7.2.3·同角三角函数的基本关系式【8个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.2.3·同角三角函数的基本关系式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正弦余弦正切知一求二】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式 平方关系 商数关系（） 2.本质已知中任意一个可通过上述两式求出另外两个 3.符号判断根据角所在象限确定的正负 解题思路 1.已知 用平方关系开方得 根据角的象限确定的符号 再用商数关系求 2.已知 用平方关系开方得 根据角的象限确定的符号 再用商数关系求 3.已知 利用得 代入平方关系解出 开方求再求注意符号 （24-25高一·全国·随堂练习）解下列各题：经典例题1例题 (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）（2）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可求得所求值； （3）利用同角三角函数的平方关系与商数关系可得出关于、的方程组，结合角的终边位置可求得结果. 【详解】（1）解：因为，且为第一象限角，则， 且，. （2）解：因为，且为第三象限角，则， 且，. （3）解：因为，且为第二象限角，则，， 由同角三角函数的基本关系可得，解得，. （24-25高一·全国·随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；经典例题2例题 （2）已知，在第二象限，求，的值； （3）已知，求，的值； （4）已知，求，的值． 【答案】见解析 【分析】利用同角三角函数的基本关系代值计算即可. 【详解】（1），在第四象限， ； （2），在第二象限， ； （3）， ， 当为第二象限角时，， 当为第四象限角时，， （4）， 当为第一象限角时，，， 当为第四象限角时，时，． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_____________，_____________．小试牛刀1 【答案】 / 【分析】根据任意角的正余弦函数公式及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】因为为的终边上的一点，， 所以，解得， 又因为为第二象限角，所以，即， 所以，， 故答案为：；. （25-26高三上·贵州安顺·期末）已知角，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的基本关系进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 故选：D （25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同角三角函数关系求解即可. 【详解】因为，， 所以， 所以 故选：A 【题型2：利用平方关系求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具 2.常见形式已知或代入平方关系得到关于参数的方程 解题思路 1.将含参数的或代入平方关系 2.得到关于参数的方程解方程 3.检验解是否满足三角函数的有界性（）及角的范围 （2025高一上·江苏·专题练习）已知，，其中，则的值为______.经典例题1例题 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系列方程，结合的范围即可求出答案. 【详解】因为，所以， 解得或， 因为，所以，， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，，符合题意. 综上，. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知，则______．经典例题2例题 【答案】 【分析】通过方程组求出关于和的表达式，再利用同角三角函数的平方关系构建方程，最后求解方程得到的值，并舍去不符合条件的值. 【详解】由条件可得，， 代入得， 整理得，即， 解得或（舍去），所以． 故答案为：. （24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据题设，将两式相加可得，进而解方程即可求解. 【详解】由，， 则， 则，解得（舍去）或， 所以实数t所有可能值的和为1. 故选：C. （24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则________．小试牛刀2 【答案】或 【分析】利用平方关系列方程求参数，再由参数值求对应正弦值. 【详解】由，可得或， 当时，，，故 ； 当时， ， ，故 . 故答案为：或 （24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是________．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据平方关系及条件可得，解得计算可得. 【详解】因为 ， ∴，又，∴， 即的取值范围是． 故答案为： 【题型3：sina+cosa与sina·cosa的关系】 【练方法】 知识梳理 1.核心恒等式 2.三者关系已知、、中任意一个可求另外两个 解题思路 1.已知 平方得解出 再求开方得符号由角的象限决定 2.已知 平方得解出 再求开方得符号由角的象限决定 （25-26高一下·全国·月考）已知，，求的值．经典例题1例题 【答案】答案见解析 【分析】两边平方，化简得，从而化简，即可得，联立方程组得到，进而得. 【详解】， ， ． ， ， ，且， ， ， 由，得， 所以， 综上，，，，. 【多选题】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，且，下列判断正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】对A，两边同平方即可判断；对B，根据和即可判断；对C，利用完全平方式的变形即可判断；对D，联立方程组即可判断. 【详解】对A，因为，两边平方得：，A错误； 对B，因，且，所以，B正确； 对C，因为，所以，，所以， 因为，，则，即：，故C正确； 对D，联立：及，解得：，，故D错误. 故选：BC． （25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，其中.小试牛刀1 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）平方结合同角三角函数关系计算，再应用角的范围得出三角函数值正负求解； （2）应用（1）列式计算得出正切值. 【详解】（1）因为，平方得， 所以， 又因为，，所以， 又因为， 所以 （2）由 得， 所以. 【多选题】（25-26高一上·福建三明·月考）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】A选项，将两边平方可求得；由A选项结合正弦函数的符号先判断出C，得到，，结合，的关系先求出D选项，然后结合题设条件算出分别的取值，然后判断B选项. 【详解】A选项，两边同时平方可得，， 即，则，A选项正确； C选项，由于，则， 又，则，则，C选项正确； D选项，，即， 结合上面分析可知，，，则， 于是，D选项正确； B选项，结合D选项， 联立可得， 则，B选项错误. 故选：ACD （25-26高一上·福建龙岩·月考）在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ）小试牛刀3 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平方关系可得，结合三角函数值的符号分析判断即可. 【详解】由，两边平方，， ， 又因，则，故， 可知角A为钝角，故三角形为钝角三角形. 故选：C. 【B·能力提升题型】 【题型1：正余弦的齐次式（弦化切）】 【练方法】 知识梳理 1.齐次式定义分子、分母中的次数相同的代数式 2.核心方法弦化切将齐次式的分子、分母同除以（为次数）转化为关于的代数式 3.常见形式、 解题思路 1.分式型齐次式 分子、分母同除以（一次）或（二次） 转化为代入的值计算 2.整式型齐次式 分母视为构造分式 分子、分母同除以转化为代入的值计算 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，计算：经典例题1例题 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的性质和运算法则，结合已知条件化简表达式求解； （2）利用同角三角函数的性质和运算法则，结合已知条件化简表达式求解． 【详解】（1），， ． （2），， ． （25-26高一上·广东深圳·期末）若，则的值为______.经典例题2例题 【答案】2 【分析】利用弦化切的方法化简求值. 【详解】根据题意，， 则. 故答案为：2 （25-26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足.小试牛刀1 (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）由同角三角函数的平方关系结合可求出答案； （2）由题意可得，求出，再对所求式同时除以，代入化简即可. 【详解】（1），即，又， 故，， 又，故，； （2）角的终边与角的终边关于轴对称，则，， ，， 故. （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题设结合平方关系求得，再得到，进而求解； （2）先根据题设结合齐次式求得，进而求解即可. 【详解】（1）由，则， 即，又，则， 所以，则， 所以. （2）由，即， 则. 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则下列正确的是（     ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用三角函数的基本关系式，化为齐次式，求得，结合选项，结合三角函数的基本关系式和“齐次式”的运算，即可求解. 【详解】由，可得， 对于A，由，所以A正确； 对于B，由， 所以，所以B不正确； 对于C，由 ，所以C正确； 对于D，由 ，所以D正确. 故选：ACD. 【题型2：由同角公式化简求值】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具平方关系、商数关系、的代换 2.化简目标将复杂的三角式化为最简形式（常数或关于的代数式） 解题思路 1.观察式子结构优先使用“1的代换”（）或“弦化切” 2.利用平方关系降次利用商数关系统一为正切 3.代入已知条件（如的值）计算结果 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简下列各式：经典例题1例题 (1); (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）利用平方关系化简即可； （2）利用商数关系化简即可. 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （25-26高一下·全国·课堂例题）化简．经典例题2例题 【答案】 【分析】切化弦后，结合平方关系化简. 【详解】原式 ． （25-26高一下·全国·课后作业）化简：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （2）利用同角三角函数的基本关系进行化简； （3）利用同角三角函数的基本关系进行化简； 【详解】（1）原式 ． （2）原式． （3）原式 . （25-26高一上·安徽六安·期末）已知为锐角，化简：______.小试牛刀2 【答案】 【分析】根据同角三角函数的关系式进行化简即可. 【详解】因为为锐角，所以， 所以. 故答案为：. （25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式：小试牛刀3 (1) (2)，其中为第二象限角 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式化简为完全平方式，再根据同角三角函数的基本关系和角的取值范围，即可化简求出原式的值． （2）根据同角三角函数的基本关系和完全平方式，原式化简可以得到，又因为为第二象限角，可以求出的取值范围，即可得到所求结果． 【详解】（1）原式； （2）因为为第二象限角，所以， 原式. 【题型3：由同角公式证明恒等式】 【练方法】 知识梳理 1.证明原则由繁到简或左右归一 2.核心方法利用平方关系、商数关系进行等价变形 解题思路 1.从复杂的一边开始利用同角公式逐步化简直至等于另一边 2.或分别将左右两边化简为同一个表达式 3.注意证明过程中每一步变形都必须是等价的 （25-26高一下·全国·月考）求证：经典例题1例题 (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）从左向右证明，利用代换后进行弦化切证明即可； （2）将两边切化弦，计算得到左边，右边，即可求证. 【详解】（1）左边 右边．故原式成立． （2）因为左边 右边，左边＝右边，所以原式成立． （25-26高一上·全国·课后作业）求证：经典例题2例题 (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用作差法直接证明即可； （2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证. 【详解】（1）因为 ， 所以. （2）因为左边 右边， 所以原等式成立. （2025高三·全国·专题练习）求证：.小试牛刀1 【答案】证明见解析 【分析】从左向右证，先对左边分母中的1进行常值代换，然后再化弦为切即可得证. 【详解】左边 右边. ∴原等式成立. （24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：；小试牛刀2 （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以，结合同角三角函数的基本关系化简可证得所求不等式成立； （2）设，，则，，由已知等式化简得出，然后代入所证不等式证明即可. 【详解】（1）右边 左边， 故原等式成立； （2）设，，则，， 由，得，即． 所以，故． （24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：.小试牛刀3 （2）求证：. 【答案】（1）2；（2）证明见解析 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简求值；（2）利用同角三角函数的基本关系化简证明. 【详解】（1）原式 . （2）左边 右边. 所以原等式成立. 【C·拓展培优题型】 【题型1：利用同角公式“1”的代换】 【练方法】 知识梳理 1.核心代换等 2.应用场景齐次式、三角恒等变形、不等式证明 解题思路 1.识别需要“1”的代换的场景（如整式型齐次式、缺常数项的式子） 2.将“1”替换为构造齐次式 3.再用“弦化切”或其他公式进行化简或证明 （25-26高一上·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ）经典例题1例题 A．16 B．12 C．8 D．5 【答案】C 【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得． 【详解】因为，则， 因为， 可得 ， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值是8. 故选：C． （2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据题意分别求出，再根据同角三角函数的平方关系求出、的关系，再利用基本不等式即可得解. 【详解】因为三个锐角满足 所以， 则， ∴ 所以， 整理得， 即 解得或 又，于是， 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故选：D. （24-25高一上·云南昭通·月考）函数（a，b均为正数）的最小值为_____．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用基本不等式求最小值． 【详解】由题意，又， ∴ ，当且仅当，即时等号成立， 所以所求最小值为． 故答案为： （23-24高一上·山东济宁·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为___________．小试牛刀2 【答案】 【分析】借助同角三角函数基本关系及基本不等式，可求得的最小值，即可得实数m的取值范围. 【详解】由，则， 由， 则 ， 当且仅当时等号成立, 故， 不等式恒成立， 即. 故答案为：. （24-25高一上·湖北武汉·期末）已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．4 C．8 D．9 【答案】D 【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案. 【详解】由对任意的实数均成立， 可得. ，当且仅当，即时取等号.则. 故选：D 【题型2：同角公式的综合应用】 （25-26高一上·四川成都·期末）如图，，是两条互相平行的直线，点M，N分别在，上，，点P在线段上，且．点A，B分别在，上，且，设．经典例题1例题 (1)若为等腰直角三角形，求的值． (2)设的面积为S． （i）求S关于的函数解析式； （ii）求S的最小值，并求S取得最小值时的值． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）最小值为4，． 【分析】（1）过点B作，垂足为C，则，再利用三角函数表示出，结合，可得，进而可得； （2）（i）由（1）可知，，再根据即可求解； （ii）根据基本不等式可得即可得到S的最小值，再结合取等条件即可． 【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，所以． 过点B作，垂足为C，则． 因为，所以，． 由，得，则； （2）（i）因为，所以． 由（1）可知，，则． （ii）因为，所以， 当且仅当时，等号成立，则， 由，，可得， 故S的最小值为4，此时． （23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________．经典例题2例题 【答案】/ 【分析】直角三角形的两条直角边分别为，可得小正方形的边长为，利用同角三角函数基本关系即可求解. 【详解】直角三角形中较小的内角为，斜边为1， 则直角三角形的两条直角边分别为， 所以小正方形的边长为，即， 也即，可得， 因， 因为锐角，则. 故答案为：. （25-26高三上·山东淄博·期末）已知且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用平方关系可得，进而可得，即可求解. 【详解】因为，则①， 又，则②， 由①②得，即， 又，所以，又，则， 所以，解得，所以， 故选：B. 【多选题】（25-26高一上·重庆江北·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】结合勾股定理，求出直角三角形的直角边的长度，再逐项验证即可. 【详解】如图： 设，依题意，，解得， 因此，， 对于A，每个直角三角形的面积为：，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD （24-25高一下·河南·月考）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与．小试牛刀3 (1)若的面积为2，求的值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）由题意求出与，根据的面积为2，结合三角函数同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）结合（1）可表示出，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】（1）由题意得为锐角，故P在第一象限，则，在x，y轴正半轴上， 由题意可知，故，故， ，故，则， 由的面积为2，得，即． 所以， 又，故， 即，解得； （2）由题意是锐角，则，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为16． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】把已知式平方后求得，然后解方程组得，从而可得. 【详解】将等式，① 两边平方，得到， 整理得，即， 所以，则得，② 联立①和②，解得，， 故． 故选：A. 2．（25-26高一上·云南大理·期末）若，则（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用弦化切的方法得，代入即可得解. 【详解】. 故选：C. 3．（25-26高三上·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定等式两边平方，结合同角公式转化为关于的方程求解. 【详解】由，两边平方得， 整理得，即， 由，得，所以. 故选：A 4．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方关系得到，即可得解. 【详解】， ，， 又， . 故选：D． 5．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用平方关系求，再利用商数关系求出即可. 【详解】因为是第一象限角，余弦值为正数， 所以， 则 . 故选：B. 6．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】根据，将原式乘以，进行化简后，利用基本不等式的性质求出最小值即可. 【详解】因为，所以 ， 因为，所以， 所以根据基本不等式的性质可得， 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为. 故选：C. 7．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同角的三角函数关系式，首先切化弦，然后利用平方关系化简，可得答案. 【详解】由， 则，整理得， 所以， 则， 即. 故选：C 二、多选题 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】对于A，求得，结合，可得，即可判断A；对于B，求得，结合，可得，即可判断B；对于C，由A，B可得，由商数关系可得，即可判断C；由C即可判断D. 【详解】解：对于A，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故A正确； 对于B，因为 ， 又因为， 所以， 所以，故B正确； 对于C，由A，B可得， 所以，故C正确； 对于D，由C可知，故D错误. 故选：ABC. 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）若，且，则可能是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】BC 【分析】由得，根据求解即可. 【详解】由，得， 所以，故是第二、三象限角． 故选：BC 三、填空题 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 【答案】/ 【分析】根据同角三角函数的关系直接计算即可． 【详解】角为第一象限角，， ． 故答案为：． 11．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系建立方程组，求出，进而求出即可. 【详解】因为，所以， 联立， 解得（负根舍去），则. 故答案为： 12．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，则___________． 【答案】 【分析】根据齐次式方程化简计算即可求解. 【详解】 故答案为：. 13．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知为第二象限角，且，则的值为__________． 【答案】/ 【分析】先化简原式，可得，即可根据同角关系求解. 【详解】， 由于为第二象限角，故， 则， 故，则，得， 因为，所以， 因为，所以. 故答案为： 14．（25-26高一上·河南·月考）已知 ，且 ，则 _____. 【答案】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为 ，所以， 所以 ， 所以 ， 故答案为： 15．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则的最小值为_____. 【答案】/ 【分析】首先将3变换为，再转化为正切，化简求最值. 【详解】， 等号成立时，所以原式的最小值为. 故答案为： 16．（25-26高一上·山西忻州·期末）若，，则______.（用含的式子表示） 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再代入求值. 【详解】由，，得， 所以. 故答案为： 四、解答题 17．（浙江强基联盟2025-2026学年高一下学期3月联考数学试题）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】利用定义和齐次式化简求解. 【详解】（1）． （2）. 18．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知． (1)求的值； (2)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）弦化切即可得到方程，解出即可； （2）设点，根据正切函数定义和得到方程组，解出即可. 【详解】（1）因为，且， 所以，解得． （2）设点，则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 19．（25-26高一上·福建三明·月考）（1）已知在第四象限，求，的值； （2）已知，求下列式子的值：①；②. 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据象限角的符号和同角三角函数的关系求解； （2）利用齐次化的处理方法求解. 【详解】（1）由于在第四象限，则， 于是，； （2）， . 20．（25-26高一上·广东中山·月考）（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简 （ii）若，求的值. 【答案】（1）；（2）①答案见解析；②（i）；（ii） 【分析】（1）根据正弦余弦的关系结合平方关系代入可求答案； （2）①把平方可得，结合角的范围和可求；②（i）利用平方关系，去掉根号可化简；（ii）由已知求出，结合角的范围和可求. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以，即， 所以. （2）①因为，所以； 因为，所以，所以. 而，所以. ②（i）为第二象限角，则. . （ii）因为， 所以，因为为第二象限角，所以. 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.2.3·同角三角函数的基本关系式】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：正弦余弦正切知一求二】 【练方法】 知识梳理 1.核心公式 平方关系 商数关系（） 2.本质已知中任意一个可通过上述两式求出另外两个 3.符号判断根据角所在象限确定的正负 解题思路 1.已知 用平方关系开方得 根据角的象限确定的符号 再用商数关系求 2.已知 用平方关系开方得 根据角的象限确定的符号 再用商数关系求 3.已知 利用得 代入平方关系解出 开方求再求注意符号 （24-25高一·全国·随堂练习）解下列各题：经典例题1例题 (1)已知，且为第一象限角，求和的值． (2)已知，且为第三象限角，求和的值． (3)已知，且为第二象限角，求和的值． （24-25高一·全国·随堂练习）（1）已知，在第四象限，求，的值；经典例题2例题 （2）已知，在第二象限，求，的值； （3）已知，求，的值； （4）已知，求，的值． （25-26高一下·全国·课堂例题）已知角的终边上一点坐标为，且为第二象限角，，则_____________，_____________．小试牛刀1 （25-26高三上·贵州安顺·期末）已知角，若，则（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高三上·山西太原·期末）已知，，则（    ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：利用平方关系求参数】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具 2.常见形式已知或代入平方关系得到关于参数的方程 解题思路 1.将含参数的或代入平方关系 2.得到关于参数的方程解方程 3.检验解是否满足三角函数的有界性（）及角的范围 （2025高一上·江苏·专题练习）已知，，其中，则的值为______.经典例题1例题 （2025高三·全国·专题练习）已知，则______．经典例题2例题 （24-25高一下·四川成都·期中）已知是两个锐角，且满足，则实数t所有可能值的和为（    ）小试牛刀1 A． B． C．1 D． （24-25高一上·全国·课后作业）已知，，则________．小试牛刀2 （24-25高一·上海·随堂练习）若，且，则的取值范围是________．小试牛刀3 【题型3：sina+cosa与sina·cosa的关系】 【练方法】 知识梳理 1.核心恒等式 2.三者关系已知、、中任意一个可求另外两个 解题思路 1.已知 平方得解出 再求开方得符号由角的象限决定 2.已知 平方得解出 再求开方得符号由角的象限决定 （25-26高一下·全国·月考）已知，，求的值．经典例题1例题 【多选题】（25-26高一上·云南昭通·期末）已知，且，下列判断正确的是（   ）经典例题2例题 A． B． C． D． （25-26高一上·江苏连云港·期末）已知，其中.小试牛刀1 (1)求的值； (2)求的值. 【多选题】（25-26高一上·福建三明·月考）已知，，则下列等式正确的是（   ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·福建龙岩·月考）在中，若为最大内角，且，则三角形为（   ）小试牛刀3 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【B·能力提升题型】 【题型1：正余弦的齐次式（弦化切）】 【练方法】 知识梳理 1.齐次式定义分子、分母中的次数相同的代数式 2.核心方法弦化切将齐次式的分子、分母同除以（为次数）转化为关于的代数式 3.常见形式、 解题思路 1.分式型齐次式 分子、分母同除以（一次）或（二次） 转化为代入的值计算 2.整式型齐次式 分母视为构造分式 分子、分母同除以转化为代入的值计算 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知，计算：经典例题1例题 (1)； (2)． （25-26高一上·广东深圳·期末）若，则的值为______.经典例题2例题 （25-26高一上·河北石家庄·期末）已知角满足.小试牛刀1 (1)若，求，的值； (2)若角的终边与角的终边关于x轴对称，求的值. （25-26高一上·江苏无锡·期末）已知函数.小试牛刀2 (1)若，且，求和的值； (2)若，求的值. 【多选题】（25-26高一上·江苏盐城·期末）已知，则下列正确的是（     ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型2：由同角公式化简求值】 【练方法】 知识梳理 1.核心工具平方关系、商数关系、的代换 2.化简目标将复杂的三角式化为最简形式（常数或关于的代数式） 解题思路 1.观察式子结构优先使用“1的代换”（）或“弦化切” 2.利用平方关系降次利用商数关系统一为正切 3.代入已知条件（如的值）计算结果 （25-26高一下·全国·课堂例题）化简下列各式：经典例题1例题 (1); (2)． （25-26高一下·全国·课堂例题）化简．经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课后作业）化简：小试牛刀1 (1)； (2)； (3)． （25-26高一上·安徽六安·期末）已知为锐角，化简：______.小试牛刀2 （25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）化简下列各式：小试牛刀3 (1) (2)，其中为第二象限角 【题型3：由同角公式证明恒等式】 【练方法】 知识梳理 1.证明原则由繁到简或左右归一 2.核心方法利用平方关系、商数关系进行等价变形 解题思路 1.从复杂的一边开始利用同角公式逐步化简直至等于另一边 2.或分别将左右两边化简为同一个表达式 3.注意证明过程中每一步变形都必须是等价的 （25-26高一下·全国·月考）求证：经典例题1例题 (1)； (2)． （25-26高一上·全国·课后作业）求证：经典例题2例题 (1)； (2)． （2025高三·全国·专题练习）求证：.小试牛刀1 （24-25高一下·全国·课后作业）（1）求证：；小试牛刀2 （2）已知，求证：． （24-25高一上·全国·课前预习）（1）化简：.小试牛刀3 （2）求证：. 【C·拓展培优题型】 【题型1：利用同角公式“1”的代换】 【练方法】 知识梳理 1.核心代换等 2.应用场景齐次式、三角恒等变形、不等式证明 解题思路 1.识别需要“1”的代换的场景（如整式型齐次式、缺常数项的式子） 2.将“1”替换为构造齐次式 3.再用“弦化切”或其他公式进行化简或证明 （25-26高一上·江苏·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（   ）经典例题1例题 A．16 B．12 C．8 D．5 （2024·河南南阳·一模）已知三个锐角满足，则的最大值是（    ）经典例题2例题 A． B． C． D． （24-25高一上·云南昭通·月考）函数（a，b均为正数）的最小值为_____．小试牛刀1 （23-24高一上·山东济宁·月考）若对任意的，不等式恒成立，则实数m的取值范围为___________．小试牛刀2 （24-25高一上·湖北武汉·期末）已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（    ）小试牛刀3 A．1 B．4 C．8 D．9 【题型2：同角公式的综合应用】 （25-26高一上·四川成都·期末）如图，，是两条互相平行的直线，点M，N分别在，上，，点P在线段上，且．点A，B分别在，上，且，设．经典例题1例题 (1)若为等腰直角三角形，求的值． (2)设的面积为S． （i）求S关于的函数解析式； （ii）求S的最小值，并求S取得最小值时的值． （23-24高一上·福建南平·期末）如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若直角三角形中较小的内角为，大正方形的面积为1，小正方形的面积是，则___________．经典例题2例题 （25-26高三上·山东淄博·期末）已知且，则（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高一上·重庆江北·月考）《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形.图中直角三角形两锐角分别为、，其中小正方形的面积为4，大正方形面积为9，则下列说法正确的是（   ）小试牛刀2 A．每一个直角三角形的面积为 B． C． D． （24-25高一下·河南·月考）如图，在平面直角坐标系中，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆（圆心在原点，半径为1）交于点P．过点P作圆O的切线，分别交x轴、y轴于点与．小试牛刀3 (1)若的面积为2，求的值； (2)求的最小值． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．（25-26高一上·云南大理·期末）若，则（   ） A． B． C．3 D． 3．（25-26高三上·河南周口·期末）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州贵阳·期末）若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·宁夏固原·月考）若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·重庆·月考）若 ，则 的最小值是（    ） A． B．4 C． D．3 7．（25-26高一上·北京朝阳·月考）已知，则下列式子成立的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）若，且，则可能是（   ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 三、填空题 10．（24-25高一下·上海宝山·期中）角为第一象限角，，则___________ 11．（25-26高一上·陕西渭南·期末）已知，，则_______ 12．（25-26高一上·山西太原·期末）已知，则___________． 13．（25-26高一上·江苏连云港·月考）已知为第二象限角，且，则的值为__________． 14．（25-26高一上·河南·月考）已知 ，且 ，则 _____. 15．（2025高三·全国·专题练习）已知且，则的最小值为_____. 16．（25-26高一上·山西忻州·期末）若，，则______.（用含的式子表示） 四、解答题 17．（浙江强基联盟2025-2026学年高一下学期3月联考数学试题）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上有一点， (1)求的值； (2)求的值. 18．（25-26高一上·山东烟台·期末）已知． (1)求的值； (2)已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若点为角终边上一点，且，求点的坐标． 19．（25-26高一上·福建三明·月考）（1）已知在第四象限，求，的值； （2）已知，求下列式子的值：①；②. 20．（25-26高一上·广东中山·月考）（1）已知，求和的值； （2）从以下两问任选一问作答，其中选①满分为5分，选②满分7分，若两问都作答则只计第①问得分 ①已知且，求和的值. ②已知为第二象限角. （i）化简 （ii）若，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $