7.1·任意角的概念与弧度制【10个题型归纳】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.1·任意角的概念与弧度制】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：象限角与轴线角的判定】 【练方法】 知识梳理 1.象限角：角的终边落在第几象限，就叫第几象限角 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2.轴线角：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限 x轴正半轴： x轴负半轴： y轴正半轴： y轴负半轴： 解题思路 1.先将角化为（）的形式 2.看的终边位置： 落在象限内→对应象限角 落在坐标轴上→对应轴线角 3.若角为负角，先加的整数倍，化为正角再判断 （25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知角，则角为（    ）经典例题1例题 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【多选题】（25-26高一下·全国·单元测试）若，则在（   ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【多选题】（25-26高一上·贵州毕节·期末）下列说法中，正确的是（   ）小试牛刀1 A．是第三象限角 B．时间经过2个小时，分针转了 C．三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角 D．若角与角的终边在一条直线上，则 （2025高一上·湖北武汉·专题练习）下列选项正确的是（    ）小试牛刀2 A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 （24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列说法正确的是：（    ）小试牛刀3 A．终边在轴上的角的集合为 B．第三象限角的集合为 C．第二象限角大于第一象限角 D．角与角是终边相同角 【题型2：终边角的集合表示】 【练方法】 知识梳理 1.终边相同的角：所有与角终边相同的角，可表示为 2.集合形式： 3.注意：终边相同的角不一定相等，相差的整数倍 解题思路 1.写出与已知角终边相同的角的一般形式： 2.若要求特定范围内的角，令取整数，筛选出符合范围的角 3.若已知终边位置（如第一象限角平分线），先写出该位置的一个角，再套终边相同的角的形式 （25-26高一下·全国·课堂例题）与终边相同的角表示为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·课堂例题）在内与角终边相同的角是_____________.经典例题2例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知.小试牛刀1 (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. （25-26高一上·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·云南楚雄·期末）与角的终边相同的最小正角是（    ）小试牛刀3 A．45° B．135° C．225° D．2025° 【题型3：角度制与弧度制的转化】 【练方法】知识梳理 1.换算关系： 2.角度转弧度： 3.弧度转角度： 4.常用值：，，，，， 解题思路 1.角度转弧度：乘以，化简为最简分数形式 2.弧度转角度：乘以，得到角度值 3.注意：弧度制下“rad”可省略，角度制下“°”不可省略 （25-26高一下·全国·单元测试）将改写成的形式是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一下·全国·月考）请将下列各角在角度和弧度之间互化：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4)． （25-26高一上·河南洛阳·月考）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限：小试牛刀1 (1)； (2)； (3). （2023高一·江苏·专题练习）将下列各弧度化成角度.小试牛刀2 (1) (2) (3) (4)-3 （2023高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【题型4：扇形公式的直接应用】 【练方法】 知识梳理 1.弧长公式：（为圆心角弧度，为半径） 2.面积公式： 3.核心关系：已知中任意两个，可求另外两个 解题思路 1.明确已知量：弧长、圆心角、半径、面积 2.选择对应公式： 已知：先算，再算 已知：先算，再算 已知：先算，再算 3.注意：圆心角必须用弧度制代入公式 （24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________.经典例题1例题 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________．经典例题2例题 （25-26高一上·湖北武汉·期末）一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D．1 （25-26高一下·全国·单元测试）已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为______cm，面积为______．小试牛刀2 （25-26高一上·江苏无锡·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【B·能力提升题型】 【题型1：区域角的表示】 【练方法】 知识梳理 1.区域角：终边落在某一平面区域内的角的集合 2.表示方法：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区间，最后加 3.常见区域：两射线之间的角、象限角的一半/两倍等 解题思路 1.画出区域边界，确定边界角的弧度值 2.按逆时针方向，写出区间 3.加上，得到区域角的集合表示： 4.若区域包含边界，将“<”改为“≤” （25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求.经典例题1例题 （25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；经典例题2例题 （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. （24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________.小试牛刀1 （24-25高一下·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来；小试牛刀2 （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． （25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ）小试牛刀3 A．或 B．或 C． D． 【题型2：扇形周长与面积的最值表示】 【练方法】 知识梳理 1.扇形周长： 2.扇形面积： 3.核心：将或表示为单变量函数（或），用基本不等式或函数单调性求最值 解题思路 1.设变量：设半径、圆心角，根据已知条件建立与的关系 2.表示目标：将周长或面积表示为单变量函数 3.求最值： 用基本不等式：如，结合，用均值不等式 用函数单调性：求导或配方，找极值点 4.验证：验证等号成立条件是否符合扇形的几何约束（） （25-26高一上·广东深圳·期末）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 （25-26高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ）经典例题2例题 A． B． C．2 D．1 （25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.小试牛刀1 (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【多选题】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 （2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．小试牛刀3 (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【题型3：弧度制下的旋转问题】 【练方法】 知识梳理 1.旋转的本质：角的终边绕原点旋转，每次旋转，角的大小增加 2.多次旋转：次旋转后，角的大小为 3.终边位置：旋转后终边位置由的终边决定 解题思路 1.写出初始角和每次旋转的角度 2.计算次旋转后的角： 3.将化为（）的形式，判断终边位置 4.若求多次旋转后终边首次落在某区域，解不等式，求最小正整数 （25-26高一上·福建厦门·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，已知大轮6秒转动一周，小轮1秒转动的角度大小是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.经典例题2例题    （25-26高一上·河北廊坊·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是______.小试牛刀1 （25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． （25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型4：含参数的终边相同的角的问题】 【练方法】 知识梳理 1.终边相同的角： 2.含参数：或中含有参数，需根据参数范围确定角的终边位置 3.核心：根据参数范围，筛选出符合条件的，确定终边相同的角的集合 解题思路 1.写出终边相同的角的一般形式： 2.根据参数的范围，确定的范围 3.筛选，使落在指定范围或终边落在指定区域 4.整理得到含参数的终边相同的角的集合 【多选题】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一下·上海普陀·月考）已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为___________.经典例题2例题 （24-25高一·全国·课后作业）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． （2025高三·全国·专题练习）已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝_________小试牛刀2 （2024高三·江西·专题练习）若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．小试牛刀3 【C·拓展培优题型】 【题型1：新定义角的运算与集合运算】 【练方法】 知识梳理 1.新定义运算：题目给出新的角运算（如“角的加法”“角的乘法”），需按定义进行运算 2.集合运算：角的集合的交、并、补运算，本质是区间的交、并、补 3.核心：严格按新定义运算，将角的集合转化为区间，再进行集合运算 解题思路 1.严格按新定义，写出角运算的结果（如的表达式） 2.将角的集合转化为区间形式（如） 3.进行集合运算（交、并、补），得到新的区间 4.将新区间转化为角的集合表示 （24-25高一上·北京通州·期末）设，则下列结论错误的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （24-25高一·全国·课后作业）设集合，集合，则（    ）经典例题2例题 A． B．  C．  D． （24-25高一·全国·课后作业）中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（    ）小试牛刀1 A．7点36分 B．7点38分 C．7点39分 D．7点40分 【多选题】（24-25高一下·四川南充·月考）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） 小试牛刀2 A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 （24-25高一·全国·课后作业）已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则________.小试牛刀3 【题型2：动点轨迹与角的范围探究】 （2025高一·江苏·专题练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.经典例题1例题 （24-25高一·全国·课后作业）（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________． 经典例题2例题 （2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________． （24-25高一·全国·课后作业）半径为1的圆的圆心位于坐标原点O，点P从点A（1，0）出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为 ，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处.求：小试牛刀1 （1）的大小； （2）线段OP每秒钟扫过的扇形的面积． （23-24高一·全国·课后作业）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．小试牛刀2 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·上海宝山·月考）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 3．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知是锐角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 5．（25-26高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如果角与的终边相同，角与的终边相同，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·湖南长沙·期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高一上·四川成都·期末）如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·广东茂名·期末）我国古代的粮仓的顶部常设计为由圆弧和弦围成的弧田形状（如下图阴影部分），其中“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是圆的半径与圆心到弦的距离之差.现有一粮仓顶部为弧田，其对应的圆心角为，矢为2，则该弧田的面积（其中π≈3）是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·广东惠州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·陕西渭南·期末）甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）下列各角，终边与角的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 15．（25-26高一下·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 16．（25-26高一上·上海·期末）与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 17．（25-26高一下·全国·单元测试）设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是_____________． 18．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 四、解答题 19．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 20．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高一数学下学期常考题型归纳 【7.1·任意角的概念与弧度制】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【A·基础达标题型】 【题型1：象限角与轴线角的判定】 【练方法】 知识梳理 1.象限角：角的终边落在第几象限，就叫第几象限角 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 2.轴线角：终边落在坐标轴上的角，不属于任何象限 x轴正半轴： x轴负半轴： y轴正半轴： y轴负半轴： 解题思路 1.先将角化为（）的形式 2.看的终边位置： 落在象限内→对应象限角 落在坐标轴上→对应轴线角 3.若角为负角，先加的整数倍，化为正角再判断 （25-26高一下·黑龙江·开学考试）已知角，则角为（    ）经典例题1例题 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【分析】根据题意可得，进而判断角所属象限即可. 【详解】已知角，所以，故角为第二象限角. 故选:B. 【多选题】（25-26高一下·全国·单元测试）若，则在（   ）经典例题2例题 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【分析】分及两种情况分别判断角的象限. 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 故选：AC. 【多选题】（25-26高一上·贵州毕节·期末）下列说法中，正确的是（   ）小试牛刀1 A．是第三象限角 B．时间经过2个小时，分针转了 C．三角形的内角一定是第一象限角或第二象限角 D．若角与角的终边在一条直线上，则 【答案】BD 【分析】根据象限角和任意角的定义、终边相同的角判断各个选项； 【详解】对于A，因为是第二象限， 所以终边相同，为第二象限角，A错误； 对于B，分针每小时顺时针转一圈（），顺时针旋转的角度为负， 因此2小时转的角度为，B正确； 对于C，三角形内角范围是，但的角是轴线角不属于任何象限， 因此三角形内角不一定是第一象限角或第二象限角，C错误； 对于D，角与角的终边在一条直线上，则它们的终边要么相同， 要么相反，合并得，D正确； 故选：BD. （2025高一上·湖北武汉·专题练习）下列选项正确的是（    ）小试牛刀2 A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】选项A：设，该角是第三象限角，即可判断； 选项B：取，则，该角是第三象限角，即可判断； 选项C：先求出，则,分类讨论为偶数和奇数，即可判断； 选项D：是锐角，即，则，即可判断； 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. （24-25高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列说法正确的是：（    ）小试牛刀3 A．终边在轴上的角的集合为 B．第三象限角的集合为 C．第二象限角大于第一象限角 D．角与角是终边相同角 【答案】A 【分析】根据终边相同角的表示可判断A，D；根据象限角的概念与表示可判断B，C． 【详解】对于A，终边在轴上的角的集合为，即，即，故A正确； 对于B，第三象限角的集合为，故B错误； 对于C，是第二象限角，是第一象限角，，故C错误； 对于D，，与终边不同，故D错误． 故选：A． 【题型2：终边角的集合表示】 【练方法】 知识梳理 1.终边相同的角：所有与角终边相同的角，可表示为 2.集合形式： 3.注意：终边相同的角不一定相等，相差的整数倍 解题思路 1.写出与已知角终边相同的角的一般形式： 2.若要求特定范围内的角，令取整数，筛选出符合范围的角 3.若已知终边位置（如第一象限角平分线），先写出该位置的一个角，再套终边相同的角的形式 （25-26高一下·全国·课堂例题）与终边相同的角表示为（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的集合判断求解. 【详解】， 与终边相同. ∴与终边相同的角即为与终边相同， 即与终边相同的角可以表示为. 故选：B. （25-26高一下·全国·课堂例题）在内与角终边相同的角是_____________.经典例题2例题 【答案】 【分析】根据终边相同的角的概念，把写成的形式，且，即可得解. 【详解】根据题意，令，则， 又知，解得， 而，故，所以. 故答案为： （25-26高一下·全国·课堂例题）已知.小试牛刀1 (1)写出与角终边相同的角的集合S，并指出角是第几象限的角； (2)写出S中适合不等式的角. 【答案】(1)，第二象限的角 (2)， 【分析】（1）根据终边相同的角的定义求解集合S，进而判断所属象限； （2）根据（1）得到，建立关于的不等式求解即可. 【详解】（1）， ， 与的终边相同. 是第二象限的角， 是第二象限的角. （2）由， 解得. 由，得或5， 即S中适合的元素有 ， . （25-26高一上·天津·期末）下列各角中与终边相同的角是（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据终边相同的角的定义判断即可. 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，当时，当时， 当且时，当且时， 故符合题意的只有. 故选：B （25-26高一上·云南楚雄·期末）与角的终边相同的最小正角是（    ）小试牛刀3 A．45° B．135° C．225° D．2025° 【答案】B 【分析】根据角度制的运算法则，得到，即可求解. 【详解】根据角度制的运算法则，可得， 所以与角的终边相同的最小正角是. 故选：B. 【题型3：角度制与弧度制的转化】 【练方法】知识梳理 1.换算关系： 2.角度转弧度： 3.弧度转角度： 4.常用值：，，，，， 解题思路 1.角度转弧度：乘以，化简为最简分数形式 2.弧度转角度：乘以，得到角度值 3.注意：弧度制下“rad”可省略，角度制下“°”不可省略 （25-26高一下·全国·单元测试）将改写成的形式是（   ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用角度制与弧度制的互化公式，即可求解. 【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得． 故选：D. （25-26高一下·全国·月考）请将下列各角在角度和弧度之间互化：经典例题2例题 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）（4）解法一：利用角度与弧度的互化可得结果. 解法二：设所求角的弧度数或角度数，根据题意列出等式求解. 【详解】（1）解法一：； 解法二：设角的弧度数为，则，所以．即． （2）解法一：． 解法二：设角的弧度数为，则，所以． 即． （3）解法一：． 解法二：设，则，解得，即. （4）解法一：． 解法二：设，则，因此，即． （25-26高一上·河南洛阳·月考）把下列各角的角度化成弧度、弧度化成角度，并指出各角所在象限：小试牛刀1 (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，第四象限角. (2)，第三象限角 (3)，第二象限角. 【分析】利用角度制与弧度制的换算公式，再根据象限角定义判断即可. 【详解】（1）， 是第四象限角； （2）， 是第三象限角； （3）， 是第二象限角. （2023高一·江苏·专题练习）将下列各弧度化成角度.小试牛刀2 (1) (2) (3) (4)-3 【答案】(1)-15° (2)135° (3)210° (4)-171°54′ 【分析】根据弧度制的定义，可得答案. 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. （2023高一·全国·专题练习）把下列角度与弧度进行互化．小试牛刀3 (1)； (2)； (3)； (4). (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案. 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. （5）. （6）. （7）. （8）. （9） （10）. 【题型4：扇形公式的直接应用】 【练方法】 知识梳理 1.弧长公式：（为圆心角弧度，为半径） 2.面积公式： 3.核心关系：已知中任意两个，可求另外两个 解题思路 1.明确已知量：弧长、圆心角、半径、面积 2.选择对应公式： 已知：先算，再算 已知：先算，再算 已知：先算，再算 3.注意：圆心角必须用弧度制代入公式 （24-25高一下·上海宝山·期中）已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为___________.经典例题1例题 【答案】 【分析】将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可. 【详解】因为扇形的弧所对的圆心角为，即为弧度， 且半径，所以扇形的弧长为 . 故答案为：. （25-26高一下·全国·课堂例题）已知扇形的圆心角为，半径为2，则扇形的弧长为_____________，扇形的面积为_____________．经典例题2例题 【答案】 / / 【分析】利用扇形的弧长公式及面积公式可得. 【详解】设扇形的圆心角为，所在圆的半径为，则. 所以扇形的弧长为； 扇形的面积为. 故答案为：；. （25-26高一上·湖北武汉·期末）一个扇形的弧长和面积的数值都是2，则这个扇形圆心角的弧度数为（   ）小试牛刀1 A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】由扇形面积公式与弧长公式直接计算即可. 【详解】由题意得，解得，则， 故选：D. （25-26高一下·全国·单元测试）已知一扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的周长为______cm，面积为______．小试牛刀2 【答案】 【分析】利用扇形的周长和面积公式求解即可. 【详解】圆心角． 周长为，面积为 ． 故答案为：； （25-26高一上·江苏无锡·期末）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为4cm，则小轮每秒转过的弧长是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数，进而求得小轮每秒钟转的弧度数，从而求出小轮每秒转过的弧长. 【详解】由大轮有20个齿，小轮有12个齿，大轮每分钟转6圈， 得小轮每分钟转的圈数为，因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是. 故选：B. 【B·能力提升题型】 【题型1：区域角的表示】 【练方法】 知识梳理 1.区域角：终边落在某一平面区域内的角的集合 2.表示方法：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区间，最后加 3.常见区域：两射线之间的角、象限角的一半/两倍等 解题思路 1.画出区域边界，确定边界角的弧度值 2.按逆时针方向，写出区间 3.加上，得到区域角的集合表示： 4.若区域包含边界，将“<”改为“≤” （25-26高一下·全国·课堂例题）设，B为终边在如图所示阴影部分中的角的集合，求.经典例题1例题 【答案】 【分析】先求出阴影部分角的范围，再应用交集定义计算求解. 【详解】图中的阴影部分表示终边由逆时针旋转到的所有角， 故， 又， . （25-26高一上·江苏苏州·月考）（1）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合；经典例题2例题 （2）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合. 【答案】（1）①，②，③； （2） 【分析】（1）（2）由终边相同角的概念即可求解. 【详解】（1）由终边相同角的概念可得： ①， ②， ③； （2）. （24-25高一下·安徽蚌埠·月考）已知角的终边在图中阴影部分内，试指出角的取值范围_____________.小试牛刀1 【答案】 【分析】根据题意先求解终边在角的终边所在直线上的角的集合，再结合图形即可求解. 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合， 终边在角的终边所在直线上的角的集合， 因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围为. 故答案为：. （24-25高一下·全国·周测）（1）写出与终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来；小试牛刀2 （2）分别写出终边落在下列各图所示的直线上的角的集合； （3）写出终边落在图中阴影部分（包括边界）的角的集合． 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②；③； （3） 【分析】根据终边相同的角的定义和集合表示即可得出． 【详解】（1）与终边相同的角的集合为． 取；取；取，． （2）①； ②； ③ 即 . （3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为 （25-26高一上·全国·课后作业）已知角的终边在图中阴影部分内，则角的取值范围是（   ）小试牛刀3 A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为，终边在角的终边所在直线上的角的集合为，因此，终边在图中阴影部分内的角的取值范围是． 【题型2：扇形周长与面积的最值表示】 【练方法】 知识梳理 1.扇形周长： 2.扇形面积： 3.核心：将或表示为单变量函数（或），用基本不等式或函数单调性求最值 解题思路 1.设变量：设半径、圆心角，根据已知条件建立与的关系 2.表示目标：将周长或面积表示为单变量函数 3.求最值： 用基本不等式：如，结合，用均值不等式 用函数单调性：求导或配方，找极值点 4.验证：验证等号成立条件是否符合扇形的几何约束（） （25-26高一上·广东深圳·期末）已知某扇形面积为，当其周长最小时，圆心角的弧度数为（   ）经典例题1例题 A． B．1 C． D．2 【答案】D 【分析】利用面积公式得到，结合基本不等式可求周长最小值，从而可得答案. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，因为扇形面积为，所以，即； 周长为，因为，当且仅当时，取到最小值， 所以当其周长最小时，圆心角的弧度数为. 故选：D （25-26高一上·陕西西安·期末）已知扇形的周长为20cm，当扇形面积取最大值时，该扇形圆心角的弧度数为（       ）经典例题2例题 A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】设扇形的半径为，弧长为，依题意有，利用扇形面积公式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】设扇形的半径为，弧长为，则． ， 当且仅当时取等号， 故最大值为25，此时，． 故扇形圆心角的弧度数． 所以扇形面积最大值为，此时圆心角弧度数为2. 故选：C （25-26高一上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l.小试牛刀1 (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【多选题】（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为4，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A．若该扇形的半径为1，则其面积为2 B．该扇形面积的最大值为1 C．当该扇形面积最大时，其圆心角为2 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由题意可知，，，直接利用公式可判断选项A，将扇形的面积表示为再利用二次函数的性质可判断选项BC，根据基本不等式可判断D. 【详解】由题意可知，，， 对于A：当时，，可得，故A错误； 对于B，C：，当时，，此时，，故B，C正确； 对于D：，当且仅当，结合，即 时等号成立，所以的最小值为，故D错误. 故选：BC （2025高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l．小试牛刀3 (1)若，求扇形的弧长l； (2)若，求扇形的弧所在的弓形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）由已知利用扇形面积，三角形面积公式即可得解弓形的面积 （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求法可得； 【详解】（1）． （2）设弓形面积为．由题知． ． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 【题型3：弧度制下的旋转问题】 【练方法】 知识梳理 1.旋转的本质：角的终边绕原点旋转，每次旋转，角的大小增加 2.多次旋转：次旋转后，角的大小为 3.终边位置：旋转后终边位置由的终边决定 解题思路 1.写出初始角和每次旋转的角度 2.计算次旋转后的角： 3.将化为（）的形式，判断终边位置 4.若求多次旋转后终边首次落在某区域，解不等式，求最小正整数 （25-26高一上·福建厦门·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，已知大轮6秒转动一周，小轮1秒转动的角度大小是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相互啮合的齿轮，转过的齿数相等求解即可. 【详解】两个啮合的齿轮，线速度相同，单位时间内通过的齿数相等. 大轮有48齿，6秒转动一周，则每秒转过齿数为齿， 小轮有20齿，每秒同样转过8齿， 因此小轮每秒转过的周数为周，每周转过的角度为弧度， 故小轮每秒转动的角度大小为弧度. 故选：C （25-26高一上·河北邢台·月考）如图所示，这是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转.已知主动轮的半径为2，被动轮的半径为3，若主动轮旋转一周，则被动轮旋转的弧度数为______.经典例题2例题    【答案】 【分析】由主动轮和被动轮转过的弧长相等即可得结果. 【详解】根据题意可设被动轮旋转的弧度数为， 由于主动轮和被动轮转过的弧长相等，即，即， 故答案为：. （25-26高一上·河北廊坊·月考）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿.如果大轮的转速为（转/分），小轮的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是______.小试牛刀1 【答案】 【分析】通过大轮的转速得到小轮的转速，从而得到小轮圆周上一点每转过的弧度，利用弧长公式即可求解. 【详解】因为大轮有48齿，小轮有20齿，所以小轮转速是大轮转速的倍，即倍， 因为大轮的转速为，所以小轮的转速为， 所以小轮圆周上一点每转过的弧度为， 所以小轮圆周上一点每转过的弧长为. 故答案为：. （25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有40齿，小轮有25齿，小轮的半径为，若大轮的转速为（转/分），则小轮轮周上一点每秒转过的弧长为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为，结合大齿轮的齿数和小齿轮的齿数得到，解得，由大轮的转速为（转/分），从而得到小轮的转速为，即小轮的转速为，故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为计算得解. 【详解】设大齿轮的半径为，小齿轮的半径为， 大齿轮的齿数为，小齿轮的齿数为， 故有，解得，大轮的转速为（转/分）， 则小轮的转速为， 即小轮的转速为， 故小轮轮周上一点每秒转过的弧长为. 故选：B. （25-26高一上·山西吕梁·月考）某机器上有相互啮合的大小两个齿轮（如图所示），大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈，若小轮的半径为，则小轮每秒转过的弧长是（　　）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出小轮每分钟转的圈数和小轮每秒钟转的弧度数，从而求出弧长. 【详解】大轮有25个齿，小轮有15个齿，大轮每分钟转6圈， 故小轮每分钟转的圈数为， 因此小轮每秒钟转的弧度数为， 所以小轮每秒转过的弧长是． 故选：B． 【题型4：含参数的终边相同的角的问题】 【练方法】 知识梳理 1.终边相同的角： 2.含参数：或中含有参数，需根据参数范围确定角的终边位置 3.核心：根据参数范围，筛选出符合条件的，确定终边相同的角的集合 解题思路 1.写出终边相同的角的一般形式： 2.根据参数的范围，确定的范围 3.筛选，使落在指定范围或终边落在指定区域 4.整理得到含参数的终边相同的角的集合 【多选题】（24-25高一下·安徽蚌埠·月考）若与的终边相同，与的终边关于轴对称，则（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据终边相同的角的定义，可得 从而可得，即可求解. 【详解】因为与的终边相同，与的终边关于轴对称， 所以， 所以，所以AB正确； ①+②得，， 所以，所以C错误，D正确. 故选:ABD. （24-25高一下·上海普陀·月考）已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为___________.经典例题2例题 【答案】 【分析】先在得出α与β的关系，然后由终边相同的角的关系得出答案 【详解】若与均在内时， 如图1：则.即 如图2：则，即 由终边相同的角的关系可得：. 所以α与β的关系为： 故答案为：    （24-25高一·全国·课后作业）若角与角的终边关于y轴对称，则必有（    ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据角与角的终边关于y轴对称，有，即可得解. 【详解】角与角的终边关于y轴对称， 所以， ， 即， 故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数关系求解. （2025高三·全国·专题练习）已知θ为小于360°的正角，这个角的4倍角与这个角的终边关于x轴对称，那么θ＝_________小试牛刀2 【答案】72°或144°或216°或288°. 【分析】由角4θ与角θ终边关于x轴对称，可知角4θ与角－θ终边相同，从而可得到4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，结合θ为小于360°的正角，可得到答案． 【详解】依题意，可知角4θ与角－θ终边相同，故4θ＝－θ＋k·360°(k∈Z)，故θ＝k·72°(k∈Z). 又0°<θ<360°，故令k＝1,2,3,4. 得θ＝72°或144°或216°或288°. 【点睛】本题考查了终边相同的角的表示，两个角的终边关于x轴对称这一条件是解决本题的关键，属于基础题． （2024高三·江西·专题练习）若角α的终边与的终边相同，则在[0,2π]上，终边与的终边相同的角有________．小试牛刀3 【答案】 【详解】由题意可知：，则， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 而当时，；当时，； 综上可得：终边与的终边相同的角有. 点睛：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成集合： .即任何一个与角的终边相同的角都可以表示为角与周角的整数倍的和. 【C·拓展培优题型】 【题型1：新定义角的运算与集合运算】 【练方法】 知识梳理 1.新定义运算：题目给出新的角运算（如“角的加法”“角的乘法”），需按定义进行运算 2.集合运算：角的集合的交、并、补运算，本质是区间的交、并、补 3.核心：严格按新定义运算，将角的集合转化为区间，再进行集合运算 解题思路 1.严格按新定义，写出角运算的结果（如的表达式） 2.将角的集合转化为区间形式（如） 3.进行集合运算（交、并、补），得到新的区间 4.将新区间转化为角的集合表示 （24-25高一上·北京通州·期末）设，则下列结论错误的是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合中角的特征分析集合间的关系即可得解. 【详解】因为表示终边落在轴上角的集合， 表示终边落在轴正半轴上角的集合， 表示终边落在轴负半轴上角的集合， 所以，，正确；，故错误. 故选：D （24-25高一·全国·课后作业）设集合，集合，则（    ）经典例题2例题 A． B．  C．  D． 【答案】D 【分析】考虑中角的终边的位置，再考虑中角的终边的位置，从而可得两个集合的关系. 【详解】. 表示终边在直线上的角， 表示终边在直线上的角， 而 表示终边在四条射线上的角，   四条射线分别是射线 ，   它们构成直线、直线，故. 故选：D. 【点睛】本题考查终边相同的角，注意的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线，而的终边与 的终边的关系是重合或互为反向延长线或相互垂直，本题属于中档题 （24-25高一·全国·课后作业）中央电视台每天晚上的“焦点访谈”是时事､政治性较强的一个节目，其播出时间是在晚上看电视节目人数最多的“黄金时间”，即晚上7点与8点之间的一个时刻开始播出，这一时刻是时针与分针重合的时刻，以高度显示“聚焦”之意，比喻时事､政治的“焦点”，则这个时刻大约是（    ）小试牛刀1 A．7点36分 B．7点38分 C．7点39分 D．7点40分 【答案】B 【分析】设7点分时针与分针重合，在7点时，时针､分针所成的夹角为，根据时针每分钟转，分针每分钟转，可得，解方程即可. 【详解】设7点分时针与分针重合. 在7点时，时针与分针所夹的角为， 时针每分钟转，分针每分钟转， 则分针从到达需旋转，时针从到达需旋转， 于是，解得（分）， 故选：B 【多选题】（24-25高一下·四川南充·月考）已知三角形是边长为的等边三角形.如图，将三角形的顶点与原点重合.在轴上，然后将三角形沿着轴顺时针滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个之间的距离称为“一个周期”，给出以下四个结论，其中说法正确的是（    ） 小试牛刀2 A．一个周期是 B．完成一个周期，顶点的轨迹是一个半圆 C．完成一个周期，顶点的轨迹长度是 D．完成一个周期，顶点的轨迹与轴围成的面积是 【答案】ACD 【分析】根据已知可作出顶点的运动轨迹，可知轨迹为两个圆，结合图象可知A正确，B错误；结合圆的周长和面积求法可求得轨迹长度和围成区域面积，知CD正确. 【详解】由已知可得：点一个周期的运动轨迹如图所示， 对于A，当再次回落到轴上时，发生了个单位的位移，则一个周期为，A正确； 对于B，完成一个周期，顶点的轨迹由以为圆心，为半径的圆和以为圆心，为半径的圆共同组成，不是一个半圆，B错误； 对于C，由B知，顶点的轨迹为，C正确； 对于D，顶点的轨迹与轴围成的区域面积为两个圆的面积与的面积之和， 即所求面积为，D正确. 故选：ACD. （24-25高一·全国·课后作业）已知点P位于x轴正半轴上,射线OP在1秒内转过的角为,经过2秒到达第三象限,若经过14秒后又恰好回到出发点,则________.小试牛刀3 【答案】或 【解析】根据2秒到达第三象限，可确定， 结合得范围，经过14秒后又恰好回到出发点可得，联立条件即可求出. 【详解】且, 必有,. 又, , , 即, 或5. 故或. 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了角的旋转，象限角，终边相同的角，属于中档题. 【题型2：动点轨迹与角的范围探究】 （2025高一·江苏·专题练习）如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1，0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ (0°<θ<180°)，经过2 s达到第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.经典例题1例题 【答案】或. 【分析】由题得90°<θ<135°，求出θ＝，解不等式90°<<135°即得解. 【详解】∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ<k·360°＋270°，k∈Z， 则一定有k＝0，于是90°<θ<135°. 又∵14θ＝n·360°(n∈Z)， ∴θ＝，从而90°<<135°， ∴<n<， ∴n＝4或5. 当n＝4时，θ＝；当n＝5时，θ＝. 所以或. （24-25高一·全国·课后作业）（1）时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为_______，分针转过的角的度数为__________． 经典例题2例题 （2）如图，射线绕顶点逆时针旋转到位置，并在此基础上顺时针旋转120到达位置，则_________． 【答案】 【解析】（1）计算出指针单位时间内走过的度数→乘以时间． （2）→→ 【详解】（1）从时针和分针每小时或每分钟转过的角度数切入，时针每小时转，分针每小时转，每分钟转、时针、分针都按顺时针方向旋转，故转过的角度数都是负的，3小时20分即小时，故时针转过的角度数为；分针转过的角度数为． （2）由角的定义可得． 故答案为：；；． 【点睛】本题考查任意角的概念，注意角的正负与顺逆时针旋转的规定． （24-25高一·全国·课后作业）半径为1的圆的圆心位于坐标原点O，点P从点A（1，0）出发，按照逆时针方向沿圆周匀速旋转，已知点P在1秒内转过的角度为 ，经过2秒到达第三象限，经过14秒又回到出发点A处.求：小试牛刀1 （1）的大小； （2）线段OP每秒钟扫过的扇形的面积． 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）根据2秒到达第三象限，以及14秒又回到出发点A，分别求角对应的范围，然后分别考虑的取值；（2）根据面积计算公式：直接计算即可. 【详解】（1） 又 ∴①又.② 由①②可得 （2）由（1）知 又∵∴ 即线段OP每秒钟扫过的扇形的面积是. 【点睛】本题考查终边相同的角的计算，难度一般.已知终边所在位置以及的取值范围，可通过对中的进行赋值，得到的值. （23-24高一·全国·课后作业）一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个单位圆（半径为1的圆）上爬动，若两只蚂蚁均从点A（1，0）同时逆时针匀速爬动，若红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角（其中0°＜α＜β＜180°），如果两只蚂蚁都在第14秒时回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值．小试牛刀2 【答案】α=（）°，β=（）°． 【详解】试题分析：确定α=•180°，β=•180°，m，n∈Z，利用2α，2β均为钝角，即可得到结论． 解：根据题意可知：14α，14β均为360°的整数倍，故可设14α=m•360°，m∈Z，14β=n•360°，n∈Z，从而可知α=•180°，β=•180°，m，n∈Z． 又由两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限，则2α，2β在第二象限． 又0°＜α＜β＜180°，从而可得0°＜2α＜2β＜360°， 因此2α，2β均为钝角，即90°＜2α＜2β＜180°． 于是45°＜α＜90°，45°＜β＜90°． ∴45°＜•180°＜90°，45°＜•180°＜90°， 即＜m＜，＜n＜． 又∵α＜β，∴m＜n，从而可得m=2，n=3． 即α=（）°，β=（）°． 点评：本题考查任意角的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）若钟表的时针走过了2小时40分，则分针转过的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角的定义求解即可. 【详解】因为，所以. 因为分针是顺时针旋转， 所以在2小时40分钟内，分针转过的角度为， 故选：D. 2．（24-25高一下·上海宝山·月考）“”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】，则，充分性满足， 反之，若，但，必要性不满足. 所以答案为充分非必要条件， 故选：A. 3．（25-26高一上·浙江金华·期末）已知是锐角，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．小于的正角 D．第一或第二象限角 【答案】C 【分析】求出角的取值范围，即可得出结论. 【详解】因为是锐角，即，所以，故是小于的正角， 且角的终边在第一象限或第二象限或轴正半轴上， 故选：C. 4．（25-26高一上·河南焦作·期末）若是第一象限角，是第三象限角，则构成的集合为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【分析】利用象限角的概念和运算法则求构成的集合． 【详解】记，由是第一象限角，则， ， 又 是第三象限角， 的终边必须落在上述区间内第三象限部分， 即，解得， 构成的集合为（）． 故选：C． 5．（25-26高一上·四川成都·期末）在平面直角坐标系中，以O为坐标原点，为始边，终边在直线上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据终边相同的角的定义即可求解. 【详解】因为角的终边在直线上， 所以角的终边在一、三象限的角平分线上， 故终边在直线上的所有角组成的集合为 . 故选：C 6．（25-26高一下·全国·课后作业）如果角与的终边相同，角与的终边相同，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由终边相同角的概念即可求解. 【详解】由角与的终边相同，可得， 由与的终边相同，可得， 所以， ， 所以ABC错误，D正确， 故选：D 7．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用角度与弧度的核心换算关系，逐一验证各选项等式的正确性，从而判断正误. 【详解】A选项：错误，正确关系是，缺少角度单位； B选项：错误，是无限不循环小数，只是近似值； C选项：正确，由可直接推出； D选项：错误，正确关系是. 故选：C 8．（25-26高一下·湖南长沙·期末）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数折聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形OAB，再在该扇形内剪下一个同心小扇形OCD（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面ABCD.当扇子扇形的圆心角为时，扇面看上去形状较为美观．已知，弧CD的长为，则此扇面的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过弧长公式求出小扇形半径，再结合的长度得到大扇形半径，最后利用扇形面积公式计算两个扇形的面积差，得到扇面面积. 【详解】设，因为圆心角，弧CD的长为， 代入弧长公式可得，解得．所以． 由扇形面积公式可得，， ， 所以此扇面的面积． 故选：C. 9．（25-26高一上·四川成都·期末）如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】扇子扇形的圆心角为，， 由扇形面积公式得，扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇面的面积为. 故选：B. 10．（25-26高一上·广东茂名·期末）我国古代的粮仓的顶部常设计为由圆弧和弦围成的弧田形状（如下图阴影部分），其中“弦”是圆弧所对的弦长，“矢”是圆的半径与圆心到弦的距离之差.现有一粮仓顶部为弧田，其对应的圆心角为，矢为2，则该弧田的面积（其中π≈3）是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆半径与圆心到弦的距离之差为2，求得圆的半径，再根据扇形面积公式求出弧田所在扇形的面积，用扇形面积减去三角形面积可得. 【详解】设圆半径为r，圆心到弦的距离为. 因为圆心角为，所以相应的三角形为正三角形，故. 则，解得. 则弧田面积 . 故选:A. 11．（25-26高一上·广东惠州·期末）数学中处处存在着美，莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法如下：先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形（如图所示）.若该莱洛三角形的周长为，则其面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据莱洛三角形的周长求出构成它的等边三角形的边长，再通过三个扇形面积减去两个等边三角形面积得到其面积. 【详解】莱洛三角形的周长为，可得弧长， 则等边三角形的边长，分别以点A、B、C为圆心， 圆弧AB、BC、AC所对的扇形面积均为，等边的面积， 所以莱洛三角形的面积是. 故选：C 12．（25-26高一上·陕西渭南·期末）甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，扇形面积分别为和，周长分别为和.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度，，求出圆心角，，再用半径和圆心角表示，计算即可. 【详解】甲、乙两个扇形的半径相等，圆心角之和为3弧度， 设甲、乙两个扇形的半径均为，圆心角分别为，，弧长分别为，. ， 又， 联立， 解得：，， ，， . 故选：B 二、多选题 13．（25-26高一上·云南曲靖·期末）下列各角，终边与角的终边相同的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即可. 【详解】． 故选：BCD 三、填空题 14．（25-26高一下·全国·课堂例题）下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于的角是第一象限角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为_____________（填序号）. 【答案】② 【分析】根据象限角、相等角、各类角（锐角、钝角）的定义，逐一分析每个说法是否正确. 【详解】①由于直角三角形中有的角，而的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②相等的角终边一定相同，根据逆否命题等价，终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于的角可以是角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于，而的角是第三象限角，故④不正确； ⑤角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 故答案为： ② 15．（25-26高一下·全国·课后作业）与角终边相同的最小正角是_____________角；与角终边相同的最大负角是_____________角． 【答案】 【分析】先表示出与角终边相同的角，然后找出满足条件的角即可. 【详解】因为与角终边相同的角是， 所以当时，与角终边相同的最小正角是角； 当时，与角终边相同的最大负角是角． 故答案为：. 16．（25-26高一上·上海·期末）与45°角的终边在一条直线上的角的集合为_________． 【答案】 【分析】根据终边在同一直线上的角的定义，分终边相同和终边相反两种情况求解，最后合并集合. 【详解】与终边相同角的集合， 与终边相同角的集合， 所以与角的终边在一条直线上的角的集合为： . 故答案为：. 17．（25-26高一下·全国·单元测试）设扇形的周长为8，面积为4，则扇形的圆心角的弧度数是_____________． 【答案】2 【分析】利用扇形面积公式求解即可. 【详解】由，得，解得， 所以弧长，则． 故答案为： 18．（24-25高一下·上海宝山·月考）已知扇形的面积为4，当它的周长最小时，扇形的圆心角为___________． 【答案】2 【分析】设半径为，表示出周长后由基本不等式得最小值，再求得结论. 【详解】设半径为，弧长为，则，， 周长为，当且仅当，即时取等号， 此时圆心角为 故答案为：2. 四、解答题 19．（25-26高一上·河北张家口·期末）如图，在一个半径为60的扇形中，，点为扇形中一点，且到和的距离分别为20和10，过点的直线与和分别交于点，．    (1)求的长． (2)求图中阴影部分的面积． (3)当为多长时，的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1) (2) (3)，的面积最小为 【分析】（1）利用扇形的弧长公式求解即可； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，则图中阴影部分的面积等于，计算即可； （3）设，，根据可得，由结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）扇形的半径为60，， 则的长为； （2）过分别作和的垂线，垂足分别为，    所以，，，， 扇形的面积， ，， 矩形的面积 所以图中阴影部分的面积为， （3）设，， ，所以，即，则， 所以， ，当且仅当，即时取等， 所以， 所以当时，的面积最小，最小为 20．（24-25高一下·江西南昌·月考）如图所示，某城市中心有一圆形广场，政府计划在广场上用栅栏围一块扇形环面区域（由扇形去掉扇形构成）种植花卉，已知米，米，扇形环面区域面积为100平方米，圆心角为弧度.    (1)当米时，求的长； (2)记花卉周围栅栏的长度为米，试问取何值时，的值最小？并求出最小值. 【答案】(1) (2)当时取等号，栅栏长度的最小值为40米. 【分析】（1）根据扇形的面积公式列方程得出关于的函数解析式，令，求出，在根据求出答案； （2）根据弧长公式求出关于的函数表达式，根据均值不等式可得的最小值. 【详解】（1）利用扇形的面积公式可得， 所以， 于是米.    （2）依题意可得弧长，弧长， 所以栅栏的长度，将代入上式，整理可得， 当且仅当时取等号，所以栅栏长度的最小值为40米. 1 学科网（北京）股份有限公司 $