专题07 解析几何（6大考点）（四川专用）2026年高考数学一模分类汇编

专题07解析几何 6大考点概览 考点01直线和圆的方程 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05曲线与方程 考点06直线与圆锥曲线 直线和圆的方程 考点1 1．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则 . 【答案】4 【分析】先求出函数的解析式，判断函数奇偶性，根据题意设，利用已知条件求出的坐标，写出向量的坐标，利用向量数量积运算即可. 【详解】由， 当时，， 则时，， 所以， 所以， 由函数定义域为关于原点对称， 且当时，， 当时，， 所以函数为偶函数，图象关于对称， 因为点是函数的图象上在轴右侧任意一点， 所以设， 又过作直线的垂线，则垂线的斜率为1， 所以垂线方程为：， 即， 联立，解得：， 即， 又过作轴的垂线与的图象交于另一点， 且函数为偶函数， 所以， 即， 又， ， 所以， 故答案为：4. 2．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知，再根据点到直线的距离公式得，最后再求解圆的标准方程即可. 【详解】由题知抛物线的焦点坐标为， 所以到直线的距离为, 所以，所求圆的圆心为，半径为， 所以圆的标准方程为. 故选：A 3．（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用轴对称求出点关于直线的对称点的轨迹，再利用两圆的有公共点关系列式求出范围. 【详解】设点关于直线的对称点，则线段的中点在直线上， 又，直线的方向向量，而， 因此，即， 消去得， 整理得，即，于是点在以点为圆心，1为半径的圆上， 而曲线是以点为圆心，为半径的圆，， 依题意，点在曲线上，则曲线与圆有公共点，即这两个圆相交或相切， 因此，即，解得， 所以r的取值范围为. 故选：C 4．（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用圆的性质求出过点的直线被圆所截弦长为的弦中点所在图形，再利用点与圆的位置关系列式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 令过点的直线被圆所截弦长为的弦中点为，则， ，因此点在以原点为圆心，为半径的圆上， 此时为圆的切线，依题意，过点可以作圆的两条切线， 则点在圆外，于是，解得或， 所以的取值范围是. 故选：B 5．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 6．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 ． 【答案】 【分析】根据题设可知为等腰直角三角形，结合点到直线的距离公式建立等式后即可求解. 【详解】 依题意，圆心为，半径为； 因为，所以为等腰直角三角形，所以，圆心到直线的距离为； 又圆心到直线的距离为； 所以，解得. 故答案为：. 7．（2025·四川成都·一模）已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为 . 【答案】 【分析】联立直线与圆，应用韦达定理求得，进而有，即可得中点坐标. 【详解】由题设，直线方程为，联立， 所以，则， 所以，则， 所以线段中点的坐标，即为. 故答案为： 椭圆 考点2 1．（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意求得，根据焦点所在坐标轴代入标准方程即可求解. 【详解】因为中心在原点的椭圆的右焦点为， 所以椭圆焦点在轴，设标准方程为， 由题意可得，，得到，， 故椭圆的方程是. 故选：D 2．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算半通径，再利用椭圆定义即可得到齐次方程求解离心率. 【详解】    令，代入椭圆 则可知：，又因为，所以， 根据椭圆定义可知：， 所以椭圆的离心率为， 故选： B 3．（2026·四川内江·一模）已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据椭圆定义得，，再根据关系即可得到答案. 【详解】P为椭圆上的动点，，且， 则P的轨迹是以为焦点的椭圆， 且，即，，所以， 故选：C 4．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，椭圆的离心率为； B．当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C．已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D．已知 ，则直线与直线的斜率之积为. 【答案】ABC 【分析】由，根据椭圆的定义，求得，可判定A正确；求得的面积的最大值为，得到，结合，可判定B正确；设，得到，结合三角函数的性质，可判定C正确；设，得到，结合斜率公式，可判定D错误. 【详解】对于A，由椭圆的定义，可得，且， 因为，可得，即，所以，所以A正确； 对于B，因为点是椭圆上异于长轴的顶点的一点， 则的面积为， 即的面积的最大值为，所以， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以，所以椭圆的长轴长的最小值为，所以B正确； 对于C，由，且点是椭圆位于第一象限的一点， 可设，其中 则四边形的面积为 ， 因为，可得， 当时，即，取得最大值，所以， 所以四边形的面积的最大值为，所以C正确； 对于D，设，可得，所以， 又由点，可得， 则，所以D错误. 故选：ABC. 5．（2026·四川遂宁·一模）（多选）已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．坐标原点O到直线AB的距离为 C．面积的最大值为 D． 【答案】BCD 【分析】先根据已知条件求出椭圆方程，再根据椭圆的性质结合离心率公式、点到直线距离公式、椭圆的参数方程分析判断选项正误． 【详解】 圆经过椭圆的左、右两个焦点，设， ，解得， 的面积为2，，解得， 在圆上，，解得，故， 在椭圆上， ，解得，， 椭圆的方程为： 选项A：，，故A错误； 选项B：， 直线的方程为，一般式为， 原点到直线的距离为，故B正确； 选项C：，， 是椭圆上点，， ，故C正确； 选项D：设，则直线方程为，令，得，故， 直线过，方程为，令，得， 故， ，， ， 椭圆方程，令， 则， ， ， 令，则， ， ，即， ， ，故D正确． 故选：BCD 6．（2025·四川成都·一模）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 【答案】(1)椭圆：； (2). 【分析】（1）由题设列出关于的方程组即可求解； （2）由题设设，再由数量积的坐标运算计算即可. 【详解】（1）设椭圆焦距为，由题意可得， 所以椭圆：； （2）由题可设，则由（1），， 所以.    双曲线 考点3 1．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】先求出双曲线的一条渐近线方程，再结合题意得到，进而求出，最后求解焦距即可. 【详解】由题意得双曲线的一条渐近线方程为， 而双曲线的一条渐近线平行于直线，可得， 由题意得，则，即， 可得双曲线C的焦距为，故D正确. 故选：D 2．（2026·四川雅安·一模）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可求出m的取值范围，再根据离心率的定义求出其表达式，结合不等式性质即可求得答案. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的双曲线， 得，即得， 故双曲线的离心率为， 由于，故，故. 故选：C 3．（2025·四川达州·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先通过双曲线的渐近线方程及已知直线求出斜率，再根据垂直关系进而得出与b的关系，最后利用离心率公式及计算离心率即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 因为直线，整理得，其斜率为， 因为两直线垂直，所以，即， 又因为，代入，得，所以, 故离心率. 故选：A. 4．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，，由已知和双曲线的定义得出，，，再在直角三角形和中，利用勾股定理可求得和的关系，从而可求双曲线的离心率． 【详解】如图，设，， 由双曲线定义可知：，， ，，即； 在直角中，，即， 解得：，则，； 在直角中，，即， 即，所以. 故选：A.    5．（2026·四川巴中·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 【答案】ACD 【分析】本题A主要考查双曲线的离心率与渐近线的关系；B考查过双曲线上的一点的直线与渐近线的关系；C利用点到直线的距离求解即可；D根据直线与双曲线联立，求出交点坐标后，利用中点坐标验证即可。 【详解】A,因为双曲线的离心率公式：,所以越大，则双曲线的离心率越大，故A正确； B，过点与双曲线仅有一个交点的直线应该有三条，一条是过点的切线，另两条是与渐近线平行的直线，故B错误； C，设为双曲线上一点,代入方程得,去分母得，又因为渐近线为,所以点到两条渐近线的距离分别是,所以距离之积,显然是定值，故C正确； D，设,所以过点的切线方程是,联立切线与渐近线方程可得交点,所以MN的中点坐标=,故D正确; 故选：ACD 6．（2025·四川成都·一模）（多选）已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 【答案】ABD 【分析】设点位于第一象限，由双曲线的定义，求得，得到，可判定A正确；设内切圆与轴相切于点，由双曲线的定义，求得，得到圆心的横坐标，可判定B正确；分别求得点到直线和的距离，结合与的夹角为，得到，可判定C不正确；求得的方程，联立方程组，求得的坐标，结合两点间距离公式和双曲线的性质，可判定D正确. 【详解】由双曲线，可得， 则，且其渐近线方程为， 对于A中，不妨设点位于第一象限， 由双曲线的定义，可得，所以， 则，又由双曲线的几何性质，可得， 所以，即的最大值为，所以A正确； 对于B，如图所示，设的内切圆与轴，的切点分别为， 可得， 又由，可得， 又由，可得， 所以点的横坐标为，即圆心的横坐标为，所以的内心到轴的距离为，所以B正确； 对于C，设，则满足， 则点到直线的距离为，到直线的距离为， 则， 因为，且与的夹角为，所以， 所以，所以C不正确； 对于D，由，可得， 联立方程组，解得， 即，同理可得， 所以， 因为，代入可得， 又因为，可得，所以，所以D正确. 故选：ABD. 7．（2025·四川凉山·一模）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则 ． 【答案】2 【分析】求出双曲线的渐近线方程与焦点坐标，然后通过点到直线的距离公式求解即可. 【详解】双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离：. 故答案为：2. 8．（2025·四川德阳·一模）椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 . 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的离心率公式可得与，进而可得最值. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，双曲线的实半轴长为，半焦距为， 可知，， 则椭圆离心率，双曲线的离心率，且 所以，当且仅当， 即时，等号成立， 综上所述的最小值为. 抛物线 考点4 1．（2025·四川成都·一模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为上一点，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】依据题意可知点的横坐标为2，然后利用焦半径公式求解即可. 【详解】由题意因为，所以x轴，所以点的横坐标为2， 所以由抛物线定义可知. 故选：C 曲线与方程 考点5 1．（2025·四川达州·一模）（多选）已知点为曲线上一动点，，下列说法正确的是（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线与轴有且仅有一个交点 C．为坐标原点， D．以为直径且与轴相切的圆有4个 【答案】ABD 【分析】对于A选项，设关于轴的对称点为，验证是否满足曲线方程即可判断选项正误；对于B选项，令，得到方程，判断方程解的个数即可得到曲线与轴的交点个数；对于C选项，由曲线方程知，可得：，通过求解函数值域即可求解的取值范围.对于D选项，由于圆与轴相切，可得：，化简得：，联立方程，判断方程组解的个数即可判断选项正误. 【详解】对于A，已知为曲线上的动点，设关于轴的对称点为， 因，故曲线关于轴对称，故A正确； 对于B，令，则可得方程，如图画出即的图象， 根据图象易知，在轴的右侧，因比的增长速度快得多，故在轴的右侧，两者没有公共点， 故两函数图象有且只有一个交点， 即方程有且仅有一个解，即曲线与轴有且仅有一个交点，故B正确； 对于C，，由曲线方程知，故. 当时，，例如当时，，故C错误； 对于D，以为直径的圆，设圆心为的中点，半径. 由于圆与轴相切，因此可得：， 化简得：，即， 联立方程，消去得：，即. 设，可得：， 令，则， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增. 又， ，， 因此可得：在和各有一个零点， 即存在和，使得， 由此可得：当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时，在单调递增； 又，，， ，， 由此可得：在和和存在三个零点； 即方程存在两个正根一个负根， 再将根代入时可得：对于负根，对应无解，对于正根，对应有正负两种情况. 因此可得：以为直径且与轴相切的圆有4个，故D正确. 故选：ABD 2．（2026·四川巴中·一模）（多选）中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（    ）． A．双纽线方程： B． C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据双纽线的定义，结合两点间距离公式写出等式，判断选项A；利用三角形面积公式，结合双纽线定义判断选项B；先转化几何条件，结合双纽线方程求出点坐标，判断选项C；利用两点间距离公式，结合双纽线方程计算判断选项D． 【详解】选项A：设动点，由双纽线定义可知， 动点到定点，距离之积等于， 双纽线轨迹方程为， 化简得，故A正确； 选项B：点在双纽线上， ， 又 ， ， 即，，故B正确； 选项C：若，则在的中垂线即轴上，即， 代入，可得，解得，即， 满足条件的点仅有一个点，故C错误； 选项D：，， 双纽线方程为，代入， 得，， ，， ，，解得，故D正确． 故选：ABD． 3．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 【答案】 【分析】由题中方程得到点在曲线上，根据卡西尼卵形线的定义，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由卡西尼卵形线的定义，可得卡西尼卵形线上的点有为定值， 因为西尼卵形线方程为，可得点在卡西尼卵形线上， 则由 所以，当时，等号成立， 所以最小值为. 故答案为：. 4．（2026·四川雅安·一模）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则   【答案】 【分析】由题意求出曲线的方程为，根据的面积求出点的纵坐标，代入曲线方程求出横坐标，利用两点间距离公式即可求出答案. 【详解】设曲线上的任意一点 ， 由题意得，为常数， 即， 因为曲线过坐标原点，所以， 解得， 所以曲线的方程为， 设点，由题意得， 因为的面积为，则， 所以， 代入解得 ， 即， 所以. 故答案为：. 5．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的“曼哈顿距离”定义为．满足的动点的轨迹围成的图形面积为 ；已知点在直线上，点在函数的图象上，的最小值为 ． 【答案】 8 【分析】①由可得动点的轨迹是四条直线围成的正方形，求其面积即可；②由题意，结合“曼哈顿距离”定义列出方程，然后构造函数，利用导数求得函数的最值，即可得到结果. 【详解】    设点，由可得， 则动点的轨迹是由直线，，与围成的正方形， 如图所示，则该图形面积为； 设，则， 将看成关于的函数，则在或时，取得最小值， 当时，令，则， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，，此时； 当时，，令， 则，由，解得， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故时，，此时. 综上所述，. 故答案为：①8；②. 直线与圆锥曲线 考点6 1．（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线与抛物线方程，求出的坐标，然后求出直线的方程，进而可求出结果. 【详解】因为两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 所以分别联立直线与抛物线为： ，化简得和. 解得和，所以. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为. 化简得，所以直线 恒过的点是. 故选：D. 2．（2025·四川成都·一模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于，两点，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由得到，由离心率得到，由得到，从而得到椭圆的方程. （2）设，的坐标分别为，，直线与联立方程组，消去，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理得到和的值，计算即可得解. 【详解】（1）由，得， 又离心率，则， 所以椭圆的方程为. （2）设，的坐标分别为，， 由消去，得， ，所以，， 所以 ， 所以的值为. 3．（2025·四川达州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，直线与的斜率和为定值 【分析】（1）利用导数表示出切线斜率，则值可求，则的方程可求； （2）先表示出直线的方程，然后联立抛物线方程可得韦达定理形式，根据坐标运算结合韦达定理可求的值. 【详解】（1）因为，所以，所以， 由题意可知，所以， 所以抛物线的方程为. （2）因为，所以，， 又因为，所以，设， 由题意可知，即， 联立，可得， 所以，且， 所以 ， 所以直线与的斜率和为定值. 4．（2026·四川宜宾·一模）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为､，焦点到渐近线的距离为1.经过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支交于A､B两点（其中点A在x轴上方）. (1)求双曲线的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，记y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）所成的二面角为. （i）如图1，当时，求折叠后的值； （ii）如图2，当时，求折叠后的线段长度的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）由离心率为，可得；由焦点到渐近线的距离为1，可得，再结合，即可得双曲线的标准方程； （2）（i）在折叠前，联立直线与双曲线的标准方程，可求得A､B两点的坐标，恰为弦长；在折叠后，建立空间直角坐标系，确定A､B两点的坐标，即可求出，进而求出折叠后的值. （ii）在折叠前，联立直线与双曲线的标准方程，应用韦达定理可得A､B两点的坐标的关系；在折叠后，建立空间直角坐标系，确定A､B两点的坐标与折叠前坐标的关系，表示出，再研究此函数的值域即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为， 所以，所以， 又因为，所以. 因为右焦点到渐近线的距离为1，取渐近线的方程为， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为 （2）（i）在折叠前（如图），可知左焦点，又，所以直线的方程为.将其代入双曲线方程， 消去整理可得， 设交点，，则，， 分别代入，可得，， 所以，， 所以； 在折叠后（如图1），因为，所以平面 平面，易知原轴正半轴垂直于平面，进而原轴正半轴垂直于原轴，也垂直于原轴负半轴. 以射线方向为轴正方向，原轴负方向为轴正方向，原轴正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，则，所以折叠后. （ii）在折叠前，设直线方程为，联立，消去整理可得， 因为直线与双曲线的左支交于，两点（其中点A在x轴上方）， 所以，, 由韦达定理可知，，所以. 在折叠后（如图2），以射线方向为轴正方向，原轴负方向为轴正方向，过原点作直线垂直于平面，且向上方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 因为，所以，， 所以， 因为，， 所以 设，则，且， 因为对称轴，所以在区间上单调递减， 所以，且无最大值， 所以折叠后的线段长度的取值范围是 5．（2026·四川巴中·一模）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 . (1)求点 的轨迹 ； (2) 、 为轨迹 上不同的两点， ①若直线 斜率存在且过点 ， ，直线 分别与直线 ， 交于点 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. ②若 ，求 的最大值与最小值. 【答案】(1) (2)①是定值；②最大值与最小值分别为: 【分析】（1）根据已知条件列出等式然后进行化简，即可得到轨迹方程. （2）①设直线 ，然后与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出直线 的方程，进而得到，然后化简的表达式，进而得出结果；②设直线 方程: ，设直线 方程: ，分别与椭圆方程联立求出，进而得到的表达式并化简，然后根据函数的单调性求出最值. 【详解】（1）由已知，有: ，化简得: ， 即点 的轨迹 为: 以原点为中心，以 为长半轴，以 2 为短半轴的椭圆. 且椭圆方程为: （2）①由题意，直线 斜率不能为 0 ； 设直线 联立 ，消 得， ， 由于点 在 内部， 恒成立，得: 直线 的方程: ， 令 ， 得:，同理: ， ②若直线 ， 其中一个斜率不存在， 则易知: 直线 斜率均存在，设直线 方程: ， 联立 ，消 得， ，解得: 同理，设直线 方程: ，解得: 则有: ， 所以 设 ， 又 ，由，即，解得； . 令 ， 由复合函数单调性可知， 在 上单调递增，在 上单调递减; ，. 综上所述: 的最大值与最小值分别为: . 6．（2026·四川雅安·一模）已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，. (1)求曲线的方程和抛物线的方程； (2)点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)， (2)；或 【分析】（1）设，利用向量数量积的坐标表示求出曲线，利用抛物线的定义和性质求出抛物线； （2）设切线方程为，切线斜率为，利用圆心到切线的距离结合韦达定理得到，代入弦长，进而得到的面积与的关系式，求最小值即可. 【详解】（1）设， 因为，，所以，， 所以，即， 所以曲线是圆心为，半径为的圆； 抛物线的焦点，准线， 设点，，过作交准线于， 由抛物线的定义可知， 又因为，所以与轴的夹角为， 因为，所以到准线的距离， 所以抛物线. （2）点，则两切线斜率存在， 过作圆的切线，即， 所以，整理得， 设两切线斜率分别为，则，， 所以， 又因为，所以， 因为切线与准线的交点为，， 所以， 又因为点到准线的距离为， 所以， 令，则， 所以， 令，则在上单调递增， 因为，当且仅当，即，时等号成立， 所以，， 所以的面积的最小值为，此时点的坐标为或. 7．（2026·四川巴中·一模）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是定值， (3) 【分析】（1）先求出抛物线方程，再利用斜率转化条件求出坐标，最后进行面积计算； （2）利用斜率转化条件结合抛物线方程得出斜率表达式，进而得出坐标递推关系，进而得出； （3）先求出数列的通项公式，进而得出的通项公式，再通过裂项相消求和，最后进行不等式恒等分析求出实数的取值范围． 【详解】（1）点在抛物线上，则，解得， 抛物线的方程为， ，是斜率相关的，点，， 的方程为， 由，解得或， 设， ， 又 在上， ，解得，则， ， 点到的距离为， 的面积为． （2）根据斜率相关的定义可知，的斜率为， 把，代入得， ，则， ①， 同理可得，，即②， ③， ， 对任意的正整数是定值． （3）由（2）中①②消去得，， 是以为首项，为公差的等差数列， ， 由（2）知， ， ， ， 对单调递增，且对任意的正整数，都有， ， 又， 原式化简为，解得， 实数的取值范围为． 8．（2025·四川凉山·一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据椭圆的蒙日圆半径、离心率列等式求解a、b即可； （2）（ⅰ）设，，求出两条切线的直线方程，设，根据P点在两条切线上列出对应的等式，进一步比较等式的形式及结合A、B在直线AB上可得AB的方程，再据此求出直线AB所过的定点； （ⅱ）设直线AB的方程为，利用弦长公式求出、关于t的表达式，进一步得到关于t的表达式，最后结合对勾函数的图像性质即可证明． 【详解】（1）如图所示， 显然直线，与相切，且相互垂直，则它们的交点在蒙日圆上， 则由题意得，解得，， ． （2）如图所示， 设，，，， 显然抛物线在点A处的切线斜率存在且不为0， 设点A处的切线方程为，则由， 得， 由，得，解得， 在点A处的切线方程为，即， 同理得点B处的切线方程为， 设，由题意得，即直线AB的方程为， 所以，直线AB过定点． （ⅱ）设直线AB的方程为，由得， ，， 从而， 又由得， ，， 从而， （当且仅当时，等号成立）， 令，则， 由对勾函数的图像性质可知在上单调递增， 所以，所以取值范围为． 9．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】（1）由直线与轴的交点，可得，由到渐近线距离可得，据此可得双曲线方程；设为抛物线的焦点，由可得抛物线方程； （2）假设存在常数满足条件，设直线，将与双曲线方程联立，由韦达定理及题设可得，设，将代入抛物线方程，由韦达定理及题设可得，则，据此可得答案. 【详解】（1）因为直线与轴的交点为，所以点的坐标为，半焦距， 又双曲线的渐近线方程为，即，由点到直线的距离公式得到点到其中一条渐近线的距离为，所以，则，又，所以双曲线的方程为 又设为抛物线的焦点，则，如图，已知，为到准线的距离且为垂足，则， 当且仅当三点共线且在之间时等号成立，所以，解得，因为，所以，故抛物线的方程为    （2）假设存在常数满足条件，由（1）知， 设直线， 联立方程得，消去，整理可得， 所以，， ． 因为直线过点且与的左、右两支分别交于，两点，所以两点在轴同侧，所以． 此时，即，所以． 设，将代入抛物线方程，得， 则， 所以 ． 所以． 故当时，为定值，所以，当时，为定值      2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07解析几何 6大考点概览 考点01直线和圆的方程 考点02椭圆 考点03双曲线 考点04抛物线 考点05曲线与方程 考点06直线与圆锥曲线 直线和圆的方程 考点1 1．（2025·四川德阳·一模）点是函数的图象上在轴右侧任意一点，过作直线的垂线，垂足为，过作轴的垂线与的图象交于另一点，则 . 2．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线的焦点为圆心，到直线的距离为半径的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川凉山·一模）已知曲线上存在点与关于直线对称，则r的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·四川达州·一模）已知圆，若过点有且仅有两条直线被圆所截得的弦长为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是 . 6．（2026·四川广安·一模）直线与圆相交于两点，且（为坐标原点），则 ． 7．（2025·四川成都·一模）已知直线与圆相交于，两点，则线段中点的坐标为 . 椭圆 考点2 1．（2026·四川巴中·一模）已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·一模）已知分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川内江·一模）已知P为椭圆上的动点，，且，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·四川雅安·一模）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点为上异于长轴的顶点的一点，则下列说法正确的是（    ） A．当 时，椭圆的离心率为； B．当的面积的最大值为时，椭圆的长轴长的最小值为4； C．已知 ，当点位于第一象限时，四边形的面积的最大值为； D．已知 ，则直线与直线的斜率之积为. 5．（2026·四川遂宁·一模）（多选）已知圆经过椭圆的左、右两个焦点．为的右顶点，为与在轴上方的公共点，且的面积为2，点为上与点不重合的动点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．坐标原点O到直线AB的距离为 C．面积的最大值为 D． 6．（2025·四川成都·一模）已知椭圆：（）的右顶点为，离心率为，左、右焦点分别为、，为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点. (1)求椭圆的方程； (2)求的取值范围. 双曲线 考点3 1．（2026·四川攀枝花·一模）若双曲线的一条渐近线平行于直线，则双曲线的焦距为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（2026·四川雅安·一模）已知方程表示焦点在x轴上的双曲线，则其离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川达州·一模）已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则其离心率为（ ） A． B． C．2 D． 4．（2025·四川眉山·一模）设双曲线的左､右焦点分别为，过的直线与的右支相交于，两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 5．（2026·四川巴中·一模）（多选）已知双曲线 的两条渐近线分别为 为双曲线上一点，则（ ） A．越大，则双曲线的离心率越大 B．过点与双曲线仅有一个交点的直线只有一条 C．点到两渐近线的距离之积为定值 D．过点作双曲线的切线交渐近线于两点，则为的中点 6．（2025·四川成都·一模）（多选）已知点为双曲线右支上一点，分别为其左、右焦点，，为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为，过点作交于点，过点作交于点为坐标原点，则下列结论正确的是（    ） A．的最大值为 B．的内心到轴的距离为 C． D． 7．（2025·四川凉山·一模）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，则 ． 8．（2025·四川德阳·一模）椭圆的长轴顶点是双曲线的焦点且椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是 . 抛物线 考点4 1．（2025·四川成都·一模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，为上一点，若，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 曲线与方程 考点5 1．（2025·四川达州·一模）（多选）已知点为曲线上一动点，，下列说法正确的是（ ） A．曲线关于轴对称 B．曲线与轴有且仅有一个交点 C．为坐标原点， D．以为直径且与轴相切的圆有4个 2．（2026·四川巴中·一模）（多选）中国结是一种传统的民间手工编织工艺品，带有浓厚的中华民族文化特色，它隐藏着复杂、优美、奇妙的曲线．用数学的思维可以将其还原成单纯的二维线条．在平面直角坐标系中，把到两个定点，距离之积等于（）动点轨迹称为双纽线．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称、和谐、简洁、统一美，同时也具有艺术美，是形成其他一些常见漂亮图案的“基石”，也是许多设计者设计作品时采用的主要几何元素．已知点在双纽线上，则下列结论正确的是（    ）． A．双纽线方程： B． C．双纽线上满足的点有两个 D．的最大值为 3．（2025·四川眉山·一模）卡西尼卵形线是由到两个定点（叫做焦点）距离之积为常数的所有点连接形成的图形，设一条卡西尼卵形线方程为，其两焦点直角坐标系坐标为和，动点是上一点，则最小值为 . 4．（2026·四川雅安·一模）在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则   5．（2026·四川广安·一模）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点的“曼哈顿距离”定义为．满足的动点的轨迹围成的图形面积为 ；已知点在直线上，点在函数的图象上，的最小值为 ． 直线与圆锥曲线 考点6 1．（2026·四川巴中·一模）两直线 和 分别与抛物线 相交于不同于原点的 两点， 则直线 恒过的点是（ ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·一模）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为，，且. (1)求椭圆的方程； (2)若直线与相交于，两点，求的值. 3．（2025·四川达州·一模）已知抛物线在点处的切线为，当时，的斜率为． (1)求抛物线的方程； (2)点关于轴对称点为，抛物线的焦点为，过且平行于的直线与抛物线交于两点，直线与的斜率和是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由． 4．（2026·四川宜宾·一模）已知双曲线的离心率为，左､右焦点分别为､，焦点到渐近线的距离为1.经过点且倾斜角为的直线与双曲线的左支交于A､B两点（其中点A在x轴上方）. (1)求双曲线的标准方程； (2)将平面沿x轴折叠，记y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面）所成的二面角为. （i）如图1，当时，求折叠后的值； （ii）如图2，当时，求折叠后的线段长度的取值范围. 5．（2026·四川巴中·一模）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离之比是常数 . (1)求点 的轨迹 ； (2) 、 为轨迹 上不同的两点， ①若直线 斜率存在且过点 ， ，直线 分别与直线 ， 交于点 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. ②若 ，求 的最大值与最小值. 6．（2026·四川雅安·一模）已知曲线上的动点满足，其中，，抛物线的焦点为，点在抛物线的准线上，线段与抛物线交于点，，. (1)求曲线的方程和抛物线的方程； (2)点是抛物线上的动点，过点作曲线的两条切线分别与交于两点，求的面积的最小值及此时点的坐标. 7．（2026·四川巴中·一模）若点，是曲线上相异的两点，且直线的斜率为，则称点，是斜率相关的．已知抛物线：（），点在抛物线上，点与点是斜率相关的，点与点是斜率相关的，其中为常数且，记直线的斜率为． (1)设为坐标原点，若，求的面积． (2)对任意的正整数，是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． (3)设为数列的前项和，若对任意的正整数，都有，求实数的取值范围． 8．（2025·四川凉山·一模）法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何的创始人”，他发现：与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆半径为，离心率为． (1)求椭圆的标准方程． (2)已知点P是抛物线的准线上任意一点，过P作的两条切线PA，PB，其中A，B为切点． （ⅰ）证明：直线AB过定点； （ⅱ）若直线AB与交于C，D两点，记，分别是，的面积，求的取值范围． 9．（2026·四川遂宁·一模）已知双曲线分别是的左、右焦点．在直线上，且到其中一条渐近线的距离为.抛物线：上的一个动点到的距离与点到的准线的距离之和的最小值为. (1)求的方程和的方程； (2)若过的直线与的左、右两支分别交于两点，与交于两点.问是否存在常数，使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07解析几何 考点1 直线和圆的方程 1.4 2.A 3.C 4.B 5.9 6.±1 7.-2,1 考点2 椭圆 1.D 2.B 3.C 4.ABC 5.BCD a=5 6.【详解】(1)设椭圆焦距为F1F2=2c,由题意可得 c=4 a=5 a 5 c=4, a=b2+c2 b=3 所以椭圆C: -=1: 259 (2)由题可设Px,y5<x<51.则由q)+之=1， 25+9 PF1=-4-x,-y,PF2=4-x,-y 所以PF1PF2=-4-X,-yH4-x,-y=x2-16+y2=X2-16+9-9X=16X-7e元 25 Γ25 1/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 F F 考点3 双曲线 1.D 2.C 3.A 4.A 5.ACD 6.ABD 7.2 8.2V2 考点4 抛物线 1.C D 考点5 曲线与方程 1.ABD 2.ABD 3.2 4.83 5.①8：② 考点6 直线与圆锥曲线 1.D 2.【详解】（1D由A,A=2a=4得a=2 2/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 又离心率e=C=3 则c=3,b=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为文+y三L (2)设P,Q的坐标分别为x1,y1,x2,y2, +4y2-4=0消去y,得2-2x-3=0, 由/ 2y=x-1, 0=4+24=28>0,所以x1+x=1,x1x2=号 所以AP·AQ=x+2x+2+y1y,=x,+2x,+2+1.x,1 2 2 70 41_33 6xx+4+x,+4+48, 所以ADAQ都恒为器 3. 【痒D因为X2pmp>0,所以y所以y季 由题意可知y6,=名=1，所以p=2, p 所以抛物线C的方程为x=4y. 又因为F0,1,所以loy=仍x+1,设Bx,y,Dx2,y2: 由题意可知X1≠XA,X2≠XA,即X1≠-m,X2≠-m, 3/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 m 联立y=2 +1 可得x-2mx-4=0' x2=4y 所以x1+x2=2m,x1x2=-4,且△=4m2+16>0, 所以kABtKaD= 度等千星草旺 4=44+44=好-m+x-m X +m x2+m x+m x2+m 4x +m 4x2+m x+x,-2m=2m=2m=0 4 所以直线AB与AD的斜率和为定值O, 4【详解】D因为双曲线C:文1a>0,b>0的离心率为尔2， 所以=2，所以c2=2a3, a 又因为c2=a2+b2,所以a=b. 因为右焦点F2(C,0)到渐近线的距离为1，取渐近线的方程为bx-ay=0, 所以1=bc-c=b,所以a=1, Va+b2 c 所以双曲线C的标准方程为x2-y2=1 (2)(在折叠前（如图），可知左焦点F(-2,0,又0=子所以直线的方程为 y=V3(x+V2).将其代入双曲线方程x2-y2=1, 消去y整理可得2x2+62x+7=0, 设交点Ax,M.Bx,y则X,=-32+1,X=-32-1, 2 2 分别代入y=3(x+2),可得y,=3-6 y=5-6 所以4-32+15要32-1,3要. 2 所以AF,+|BF,=AB=(x1-x}+(y-y2=2+(23=4 4/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 在折叠后（如图1），因为Q=,所以平面AE,F,⊥平面BF,F,易知原y轴正半轴垂直于平 面BF,F2,进而原y轴正半轴垂直于原x轴，也垂直于原y轴负半轴. 以射线OF1方向为x轴正方向，原y轴负方向为y轴正方向，原y轴正方向为z轴正方向，建立空间 直角标系A2空2-103-.B3要+1,3+5o则 A8=3要-13要+0-3-9+3-西-0=丽.所以指流后 2 2 AF1+BF1-|AB=4-13. ()在折叠前，设直线，方程为x=my-2联立y消去x整理可得 x=my-V2 (m2-1)y2-2V2my+1=0 因为直线与双曲线C的左支交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点（其中点A在x轴上方)， 所以y1>0,△=8m2-4(m2-1)>0,y1y2<0 自卡达定可知y+y,-22y,y=<0,所以-1≤㎡-1<0 m2-11 m2-1 在折叠后（如图2），以射线OF,方向为x轴正方向，原y轴负方向为y轴正方向，过原点O作直线 垂直于平面BF,F2,且向上方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系. 因0=号所以A-是B-o以 5/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以AB-x-+y+-o 因为x=my1-2,x2=my2-2, 所以到AB=my-++y+y+是 i(m+1)(y1+y22-(4m2+1)y1y2 &8m(m+1_4m2+1 (m2-1)2m2-1 4m+11m+1 (m2-12 G16 +19+4 (m2-12m2-1 设t1 Fm2-1则AB=16+19t+4,且t≤-1， 因为对称轴t=-9>-1,所以AB2=16t+19+4在区间-0，-1上单调递减， 321 所以AB口mn=1,且无最大值， 所以折叠后的线段AB长度的取值范围是1，+∞ 5.【详解】(1)由已知，有： x-2+y2_2 化简得：+少=1， x-4 2 84 即点C的轨迹E为：以原点为中心，以22为长半轴，以2为短半轴的椭圆. 且椭圆方程为： (2)①由题意，直线MN斜率不能为0： 设直线MN:x=my+1,M(x1,y1,N(x2,y2 联立 x2+2y2-8=0 x=my+1 ,消x得，m2+2y2+2my-7=0, 6/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2m y1+y2=- 由于点P1,0在E内部，△>0恒成立，得： m2+2 > y1y2=- m+2 直线AM的方程：y=,Y5x+22= X,+2V2 my1+1+2V2 x+2V2, 1.指4n,2122.坠%271282 y1 PBPD=yayD y2 1+22 1+22y1y2 my2+1+2V2 m2y1y2+1+2V2my1+y2+1+2V2 ②若直线OM,ON其中一个斜率不存在， 则易知： 1,11,1_2+2 OM ON 22 2 4 直线OM,ON斜率均存在，设直线OM方程：y=kx,MX1,y1, 2V2 联立 x+2y2-8=0 y=kx ,消y得，2k2+1x=8,解得：XF2K2+i 同理，设直线ON方程y=一x,NX少，解得：X+2 292k) OW-O- 2k2+1 Vk2+2 1 所以 +1=1+2kK+K2+2-3 oM2'OW2-81+k2'81+k28 1V6 设OM4 s0,0-5na, 又owE2豆，号os6:要w8-2e5,9 2 7/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 20 0 1 1 6 OMON 4 cos0+sin)=6 1-tan 2 2tan 1+tan20 1+ta 20 4 t+1+ 122s,6到 4 由复合函数单调性可知，ft)在3-2，V2-1上单调递增，在 -16:2 上单调 递减； 1-f-1-1i=m73-2,1小62到2 +2 4 OM+1ON的最大值与最小值分别为： 1 1 综上所述： 32+2 2’4 6.【详解】(1)设Qx,y, 因为A-1,0,B1,0,所以AQ=x+1,y,BQ=x-1,y, 所以AQ·BQ=x+1)x-1+y2=0,即x2+y2=1, 所以曲线C是圆心为0,0，半径为1的圆： 8/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 抛物线E:y2=2pxp>0)的焦点F 号.0，准线1：x=号 设点M号，m,NXy过N作NN,11交准线于N 由抛物线的定文可知NFNN,=x+号， 又因为MN=2NF=2NN1,所以MF与x轴的夹角为45°， 因为MF=2√2，所以F到准线的距离p= MF=2, 2 所以抛物线E:y2=4x. (2)点Pxo,yox>1,则两切线斜率存在， 过P作圆C:x2+y2=1的切线y-y0=kx-xo,即kx-y-kx+yo=0, 所以 kx+y0=1,整理得X-1k2-2xyk+y-1=0. k2+1 设两切线斜率分别为k1,k2,则k1+k2= 2Xoy y-1 x-1 k1k2 x-1 9/16 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以k1-k2=k+k22-4kk2= 4xoyo 4y-12y+x-1 X名-1(x号-1 x-1 又因为y6=4x,所以k1-k2= 24x+x0-1 x-1 因为切线与准线x=-1的交点为S-1,y0-kx+1儿，T-1,y0-k2xo+1, 所以ST=k-k2xo+1, 又因为点P到准线x=-1的距离为X。+1, 所以5am=k-kX+1-X+14x,+分 x0-1 令=-1>0，则Sa阿+22+6+4 +2t464_t4464-4+lk-6+} t2 令=+号则S灯=u+4u+6型0+四l上单调道指。 4 因为u=+≥21×4=4，当且仅当=即=2，义，=3时等号成立， t 所以Ssr≥8×10=80，SAsr≥80=45， 所以△PST的面积的最小值为45，此时点P的坐标为3,23或3，-2V3. 7.【详解】(1)点P1-2,1在抛物线C:x2=2py上，则-2？=2p,解得p=2, ∴.抛物线C的方程为x2=4y, ,P1,Q1是Ck斜率相关的，点P1-2,1,k=1, ∴.P1Q1的方程为y=X+3, 由 x=4y 解得x=-2或x=6, y=x+3 10/16