定假设（如“至少有一个”的否定为“一个都没有”）； 从假设出发，结合三角形的性质（如内角和、三边关系）进行推理，推出与已知条件、定理相矛盾的结论； 紧扣矛盾，得出“假设不成立，原命题成立”的结论。 【例题8】.（25-26八年级下·全国·周测）用反证法证明“在中，，的对边长分别是，．若，则”．第一步应假设（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式题8-1】.（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”，应首先假设这个直角三角形中（   ） A．两个锐角都大于 B．没有一个锐角大于 C．至少有一个锐角大于 D．两个锐角都大于等于 【变式题8-2】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知直角三角形的三边长分别是，其中为斜边． (1)长分别为的三条线段能否组成一个直角三角形，判断并说明理由； (2)小明为了证明“长分别为的三条线段不能组成一个直角三角形．”是真命题．他给出了部分思考如下，请补全他的证明过程． 【变式题8-3】.（25-26九年级上·广西崇左·月考）如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点M与点D不重合． 【题型9】三角形证明中的尺规作图与计算结合 1.核心知识点： 尺规作线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形，三角形的性质与计算 2.解题方法技巧： 按照尺规作图的步骤完成作图，保留作图痕迹（弧、射线）； 利用作图的性质（如角平分线、垂直平分线）结合三角形的边、角性质进行后续计算； 作图后先验证作图的正确性，再进行计算。 【例题9】.（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）如图，在中（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (1)利用尺规作图，在边上求作一点P，使得点P到的距离的长等于的长； (2)利用尺规作图，作出（1）中的线段． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·河南许昌·期中）尺规作图，如图，已知三角形． (1)尺规作图，作的垂直平分线，分别交于、交于（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)连结，若，的周长为，求的周长． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·青海西宁·期末）先尺规作图，后进行计算：如图，中，． (1)试求作一点，使得点到、两点的距离相等，并且到两边的距离相等（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若，求的度数． 【变式题9-3】.（24-25七年级下·吉林长春·月考）【教材原题】（1）华师版教材七年级下册第109页A组题第9题，如图①，在中，、分别为、的平分线，它们的交点为O．若，则________． 【改编】（2）如图②，分别作图①中和的平分线，它们交点为D，其他条件不变，求的度数． 【拓展】（3）如图③，与是的外角，小明已经用尺规作图的方法作出了的平分线，请你用尺规作图的方法作出的平分线，与交点为O，并直接写出与的数量关系． 【压轴素养题型】 【题型10】等腰三角形的“手拉手”全等模型应用 1.核心知识点： 等腰（等边）三角形的性质、三角形全等的判定、角的转化 2.解题方法技巧： 识别“共顶点、等顶角、双等腰”的手拉手模型，确定全等的两个三角形； 利用等腰三角形的边相等、角相等，推导夹角相等，用SAS证明三角形全等； 由全等得到对应边、对应角相等，进一步推导角的度数、线段的数量和位置关系（如垂直）。 【例题10】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，和都是等腰直角三角形，直角顶点为点，固定不动，绕点旋转． (1)如图②，将绕点旋转，使点落在边上，连接．直接写出图中的全等三角形：____________________，直接写出线段，，之间满足的等量关系：____________________； (2)如图②，试探索线段，，之间满足的等量关系，并证明你的结论． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·福建福州·期中）如图，在和中，，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，延长交于点F，若，求证：F为中点． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）已知：在中，，． 【初步发现】（1）如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，，连接，，先由边角边证明，从而得到，，所以，进而得到、、之间满足的数量关系是 ； 【深入研究】（2）如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由； 【拓展研究】（3）若点D在直线上．连接，在的左侧作，，当，时，求的值． 【变式题10-3】.（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，和都是以O为直角顶点的等腰直角三角形，连接，． (1)如图1，试判断与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)如图2，若点D恰好在上，且D为的中点，，求的面积； (3)如图3，设与的交点为点E，若，，，直接写出的长． 【题型11】三角形证明的探究式问题（条件/结论开放） 1.核心知识点：三角形的性质与判定、全等三角形、等腰/直角三角形的证明 2.解题方法技巧： 条件开放题：根据结论倒推所需条件，结合三角形的定理验证条件的合理性； 结论开放题：从已知条件出发，逐步推导，得出多个合理结论（如线段相等、角相等、三角形的形状）； 探究过程中注重逻辑推理，每一步结论都要有定理依据，书写规范。 【例题11】.（25-26八年级上·山西忻州·月考）（1）如图1，在中，点D，E在边上，平分，，，，求的度数； （2）如图2，若把（1）中的条件“”变成“点F为的延长线上一点，”，其他条件不变，求的度数； （3）若把（1）中的条件“”变成“点F为AD的延长线上一点，”，其他条件不变，请画出相应的图形，并求出的度数． 【变式题11-1】.（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）如图，，有如下条件： ①，②，③，④． (1)在以上条件中选择一个条件_____（只填写一个序号），求证：； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，若，求． 【变式题11-2】.（24-25八年级下·全国·月考）如图1，在平面直角坐标系中，，且． (1)求证：； (2)作的平分线交x轴于一点D，求D点的坐标； (3)如图2所示，两点在x轴、y轴上的位置不变，在线段上有两动点M、N，满足，下列结论： ①； ②，其中有且只有一个结论成立．请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论． 【变式题11-3】.（25-26八年级上·辽宁鞍山·月考）已知，在等边三角形中，点在上，点在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图1，当点为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论： （填“>”、“<”或“=”)． (2)【特例启发，解答题目】 如图2，当点为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论， （填“>”、“<”或“=”）；理由如下，过点作 ，交于点．（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点在直线上，点在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【题型12】跨学科情境下的三角形证明与计算 1.核心知识点： 勾股定理、等腰/直角三角形的性质、三角形内角和 2.解题方法技巧： 从生活/跨学科情境中提取数学模型（如楼梯、秋千、支架转化为直角三角形，彩旗、地砖转化为等腰/等边三角形）； 忽略无关情境信息，聚焦图形的边、角关系，标注已知条件； 结合三角形的定理进行证明和计算，将数学结论还原为情境答案。 【例题12】.（25-26八年级上·江苏南通·期中）综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·河北唐山·期中）实践与探索 实践课题 如图1，测量湖边观测点和湖心岛上鸟类栖息点之间的距离． 实践工具 皮尺、测角仪等测量工具 活动过程 甲小组选择合适的点，，，使得，，在同一条直线上，且，，当，，在同一条直线上时，只需测量的长即可，示意图如图2． 交流研讨 乙小组提出另一种方案：在点的右侧取一点，测得，改变点的位置，当时，只需测量的长即可，示意图如图3． 示意图    提出问题 （1）甲小组的方案正确吗？请说明理由； （2）乙小组的方案用到了_____． 【变式题12-2】.（25-26八年级上·湖北咸宁·期中）综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 【素材】厚度均匀的硬纸板（三角形、矩形、正方形、不规则形状）、钉子、螺钉、线、笔、刻度尺、量角器等． 【实践操作】 如图1，步骤1：用细棉线系住小孔将硬纸板悬挂起来，当硬纸板静止时，用笔和刻度尺在硬纸板上画出与细棉线方向相同即竖直向下的重力的作用线，重心一定也在这条直线上； 步骤2：用细棉线系住另一个小孔C将硬纸板悬挂起来，利用同样的方法再画出另一重力作用线；作用线与作用线的交点O即为硬纸板的重心． 【实践探索】 (1)根据实践操作，图2已经完成了步骤1，请在图2中完成步骤2并标明不规则形状硬纸板的重心O； (2)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验再次验证这一事实，一块三角形匀质硬纸板悬挂后如图3所示，其中，边与水平线的夹角，求的度数． 【变式题12-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）实践与探究 【提出问题】 如图1，是等边三角形，点D在的延长线上，平分，点M是边上一动点，连接，并以为边作，交射线于点N，连接．猜想的形状．兴趣小组的三位同学分别度量和的长度，结果如下： 的长度（） 的长度（） 小明 小丽 小亮 （1）根据以上数据，猜想：是__________三角形． 【解决问题】 （2）请你对上述猜想进行证明． 【灵活运用】 （3）如图2，已知，线段a，b．若满足：点B在上，点C在上，，，，请利用无刻度直尺和圆规作出点C．（保留必要的作图痕迹） 易错点 1.等腰三角形问题中，未进行分类讨论（腰/底边、顶角/底角、高的位置），直接得出唯一解，忽略多解情况； 2.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边，直接将三边代入公式，导致计算错误； 3.角平分线的性质应用时，未作垂线段直接得出线段相等，忽略“距离是垂线段的长度”这一前提； 4.用反证法时，假设错误（未否定原命题的结论），或推理过程未推出实质性矛盾； 5.尺规作图时，未保留作图痕迹，或作图步骤错误（如作垂直平分线时，半径小于线段一半）； 6.证明三角形全等时，直角三角形未优先考虑HL，或错误用SSA判定一般三角形全等。 重点 1.等腰（等边）三角形的性质与判定，尤其是“三线合一”和分类讨论思想的应用； 2.勾股定理及其逆定理的应用，包括直接计算、方程思想、折叠和最短路径问题； 3.线段垂直平分线和角平分线的性质与判定，能结合性质作辅助线解题； 4.三角形全等的判定（含HL），能熟练运用判定定理证明三角形全等，并推导后续结论； 5.三角形内角和与外角性质的灵活应用，能进行角度的转化和计算； 6.命题与逆命题、定理与逆定理的区分，反证法的基本步骤和简单应用。 难点 1.等腰三角形“手拉手”模型的识别与应用，能快速找到全等三角形并推导结论； 2.勾股定理在折叠、立体图形最短路径问题中的应用，掌握构造直角三角形和图形展开的技巧； 3.三角形证明中的探究式、开放型问题，能根据已知条件合理推导或补充条件，逻辑推理严密； 4.多个定理（如角平分线、垂直平分线、全等、等腰三角形）的综合应用，能在复杂图形中提取基本图形； 5.分类讨论思想在三角形问题中的全面应用，能考虑到所有可能情况并排除无效解； 6.跨学科和生活实际情境中，数学模型的提取与转化，将实际问题转化为三角形的证明与计算问题。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分于点C，点D在上．若，则的取值范围是（　　） A． B． C． D．不能确定 ∵平分，， ∴， 2．在课堂上，陈老师发给每人一张印有（如图①）的卡片，然后要求同学们画一个，使得．小赵和小刘同学先画出了之后，后续画图的主要过程分别如图②所示． 对这两种画法的描述正确的是（   ） A．小赵同学作图判定的依据是 B．小赵同学第二步作图时，用圆规截取的是线段 C．小刘同学作图判定的依据是 D．小刘同学第一步作图时，用圆规截取的是线段 3．唐朝李白的《行路难》有句诗“长风破浪会有时，直挂云帆济沧海．”如图是小明作的一个帆船模型抽象的几何图形，已知，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，的垂直平分线交于F，交于E，若，则的长为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 5．如图，在中，，直线为线段的垂直平分线，D为的中点，M为直线上任意一点．若，面积为20，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 二、填空题 6．如图，，则写出的度数是______． 7．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 8．如图，在中，，D为的中点，，则______． 9．如图，在中，，，，点P在上，当点P与中的两个顶点构成等腰三角形时，的长为______． 10．如图，在等边中，是上中线且，点D在线段上，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值为_____． 三、解答题 11．如图，在中，，点在的延长线上，，垂足为交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是的中点，，求的长． 12．如图，在中，，平分，，，求： (1)的度数； (2)探究：小明认为如果条件，改成，也能得出的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由． 13．如图，点D在的边上． (1)利用直尺和圆规过点B作的平行线，交的延长线于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若是边上的高，判断的形状，并说明理由． 14．如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 15．如图1，都是等腰三角形，，连接和相交于点E，连接． (1)求证：； (2)若，求的大小； (3)如图2，若，F为上一点，，交于点G，求证：垂直平分． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $